2011年高考数学二轮考点专题突破 空间向量与立体几何

ED＝AC－AE· cos 45° ＝2 2－2× 所以 S 四边形 ACDE＝
2＋2 2 × 2＝3. 2
1 PA⊥平面 ABCDE.∴VP－ACDE＝ ×3×2 2＝2 2. 3 12．(2010· 福建)如图圆柱 OO1 内有一个三棱柱 ABC－A1B1C1， 棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且 AB 是圆 O 的 直径． (1)证明：平面 A1ACC1⊥平面 B1BCC1； (2)设 AB＝AA1.在圆柱 OO1 内随机选取一点，记该点取自 于三棱柱 ABC－A1B1C1 内的概率为 p. (ⅰ)当点 C 在圆周上运动时，求 p 的最大值； (ⅱ)记平面 A1ACC1 与平面 B1OC 所成的角为 θ(0° <θ≤90° )．当 p 取最大值时，求 cos θ 的值． 解：解法一：(1)证明：∵A1A⊥平面 ABC，BC⊂平面 ABC，∴A1A⊥BC. ∵AB 是圆 O 的直径，∴BC⊥AC. 又 AC∩A1A＝A，∴BC⊥平面 A1ACC1. 而 BC⊂平面 B1BCC1， 所以平面 A1ACC1⊥平面 B1BCC1. (2)(ⅰ)设圆柱的底面半径为 r，则 AB＝AA1＝2r，故三棱柱 ABC－A1B1C1 的体积 V1
8.设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点，DE⊥AB 于 E(如图)．现将△ADE 沿 DE 折起， 使二面角 A—DE—B 为 45° ，此时点 A 在平面 BC－DE 内的射影恰为点 B，则 M、N
的连线与 AE 所在角的大小等于________． 答案：90°
9.如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，棱长为 a，M，N 分别为 A1B 和 AC 上的点， A1 M＝AN＝ 2a ，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是________．,解析：分别以 C1B1、 3
11． (2010· 山东， 19)如图， 在五棱锥 P－ABCDE 中， PA⊥平面 ABCDE， AB∥CD， AC∥ED， AE∥BC，∠ABC＝45° ，AB＝2 2，BC＝2AE＝4，三角形 PAB 是等腰三角形． (1)求证：平面 PCD⊥平面 PAC ； (2)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的大小； (3)求四棱锥 P－ACDE 的体积
解：(1)证明：在△ABC 中，因为∠ABC＝45° ，BC＝4，AB＝2 2，所以 AC2＝AB2 ＋BC2－2AB· BC· cos45° ＝8， 因此 AC＝2 2.故 BC2＝AC2＋AB2，所以∠BAC＝90° . 又 PA⊥平面 ABCDE，AB∥CD， 所以 CD⊥PA，CD⊥AC. 又 PA、AC⊂平面 PAC，且 PA∩AC＝A， 所以 CD⊥平面 PAC，又 CD⊂平面 PCD， 所以平面 PCD⊥平面 PAC. (2)解法一：因为△PAB 是等腰三角形，所以 PA＝AB＝2 2，因此 PB＝ PA2＋AB2＝ 4. 又 AB∥CD. 所以点 B 到平面 PCD 的距离等于点 A 到平面 PCD 的距离． 由于 CD⊥平面 PAC，在 Rt△PAC 中，PA＝2 2，AC＝2 2，所以 PC＝4. 故 PC 边上的高为 2，此即为点 A 到平面 PCD 的距离． 所以 B 到平面 PCD 的距离为 h＝2. 设直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 θ， π h 2 1 π 0， ，所以 θ＝ . 则 sin θ＝ ＝ ＝ ，又 θ∈ 2 PB 4 2 6
选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A、B、C 三点共线， ∴ｋAB＝ｋAC，
23 m3 . 1 3 2 2 2
解得 m=
1 . 2
说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解. ［例 3］已知两点 A(－1,－5),B(3,－2),直线 l 的倾斜角是直线 AB 倾斜角的一半，求直线 l 的斜率. 选题意图：强化斜率公式. 解：设直线 l 的倾斜角α ，则由题得直线 AB 的倾斜角为 2α .
1 ＝ AC· BC· 2r＝AC· BC· r. 2 又∵AC2＋BC2＝AB2＝4r2， AC2＋BC2 ∴AC· BC≤ ＝2r2， 2 当且仅当 AC＝BC＝ 2r 时等号成立． 从而，V1≤2r3. V1 2r3 1 而圆柱的体积 V＝πr2· 2r＝2πr3，故 p＝ ≤ 3＝ ，当且仅当 AC＝BC＝ 2r，即 V 2πr π 1 OC⊥AB 时等号成立．所以，p 的最大值等于 . π
所以 D(－ 2，2 2，0)． → → 因为CP＝(0，－2 2，2 2)，CD＝(－ 2，0,0)
→ → 设 m=（x，y，z）是平面 PCD 的一个法向量，则 m· CP＝0，m· CD＝0，解得 x＝0， y＝z， → 取 y=1，得 m=（0，1，1） ，又BP＝(－2 2，0,2 2)， → 设 θ 表示向量BP与平面 PCD 的法向量 m 所成的角，
解：(1)在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中， ∵A1A⊥底面 ABCD， ∴AC 是 A1C 在平面 ABCD 上的射影． ∵BD⊥AC，∴BD⊥A1C. (2)如图所示，以 D 为坐标原点，DA、DC、DD1 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴 建立空间直角坐标系．
连结 A1E、C1E、A1C1，与(1)同理可证 BD⊥A1E，BD⊥C1E. ∴∠A1EC1 为二面角 A1－BD－C1 的平面角， 3 3 由 A1(2,0， 3)，C1(0,2 3， 3)，E ， ，0， 2 2
7.如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，∠ACB＝90° ，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是________．,解析：以 C 为坐标原点，CA、CB、CC1 所在 直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，A1(1,0,2)，B(0,1，0)，A(1,0,0)，C(0,0,0)，,
C1D1，C1C 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系．,
∵A1M＝AN＝
2 a 2 a，,∴M a，3a，3， 3
2 2 N 3a，3a，a，
答案：平行 三、解答题
10.如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AD＝2，DC＝2 3，AA1＝ 3，AD⊥ DC，AC⊥BD，E 为垂足． (1)求证：BD⊥A1C； (2)求二面角 A1－BD－C1 的大小； (3)求异面直线 AD 与 BC1 所成角的余弦．
V1 2r3 1 V1≤2r3.而圆柱的体积 V＝πr2· 2r＝2πr3，故 p＝ ≤ 3＝ ，当且仅当 sin 2α＝1 即 α V 2πr π 1 ＝45° 时等号成立．所以，p 的最大值等于 . π (ⅱ)同解法一． 解法三：(1)同解法一． (2)(ⅰ)设圆柱的底面半径为 r，则 AB＝AA1＝2r.故圆柱的体积 V＝πr2· 2r＝2πr3. V1 因为 p＝ ，所以当 V1 取得最大值时，p 取得最大值． V 又因为点 C 在圆周上运动，所以当 OC⊥AB 时，△ABC 的面积最大．进而，三棱柱 1 ABC－A1B1C1 的体积 V1 最大，且其最大值为 · 2r· r· 2r＝2r3. 2 1 故 p 的最大值为 . π ［例 1］求经过两点 P1（2，1）和 P2（m，2） （m∈R)的直线 l 的斜率，并且求出 l 的倾 斜角α 及其取值范围. 选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式. 解：(1)当 m=2 时，x1＝x2＝2，∴直线 l 垂直于 x 轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α =
解法二：由(1)知 AB、AC、AP 两两相互垂直，分别以 AB、AC、AP 为 x 轴、y 轴、 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由于△PAB 是等腰三角形， 所以 PA＝AB＝2 2， 又 AC＝2 2，因此 A(0,0,0)，B(2 2，0,0)，C(0,2 2，0)，P(0，0,2 2)， 因为 AC∥ED，CD⊥AC， 所以四边形 ACDE 是直角梯形． 因为 AE＝2，∠ABC＝45° ，AE∥BC， 所以∠BAE＝135° ，因此∠CAE＝45° ， 故 CD＝AE· sin 45° ＝2× 2 ＝ 2， 2
，
不存在实数 x、y 使假设成立，故②正确． ③中若加入 x＋y＋z＝1 则结论正确，故③错误． 答案：B 2．在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，给出以下向量表达式：
答案：A
∴∠DBC 是锐角．同理可证∠DCB，∠BDC 都是锐角． ∴△BCD 是锐角三角形． 答案：B
2 4．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中 E、F 分别在 A1D、AC 上，且 A1E＝ A1D， 3 1 AF＝ AC，则 3 A．EF 至多与 A1D、AC 之一垂直 B．EF 是 A1D、AC 的公垂线 C．EF 与 BD1 相交 D．EF 与 BD1 异面 解析：设 AB＝1，以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直 线为 y 轴，DD1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系．则 A1(1,0,1)， 1 1 D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E 3，0，3， ( )
取 z＝1，得平面 B1OC 的一个法向量为 n＝(0，－2,1)．
解法二：(1)同解法一． (2 )(ⅰ)设圆柱的底面半径为 r，则 AB＝AA1＝2r，故三棱柱 ABC－A1B1C1 的体积 V1 1 ＝ AC· BC· 2r＝AC· BC· r. 2 设∠BAC＝α(0° <α<90° )，则 AC＝ABcos α＝2rcos α，BC＝ABsin α＝2rsin α，由于 AC· BC＝4r2sin αcos α＝2r2sin 2α≤2r2，当且仅当 sin 2α＝1 即 α＝45° 时等号成立．故
π 因此直线 PB 与平面 PCD 所成的角为 6 (3)因为 AC∥ED，CD⊥AC， 所以四边形 ACDE 是直角梯形． 因为 AE＝2，∠ABC＝45° ，AE∥BC， 所以∠BAE＝135° ，因此∠CAE＝45° ， 故 CD＝AE· sin 45° ＝2× 2 ＝ 2， 2 2 ＝ 2， 2