2012上海市大同中学高三期中试题(答案)2012.11

PDCB A大同中学期中考试数学试卷2012.11.8一、填空题（每小题4分，共56分）1.设{}{}20,1,2,3,|0U A x x mx U ==+=⊆，若{}1,2U A =C ,则实数m =__3-___. 2．221lim31n n n n →∞+-+=13．3．在二项式51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 的项的系数是 5- ．4．如果1cos 3α=,且α是第四象限的角,那么3cos()2πα+= 3-．5．不等式()120x x ->的解集为 ()1,00,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.6．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=0,0,0,2)(x b x x a x x x f 是奇函数，则a b += 2 ．7．把()4cos 3f x x ⎛⎫=+π ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，得到的图像正好关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是3π .8．如图，在平行四边形A B C D 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3A P =，则AP →·AC →＝___18_____.9．已知命题“任意x R ∈，215502x x a -+>”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是____56a >____．10.（理）在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至 少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是__43__.【解析】∵圆C 的方程可化为:()2241x y -+=,∴圆C 的圆心为(4,0),半径为1.∵由题意,直线2y kx =-上至少存在一点00(,2)A x kx -,以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有 公共点；∴存在0x R ∈,使得11A C ≤+成立,即m in 2AC ≤.∵m in A C 即为点C 到直线2y kx =-的距,∴2≤,解得403k ≤≤.∴k 的最大值是43.（文）若直线10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公共点,则实数a 取值范围是31a -≤≤．【解析】圆22()2x a y -+=的圆心(,0)C a 到直线10x y -+=的距离为d ,则1231d r a a ≤=⇔≤⇔+≤⇔-≤≤．11．若函数y x a b =--+和y x c d =-+的图像交于点()2,5M 和()8,3N ，则a c +的值为 .12．(理)已知函数()21log 3xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，正实数,,a b c 成公差为正数的等差数列，且满足()()()0f a f b f c ⋅⋅<及()()()0f a f b f c ++<，若实数0x 是方程()0f x =的一个解，则0,,,x a b c 的大小关系是 0x a b c <<< ．（文）已知函数()21log 3xf x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭，实数a 、b 、c 满足()()()()00f a f b f c a b c ⋅⋅<<<<，若实数0x 是方程()0f x =的一个解，那么下列结论：①0x a <,②0x b >,③0x c <,④0x c >，其中，不可能成立的结论的序号是 ④ ．解析：如图所示，方程f (x )＝0的解即为函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x与y ＝log 2x 的图象交点的横坐标x 0.由实数x 0是方程f (x )＝0的一个解，若x 0>c >b >a >0， 则f (a )>0，f (b )>0，f (c )>0，与已知f (a )f (b )f (c )<0矛盾， 所以，x 0>c 不可能成立，故填④13．（理）已知数列{}n a ，若12132431,,,,,n n a a a a a a a a a ----- 是公比为2的等比数列（1a 是常数），则{}n a 的前n 项和n S 等于 )]2(2[11+-+n a n ．（文）已知函数()()()()210110xx f x f x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，把函数()()g x f x x =-的零点按从小到的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为 *1()n a n n N =-∈ ．14．设函数.)(,3)(2a x x g a ax x x f -=++-=若不存在．．．R x ∈0，使得0)(0<x f 与0)(0<x g 同时成立，则实数a 的取值范围是 []3,6- .二、选择题（每小题5分，共20分）15．从2009名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2009人中剔除9人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2009人中，每人入选的概率（ C ）A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等，且为251006D ．都相等，且为50200316．在空间四边形ABC D 中，AB 、B C 、C D 、D A 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果G H 、EF 交于一点P ，则（ B ） A ．P 一定在直线BD 上 B ．P 一定在直线A C 上C ．P 在直线A C 或BD 上D ．P 既不在直线BD 上，也不在A C 上17．已知a R ∈，复数122,12z ai z i =+=-，若12z z 为纯虚数，则复数12z z 的虚部为 （ A ）A ．1B ． iC ．25D ．018．（理）设225,x z x y z t yt≤≤≤≤≤+则的最小值是（ C ）A ．2B ．12CD4（文）设01x <<，,a b 都为大于零的常数，则221abxx+-的最小值为( B )A ．()2a b -B ．()2a b + C ．22a b D ．2a三、解答题（共74分，各小题依次为12分、14分、14分、16分、18分）19．已知函数()xf x b a =⋅ (其中,a b 为常量且0,1a a >≠)的图象经过点()()1,6,3,24A B ．(1)试确定()f x ；(2)若不等式110x xm a b ⎛⎫⎛⎫+-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(],1x ∈-∞时恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝b ·a x的图象过点A (1,6)，B (3,24)∴⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6 ①b ·a 3＝24 ② ……3分②÷①得a 2＝4，又a >0，且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3，∴f (x )＝3·2x . ……6分 (2)⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x ，g (x )在(－∞，1]上单调递减， ……10分 ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是⎝⎛－∞，56. ……12分20．在A B C ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos 4B =．（1）求2si n 2c o s 2A CB ++的值；（2）若b =A B C ∆面积的最大值.解：（1）因为3cos 4B =，所以sin 4B =. …1分又22πsin 2cos2sin cos cos22A C B B B B +-+=+12sin cos (1cos )2B B B =+-…4分=3244⨯⨯+18=18+. ……7分（2）由已知得2223cos 24a c bB ac+-==，因为b = 所以22332a c ac +-=.…9分又因为223322a c ac ac +=+≥，所以6a c ≤，当且仅当a c ==ac 取得最大值. ……12分此时11sin 62244ABC S ac B ∆==⨯⨯=所以A B C ∆的面积的最大值为4. ………14分21．如图，在四棱锥O A B C D -中，底面A B C D 四边长为1的菱形，4A B C π∠=,OA ABCD ⊥底面, 2O A =,M 为O A 的中点，N 为B C 的中点（1）证明：直线M N OCD 平面‖；（2）求异面直线A B 与M D 所成角的大小； （3）（仅理科生做）求点B 到平面O C D 的距离． 方法一（综合法） （1）取OB 中点E ，连接ME ，NEME CD ME CD ∴ ，‖AB,AB ‖‖ ……2分 又,NE OC MNE OCD ∴ 平面平面‖‖M N OCD ∴平面‖ ……4分（2）CD ‖AB, M D C ∠∴为异面直线A B 与M D 所成的角（或其补角）作,AP CD P ⊥于连接M P ……6分⊥⊥平面A B C D ，∵OA ∴CD MP,42AD Pπ∠=∵∴DP=……8分M D ==1cos ,23D P M D P M D C M D P M Dπ∠==∠=∠=∴所以 A B 与M D 所成角的大小为3π……10分（3）AB 平面∵∴‖OCD,点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP ,过点A 作AQ OP ⊥ 于点Q ，,,,AP CD OA CD CD OAP AQ CD ⊥⊥⊥⊥平面∵∴∴又 ,AQ OP AQ OCD ⊥⊥平面∵∴,线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离…12分2O P ====∵，2AP D P ==2232O A AP AQ O P=== ∴，所以点B 到平面OCD 的距离为23 ……14分方法二(向量法)作AP C D ⊥于点P ,如图,分别以AB,AP ,AO 所在直线为,,x y z 轴建立坐标系，(0,0,0),(1,0,0),(0,0),(0),(0,0,2),(0,0,1),(10)22244A B P D O MN --,(1)(11),(0,,2),(2)4422M N O P O D =--=-=--设平面OCD 的法向量为(,,)n x yz =,则0,0n O P n O D==即2022022y z x y z -=⎪⎨⎪-+-=⎪⎩取z =,解得(0,n =(1,,1)(0,044M N n =--=∵M N OCD∴平面‖4分(2)设A B 与M D 所成的角为θ,(1,0,0),(1)22AB M D ==-- ∵ 6分1c o s ,23AB M D AB M D πθθ===⋅ ∴∴ , A B 与MD 所成角的大小为3π 10分(3)设点B 到平面OCD 的距离为d ,则d 为OB在向量(0,n =上的投影的绝对值,由 (1,0,2)O B =-, 得O B n d n⋅=12分23=.所以点B 到平面OCD 的距离为23．14分22．已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，且c =,Q 为椭圆C 的左顶点.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.(3)（理）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由. （文）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小；解：（1）设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b ab+=>>，且222a b c =+.由题意可知：1b =，c = ………5分所以24a =. 所以，椭圆C 的标准方程为2214xy +=. ………7分（2）由（1）得(2,0)Q -.设1122(,),(,)A x y B x y .（理）当直线l 与x 轴不垂直时，由题意可设直线A B 的方程为6()(0)5y k x k =+≠.由226(),514y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：2222(25100)2401441000k x k x k +++-=. ……8分 因为 点6(,0)5-在椭圆C 的内部，显然0∆>.21222122240,25100144100.25100k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩………10分因为 1122(2,), (2,)QA x y QB x y =+=+ ，116()5y k x =+，226()5y k x =+，所以 1212(2)(2)QA QB x x y y ⋅=+++ 121266(2)(2)()()55x x k x k x =++++⋅+2221212636(1)(2)()4525k x x k x x k =++++++2222222144100624036(1)(2)()402510052510025k kk k k kk-=+++-++=++.所以 Q A Q B ⊥. 所以 QAB ∆为直角三角形. ………………13分假设存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形，则Q A Q B =. 取A B 的中点M ，连接QM ，则QM AB ^. 记点6(,0)5-为N .另一方面，点M 的横坐标122212024225100520M x x kkx kk+==-=-++，所以 点M 的纵坐标266()5520M M k y k x k=+=+.所以 222221016666(,)(,)520520520520k k k Q M N Mkkkk+? ++++222601320(520)kk +=+.所以 Q M与N M 不垂直，矛盾.所以 当直线l 与x 轴不垂直时，不存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形.………16分（文）当直线l 垂直于x 轴时，直线l 的方程为65x =-.由226,514x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得：6,545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或6,54.5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ………10分即6464(,), (,)5555A B ---（不妨设点A 在x 轴上方）.…………12分 则直线AQ 的斜率1A Q k =，直线BQ 的斜率1B Q k =-. 因为 1AQ BQ k k ⋅=-，所以 AQ BQ ^. 所以 2A QB π∠=. …………16分23．已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）. （1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值； （3）当0>a 时，求数列{}n a 的最小项. 解：（1）∵2n a b n n +=∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n n n n b n a 2222=+=(n ≥2)由121a a =+得24a a =，22444b a a =+=+，∵1a ≠-，∴ 20b ≠， 即{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列. ………5分（2）1(44)(21)34(22)221n nn a S a a a -+-=+=--++-当n ≥2时，111(22)234342(22)234(1)234nn n n n S a a a S a a a a ---+--+==++--+--∵}{n S 是等比数列, ∴1-n n S S (n ≥2)是常数，∴043=+a ，即43a =- . ……11分（3）由（1）知当2n ≥时，2(44)2(1)2n nn b a a -=+=+， 所以221(1)(1)2(2)n n a n a a n n +=⎧=⎨+-≥⎩， 1223)12(2)1(,21+>≥+-⋅+=-≥+n n n a a a n nnn n 有 ，n n a a n ≥≥∴+13时显然最小项是前三项中的一项.当1(0,)4a ∈时，最小项为18-a ；当14a =时，最小项为a 4或18-a ；当11(,)42a ∈时，最小项为a 4；当12a =时，最小项为a 4或12+a ；当1(,)2a ∈+∞时，最小项为12+a . ………18分。