(优选)随机序列的功率谱

GXY ()
RXY
(
)e
j
d
RXY
( )
1
2
G
XY
(
)e
j
d
RXY ( ) GXY ()
Properties of CPSD:
GXY () GY*X ()
Re[GXY ()] is an even function
Im[GXY ()] is an odd function
GXY () 2 GX ()GY ()
11
n
0
2
45
8 9 10
Y(n)
3
n
0
1
2
4
5
图2.15 随机序列的抽取
mY (n) E[Y (n)] E[X (2n)] mX (2n) mX
平稳
RY (n m, n) E[X (2n 2m)X (2n)] RX (2n 2m, 2n) RX (2m)
GY () RY (m)e jm m
RX (2m)e jm
RX (m)e jm / 2
m
m even
Ae
RX (m)e jm / 2 Ao
RX (m)e jm / 2
m even
m odd
Ae Ao GX ( / 2)
Ae Ao GX [( 2 ) / 2]
GY
()
1 2
GX
2
GX
2
2

高频项功率谱出现混叠现象
（优选）第九讲随机序列的功 率谱
维纳－辛钦定理：
RX () GX ()
功率谱是非负的实、偶函数
4. 功率谱密度计算举例
例2.15 随机相位信号
X (t) Acos(0t )
A2 RX () 2 cos 0
GX
()
1 2
A2[(
0
)
(
0 )]
例2.16
GX
(
)
4
2 4 10 2
9
RX
( )
2.5.4 非平稳随机过程的功率谱
Power spectral density of nonstationary process
功率谱的定义
GX
()
E
Tlim
1 2T
X
T
(
)
2
对平稳和非平稳过程都是适应的。但实际中很难根 据上式确定功率谱，对于非平稳过程需要寻找其它 方法。
1. 广义功率谱
GX (1, 2 )
RX
(m)
1
2j
C GX (z)z m1dz
其中C是收敛域内包含平面原点逆时针的闭合围线
RX (m) RX (m) GX (z) GX (z1)
由于 GX(z)的收敛域包含单位圆，因此可以令
z e j
GX (e j ) GX () RX (m)e jm m
2为周期的周期函数
RX
(m)
RX (m) E[ X (n m) X (n)] E{[W (n m) W (n m 1)][W (n) W (n 1)]}
2[2 (m) (m 1) (m 1)]
GX (z) RX (m)zm 2 (2 z z1) m
GX (z) RX (m)zm 2 (2 z z1) m
GX (,t)
E[X (t / 2)X (t / 2)]e jd
E
X (t / 2) X (t / 2)e jd
E WX (t, )
WX (t,)
X (t / 2)X (t / 2)e jd
维格纳分布
4. 时变功率谱的时间平均
GX (,t)
RX
(t
1 2
GX
()e
jmd
RX
(0)
E{X
2 (n)}
1
2
GX ()d
随机序列功率谱的性质 ① 功率谱是实偶函数
GX () GX () GX* () GX ()
GX (z) GX (z1)
②功率谱密度是非负 GX () 0
③如果随机序列的功率谱具有有理谱的形式,那么,
功率谱可以进行谱分解 GX (z) GX (z)GX (z)
功率谱中所有零极 点在单位圆内的那 一部分
功率谱中所有零极 点在单位圆外的那 一部分
z z1 成对出现
z z1
e j
ze j
e j
2cos
GX () f (cos)
例2.17 X (n) W (n) W (n 1)
RW (m) 2 (m)
E[X (n)] E[W (n)] E[W (n 1)] 0
2.6 典型随机过程（Typical Random Process) 1. 白噪声(White Noise)
定义：均值为零，相关函数为 RX (t1,t2 ) V (t1) (t1 t2 )
1 48
(9e
5e3
)
2.5.3互功率谱密度(Cross-Power Spectral Density)
Definition:
GXY ()
E Tlim
1 2T
X
T
(
)YT*
(
)
XT ()
T X (t)e jtdt
T
YT ()
T Y (t)e jtdt
T
Wiener-Khinchin Theorem:
RX
(1,
2
)e
j
(1t1
2t2
)dt1dt2
RX
(1,
2
)
1 (2)2
GX
(1,
2
)e
j (1t1 2t2
) d 1d 2
2. 时变功率谱
RX (t ,t) E[X (t )X (t)]
GX (,t)
RX
(t
,
t
)e
jd
3.维格纳-威利(Wigner-Ville)谱
RX (t ,t) E[X (t / 2)X (t / 2)]
RN
()
1 2
cos
0
(2t
)
cos
0
RX
()
lim
T
1 2T
RX
(t
, t )dt
1 2
RN
() cos
0
GX ()
RX
()e
jd
1 4
GN ( 0 ) GN ( 0 )
2.5.2 随机序列的功率谱
GX (z) RX (m)z m m
a z 1 a
收敛域是一个包含单位圆的环形区域
,
t
)e
jd
GX
()
lim
T
1 2T
T
T GX (, t)dt
不难证明：
RX
()
lim
T
1 2T
T
T RX (, t)dt
GX ()
RX
()e
jd
例2.19
X (t) N(t) cos 0t
RX (t ,t) E{X (t )X (t)}
E{N (t ) cos 0 (t )N (t) cos 0t}
GX () GX (z) |zej 2 (2 e j e j ) 2(1 cos)
例2.18 设X(n)为一个平稳随机序列，在许多信号 处理系统中常做抽取和内插的处理，分析对它做抽 取后，它的平稳性和功率谱密度的变化情况。
解: 抽取 Y (n) X (2n) 扔掉奇数项
X(n)
1
3
67