2018-2019数学苏教版选修2-1作业：第3章3.1.1 空间向量及其线性运算

[基础达标]
1.给出下列命题：
①将空间中所有的单位向量的起点移到同一个点，则它们的终点构成一个圆；
②零向量没有方向；
③空间中任意两个单位向量必相等．
其中假命题的个数是__________．
答案：3
2.化简：(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝__________．
解析：法一：将向量减法转化为向量加法进行化简．
(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝AB →＋DC →＋CA →＋BD →＝(AB →＋BD →)＋(DC →＋CA →)＝AD →＋DA →＝0.
法二：利用AB →－AC →＝CB →，DC →－DB →＝BC →进行化简．
(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(AB →－AC →)＋(DC →－DB →)＝CB →＋BC →＝0.
法三：利用MN →＝ON →－OM →的关系进行化简．
设O 为平面内任意一点，则有
(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝AB →－CD →－AC →＋BD →＝(OB →－OA →)－(OD →－OC →)－(OC →－OA →)＋(OD →－OB →)＝OB →－OA →－OD →＋OC →－OC →＋OA →＋OD →－OB →＝0.
答案：0
3.已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的中心为O ，则下列命题中正确的共有________个． ①OA →＋OD →与OB ′→＋OC ′→是一对相反向量；
②OB →－OC →与OA ′→－OD ′→是一对相反向量；
③OA ′→－OA →与OC →－OC ′→是一对相反向量；
④OA →＋OB →＋OC →＋OD →与OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→是一对相反向量．
解析：如图，对于①，OA →＋OD →＝C ′O →＋B ′O →＝－(OB ′→＋OC ′→)，故①正确；
对于②，OB →－OC →＝CB →，OA ′→－OD ′→＝D ′A ′→，因CB →＝DA →，故②不正确；
对于③，OA ′→－OA →＝AA ′→，OC →－OC ′→＝C ′C →，因AA ′→＝－C ′C →，故③正确；
对于④，OA →＋OB →＋OC →＋OD →＝C ′O →＋D ′O →＋A ′O →＋B ′O →
＝－(OA ′→＋OB ′→＋OC ′→＋OD ′→)，故④正确．
答案：3
4.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列向量中与B 1M →为相反向量的是________．(填序号)
①－12a ＋12
b ＋
c ； ②12a ＋12
b ＋
c ；
③12a －12
b －
c ； ④－12a －12
b ＋
c . 解析：因为B 1M →＝B 1B →＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12
b ＋
c ，所以与B 1M →为相反向量的是12a －12
b －
c . 答案：③
5.四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则
OE →＝________(用a ，b ，c 表示)．
解析：如图所示：
由三角形法则，得
AB →＝OB →－OA →＝b －a ，
BC →＝OC →－OB →＝c －b ，
所以BD →＝12BC →＝12
(c －b )， AD →＝AB →＋BD →＝12b ＋12
c －a ， 故AE →＝12AD →＝14b ＋14c －12
a ， 所以OE →＝OA →＋AE →＝12a ＋14
b ＋14
c . 答案：12a ＋14b ＋14
c 6.已知点G 是正方形ABCD 的中心，P 是正方形ABCD 所在平面外一点，则PA →＋PB →＋PC
→＋PD →等于________．
解析：PA →＋PC →＝2PG →，PB →＋PD →＝2PG →，所以PA →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PG →.
答案：4PG →
7.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则向量D 1B →可用a ，
b ，
c 表示为__________．
解析：如图，D 1B →＝－BD 1→＝－(BA →＋BC →＋BB 1→)＝AB →－BC →－BB 1→＝AB →－AD →－AA 1→＝a －b
－c .
答案：a －b －c
8.
如图，四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，下列向量相等的一组是__________(填序
号)．
①AD →与CB →；②OA →与DC →；③AC →与DB →；④DO →与OB →.
解析：∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|，且AB ∥DC .即四边形ABCD 为平行四边形，由平行四
边形的性质知DO →＝OB →.
答案：④
9.
如图，在空间四边形A －BCD 中，点M 、G 分别是BC 、CD 的中点．
化简：(1)AB →＋12(BC →＋BD →)； (2)AG →－12
(AB →＋AC →)． 解：(1)原式＝AB →＋BM →＋MG →＝AG →；
(2)原式＝AB →＋BM →＋MG →－12
(AB →＋AC →) ＝BM →＋MG →＋12
(AB →－AC →)＝BM →＋MG →＋MB →＝MG →. 10.已知四面体ABCD 中，G 为△BCD 的重心，E 、F 、H 分别为边CD 、AD 和BC 的中点，化简下列各式：
(1)AG →＋13BE →＋12CA →；(2)12
(AB →＋AC →－AD →)． 解：
(1)如图所示，由G 是△BCD 的重心知，GE →＝13
BE →.又E 、F 为中点， ∴EF
12AC ，12
CA →＝EF →. ∴AG →＋13BE →＋12CA →＝AG →＋GE →＋EF →＝AF →. (2)由向量加法的平行四边形法则及几何意义知
12(AB →＋AC →)＝AH →，12
AD →＝AF →， ∴12
(AB →＋AC →－AD →)＝AH →－AF →＝FH →. [能力提升]
1.
如图，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在B 1B 和D 1D 上，且BE ＝13
BB 1，DF ＝23
DD 1，若EF →＝x AB →＋y AD →＋z AA 1→，则x ＋y ＋z ＝__________． 解析：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，
有AA 1→＝BB 1→＝CC 1→，
于是EF →＝AF →－AE →＝(AD →＋DF →)－(AB →＋BE →)
＝－AB →＋AD →＋23DD 1→－13
BB 1→ ＝－AB →＋AD →＋13
AA 1→， 又EF →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，
∴x ＝－1，y ＝1，z ＝13，∴x ＋y ＋z ＝13.
答案：13
2.已知空间四边形ABCD ，E ，F 分别是AB 与AD 边上的点，M ，N 分别是BC 与CD
边上的点，若AE →＝λAB →，AF →＝λAD →，CM →＝μCB →，CN →＝μCD →，则向量EF →与MN →的关系为
________．
解析：AE →－AF →＝λAB →－λAD →＝λDB →，即FE →＝λDB →，同理NM →＝μDB →，因为μDB →∥λDB →，所
以FE →∥NM →，即EF →∥MN →.又λ与μ不一定相等，故|MN →|不一定等于|EF →|，所以EF →∥MN →.
答案：EF →∥MN →
3.已知：a ＝3m －2n －4p ≠0，b ＝(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ，且m ，n ，p 不共面，若a ∥b ，求x ，y 的值．
解：∵a ∥b ，且a ≠0，∴b ＝λa ，
∴(x ＋1)m ＋8n ＋2y p ＝3λm －2λn －4λp .
又∵m ，n ，p 不共面，∴x ＋13＝8－2＝2y －4
，∴x ＝－13，y ＝8. 4.(创新题)已知六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体．
(1)化简12AA ′→＋BC →＋23
AB →，并在图中标出其结果； (2)设M 是底面ABCD 的中心，BN →＝34
BC ′→.设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，试求α、β、γ的值．
解：
(1)如图，取AA ′的中点为E ，则12
AA ′→＝EA ′→，又BC →＝A ′D ′→，AB →＝D ′C ′→，取F 为D ′C ′的一个三等分点使D ′F →＝23D ′C ′→，则D ′F →＝23AB →，所以12AA ′→＋BC →＋23
AB →＝EA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝EF →(说明：表示法不惟一)．
(2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34
(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→，所以α＝12，β＝14，γ＝34
.。