北师大_数学_八年级_下_第3章_3.2.1图形的旋转(1)
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北师大版八年级数学下册第3章第2节《图形的旋转》第1课时
只要你拥有一双敏锐的眼睛，你 就会发现平凡的生活中数学无处不在。
愿同学们走进生活这个数学大课堂， 用你们的慧眼去发现、去描绘、去赞美生 活的美。
D
C
E
F
A
B
2、△ABC是等边三角形， △ABP顺时针旋转后能与 △CBP＇重合，那么
（1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转角是几度？ （3）连结PP＇后，△BPP＇是什么三角形？
解 （1）旋转中心是点B. （2） 旋转角等于60°.
（3）∵BP′＝BP, ∠ PBP′＝∠ABC＝ 60°,
∴ △BPP’是等边三角形（有一个角 等于60°的等腰三角形是等边三角形）.
钟表的分针匀速旋转一周需 要60分． （1）指出它的旋转中心； （2）经过20分，分针旋转了 多少度？
解： （1）它的旋转中心是钟表的轴心； （2）分针匀速旋转一周需要60分，因此旋 转20分，分针旋转的角度为 360 20 120
60
练一练
将一个四边形进行旋转可得到下图 （1）这个四边形旋转了几次？ （2）每次旋转了多少度？
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
在图中，正方形ABCD与正方 形EFGH边长相等，这个图案可以 看作是哪个“基本图案”通过旋转 得到的
．
分析图中的旋转现象
学校即将举行运动会、艺术节，请同学们根
据自己的意愿，自己的理想、特长等设计思
路，为运动会、艺术节设计徽标，并填写下
表。
试一试 我也能设计图案
图案名称
作者
设计意图
图案含义
图案
1．旋转中心是什 么？旋转角是什么？
2．经过旋转，点A，B 分别移动到什么位置？
3．AO与DO的长有什么关 系？BO与EO呢？
2021年北师大版数学八年级下册3.2《图形的旋转》教案
2021年北师大版数学八年级下册3.2《图形的旋转》教案一. 教材分析《图形的旋转》是北师大版数学八年级下册第三章《几何变换》的一部分。
本节课主要让学生掌握图形旋转的性质，了解旋转变换在实际问题中的应用。
通过学习，学生能理解旋转的概念，掌握旋转的性质，能运用旋转变换解决一些简单的问题。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了图形的平移，对图形的变换有一定的认识。
但旋转与平移存在很大的差异，学生需要通过实例对比，进一步理解旋转的性质。
此外，学生需要通过操作活动，体会旋转变换在实际问题中的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：理解旋转变换的概念，掌握旋转变换的性质，能运用旋转变换解决一些简单问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、讨论，培养学生的空间想象能力和动手操作能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的联系。
四. 教学重难点1.重点：旋转变换的概念，旋转变换的性质。
2.难点：旋转变换在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，帮助学生建立知识体系。
2.操作法：学生通过动手操作，直观地感受旋转变换的性质。
3.讨论法：学生分组讨论，分享彼此的想法，培养合作意识。
六. 教学准备1.教学课件：教师准备课件，展示旋转变换的实例和性质。
2.学生活动材料：学生准备剪刀、纸张等材料，进行旋转变换的操作活动。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问：“同学们，你们知道什么是图形的旋转吗？”引导学生回顾旋转的概念。
然后，教师展示一些实例，如旋转向量、旋转变换在实际问题中的应用等，让学生初步感受旋转变换的特点。
2.呈现（10分钟）教师引导学生观察、分析旋转变换的性质，如旋转变换不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置等。
学生通过观察、操作，总结旋转变换的性质。
3.操练（10分钟）学生分组进行旋转变换的操作活动。
教师提供一些实际问题，如旋转变换在几何作图、物体运动等方面的应用，学生运用旋转变换解决问题。
数学北师大版八年级下册3.2(1)图形的旋转
九江三中数学组
汪 乐
11 10 9 8 7
12
1 2 3 4 5
6
11 10 9
12
1 2 3
8
7 6 5
4
它们的运动有 什么特点呢？
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿 某个方向转动一个角度，这样的图形运 动称为旋转。
这个定点O 称为旋转中心 转动的角∠POP′ 称为旋转角
P
o 旋转中心
旋转角
B
O
练一练
1.如图，在等腰直角三角形ABC中， ∠B=90°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转一个 角度后得到△AB'C'，若∠BAC ' =15°，则旋 转角等于（ C ）
A
A.50° C.60°
B.55° D.65°
B' C′ B C
练一练
2.如图将△AOB绕点O逆时针旋转80°得到 △COD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为 40°，则∠α的度数是（ B ）
P
C
这节课中， 有什么收获 ？ 我学到了…… 我感悟到了……
谢谢 指导ຫໍສະໝຸດ CB2.如图，将三角板△ACB绕点C逆时 针方向旋转到△DCE的位置.
A
(4)∠A和∠B旋转后 D ∠ E 到_____ ∠D 和_____的位置. 45°. 若∠A=45°，则∠D=___ ACD 和______. ∠BCE 旋转角为∠ _____
C
E
B
做一做
现在利用你们手中三角形，画出这个三 角形旋转前、后的图形，回答下列问题：
A′
旋转角为∠ AOA'或∠ BOB'
2. 如图，将三角板△ACB绕点C逆时针 方向旋转到△DCE的位置.
汪 乐
11 10 9 8 7
12
1 2 3 4 5
6
11 10 9
12
1 2 3
8
7 6 5
4
它们的运动有 什么特点呢？
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿 某个方向转动一个角度，这样的图形运 动称为旋转。
这个定点O 称为旋转中心 转动的角∠POP′ 称为旋转角
P
o 旋转中心
旋转角
B
O
练一练
1.如图，在等腰直角三角形ABC中， ∠B=90°，将△ABC绕点A顺时针方向旋转一个 角度后得到△AB'C'，若∠BAC ' =15°，则旋 转角等于（ C ）
A
A.50° C.60°
B.55° D.65°
B' C′ B C
练一练
2.如图将△AOB绕点O逆时针旋转80°得到 △COD，若∠A的度数为110°，∠D的度数为 40°，则∠α的度数是（ B ）
P
C
这节课中， 有什么收获 ？ 我学到了…… 我感悟到了……
谢谢 指导ຫໍສະໝຸດ CB2.如图，将三角板△ACB绕点C逆时 针方向旋转到△DCE的位置.
A
(4)∠A和∠B旋转后 D ∠ E 到_____ ∠D 和_____的位置. 45°. 若∠A=45°，则∠D=___ ACD 和______. ∠BCE 旋转角为∠ _____
C
E
B
做一做
现在利用你们手中三角形，画出这个三 角形旋转前、后的图形，回答下列问题：
A′
旋转角为∠ AOA'或∠ BOB'
2. 如图，将三角板△ACB绕点C逆时针 方向旋转到△DCE的位置.
北师大版八年级数学下册课件：3.2 图形的旋转(一)
______年____月____日____星期_______天气
学习课题：
自我评价：
只是归纳与整理：
悄悄话：老师我想对你说：
我的收获与困惑：
• 1、全体作业：每位同学要将本节课所学知 识点进行消化和吸收，以备灵活运用；
• 2、分层次作业： • 每组1 3号同学，课后作业题都做； • 每组4 6号同学，做到第二层次就可以； • 每组7、8号同学，完成第一层次即可。
3.旋转图形的任意一对对应点与旋转中 心的连线所成的角都是旋转角; O
4.对应线段相等；
5.对应角相等。
AD
G H
B
C
E
F
分
层
第三层次
次
课
第二层次 A
B
堂 训
练
第一层次 A
B
：
拓展练习
这个图案可以看成是 一个菱形 为基本图形绕 一个顶点按顺 时
针方向旋转 次5，分别旋转 的所图形共同组成的。
60°， 120°， 180°， 240°前， 后
生活中的旋转
上面动画中的旋转现象有什么共同的特征？
认识旋转
O
0
45
B
A
点Ａ绕＿Ｏ＿点，往＿顺＿时＿针方向，转动了＿4＿5 度到点Ｂ．
认识旋转
B/
B
A0/来自90AP线段AB绕＿P＿点，往逆＿＿时＿针方向，转动了＿9＿0 度到线段A’B’．
认识旋转
认识旋转
B´ A
C0
100
A´
B
O
C´
△ABC绕＿Ｏ＿点，往＿顺＿时＿针方向，转动了＿10＿0度到
2.连接AO，FO，DO，EO，BO，GO，CO，HO，你 又能发现哪些相等的线段和相等的角？
北师大版数学八年级下册第三章《 3.2.1 图形的旋转(一)》优课件
旋转不改变图形的形状和大小。
3. 旋转图形的形成描述：“五说明”
基本图形、旋转中心、方向、次数、旋转角.
“这个图案可以看成是
绕点 按 时针
方向旋转 次，分别旋转
前后的所
有图形共同组成的。”
•1、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2022年2月13日星期日2022/2/132022/2/132022/2/13 •2、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2022年2月2022/2/132022/2/132022/2/132/13/2022 •3、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着 科学的真正进步。2022/2/132022/2/13February 13, 2022 •4、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2022/2/132022/2/132022/2/132022/2/13
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
答：旋转7次得到，旋转角度分别等于45°， 90°， 135°， 180°， 225°， 270 °，315°.
图案欣赏
E
O
知识点归纳
“四、三、五”
1. 旋转的定义：“四要素”
一个图形、一个定点、一个方向、一个角度.
2. 旋转的性质：“三特点” 对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角；
对应点到旋转中心的距离相等；
第三章 图形的平移与旋转 3.2 图形的旋转（一）
旋转——图标
观察思考
以上情景中的转动现象，有什么 共同特征？
钟表的指针在转动过程中，其形状、 大小、位置是否发生改变？ 飞机的螺旋桨、电风扇的叶轮的转动呢？
北师大版数学八下3.2图形的旋转(教案)
3.旋转作图：培养学生通过尺规作图，将一个图形绕一个点旋转一定角度得到另一个图形的能力。
4.旋转在实际应用中的应用：通过实例分析，使学生了解旋转在现实生活中的应用，提高学生解决问题的能力。
5.练习与巩固：设计不同难度的练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题技巧。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念：通过图形旋转的学习，使学生能够更好地观察和认识几何图形在空间中的位置关系，提高空间想象能力。
此外，课堂总结环节，我感觉到学生们对于今天的学习内容有了较好的掌握，但仍有个别学生对某些知识点存在疑惑。我会在课后及时跟进，确保每位学生都能理解并掌握图形旋转的相关知识。
举例：在讲解旋转中心时，可以用一个具体的图形，如一个矩形，围绕不同的点进行旋转，让学生观察并理解旋转中心的变化对图形旋转效果的影响。在处理旋转角度的难点时，可以通过制作旋转模型或者使用教学软件，让学生直观地看到不同角度旋转的效果，从而加深理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《图形的旋转》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体旋转的情况？”比如，玩转盘游戏时，转盘的旋转；或者是自行车的轮子转动。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索图形旋转的奥秘。
-确定旋转角度：学生可能在确定旋转角度时感到困惑，特别是在非整数角度的旋转时。教师应提供直观的工具，如量角器，帮助学生准确测量和确定旋转角度。
-旋转作图的准确性：在实际作图过程中，学生可能会遇到作图不准确的问题，如旋转后的图形位置和角度不正确。教师需要指导学生如何通过逐步调整和校准来提高作图的准确性。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
4.旋转在实际应用中的应用：通过实例分析，使学生了解旋转在现实生活中的应用，提高学生解决问题的能力。
5.练习与巩固：设计不同难度的练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题技巧。
二、核心素养目标
1.培养学生的空间观念：通过图形旋转的学习，使学生能够更好地观察和认识几何图形在空间中的位置关系，提高空间想象能力。
此外，课堂总结环节，我感觉到学生们对于今天的学习内容有了较好的掌握，但仍有个别学生对某些知识点存在疑惑。我会在课后及时跟进，确保每位学生都能理解并掌握图形旋转的相关知识。
举例：在讲解旋转中心时，可以用一个具体的图形，如一个矩形，围绕不同的点进行旋转，让学生观察并理解旋转中心的变化对图形旋转效果的影响。在处理旋转角度的难点时，可以通过制作旋转模型或者使用教学软件，让学生直观地看到不同角度旋转的效果，从而加深理解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《图形的旋转》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体旋转的情况？”比如，玩转盘游戏时，转盘的旋转；或者是自行车的轮子转动。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索图形旋转的奥秘。
-确定旋转角度：学生可能在确定旋转角度时感到困惑，特别是在非整数角度的旋转时。教师应提供直观的工具，如量角器，帮助学生准确测量和确定旋转角度。
-旋转作图的准确性：在实际作图过程中，学生可能会遇到作图不准确的问题，如旋转后的图形位置和角度不正确。教师需要指导学生如何通过逐步调整和校准来提高作图的准确性。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
北师版八年级数学下册_3.2 图形的旋转
感悟新知
知2－练
(3)请写出图中除正方形的四条边、直角外的相等线段、相 等角及能够完全重合的三角形. 解：相等线段：DG=DE，GA=EC. 相等角： ∠ G= ∠ DEC= ∠ ADE， ∠ ADG= ∠ CDE，∠ GDF= ∠ EDF， ∠ AFD= ∠ CDF. 能够完全重合的三角形：△ DEC 与△ DGA.
感悟新知
知2－讲
特别提醒 因为对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中
心在对应点所连线段的垂直平分线上，因此，旋转中 心是两对对应点所连线段的垂直平分线的交点.
感悟新知
知2－练
例2 如图3-2-2，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上， ∠FDE=45°，△ DEC 按顺时针方向旋转一个角度 后到达△ DGA 的位置.
感悟新知
解：(1)连接OA，OB，OC，OD；
知3－练
(2)分别以OB，OC为边，作∠BOM= ∠CON= ∠AOD；
(3)分别在OM，ON上截取OE=OB，OF=OC；
(4)连接DE，EF，FD，△DEF就是
所求作的三角形，如图3-2-3 所示．
感悟新知
知3－练
3-1. 将如图所示的图案以圆心为中心, 旋转180°后得到的 图案是( D )
的交点就是旋转中心.
感悟新知
(3)作旋转后的对应点，方法如下：
知3－讲
①连 连接图形的每个关键点与旋转中心；
②转 把连线绕旋转中心按旋转方向旋转相同的角度
(作旋转角)；
③截 在作得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的
距离相等的线段，得到各个关键点的对应点.
感悟新知
知3－讲
(4)按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形 就是旋转后的图形.
数学北师大版八年级下册3.2图形的旋转(一)
甲
P · N· · Q 乙 · M
思考：如果没有已知的点，如何确定旋转中心？
归纳小结：
本节课我们主要学习了哪些知识？
1.旋转的定义： 2.旋转的性质： 3.旋转中心的确定方法：
对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心
课后作业：
1、如下图是由三个叶片组成的，绕点O旋转120°后可 以和自身重合，若每个叶片的面积为5cm2 ∠AOB=120° 则图中阴影部分的面积之和为多少?
互助探究一：
1、已知△ABO绕点O旋转得到△CDO，解答下列问题： 点O ； (1)旋转中心是______ (2)经过旋转，点A、B分别移动到什么位置? 点C,点D ； (3)点A、点B的对应点分别是_________ (4)线段OA、OB、AB的对应线段是线段__________ OC,OD,CD ； A ∠ C,∠D； (5)∠A、 ∠B的对应角分别是 ______ B (6)对应点与旋转中心的连线有什么关系？ C (7)旋转角是 _________, ∠A OC ∠BOD它们有什么关系？
B
C A
F E
D
2、如图ABC可绕点O旋转得到DFE，请用尺规作图法 找到旋转中心O
．
巩固练习：
3、如图，你能绕点O旋转，使得线段AB与线段CD 重合吗？为什么？
A
B C A D D
E
· O
B
C
4、如图在直角△ABC中∠A=50 °，点D在斜边AB上。 如果经过旋转后与△EBD重合，那么这一旋转中心是 哪个点？旋转角是多少度？
拓展延伸：
1、如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三 ห้องสมุดไป่ตู้形乙，则旋转中心是____. N
第三章 图形的平移与旋转
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你能否描述一下什么叫旋转？
C B A E平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向 转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个 定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
C B A E O D F
旋转不改变图形的 形状和大小。
图形的旋转
在平面内，将一个图形绕一个定 点旋转一定的角度，这样的图形 运动叫做图形的旋转. 这个定点叫旋转中心． 旋转的角度称为旋转角
（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到 A 了什么位置？
解：（1）旋转中心是A；
． M C
E
B D （3）点M转到了AC的中点位置上．
（2）旋转了60度；
1.判断题 一个图形经过旋转 ①图形上的每一个点到旋转中心的距离相等. ②图形上可能存在不动点. ③图形上任意两点的连线与其对应点的连线相等.
想一想
如果旋转中心在△ABC形外，在这个旋转过程中，你 有什么发现？ A
.
O
C
B
旋转的 基本性质
旋转前、后的图形全等. 对应点到旋转中心的距离相等. 每一对对应点与旋转中心 的连线所成的角彼此相等. 图形的旋转是由旋转中心 和旋转的角度决定.
如图：△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过 旋转后到达△ACE的位置． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？
( ( (
) ) )
2、有一种几何图形，它绕某一定点旋转，不论旋转多少度，所 得的图形都与原来的图形完全重合在一起，这种几何图形是（ ） A、正三角形 B、正方形 C、圆 D、正六边形 3、钟表的分针匀速旋转一周需要___________分，它的旋转中心 是__________，经过20分钟，分针旋转了___________度。
旋转的 旋转中心 决定因素： 旋转角度（旋转方向）
实践练习： 日常生活中，我们经常见到以下情景: ①钟表指针的转动；②汽车方向盘的转动； ③打气筒打气时，活塞的运动； ④传送带上瓶装饮料的移动.
其中属于旋转的是
.
如图所示，如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O点按顺 时针方向旋转得到四边形DOEF。在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点A、B分别移到什么位置？ （3）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？ （4）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？再找一个具有这种关 系的角。
3、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O
的直线分别交AD和BC于点E，F，AB=2，BC=3，则图中阴
影部分的面积为______________.
知识点归纳
“四、三、五”
1. 旋转的定义：“四要素” 一个图形、一个定点、一个方向、一个角度. 2. 旋转的性质：“三特点” 对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角； 对应点到旋转中心的距离相等； 旋转不改变图形的形状和大小。 3. 旋转图形的形成描述：“五说明” 基本图形、旋转中心、方向、次数、旋转角. “这个图案可以看成是 绕 按 时针方向旋转 分别旋转 前后的所有图形共同组成的。”
次，
作业
1、必做题： ①P77页，习题3.4 1，2，3, 4, 5 ②整理导学案并完成下一节课导学案中的预 习案。 2、选做题：完成《优化设计》中的本节内容。
C B A E平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向 转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个 定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。
C B A E O D F
旋转不改变图形的 形状和大小。
图形的旋转
在平面内，将一个图形绕一个定 点旋转一定的角度，这样的图形 运动叫做图形的旋转. 这个定点叫旋转中心． 旋转的角度称为旋转角
（3）如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转到 A 了什么位置？
解：（1）旋转中心是A；
． M C
E
B D （3）点M转到了AC的中点位置上．
（2）旋转了60度；
1.判断题 一个图形经过旋转 ①图形上的每一个点到旋转中心的距离相等. ②图形上可能存在不动点. ③图形上任意两点的连线与其对应点的连线相等.
想一想
如果旋转中心在△ABC形外，在这个旋转过程中，你 有什么发现？ A
.
O
C
B
旋转的 基本性质
旋转前、后的图形全等. 对应点到旋转中心的距离相等. 每一对对应点与旋转中心 的连线所成的角彼此相等. 图形的旋转是由旋转中心 和旋转的角度决定.
如图：△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD经过 旋转后到达△ACE的位置． （1）旋转中心是哪一点？ （2）旋转了多少度？
( ( (
) ) )
2、有一种几何图形，它绕某一定点旋转，不论旋转多少度，所 得的图形都与原来的图形完全重合在一起，这种几何图形是（ ） A、正三角形 B、正方形 C、圆 D、正六边形 3、钟表的分针匀速旋转一周需要___________分，它的旋转中心 是__________，经过20分钟，分针旋转了___________度。
旋转的 旋转中心 决定因素： 旋转角度（旋转方向）
实践练习： 日常生活中，我们经常见到以下情景: ①钟表指针的转动；②汽车方向盘的转动； ③打气筒打气时，活塞的运动； ④传送带上瓶装饮料的移动.
其中属于旋转的是
.
如图所示，如果把钟表的指针看作四边形AOBC,它绕O点按顺 时针方向旋转得到四边形DOEF。在这个旋转过程中： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2）经过旋转，点A、B分别移到什么位置？ （3）AO与DO的长有什么关系？BO与EO呢？ （4）∠AOD与∠BOE有什么大小关系？再找一个具有这种关 系的角。
3、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O
的直线分别交AD和BC于点E，F，AB=2，BC=3，则图中阴
影部分的面积为______________.
知识点归纳
“四、三、五”
1. 旋转的定义：“四要素” 一个图形、一个定点、一个方向、一个角度. 2. 旋转的性质：“三特点” 对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角； 对应点到旋转中心的距离相等； 旋转不改变图形的形状和大小。 3. 旋转图形的形成描述：“五说明” 基本图形、旋转中心、方向、次数、旋转角. “这个图案可以看成是 绕 按 时针方向旋转 分别旋转 前后的所有图形共同组成的。”
次，
作业
1、必做题： ①P77页，习题3.4 1，2，3, 4, 5 ②整理导学案并完成下一节课导学案中的预 习案。 2、选做题：完成《优化设计》中的本节内容。