广东省揭阳一中、潮州金山中学2013届高三联合摸底考试数学(理)试题
【纯word版】广东省揭阳一中2013届高三第三次模拟试题数学理试题Word版含答案
2012-2013学年度高三理科数学测试题一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．在复平面内，复数2(1)1ii i+-+对应的点位于 Ａ.第一象限 Ｂ.第二象限 Ｃ.第三象限 Ｄ.第四象限A ．B ．C ．D ．3．已知集合P = {x | x (x +1)≥0}，Q = {x | 11x -＜0}，则P ∩Q 等于 A ． {x |x ＜1}B ．{x |x ≤-1}C ．{x |x ≥0或x ≤-1}D ．{x | 0≤x ＜1或x ≤-1}4．已知,αβ是两个不同的平面，,,l m n 是不同的直线，下列命题不正确．．．的是 A ．若,,,,l m l n m n αα⊥⊥⊂⊂则l α⊥B ．若//,,,l m l m αα⊂⊂/则//l αC ．若,,,,l m m l αβαβα⊥=⊂⊥则m β⊥D ．若,,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥5．已知实数列-1,x,y,z,-2成等比数列,则xyz 等于 Ks5uA.-4B.4±C.-D.±6．男女生共8人，从中任选3人，出现2个男生，1个女生的概率为1528，则其中女生人数是 A ．2人B ．3人C ．4人D ．2人或3人7．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点(1,0),A -则||||PF PA 的最小值是 A.12B.2C.2D.38．设2m ≥，点)(y x P ，为1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域内任意一点，)50(-，M ，O 为坐标原点，)(m f 为OM ⋅的最小值，则)(m f 的最大值为A ．310- B ．103C ．0D ．2二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答9．已知向量(21,4)c x →=+，(2,3)d x →=-，若//c d →→，则实数x 的值等于 ．．10．不等式|2x －log 2x|＜2x ＋|log 2x|的解集为 11．设20lg 0()30a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))27f f =，则a = ．12．设()sin()4f x x π=+，若在[]0,2x π∈上关于x 的方程()f x m =有两个不等的实根12,x x ，则12x x +的值为13．如图所示的流程图，根据最后输出的变量S 具有的数值，则S 的末位数字是__________．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．如图，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于A ，B ，且PB ＝7，C 是圆上一点使得BC ＝5，∠BAC ＝∠APB ，则AB ＝________.15．在极坐标系中，圆4cos ρθ=上的点到直线(sin cos )2ρθθ-=的最大距离为 .三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的一系列对应值如下表：（1）求()f x 的解析式；（2）若在ABC ∆中，2AC =，3BC =，1()2f A =-（A 为锐角），求ABC ∆的面积．17．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人独立参加某企业的招聘考试，根据三人的专业知识、应试表现、工作经验等综合因素，三人被招聘的概率依次为211,,.323用ξ表示被招聘的人数。
广东揭阳2013高三第二次模拟试题-数学理(word解析版)(精)
2013年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•揭阳二模）已知全集U=R，，则∁U A=（）A．[0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0]考点：其他不等式的解法；补集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：求函数的定义域求得A，再利用补集的定义求得则∁U A．解答：解：集合A即函数y=的定义域，由2x﹣1≥0，求得x≥0，A=[0，+∞），故∁U A=（﹣∞，0），故选B．点评：本题主要考查对数不等式的解法，求集合的补集，属于基础题．2．（5分）（2013•揭阳二模）若（1+2ai）i=1﹣bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A．B． C． D．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：首先进行复数的乘法运算，根据复数相等的充要条件，得到复数的实部和虚部分别相等，得到a，b的值，求出复数的模长．解答：解：∵（1+2ai）i=1﹣bi，∴i﹣2a=1﹣bi∴﹣2a=1，b=﹣1∴a=﹣，b=﹣1∴|a+bi|=故选C．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算和复数的求模，本题解题的关键是求出复数中的字母系数，本题是一个基础题．3．（5分）（2013•揭阳二模）已知点A（﹣1，5）和向量=（2，3），若，则点B的坐标为（）A．（7，4）B．（7，14）C．（5，4）D．（5，14）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），求得x、y的值，即可求得点B的坐标．解答：解：设B（x，y），由得（x+1，y﹣5）=（6，9），故有，解得，故选D．点评：本题主要考查两个向量的坐标形式的运算，属于基础题．4．（5分）（2013•揭阳二模）在等差数列{a n}中，首项a1=0，公差d≠0，若a m=a1+a2+…+a9，则m的值为（）A．37 B．36 C．20 D．19考点：数列的求和；等差数列．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式可得a m=0+（m﹣1）d，利用等差数列前9项和的性质可得a1+a2+…+a9=9a5=36d，二式相等即可求得m的值．解答：解：∵{a n}为等差数列，首项a1=0，a m=a1+a2+…+a9，∴0+（m﹣1）d=9a5=36d，又公差d≠0，∴m=37，故选A．点评：本题考查等差数列的通项公式与求和，考查等差数列性质的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．5．（5分）（2013•揭阳二模）一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为（）A．7 B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：通过三视图复原的几何体，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．解答：解：依题意可知该几何体的直观图如图示，其体积为正方体的体积去掉两个三棱锥的体积．即：，故选D．点评：本题考查几何体与三视图的关系，考查空间想象能力与计算能力．6．（5分）（2013•揭阳二模）已知函数，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的图象．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．解答：解：令g（x）=x﹣ln（x+1），则，由g'（x）＞0，得x＞0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，由g'（x）＜0得﹣1＜x＜0，即函数g（x）在（﹣1，0）上单调递减，所以当x=0时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，于是对任意的x∈（﹣1，0）∪（0，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，因函数g（x）在（﹣1，0）上单调递减，则函数f（x）在（﹣1，0）上递增，故排除C，故选A．点评：本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．7．（5分）（2013•揭阳二模）某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁四名应届大学毕业生安排到该市三所不同的学校任教，每所学校至少安排一名，其中甲、乙因属同一学科，不能安排在同一所学校，则不同的安排方法种数为（）A．18 B．24 C．30 D．36考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：间接法：先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数共有•种，去掉甲乙被分在同一所学校的情况共有种即可．解答：解：先计算四名学生中有两名分在一所学校的种数，可从4个中选2个，和其余的2个看作3个元素的全拍列共有•种，再排除甲乙被分在同一所学校的情况共有种，所以不同的安排方法种数是•﹣=36﹣6=30故选C．点评：本题考查排列组合及简单的计数问题，属中档题．8．（5分）（2013•揭阳二模）设f（x）是定义在（0，1）上的函数，对任意的y＞x＞1都有，记，则=（）A．B．C．D．考点：数列的求和；抽象函数及其应用．专题：等差数列与等比数列．分析：依题意，可求得an=f（）﹣f（），利用累加法即可求得故a i=f（）﹣f（），逆用已知条件即可得到答案．解答：解：因an=f（）=f（）=f（）﹣f（），故a i=a1+a2+…+a8=f（）﹣f（）+f（）﹣f（）+…+f（）﹣f（）=f（）﹣f（）=f（）=f（），故选C．点评：本题考查抽象函数及其应用，求得a n=f（）﹣f（）是关键，也是难点，考查观察与推理能力，属于中档题．二、填空题：本大题共5小题，考生作答6小题，每小题5分，满分25分．（一）必做题（9-13题）9．（5分）（2013•揭阳二模）若点（a，﹣1）在函数的图象上，则的值为．考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：将x=a，y=﹣1代入函数解析式中求出a的值，将a的值代入所求式子中计算即可求出值．解答：解：将x=a，y=﹣1代入函数解析式得：﹣1=，解得：a=3，则tan=tan=tan（π+）=tan=．故答案为：点评：此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有：对数的运算性质，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（2013•河东区二模）过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是4x﹣3y﹣20=0．考点：双曲线的简单性质．专题：函数的性质及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线方程，可得右焦点的坐标为F（5，0），且经过一、三象限的渐近线斜率为k=．由平行直线的斜率相等，可得所求的直线方程的点斜式，再化成一般式即可．解答：解：∵双曲线的方程为∴a2=9，b2=16，得c==5因此，该双曲线右焦点的坐标为F（5，0）∵双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线经过一、三象限的渐近线斜率为k=∴经过双曲线右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是y=（x﹣5）化为一般式，得4x﹣3y﹣20=0．故答案为：4x﹣3y﹣20=0点评：本题给出双曲线方程，求经过一个焦点并且平行于渐近线的直线方程，考查了直线的方程、直线的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．11．（5分）（2013•揭阳二模）某个部件由两个电子元件按图（2）方式连接而成，元件1或元件2正常工作，则部件正常工作，设两个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：概率与统计．分析：先根据正态分布的意义，两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为p=，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”，利用其对立事件求其概率即可．解答：解：两个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502），得：两个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为p=，则该部件使用寿命超过1000小时的概率为：p 1=1﹣（1﹣p）2=．故答案为：．点评：本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题．12．（5分）（2013•揭阳二模）已知函数f（x）=4|a|x﹣2a+1．若命题：“∃x0∈（0，1），使f （x0）=0”是真命题，则实数a的取值范围为．考点：特称命题；命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）是单调函数，在（0，1）上存在零点，应有f（0）f（1）＜0，解不等式求出数a的取值范围．解答：解：由：“∃x0∈（0，1），使f（x0）=0”是真命题，得：f（0）•f（1）＜0⇒（1﹣2a）（4|a|﹣2a+1）＜0或⇒．故答案为：点评：本题考查函数的单调性、单调区间，及函数存在零点的条件．13．（5分）（2013•揭阳二模）已知点P（x，y）满足，则点Q（x+y，y）构成的图形的面积为2．考点：二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：设点Q（u，v），则x+y=u，y=v，可得，点Q的可行域为平行四边形OMN及其内部区域，数形结合求得点Q（u，v）构成的区域的面积．解答：解：令x+y=u，y=v，则点Q（u，v）满足，在平面内画出点Q（u，v）所构成的平面区域如图，它是一个平行四边形，一边长为1，高为2，故其面积为2×1=2．故答案为：2．点评：本题考查线性规划，可行域不是的图形的面积的求法，正确画出可行域是解题的关键，考查计算能力、作图能力．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（5分）（2013•揭阳二模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，O为极点，直线l过圆C：的圆心C，且与直线OC垂直，则直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：计算题．分析：先求已知圆的圆心的极坐标，再根据直线l过圆C：的圆心C且与直线OC垂直，即可求得直线l的极坐标方程．解答：解：把化为直角坐标系的方程为x2+y2=2x+2y，圆心C的坐标为（1，1），与直线OC垂直的直线方程为x+y﹣2=0，化为极坐标系的方程为ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．故答案为：ρcosθ+ρsinθ﹣2=0或．点评：本题重点考查曲线的极坐标方程，考查极坐标与直角坐标之间的互化，属于基础题．15．（2013•揭阳二模）如图所示，C，D是半圆周上的两个三等分点，直径AB=4，CE⊥AB，垂足为E，BD与CE相交于点F，则BF的长为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用圆的性质、含30°角的直角三角形的性质即可得出．解答：解：∵C，D是半圆周上的两个三等分点，∴∠DBA=30°，连接AD，则∠ADB=90°，∴AD=2，过点D作DG⊥AB于G，在Rt△ADG中，∠ADG=30°，∴AG==1．则AG=BE=1，∴=．故答案为．点评：熟练掌握圆的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）（2006•北京）已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域；（Ⅱ）设α是第四象限的角，且，求f（α）的值．考点：三角函数的定义域；弦切互化．分析：（1）由cosx≠0得出x取值范围得出答案．（2）通过tanα=﹣，求出sina=﹣，cosa=，代入函数式．解答：（1）解：∵依题意，有cosx≠0∴解得x≠kp+，∴f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠kp+，k∈Z}（2）解：∵=﹣2sinx+2cosx∴f（α）=﹣2sina+2cosa∵α是第四象限的角，且∴sina=﹣，cosa=∴f（α）=﹣2sina+2cosa=点评：本题主要考查三角函数的定义域的问题．属基础题．17．（12分）（2013•揭阳二模）某批产品成箱包装，每箱5件．一用户在购进该批产品前先取出3箱，设取出的3箱中，第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．（1）在取出的3箱中，若该用户从第三箱中有放回的抽取3次（每次一件），求恰有两次抽到二等品的概率；（2）在取出的3箱中，若该用户再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，用ξ表示抽检的6件产品中二等品的件数，求ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）设随机变量ξ表示“3次抽取抽到次品的件数”，则ξ～B，利用二项分布即可得出；（2）利用超几何分布即可得到概率．进而得到分布列和数学期望．解答：解：（1）设A表示事件“从第三箱中有放回地抽取3次（每次一件），恰有两次取到二等品”，依题意知，每次抽到二等品的概率为，故．（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）=+=，P（ξ=3）==．ξ的分布列为ξ0 1 2 3P数学期望为Eξ=1×+2×+3×=1.2．点评：熟练掌握二项分布、超几何分布及分布列和数学期望是解题的关键．18．（14分）（2013•揭阳二模）数列{a n}中，a1=3，a n+1=a n+cn（c是常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（1）求c的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）求最小的自然数n，使a n≥2013．考点：数列递推式；等比数列的通项公式；等比关系的确定．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）表示出a2，a3，由a1，a2，a3成等比数列可得关于c的方程，解出即得c值，注意检验；（2）利用累加法可求得a n，注意检验n=1时是否满足；（3）代入通项公式可把a n≥2013变为关于n的不等式，解出n的范围，然后检验取其最小值即可；解答：解：（1）a1=3，a2=3+c，a3=3+3c，∵a1，a2，a3成等比数列，∴（3+c）2=3（3+3c），解得c=0或c=3．当c=0时，a1=a2=a3，不符合题意舍去，故c=3．=（n﹣1）c，（2）当n≥2时，由a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，…a n﹣a n﹣1得．又a 1=3，c=3，∴．当n=1时，上式也成立，∴．（3）由a n≥2013得，即n2﹣n﹣1340≥0，∵n∈N*，∴，令n=37，得a37=2001＜2013，令n=38得a38=2112＞2013，∴使a n≥2013成立的最小自然数n=38．点评：本题考查等比数列的通项公式、用递推式、累加法求通项公式等知识，属中档题．19．（14分）（2013•揭阳二模）在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A﹣EF﹣C，如图（2）所示，其中（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF﹣ADE的体积；（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；（3）当θ=900且．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．考点：用空间向量求直线间的夹角、距离；棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）利用已知条件即可得到EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．再利用三棱柱的体积计算公式即可得出；（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连接M1N1，可证明四边形MNN1M1为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；证法二：点M作MG⊥EF交EF于G，可证平面MNG∥平面BCF，利用面面平行的性质定理即可证明；（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，得∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，利用余弦定理求出即可；证法二：建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出．解答：解：（1）依题意得EF⊥DE，EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．由θ=45°得，，∴．（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连接M1N1，∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1又∵，∴MM 1=NN1∴四边形MNN1M1为平行四边形，∴MN∥N1M1，又MN⊄面BCF，N1M1⊂面BCF，∴MN∥面BCF．证法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连接NG，则，∴NG∥CF．又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF，∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，∴∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，∵θ=900且．∴，∴，﹣﹣﹣﹣∴．即MN与AC所成角的余弦值为．证法二：∵θ=900且．分别以FE、FB、FC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．，∴，所以与AC所成角的余弦值为．点评：熟练掌握线面垂直的判定定理、三棱柱的体积计算公式、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理、异面直线所成的角的定义、余弦定理、通过建立空间直角坐标系利用两条异面直线的方向向量的夹角求得异面直线的夹角．20．（14分）（2013•揭阳二模）如图已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点作倾斜角为的直线t，交l于点A，交圆M于点B，且|AO|=|OB|=2．（1）求圆M和抛物线C的方程；（2）设G，H是抛物线C上异于原点O的两个不同点，且，求△GOH面积的最小值；（3）在抛物线C上是否存在两点P，Q关于直线m：y=k（x﹣1）（k≠0）对称？若存在，求出直线m的方程，若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程；抛物线的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由|AO|=2，=OAcos60°可求得p，从而可求得抛物线C的方程；继而可求得圆M的半径r，从而可求其方程；（2）设G（x 1，y1），H（x2，y2），由•=0得x1x2+y1y2=0，由=4x1，=4x2，可求得x1x2=16，利用三角形的面积公式，结合基本不等式即可求得△GOH面积的最小值；（3）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x0，y0），利用P （x 3，y3），Q（x4，y4）在抛物线C上，=4x3，=4x4，两式相减可求得y0=﹣2k，最后利用D（x0，y0）在m：y=k（x﹣1）（k≠0）上即可知点D（x0，y0）在抛物线外，从而可得答案．解答：解：（1）∵，即p=2，∴所求抛物线的方程为y2=4x﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴设圆的半径为r，则，∴圆的方程为（x﹣2）2+y2=4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）设G（x1，y1），H（x2，y2），由•=0得x1x2+y1y2=0，∵=4x 1，=4x2，∴x1x2=16，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∵=，∴=•=（+）（+）=，=[+4x 1x2（x1+x2）+16x1x2]≥[+4x 1x2•2+16x1x2]=256∴≥16，当且仅当x 1=x2=2时取等号，∴△GOH面积最小值为16．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（3）设P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线m对称，且PQ中点D（x0，y0）∵P（x3，y3），Q（x4，y4）在抛物线C上，∴=4x 3，=4x4，两式相减得：（y3﹣y4）（y3+y4）=4（x3﹣x4）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴y 3+y4=4•==﹣4k，∴y0=﹣2k∵D（x0，y0）在m：y=k（x﹣1）（k≠0）上∴x0=﹣1＜0，点D（x0，y0）在抛物线外﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）∴在抛物线C上不存在两点P，Q关于直线m对称．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查圆的标准方程与抛物线的标准方程，考查基本不等式及点差法，突出抽象思维能力与运算能力的考查，属于难题．21．（14分）（2013•揭阳二模）设函数在上的最大值为a n （n=1，2，…）．（1）求a 1，a 2的值；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）证明：对任意n ∈N *（n ≥2），都有成立．考点：数列与函数的综合；数列的函数特性．专题：计算题；证明题；等差数列与等比数列．分析： （1）解法一：通过函数的导数，判断函数的单调性，求出最大值即可求a 1，a 2的值； 解法二：利用函数的导数，求出函数的最值，推出a 1，a 2的值．（2）利用（1）解法求出n ≥3时函数的最大值，即可求数列{a n }的通项公式；（3）利用分析法以及二项式定理直接证明：对任意n ∈N *（n ≥2），都有成立．解答： 解：（1）解法1：∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）当n=1时，f 1'（x ）=（1﹣x ）（1﹣3x ） 当时，f 1'（x ）≤0，即函数f 1（x ）在上单调递减， ∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）当n=2时，f 2'（x ）=2x （1﹣x ）（1﹣2x ） 当时，f 2'（x ）≤0，即函数f 2（x ）在上单调递减， ∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）【解法2：当n=1时，，则当时，f 1'（x）≤0，即函数f1（x）在上单调递减，∴，当n=2时，，则=2x（1﹣x）（1﹣2x）当时，f 2'（x）≤0，即函数f2（x）在上单调递减，∴】（2）令f n'（x）=0得x=1或，∵当n≥3时，且当时f n'（x）＞0，当时f n'（x）＜0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）故f n（x）在处取得最大值，即当n≥3时，=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）当n=2时（*）仍然成立，综上得﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）当n≥2时，要证，只需证明，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∵∴对任意n∈N*（n≥2），都有成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评： 本题考查数列与函数的导数的应用，考查分析问题解决问题的能力，数列通项公式的求法，二项式定理的应用，考查计算能力转化思想的应用．。
广东省揭阳一中、潮州金山中学2013届高三联合摸底考试数学(理)试题1
广东省揭阳一中、潮州金山中学2013届高三上学期联合摸底考试数学（理）试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
）1．若集合2{|23},{|1,},M x x N y y x x R M N =-<<==+∈ 则集合=A ．(2,)-+∞B ．（—2，3）C ．[1，3）D ．R2．设i 是虚数单位，复数12ai i +-为纯虚数，则实数a 的值为A ．2B ．—2C ．12-D ．123．设310(),(6)[(5)]10x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则f 的值为A ．8B ．7C ．6D ．5 4．"0"m n >>是方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．1B ．3C ．6D ．26．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为A ．1B ．12C ．14D ．18 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，且222,90,cos cos b a ac c C A A C =-+-=︒=则A ．14B ．—14C ．24D ．—248．对于非空集合A ，B ，定义运算：{|,}A B x x A B x A B ⊕=∈∉ 且,已知M={|},{|},x a x b N x c x d <<=<<其中a 、b 、c 、d 满足a+b=c+d,ab<cd<0,则M ⊕N=A ．(a,d)(,)b cB ．(,][,)c a b dC ．(,)(,)c a b dD ．(,][,)a c d b二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
广东省揭阳一中、金山中学高三数学第三次模拟联考 理
数学( 理科 )一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知函数()f x =的定义域为M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N 等于（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|1}x x <C ．{|11}x x -<<D ．∅2．若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b 等于（ ）A ．2B ．12C ．12-D ．2-3．若函数21()sin ()2f x x x R =-∈，则()f x 是（ ） A ．最小正周期为2π的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数4．已知向量(1,)a n =，(1,)b n =-，若2a b -与b 垂直，则a 等于（ ）A ．1BC ．2D ．45．曲线xy e =在点2(2,)e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．294eB ．22eC ．2eD ．22e6．已知某本个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）A ．340003cm B ．380003cm C ．32000cmD ．34000cm侧视图7．设1F 、2F 分别是双曲线2219y x -=的左、右焦点，若点P 在双曲线上，且120PF PF ⋅=，则12PF PF +等于（ ）AB．CD．8．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。
设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h 、2h 、h ，则12::h h h 等于（ ） AB2:2 C2:D2二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共30分，其中9—13题为必做题，14、15为选做题，考生只选做一题） 9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,),(0)N σσ>，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为 。
广东揭阳第一中学第一学期高三阶段考试数学试题
2012-2013学年度广东揭阳第一中学第一学期高三阶段考试数学试题一、选择题（单项选择题，每小题5分，共50分） 1．复数22i z i-=+（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集21{|log ,1},{|,2}U y y x x P y y x x==>==>，则U C P = A ．1[,)2+∞ B ．1(0,)2C ．(0,)+∞D ．1(,0][,)2-∞+∞3．”“22≤≤-a 是“实系数一元二次方程012=++ax x 有虚根”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．要得到函数2sin 2y x =的图像，只需要将函数3sin 2cos 2y x x =-的图像A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向右平移12π个单位5．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则该数列前11项和11S =A ．58B ．88C ．143D ．1766．若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是A ．6B ．5C ．245D ．2857．在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则A =A ．060B ．0150C ． 030D ．01208．在ABC ∆所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是A ．13 B ．12 C ． 34 D ．23二、填空题（每小题5分，共20分） 9．计算：tan 20tan 40tan120tan 20tan 40++=_______________．10．已知点P 的坐标(,)x y 满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+≤+-.01,2553,034x y x y x 及(2,0)A ，则OA OP ⋅（O 为坐标原点）的最大值是 _ ．11．已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是__________．12．在ABC 中，3AB BC ⋅=，ABC ∆的面积33[,]2S ∈，则AB 与BC 夹角的取值范围是_________．13．在数列{}n a 中，22()n a n n R λλ=-∈，若{}n a 是单调递增数列，则λ的取值范围为___________．14．已知不等式21log 04m x x --<在2(0,)2x ∈时恒成立，则m 的取值范围是___________．三、解答题（共6大题，共80分，写出详细解答过程）15．设{}n a 是公比q 大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37S =，且1233,3,4a a a ++构成等差数列。
揭阳市2013年高中毕业班第一次高考模拟考试试题
主视图绝密★启用前揭阳市2013年高中毕业班第一次高考模拟考试试题数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y L 的回归方程为：y bx a ∧=+其中1122211()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x x x nx====---==--∑∑∑∑， 1212,n nx x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+==，a y bx =-．b 是回归方程得斜率，a 是截距．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数12,z z 在复平面内对应的点分别为(0,1),(1,3)A B -，则21z z = A ．13i -+ B ．3i-- C ．3i + D ．3i -2．已知集合2{|log (1)}A x y x ==+，集合1{|(),0}2xB y y x ==>，则A B I = A ．(1,)+∞ B ．(1,1)-C ．(0,)+∞D ．(0,1) 3．在四边形ABCD 中，“AB DC =uu u r uuu r ，且0AC BD ⋅=u u u r”是“四边形ABCD 是菱形”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．当4x π=时，函数()sin()(0)f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数3()4y f x π=- A ．是奇函数且图像关于点(,0)2π对称 B ．是偶函数且图像关于点(,0)π对称C ．是奇函数且图像关于直线2x π=对称 D ．是偶函数且图像关于直线x π=对称5．一简单组合体的三视图及尺寸如图(1)示（单位: cm ） 则该组合体的体积为．俯视图A. 720003cmB. 640003cmC. 560003cm D. 440003cm 1） 6．已知等差数列{}n a 满足，18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为A.20B.21C.22D.237．在图（2）的程序框图中，任意输入一次(01)x x ≤≤与(01)y y ≤≤， 则能输出数对(,)x y 的概率为 A ．14 B ．13 C ．34 D ． 238．已知方程sin xk x=在(0,)+∞有两个不同的解,αβ（αβ<），则下面结论正确的是： A ．1tan()41πααα++=- B ．1tan()41πααα-+=+ C ．1tan()41πβββ++=- D ．1tan()41πβββ-+=+ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）9．计算：1122log sin15log cos15+o o = ．10．若二项式(n x 的展开式中，第4项与第7项的二项式系数相等，则展开式中6x 的系数为 ．(用数字作答)11．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据（单位均为cm ）如上表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：101()()577.5iii x x y y =--=∑，1021()82.5i i x x =-=∑；某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5cm ，则估计案发嫌疑人的身高为 cm ．12．已知圆C 经过直线220x y -+=与坐标轴的两个交点，且经过抛物线28y x =的焦点，则圆C 的方程为 ．13．函数()f x 的定义域为D ，若对任意的1x 、2x D ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤，则称函数()f x 在D上为“非减函数”．设函数()g x 在[0,1]上为“非减函数”，且满足以下三个条件：（1）(0)0g =；（2）1()()32xg g x =；（3）(1)1()g x g x -=-,则(1)g = 、5()12g = ．D C B A EFMNPFEA BCD图（3）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C ：ρ=2C ：cos(ρθ2C 的距离等的点的个数为 ．15．(几何证明选讲选做题)如图（3）所示，AB 是⊙O 的直径，过圆上一点E 作切线ED ⊥AF ，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .若CB =2， CE =4，则AD 的长为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足sin cos c A C =． （1）求角C 的大小； （2sin()2A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．17. （本小题满分12分）根据公安部最新修订的《机动车驾驶证申领和使用规定》：每位驾驶证申领者必须通过《科目一》（理论科目）、《综合科》（驾驶技能加科目一的部分理论）的考试.已知李先生已通过《科目一》的考试，且《科目一》的成绩不受《综合科》的影响，《综合科》三年内有5次预约考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾驶证，不再参加以后的考试，否则就一直考到第5次为止.设李先生《综合科》每次参加考试通过的概率依次为0.5，0.6，0.7，0.8，0.9．（1）求在三年内李先生参加驾驶证考试次数ξ的分布列和数学期望； （2）求李先生在三年内领到驾驶证的概率.18．（本小题满分14分）如图（4），在等腰梯形CDEF 中，CB 、DA 是梯形的高，2AE BF ==，AB =现将梯形沿CB 、DA 折起，使//EF AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图（5）示，已知,,M N P 分别为,,AF BD EF 的中点．（1）求证：//MN 平面BCF ；（2）求证： AP ⊥DE ； （3）当AD 多长时，平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60？ 图（4） 图（5）19．（本小题满分14分）如图（6），设点)0,(1c F -、)0,(2c F 分别是椭圆)1(1:222>=+a y ax C的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且12PF PF ⋅uuu r uuu r最小值为0． （1）求椭圆C 的方程；（2）若动直线12,l l 均与椭圆C 相切，且12//l l ，试探究在x 轴上是 否存在定点B ，点B 到12,l l 的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 坐标； 若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分14分）已知函数()(0,1xf x x x ααα=>+为常数)，数列{}n a 满足：112a =，1()n n a f a +=，*n N ∈． （1）当1α=时，求数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的条件下，证明对*n N ∀∈有：12323412(5)12(2)(3)n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=++L ；（3）若2α=，且对*n N ∀∈，有01n a <<，证明：118n n a a +-<． 21．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴． （1）确定a 与b 的关系；（2）试讨论函数()g x 的单调性；（3）证明：对任意*n N ∈，都有()211ln 1ni i n i =-+>∑成立．揭阳市2013年高中毕业班高考第一次模拟考数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一．选择题：CDCC BBDC 解析： 4．依题意可得3()sin 4y f x A x π=-=-，故选C. 5．由三视图知，该组合体由两个直棱柱组合而成，故其体积360401020405064000()V cm =⨯⨯+⨯⨯=，故选B.6．由81358a a =得115(7)8(12)a d a d +=+1361d a ⇒=-，由1(1)n a a n d =+- 113(1)()061a n a =+--≥6412133n ⇒≤=,所以数列{}n a 前21项都是正数，以后各项都是负数，故n S 取最大值时，n 的值为21，选B.7．依题意结合右图易得所求的概率为：120121133x dx -=-=⎰，选D.8．解析：sin |sin |x k x kx x =⇒=，要使方程sin (0)xk k x=>在(0,)+∞有两个不同的解，则|sin |y x =的图像与直线(0)y kx k =>有且仅有三个公共点，所以直线y kx =与|sin |y x =在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭内相切，且切于点(,sin )ββ-，由sin cos tan βββββ--=⇒=，1tan()41πβββ+∴+=-，选C二．填空题：9.2；10.9； 11.185.5；12. 22115()()222x y -+-=[或2220x y x y +---=]；13.1（2分）、12（3分）；14.3；15. 245. 解析：10.根据已知条件可得：36369n n C C n =⇒=+=， 所以(n x +的展开式的通项为39921991()2rr rrr r r T C xC x --+==，令39622r r -=⇒=，所以所求系数为2291()92C =.11.回归方程的斜率1011021()()577.5782.5()iii ii x x y y b x x ==--===-∑∑，24.5x =，171.5y =，截距0a y bx =-=，即回归方程为7y x ∧=，当26.5x =，185.5y ∧=， 12．易得圆心坐标为11(,)22，半径为r =, 故所求圆的方程为22115()()222x y -+-=【或2220x y x y +---=. 】13．在（3）中令x=0得(0)1(1)0g g =-=，所以(1)1g =，在（1）中令1x =得111()(1)322g g ==，在（3）中令12x =得11()1()22g g =-，故11()22g =，因1513122<<，所以151()()()3122g g g ≤≤，故51()122g=． 14．将方程ρ=cos()4πρθ+化为直角坐标方程得222x y +=与20x y --=，知1C 为圆心在坐标原点，半径为 2C 为直线，因圆心到直线20xy --=3n =15．设r 是⊙O 的半径．由2CE CA CB =⋅，解得r =3.由CO OE CA AD =解得245AD =. 三．解答题：16．解：（1）由sin cos c A C =结合正弦定理得，sin sin a cA C==----2分从而sin C C =，tan C =-----------------------------------------------4分 ∵0C π<<，∴3C π=；--------------------------------------------------------------6分（2）由（1）知23B A π=--------------------------------------------------------------7分sin()cos 2A B A B π-+=----------------------------------------8分 2cos()3A A π=--22cos cos sin sin 33A A A ππ=--------9分1cos 2A A =+sin()6A π=+--------------10分∵203A π<<，∴5666A πππ<+<当62A ππ+=sin()2A B π-+取得最大值1，------------------------------11分此时,33A B ππ==．-----------------------------------------------------------------------12分17.解. (1) ξ的取值为1,2,3,4，5. -------------------------------1分 (1)0.5P ξ==,(2)(10.5)0.60.3P ξ==-⨯=(3)(10.5)(10.6)0.70.14P ξ==-⨯-⨯=(4)(10.5)(10.6)(10.7)0.80.048P ξ==-⨯-⨯-⨯=(5)(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)0.012P ξ==-⨯-⨯-⨯-=--------------------6分【或(5)1(1)(2)(3)(4)0.012P P P P P ξξξξξ==-=-=-=-==】∴ξ的分布列为：∴10.520.330.1440.04850.012E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1.772--------10分FMNPFEABCD（2）李先生在三年内领到驾照的概率为：1(10.5)(10.6)(10.7)(10.8)(10.9)0.9988P =--⨯-⨯-⨯-⨯-=-----------------12分18．（1）证明：连AC ，∵四边形ABCD 是矩形，N 为BD 中点，∴N 为AC 中点，--------------------------------------------------------------1分 在ACF ∆中，M 为AF 中点，故//MN CF --------------------------3分 ∵CF ⊂平面BCF ，MN ⊄平面BCF ，//MN ∴平面BCF ；---4分（其它证法，请参照给分） （2）依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且AB AE A =I ∴AD ⊥平面ABFE∵AP ⊂平面ABFE ，∴AP AD ⊥，------------------5分 ∵P 为EF中点，∴FP AB ==结合//AB EF ，知四边形ABFP 是平行四边形∴//AP BF ，2AP BF ==----------------------------------------------------7分而2,AE PE ==222AP AE PE += ∴90EAP ∠=，即AP AE ⊥-----8分又AD AE A =I ∴AP ⊥平面ADE ，∵DE ⊂平面ADE ， ∴AP ⊥DE .------------------------------------------------9分 （3）解法一：如图，分别以,,AP AE AD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系 设(0)AD m m =>，则(0,0,0),(0,0,),(0,2,0),(2,0,0)A D m E P易知平面ADE 的一个法向量为(2,0,0)AP =u u u r，-----------10分设平面DEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0n PE n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uur r uuu r故22020x y y mz -+=⎧⎨-=⎩，即020x y y mz -=⎧⎨-=⎩ 令1x =，则21,y z m ==，故2(1,1,)n m =r ----------------------------------------11分∴cos ,||||AP n AP n AP n ⋅<>==uu u r ruu u r r uu u r r ，12=，m =，-------------------------------------------------------13分即AD =CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60．------------------------14分 【解法二：过点A 作AM DE ⊥交DE 于M 点，连结PM ，则,DE PM ⊥∴AMP ∠为二面角A-DE-F 的平面角，---------------------------------------------------------11分由AMP ∠=600，AP=BF=2得AM tan 60AP ==o，-------------------------------------12分 又AD AE AM DE ⋅=⋅得2AD =，解得AD =AD =CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角为60．----14分】 19.解：（1）设),(y x P ，则有),(1y c x P F +=，),(2y c x P F -=-------------1分[]a a x c x aa c y x PF PF ,,11222222221-∈-+-=-+=⋅ -----------------2分 由12PF PF ⋅uuu r uuu r 最小值为0得210122=⇒=⇒=-a c c ，-------------------3分∴椭圆C 的方程为1222=+y x ．---------------------------------------------4分 （2）①当直线12,l l 斜率存在时，设其方程为,y kx m y kx n =+=+--------------------5分 把1l 的方程代入椭圆方程得222(12)4220k x mkx m +++-=∵直线1l 与椭圆C 相切，∴2222164(12)(22)0k m k m ∆=-+-=，化简得2212m k =+-------------------------------------------------------------------------------------7分同理，2212n k =+-----------------------------------------------------------------------------8分 ∴22m n =，若m n =，则12,l l 重合，不合题意，∴m n =------------------------9分 设在x 轴上存在点(,0)B t ，点B 到直线12,l l 的距离之积为1，则1=，即2222||1k t m k -=+，--------------------------------------10分 把2212k m +=代入并去绝对值整理，22(3)2k t -=或者22(1)0k t -=前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的k R ∈恒成立则210t -=，解得1t =±；----------------------------------------------------------------------12分②当直线12,l l斜率不存在时，其方程为x =x =---------------------------13分定点(1,0)-到直线12,l l的距离之积为1)1=； 定点(1,0)到直线12,l l的距离之积为1)1=；综上所述，满足题意的定点B 为(1,0)-或(1,0) --------------------------------------------14分 20．解：（1）当1α=时，1()1n n n na a f a a +==+，两边取倒数，得1111n n a a +-=，----2分 故数列1{}n a 是以112a =为首项，1为公差的等差数列， 11nn a =+，11n a n =+，*n N ∈．------------------------------------------------------------4分（2）证法1：由（1）知11n a n =+，故对1,2,3...k = 121(1)(2)(3)k k k a a a k k k ++=+++111[]2(1)(2)(2)(3)k k k k =-++++-------------6分∴12323412......n n n a a a a a a a a a +++++1111111[()()...]223343445(1)(2)(2)(3)n n n n =-+-++-⨯⨯⨯⨯+⨯+++ 111[]223(2)(3)n n =-⨯++(5)12(2)(3)n n n n +=++．----------------------------------------9分． [证法2：①当n=1时，等式左边1123424==⨯⨯，等式右边1(15)112(12)(13)24⨯+==⨯+⨯+，左边=右边，等式成立；-----------------------------------------------------------------5分 ②假设当(1)n k k =≥时等式成立，即12323412(5)......12(2)(3)k k k k k a a a a a a a a a k k ++++++=++，则当1n k =+时12323412123(5)1......12(2)(3)(2)(3)(4)k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a k k k k k ++++++++++=++++++32(5)(4)129201212(2)(3)(4)12(2)(3)(4)k k k k k k k k k k k k ++++++==++++++2(1)4(1)(23)(1)(2)(6)(1)[(1)5]12(2)(3)(4)12(2)(3)(4)12[(1)2][(1)3]k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++===++++++++++ 这就是说当1n k =+时，等式成立，-------------------------------------------------------8分 综①②知对于*n N ∀∈有：12323412(5)......12(2)(3)n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=++．----9分]（3）当2α=时，122()1nn n na a f a a +==+ 则12221(1)11n nn n n n n n na a a a a a a a a ++-=-=-++，---------------------------------------------10分 ∵01n a <<， ∴2122111(1)()121n n n nn n n n n na a a a a a a a a a +++-+-=-≤⋅++--------------------------------11分 2114(1)2(1)2n n n a a a +=⋅+-++1124121nn a a =⋅++-+14≤=--------------------13分 ∵1n n a a =-与211n n a a +=+不能同时成立，∴上式“=”不成立， 即对*n N ∀∈，118n n a a +-<．-----------------------------------------------------------14分 【证法二：当2α=时，122()1nn n na a f a a +==+， 则3122211n n nn n n n na a a a a a a a +--=-=++----------------------------------------------------10分 又122(0,1),1,1n n n n a a a a +∈∴=>+Q *11,[,1),2n n n a a a n N +∴>∴∈∈------------------------------------------------------------------11分令321(),[,1),12x x g x x x -=∈+则422241(),(1)x x g x x --+'=+------------------------------------12分 当1[,1),()0,2x g x '∈<所以函数()g x 在1[,1)2单调递减，故当3211()1322[,1),()12101()2x g x -∈≤=<+所以命题得证----------- ks5u ------------------14分】 【证法三：当2α=时，122()1nn n na a f a a +==+，*11221(0,1),1,,[,1),12n n n n n n n a a a a a n N a a ++∈∴=>∴>∴∈∈+Q -------------------------11分 11112222112212()11(1)(1)n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a --+-----=-=⋅-++++ 1112211124222()()1125(1)(1)22n n n n n n a a a a a a ----⋅<⋅-=-<-++∴数列1{}n n a a +-单调递减，1212121312121081()2n n a a a a +⋅∴-≤-=-=<+， 所以命题得证------------------------------------------------------------------------------------------14分】21．解：（1）依题意得2()ln g x x ax bx =++，则1'()2g x ax b x=++ 由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++= ∴21b a =---------------------------------------------------------------------------3分（2）由（1）得22(21)1'()ax a x g x x-++=(21)(1)ax x x --=----------------------4分∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞∴当0a ≤时，210ax -<在(0,)+∞上恒成立，由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >，即函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；-------------------------------5分当0a >时，令'()0g x =得1x =或12x a =， 若112a <，即12a >时，由'()0g x >得1x >或102x a <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在1(0,)2a ，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a单调递减；-----------------6分 若112a >，即102a <<时，由'()0g x >得12x a >或01x <<，由'()0g x <得112x a<<， 即函数()g x 在(0,1)，1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a单调递减；------------7分 若112a =，即12a =时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥， 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，------------------------------------------------------------------8分综上得：当0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减； 当102a <<时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,)2a 单调递减；在1(,)2a+∞上单调递增； 当12a =时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， 当12a >时，函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增，在1(,1)2a单调递减；在(1,)+∞上单调递增． -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分（3）证法一：由（2）知当1a =时，函数2()ln 3g x x x x =+-在(1,)+∞单调递增，2ln 3(1)2x x x g ∴+-≥=-，即2ln 32(1)(2)x x x x x ≥-+-=---，------------11分 令*11,x n N n =+∈，则2111ln(1)n n n+>-，-------------------------------------12分2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++- 2222111111111111ln[(1)(1)(1)...(1)]...123112233n n n∴++++++>-+-+-++- 即()211ln 1n i i n i =-+>∑---------------------------------------------- ks5u -----------------------------14分【证法二：构造数列{}n a ，使其前n 项和ln(1)n T n =+，则当2n ≥时，111ln()ln(1)n n n n a T T n n -+=-==+，------ks5u-----------------------11分 显然1ln 2a =也满足该式， 故只需证221111ln(1)n n n n n -+>=---------------------------------------------------------12分 令1x n=，即证2ln(1)0x x x +-+>，记2()ln(1)h x x x x =+-+，0x > 则11(21)'()12120111x x h x x x x x x+=-+=-+=>+++， ()h x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0h x h >=， ∴221111ln(1)n n n n n-+>=-成立，2222111111111111ln(1)ln(1)ln(1)...ln(1)...123112233n n n∴++++++++>-+-+-++- 即()211ln 1n i i n i =-+>∑．----------------------------------------------------------------------------14分】 【证法三：令211()ln(1)i n i i n n i ϕ==-=+-∑， 则2(1)()ln(2)ln(1)(1)n n n n n n ϕϕ+-=+--++2111ln(1)11(1)n n n =+-++++----10分 令11,1x n =++则(1,2]x ∈，*11,,1x n N n =-∈+ 记22()ln (1)(1)ln 32h x x x x x x x =--+-=+-+-----------------------12分 ∵1(21)(1)()230x x h x x x x--'=+-=>∴函数()h x 在(1,2]单调递增， 又(1)0,(1,2],()0,h x h x =∴∈>当时即(1)()0n n ϕϕ+->，∴数列()n ϕ单调递增，又(1)ln 20ϕ=>，∴()211ln 1n i i n i =-+>∑----------------------14分】。
广东省揭阳市第一中学、潮州市金山中学高三数学5月联考(三模)试题理
俯视图24121侧视图4224正视图121图 1广东省揭阳市第一中学、潮州市金山中学高三数学5月联考（三模）试题理理科数学试题一、选择题：(本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．) 1．设集合1|282x S x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭,{|T x x a =<或2}x a >+，S T R ⋃=,则a 的取值范围为（ ） A ．()1,1- B ．[]1,1-C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．(][),11,-∞-⋃+∞2. 已知函数31,0()13,0x xx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数是（ ） A ．偶函数，且单调递增 B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减 3．某空间几何体的三视图如图 1所示，则此几何体的体积为（ ）A.14πB.103πC.163πD.223π4. 设直线::(0)l ykx m m,双曲线22:1169x y C -=()0,0a b >>,则“34k =±”是“直线l 与双曲线C 恰有一个公共点“的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件 5．若变量,x y 满足约束条件2040330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，且48z x y =+的最大值为（ ）A. 21B. 23C. 28D. 31 6．图 2是一个算法的流程图，则输出S 的值是( ). A.2012 B.2013 C.2014 D.20157．在一次数学测试(满分为150分)中，某校2000名考生的分数X 近似服从正态分布N (100,σ2)．据统计，分数在100~110分段的考生共440人，估计分数在90分以上的考生大概有( )人．A.560B.880C.1120D. 1440图 2i<2014cos12i i a π=+8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b ∀∈Z ，都有22a b S -∈，则称S 是一个“好集”，已知S 是一个“好集”，下面命题为假命题．．．的是： A ．一切奇数都属于S B ．偶数42()k k Z -∈都不属于S C ．若,x y S ∈，则xy S ∈ D ．若,x y S ∈，则x y S +∈二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．) （一）必做题：(第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答.) 9．不等式237x x -++≥的解集是 .10．若复数z 满足22i z i ⋅=+，则在复平面内，z 的共轭复数对应的点坐标是 . 11. 已知()1,2a =-,()1,b λ=,且a 与b 的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是 .12. 设{}n a 为递减的等比数列，其中q 为公比，前n 项和n S ，且{}123,,a a a ⊆{4,3,2,0,---}1,2,3,4，则841S q =- . 13．袋中有5个球，其中有彩色球2个．甲、乙二人先后依次从袋中取球，每次取后不放回，规定先取出彩色球者获胜．则甲获胜的概率为 .（以整数比作答）（二）选做题：(第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．)14. (坐标系与参数方程选做题) 曲线C 的参数方程为，133x t y t⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（t为参数），则此曲线的极坐标方程为 .15. (几何证明选讲选做题) 如图 3，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D ．过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ，4AF =，1FB =，2EF =，则线段AC 的长为 ．三、解答题：（本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16.（本题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为,a b c 、、已知2,4a b c -==，sin 2sin A B =．（1）求△ABC 的面积； （2）求cos(2)A B -．图 317．（本题满分12分）某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表 1是甲流水线样本频数分布表，图 4是乙流水线样本的频率分布直方图．（1）根据上表数据在答题卡上作出甲流水线样本的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试估计从乙流水线上任取5件产品，恰有3件产品为合格品的概率； （3）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关” ． 附：下面的临界值表供参考：甲流水线 乙流水线合计合格品a =b = 不合格品c =d =合 计n = (参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)18．（本题满分14分）如错误!未找到引用源。
广东省揭阳一中、潮州金山中学2013-2014学年高三上学期期中联考文数学试卷(带word解析)
广东省揭阳一中、潮州金山中学2013-2014学年高三上学期期中联考文数学试卷（带word 解析）第I 卷（选择题）1．已知{}|10A xx =+>,{}2,1,0,1B =--，则()RA B = ð（ ）A ．{}2,1--B ．{}2-C ．{}1,0,1-D ．{}0,1 【答案】A【解析】试题分析：{}{}101A x xxx =+>=>- ，{}1R A x x ∴=≤-ð，(){}2,1R A B ∴=-- ð，故选A.考点：集合的基本运算 2．()2121ii +=- （ ）A ．112i --B ．112i -+ C ．112i +D ．112i -【答案】B 【解析】 试题分析：()2121211221ii i i i ++==-+--，故选B. 考点：复数的四则运算3．设p 、q 是简单命题，则“p 或q 是假命题” 是 “非p 为真命题”的 （ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：因为命题“p 或q 是假命题”，故命题p 和q 都是假命题，从而“非p ”为真命题；另一方面，“非p ”为真命题，只能说明命题p 为假命题，不能保证命题q 的真假性，从而命题“p 或q ”的真假性不确定，故“p 或q 是假命题” 是 “非p 为真命题”的充分而不必要条件，故选A.考点：1.简单的逻辑联结词；2.充分必要条件 4．函数()()1lg 11f x x x=++- 的定义域是 （ ） A.(),1-∞- B.()1,+∞ C.()()1,11,-+∞ D.(),-∞+∞【答案】C 【解析】试题分析：自变量x 满足1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且1x ≠，故函数()()1lg 11f x x x=++- 的定义域是 ()()1,11,-+∞ ，故选C.考点：函数的定义域5．已知向量()1,1m λ=+ ，()2,2n λ=+ ，若()()m n m n +⊥-，则λ=（ ）A.4-B.3-C.2-D.1-【答案】B 【解析】试题分析：()()m n m n +⊥- ，()()0m n m n ∴+⋅-= ，即22m n = ，所以()()22221122λλ++=++，即263λλ=-⇒=-，故选B.考点：1.向量的垂直；2.向量的数量积6．函数()()3xf x x e =-⋅的单调递增区间是（ ）A.(),2-∞B.()0,3C.()1,4D.()2,+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：()()3x fx x e =-⋅ ，()()()32x x x f x e x e x e '∴=+-⋅=-⋅，令()0f x '>，即20x ->，解得2x >，故函数()f x 的单调递增区间为()2,+∞，故选D. 考点：利用导数求函数的单调区间 7．如果1tan 20131tan αα+=-，那么1ta n 2cos2αα+= （ ）A.2010B.2011C.2012D.2013 【答案】D 【解析】 试题分析：()()()222222221tan 1cos sin 2tan 1tan 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan 1tan 1tan 1tan αααααααααααααα+++++=+==----+1tan 20131tan αα+==-，故选D.考点：1.二倍角；2.弦化切8．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，则OA OM ⋅的取值范围是（ ）A.[]1,0-B.[]0,1C.[]0,2D.[]1,2- 【答案】C 【解析】试题分析：OA OM x y ⋅=-+，令z x y =-+，则z 为直线:l z x y =-+在y 轴上的截距，作出不等式组212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩所表示的平面区域如下图所示，作直线:l z x y =-+，当直线l 经过平面区域内的点()1,1A ，此时，直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 111z =-+=；当直线l 经过平面区域内的点()0,2B ，此时直线l 在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max022z =-+=，故OA OM ⋅的取值范围是[]0,2，故选C.考点：1.线性规划；2.平面向量的数量积 9．下列说法，正确的是（ ） A. 对于函数()1f x x=，因为()()110f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,1-内必有零点B. 对于函数()2f x x x =-，因为()()120f f -⋅>，所以函数()f x 在区间()1,2-内没有零点C. 对于函数()32331f x x x x =-+-，因为()()020f f ⋅<，所以函数()f x 在区间()0,2内必有零点D. 对于函数()3232f x x x x =-+，因为()()130f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,3-内有唯一零点【答案】C 【解析】试题分析：函数()1f x x=的图象在区间()1,1-不是连续的，另一方面，当10x -<<，()0f x <，当01x <<时，()0f x >，故函数()f x 在区间()1,1-内无零点，故选项A 错误；令()0f x =，可得0x =或1x =，故()f x 在区间()1,2-内有两个零点，选项B 错误；由于函数()32331f x x x x =-+-的图象在区间()0,2内连续，且()()020f f ⋅<，所以函数()f x 在区间()0,2内必有零点，选项C 正确；对于函数()3232f x x x x =-+，因为()()130f f -⋅<，所以函数()f x 在区间()1,3-内有零点，另一方面，令()0f x =，即32320x x x -+=，即()()120x x x --=，解得0x =，1x =或2x =，即函数()f x 在区间()1,3-内有三个零点，选项D 错误，综上所述，选C.考点：零点存在定理10．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[],a b 上的两个函数，若函数()()y f x g x =-在[],x a b ∈上有两个不同的零点，则称()f x 和()g x 在[],a b 上是“关联函数”，区间[],a b 称为“关联区间”．若()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是“关联函数”，则m 的取值范围为（ ）A.9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦B.[]1,0-C.(],2-∞-D.9,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：令()()0f x g x -=，得()()fx g x =，即2342x x x m -+=+，即254m x x =-+，若函数()234f x x x =-+与()2g x x m =+在[]0,3上是“关联函数”，则问题转化为直线y m =与曲线254y x x =-+在区间[]0,3上有两个交点，在同一坐标系中作出直线y m =与曲线254y x x =-+在区间[]0,3图象，由图象知，当924m -<≤-时，直线y m =与曲线254y x x =-+在区间[]0,3上有两个交点，故选A.考点：1.新定义；2.函数的零点第II 卷（非选择题）11．在ABC ∆中，若3a =，b =，3A π∠=，则C ∠的大小为_________.【答案】2π 【解析】试题分析：由正弦定理的sin 11sin sin sin 232a b b A B A B a =⇒===，a b > ，A B ∴>，故6B π∠=，因此()362C A B πππππ⎛⎫∠=-∠+∠=-+=⎪⎝⎭. 考点：1.正弦定理；2.三角形的内角和定理12．如果等差数列{}n a 中，35712a a a ++=，那么129a a a +++ 的值为 . 【答案】36 【解析】 试题分析：357553124a a a a a ++==⇒= ，()19129599362a a a a a a +∴+++=== .考点：等差数列的性质13．已知函数()3sin 2f x x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象为C ，则下列说法： ①图象C 关于点(),0π对称； ②图象C 关于直线1112x π=对称； ③函数()f x 在区间51212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向左平移6π个单位长度可以得到图象C ．其中正确的说法的序号为 . 【答案】②③ 【解析】试题分析：()3sin 23sin 033f ππππ⎛⎫=-=-=≠ ⎪⎝⎭ ，故图象C 不关于点(),0π对称，命题①错误；111133sin 23sin 3121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x取到最小值，故图象C 关于直线1112x π=对称，命题②正确；当51212x ππ-<<，2232x πππ-<-<，故函数()f x 在区间51212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数，命题③正确；将函数3sin 2y x =图象向左平移6π个单位长度得到函数()3sin 26h x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，而不是曲线C ，故命题④错误.综上所述，正确的命题序号是②③.考点：1.三角函数的对称性；2.三角函数的单调性；3.三角函数图象变换 14．已知函数()()40,0af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值，则a =__________. 【答案】36 【解析】试题分析：当0x >，0a >时，由基本不等式得()4a f x x x =+≥=当且仅当4ax x=，即当x =()f x 336a =⇒=.考点：基本不等式15．已知函数()()2sin cos cos 2f x x x x x R =+∈. （1）求()f x 的最小正周期和最大值；（2）若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan 2θ的值.【答案】（1）函数()f x 的最小正周期为π2）tan 2θ=. 【解析】试题分析：（1）先将函数解析式化简为()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后根据相应公式求出函数()f x 的最小正周期与最大值；（2）先利用83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求出cos2θ的值，然后利用已知条件确定2θ的取值范围，进而确定sin 2θ的正负，并利用平方关系求出sin 2θ的值，最终求出tan 2θ的值.试题解析：（1）()2sin cos cos 2sin 2cos 224f x x x x x x x π⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭， 22T ππ∴==，即函数()f x 的最小正周期为π，()max f x =()f x；（2）22288423f ππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1cos 23θ∴=， θ 为锐角，所以02πθ<<，故02θπ<<，因此sin 20θ>，sin 2θ∴===sin 2tan 23cos 23θθθ∴===考点：1.三角函数的周期性与最值；2.同角三角函数的基本关系16．设函数()cos f θθθ=+，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(),P x y ，且0θπ≤≤.（1）若点P的坐标为12⎛ ⎝⎭，求()f θ的值；（2）若点(),P x y 为平面区域1:11x y x y +≥⎧⎪Ω≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值.【答案】（1）()2f θ=；（2）()max 2f θ=，()min 1f θ=. 【解析】试题分析：（1）先利用定义求出sin θ和cos θ的值，然后代入()f θ的表达式中求出()f θ的值；（2）先利用线性规划所表示的可行域求出角θ的取值范围，并将()f θ的表达式化为()2sin 6f πθθ⎛⎫∴=+⎪⎝⎭，结合角θ的取值范围求出6πθ+的取值范围，利用正弦函数的图象确定函数()f θ的最小值和最大值.试题解析：（1）由三角函数的定义知1cos 2θ=，sin 2θ=()1cos 222f θθθ∴=+=+=； （2）作出平面区域M （即三角形区域ABC ），如图所示，其中()1,0A 、()1,1B 、()0,1C ，于是02πθ≤≤，又()cos 2sin 6f πθθθθ⎛⎫∴=+=+⎪⎝⎭，且2663πππθ≤+≤， 当62ππθ+=时，即3πθ=时，()max 23f f πθ⎛⎫==⎪⎝⎭， 当66ππθ+=时，即0θ=时，()()min 01f f θ==.考点：1.三角函数的定义；2.三角函数的最值；3.线性规划 17．设函数()323a f x x bx cx d =+++（其中0a >），且方程()90f x x '-=的两个根分别为1、4.（1）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （2）若()f x 在(),-∞+∞无极值点，求a 的取值范围.【答案】（1）()32312f x x x x =-+；（2）实数a 的取值范围是[]1,9.【解析】试题分析：（1）先将3a =代入函数()f x 的解析式，利用“曲线()y f x =过原点”先求出d 的值，然后求出二次函数()()9g x f x x '=-的解析式，利用“1、4为二次方程()90f x x '-=的两个根”并结合韦达定理求出b 、c 的值，最终确定函数()f x 的解析式；（2）先利用“1、4为二次方程()90f x x '-=的两个根”并结合韦达定理确定b 、c 与a 的关系，然后求出()f x '，对0a =与0a ≠进行分类讨论，将()f x 在(),-∞+∞无极值点进行转化，对0a =进行检验；当0a ≠时，得到0∆≤，从而求出实数a 的取值范围.试题解析：（1）当3a =时，()32f x x bx cx d =+++，由于曲线()y f x =过原点，则有()00f d ==，()32f x x bx cx ∴=++，()232f x x bx c '∴=++，令()()()29329g x f x x x b x c '=-=+-+，由题意知，1、4是二次函数()g x 的两个零点，由韦达定理得291433b b -+=-⇒=-， 14123cc ⨯=⇒=，()32312f x x x x ∴=-+； （2）()()()2929g x f x x ax b x c '=-=+-+，由于1、4是二次函数()g x 的两个零点，由韦达定理得2914b a -+=-，14ca⨯=， 解得952a b -=，4c a =，()3295432a a f x x x ax d -∴=+++， ()()2954f x ax a x a '∴=+-+，当0a =时，()9f x x '=，令()0f x '=，解得0x =，当0x <时，()0f x '<，当0x >，()0f x '>，此时0x =为函数()f x 的极小值点，不合乎题意；故0a ≠，由于函数()f x 在(),-∞+∞无极值点，则()295440a a a ∆=--⨯⨯≤，即()()9549540a a a a ---+≤，化简得()()9190a a --≤，解得19a ≤≤， 故实数a 的取值范围是[]1,9. 考点：1.导数；2.韦达定理 18．已知函数()()1ln f x a x a R x=-∈. （1）当1a =-时，试确定函数()f x 在其定义域内的单调性； （2）求函数()f x 在(]0,e 上的最小值；（3）试证明：()111 2.718,n e e n N n +*⎛⎫+>=∈ ⎪⎝⎭.【答案】（1）当1a =-时，函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（2）()()min11,1ln ,aea e ef x a a a a e -⎧≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）先求出函数()f x 的定义域求出，然后将1a =-代入函数()f x 的解析式，求出导数()f x '，并利用导数求出函数()f x 的减区间与增区间 ；（2）求出()f x '，并求出方程()0f x '=的1x a =-，对a 的符号以及1a-是否在区间(]0,e 内进行分类讨论，结合函数()f x 的单调性确定函数()f x 在(]0,e 上的最小值；（3）利用分析法将不等式111n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭等价转化为11ln 1n n n +>+，然后令1n x n +=，将原不等式等价转化为1ln 1x x+>在()1,+∞，利用（1）中的结论进行证明. 试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =-时，()1ln f x x x =+，则()22111x f x x x x-'=-+=， 解不等式()0f x '<，得01x <<；解不等式()0f x '>，得1x >，故函数()f x 的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞；（2）()1ln f x a x x =- ，()211a ax f x x x x+'∴=--=-， 当0a ≥时，()0,x e ∀∈，()0f x '<，此时函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减， 函数()f x 在x e =处取得最小值，即()()min 11ln ae f x f e a e e e -==-=； 当0a <时，令()10f x x a '=⇒=-， 当1e a -≥时，即当10a e-≤<，()0,x e ∀∈，()0f x '<，此时函数()f x 在区间(]0,e 上单调递减，函数()f x 在x e =处取得最小值，即()()min 11ln ae f x f e a e e e-==-=； 当10e a <-<，即当1a e <-时，当10x a <<-，()0f x '<，当1x e a -<<时，()0f x '>，此时函数()f x 在1x a =-处取得极小值，亦即最小值， 即()()min 11ln ln f x f a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-=---=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 综上所述，()()min 11,1ln ,ae a e e f x a a a a e -⎧≥-⎪⎪=⎨⎪-+-<-⎪⎩；（3）要证不等式111n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即证不等式()11ln 11n n ⎛⎫++> ⎪⎝⎭，即证不等式11ln 11n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭， 即证不等式11ln1n n n +>+， 令111n x n n +==+，则12x <≤ 则11n x =-，故原不等式等价于111ln 1111x x x x x ->==-+-， 即不等式1ln 10x x+->在(]1,2上恒成立， 由（1）知，当1a =-时，函数()1ln f x x x =+在区间()1,+∞上单调递增， 即函数()f x 在区间(]1,2上单调递增，故()()11f x f >=， 故有1ln 1x x +>，因此不等式1ln 10x x+->在(]1,2上恒成立，故原不等式得证， 即对任意n N *∈，111n e n +⎛⎫+> ⎪⎝⎭.考点：1.利用导数求函数的单调区间；2.函数的最值；3.分析法证明不等式。
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广东省揭阳一中、潮州金山中学
2013届高三上学期联合摸底考试
数学（理）试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
）
1．若集合2{|23},{|1,},M x x N y y x x R M N =-<<==+∈ 则集合=
A ．(2,)-+∞
B ．（—2，3）
C ．[1，3）
D ．R
2．设i 是虚数单位，复数
12ai i +-为纯虚数，则实数a 的值为
A ．2
B ．—2
C ．12-
D ．12
3．设310(),(6)[(5)]10x x f x f f x x -≥⎧=⎨
+<⎩则f 的值为
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5 4．"0"m n >>是方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．1
B ．3
C ．6
D ．2
6．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为
A ．1
B ．12
C ．14
D ．18 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a,b,c ，且
222,90,cos cos b a ac c C A A C =-+-=︒=则
A ．14
B ．—14
C D
8．对于非空集合A ，B ，定义运算：{|,}A B x x A B x A B ⊕=∈∉ 且,已知
M={|},{|},x a x b N x c x d <<=<<其中a 、b 、c 、d 满足a+b=c+d,ab<cd<0,则M ⊕N=
A ．(a,d)(,)b c
B ．(,][,)c a b d
C ．(,)(,)c a b d
D ．(,][,)a c d b
二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。
）
（一）必选题（第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答）
9
．若函数()()f x f x =则的定义域是 . 10．已知x ，y 满足约束条件500
,240x y x y z x y y ++≤⎧⎪-≤=+⎨⎪≤⎩
则 的最小值是 .
11．如图，2
22:4O x y π+=内的余弦函数cos y x =的图像与x 轴围成的区域记为M （图中
阴影部分），随机向圆内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是 .
12．已知双曲线22
221x y a b
+=的一个焦点与抛线线24y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等
，则该双曲线的方程的 .
13．已知正项等比数列{}n a 满足：7652,a a a =+若存在两
项
14,4,m n a a a m n
=+则的最小值为 . （二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题，两道题都做的，只记第一题的分）
14．（内何证明选讲选做题）如图，A 、E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC=3，A D ⊥BC,垂
足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为 .
15．（坐标系与参数方程选做题）已知直线
4,12cos :():322sin x t x l t C y t y θθ
=-+=-+⎧⎧⎨⎨=+=+⎩⎩为参数与圆（θ 为参数）
的公共点个数为 个
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤。
16．（本小题满分12分）
已知向量(4,5cos ),(3,4tan ),(0,),2a b a b πααα==-∈⊥ ，求： （1）||a b ⊥ ；
（2）(2)4cos π
α+的值.
17．某市为办好一次文化旅游节，组委会准备在A 高校和B 高校分别招募8名和12名志愿者，
将送20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ），若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有B 高校的“高个子”才能担任“兼职导游”。
（1）根据志愿者的身高编成茎叶图，指出B 高校身高的中位数。
（2）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选
2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
（3）若从所有“高个子”中选34名志愿者，用ξ表示所选志愿者能担任“兼职导游”的
人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.
18．如图所示的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD
的交点，111BB M B D =
是线段的中点。
（1）求证：BM//平面D 1AC ；
（2）求证：D 1O ⊥平面AB 1C ；
（3）求二面角B —AB —C 的大小。
19．已知数列{}n a 的前n 项和为1,1(*).n n S S a n N =-∈且
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2
）设12121,,: 1.log n n n n n n
b c T c c c T a ===+++< 记证明
20．
（1）求圆C 的标准方程；
（2）若点P 的坐标为（4，4），试探究斜率为k 的直线PF 1与圆C 能否相切，若能，求出
椭圆E 和直线PF 1的方程，若不能，请说明理由。
21．已知函数()(1)ln 1,f x b x x x l =+-+斜率为的直线与函数()f x 的图象相切于（1，0）
点。
（Ⅰ）求()()ln h x f x x x =-的单调区间；
（Ⅱ）当实数01a <<时，讨论21()()()ln 2
g x f x a x x ax =-++的极值点.。