12.3角平分线的性质2

A D
∟
B
E
C
• 如图，AE平分∠BAC，BD＝DC， DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC． • 求证BM＝CN．
A
M B
D
C N
E
• 如图，点D、B分别在∠A的两边上，C 是∠A内一点，AB = AD，BC = CD， CE⊥AD于E，CF⊥AF于F． • 求证：CE = CF
E
D
C
A
B
F
• ：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两 边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的 延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。 • 求证：（1）AD=AG，（2）AD⊥AG。
A
E C F
D B
当堂检测
22页习题11.3 必做题：3、4 选做题：5 拓展题：6
自学检测
22页练习题 习题11.3 第2题
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1 ： 20 000 ） Ｏ
铁路 公路 OD=2.5cm ,D即为所求。
Ｏ
铁路
公路
s
D
C
如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ∵BM是△ABC的角平分线,点P 在BM上,
角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
复习
1.角平分线的性质定理： 角平分线上的点到角的两边的距离相等
2.角平分线的判定定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平 分线上。 3.角平分线的性质定理和角平分线的判定 定理是证明角相等、线段相等的新途径.
D 1 2 E B P C
O
•
反过来，到一个角的两边的距离相等的点 是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90° 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
判定：到角的两边的距离相 等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上． 性质：角的平分线上的点到角的两边的距离 相等. 用数学语言表示为： ∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
拓展与延伸
3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点 E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平 分线上.
M
；
D
C F
∟
A
E B
N
• 5．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C 是∠A内一点，AB = AD，BC = CD， CE⊥AD于E，CF⊥AF于F． • 求证：CE = CF
• 6．已知：如图，在△ABC中， ∠A=90°，AB = AC，BD平分 ∠ABC． • 求证：BC = AB + AD
G M H
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。
A
E
F D
B
C
利用结论，解决问题
练一练 1、如图，为了促进当 地旅游发展，某地要在 三条公路围成的一块平 地上修建一个度假村.要 使这个度假村到三条公 路的距离相等,应在何处 修建? 在确定度假村的位置时,一定要画 想一想 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?你是如何证明的?
B A ND P M F
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
E
C
如图，已知△ABC的外角∠CBD和 ∠BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明： 过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
A G F H D E
B
（图27）
C
• 如图：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC ，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN 于M，BN⊥MN于N。 • （1）求证：MN=AM+BN。
M C N
A
B
• （2）若过点C在△ABC内作直线MN ，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，则 AM、BN与MN之间有什么关系？请说 明理由。
学习目标
角的平分线的性质定理及其应用
自学指导
阅读课本50页内容，努力完成下列任务： 1.按50页内容，思考可得出什么结论？能说 出来： 2.自己写“已知、求证、证明”的过程证明 上面的性质：
1、会用尺规作角的平分线.
2、角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
A
用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
C
N A M B
• 已知：如图，在△ABC中，AB=AC， ∠BAC=90°，D为BC上一点， EC⊥BC， • EC=BD，DF=FE，则AF与DE有怎样 的位置关系？并加以证明．
• AD是△ABC中∠BAC的平分线， 过AD的中点E作EF⊥AD交BC的 延长线于F，连结AF。求证： ∠B=∠CAF。