【新课标】备战2012年高考数学(文)二轮专题5 第1课时《空间几何体的结构、画法、表面积和体积》

， 底 座 是 正 四 棱 台 ，
12 2 6 2 42 5，
2
它 的 侧 面 等 腰 梯 形 的 高 是 h
所 以 它 的 侧 面 积 是 S 2 4 6 12 h 180
cm ．
2
【点评】该题的关键是读懂三视图，由三视 图想象几何体的立体模型，以及几何体的大 小尺寸，再根据公式求解有关问题．
当 俯 视 图 是 D时 ， 该 几 何 体 是 圆 柱 切 割 而 成 ， 其体积是V 故 选 C. 1 4
1 1
2

4
.
4 .( 2 0 1 1 江 西 宜 春 模 拟 )已 知 四 棱 锥 A B C D E 的 三 视 图 如 下 图 所 示 ， 其 中 俯 视 图 和 侧 视 图 都 是 腰 长 为 4的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 正 视 图 为 直 角 梯 形 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( )
【 解 析 】 将 正 三 棱 柱 A B C A1 B 1 C 1 沿 侧 棱 B B 1 展 开 成 平 面 图 形 ， 如 图 所 示 ， 则 在 平 面 图 形 中 ， 线 段 PM 最短． 所以，所求最短路线长为 3 3 2 2
2 2

97 2
.
【点评】在几何体中，求侧面上的最短路线长 的问题，都用几何体的展开图来解决．把立体 问题转化为平面问题来解决，体现数学的转化 思想．
【备选例题】如下三图是一锥体的直观图及其 正 视 图 和 俯 视 图 ， F 为 CE上 的 点 ．
1 按 其 相 应 尺 寸 画 出 该 锥 体 的 侧 视 图 ( 标 明 尺 寸 )； 2 是 否 存 在 点 F， 使 得 BF
请给出证明； 平 面 A C E？ 若 存 在 ，
5.一个长方体的各顶点均在同一球的球面上， 且共一个顶点的三条棱的长分别为1,2,3，则此 球的表面积为__________．
【解析】由题意，则球的直径为 2R 1 2 3
2 2 2

1 4， ， 即 R
2
14 2
，
所 以 球 的 表 面 积 为 S 4 R
14 .
1．空间几何体的三视图是正视图；侧视图；俯 视图． 2．在画空间几何体的直观图时，已知图形中平 行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行 于y轴的线段，长度为原来的一半． 3．一般地，我们可以把多面体展成平面图形， 利用平面图形求面积的方法求出多面体的表面积， 其中，柱体的表面积S表=S侧+2S底．
所 以 VC BGE VG CBE
S C B E F G
2. ( 2 0 1 1漳 州 模 拟 ) 如 图 所 示 ， 某 几 何 体 的 主 视 图 、 左视图均是等腰三角形，俯视图是正方形，则该 几 何 体 的 全 面 积 (单 位 ： c m )为 ( )
2
A. 4 4 3 C. 4 8 3
B. 1 2 D. 20
【 解 析 】 该 几 何 体 是 底 面 边 长 为 2的 正 方 形 ， 高 为 3， 则斜高为 ( 3) 1
专题五
立体几何
1．高考考点 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体 的结构特征，并能运用这些特征描述现实生 活中简单物体的结构． (2)能画出简单空间图形(包括长方体、球、 圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图， 能识别上述的三视图所表示的立体模型，会 用斜二测法画出它们的直观图． (3)了解平行投影与中心投影，了解空间图 形的不同表示形式．
【例3】如图，是一个 奖杯的三视图(单位： cm)．试根据奖杯的三 视图计算它最上部分的 表面积，中间部分的体 积，底座的侧面积．
【解析】最上方的几何体是球，所以其表面积为 S1 4 R
2
36 cm
2
2
， 中 间 部 分 是 圆 柱 ， 所 以
3
其 体 积 为 V r l 64 cm
题型二
空间几何体的表面积与体积
3 4，
【 例 2 】 已 知 四 面 体 A B C D中 ， A B C D AC BD 4 1， A D B C 5 ，
求 四 面 体 A B C D的 外 接 球 的 表 面 积 和 体 积 ．
【 解 析 】 构 造 一 个 长 方 体 AFD E G BH C， 如 图 所 示 ， 其 中 A E 4 ， A F 3 ， A G 5 ， 则 四 面 体 A B C D的 外 接 球 与 长 方 体 AFD E G BH C的 外 接 球 相 同 ． 而 长 方 体 AFD E G BH C的 外 接 球 的 直 径 为 2R 3 4 5
2 2 2
5 2， 即 R
5 2 2
，所以，四面
2
体 A B C D的 外 接 球 的 表 面 积 为 S 4 R 为V 4 3
5 0 ， 体 积
R
3
125 2 3
.
【点评】采用补体法，即将四面体移置于长方 体之内，是解决四面体的外接球问题的好方 法．
题型三
空间几何体的三视图和直观图
4 ． 柱 体 的 体 积 V S h； 锥 体 的 体 积 V 台体的体积V 1 3 (S S S ' S ) h . 1 3 S h；
题型一
简单组合体的结构特征
【例1】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3， AA1=4，M为AA1的中点，P为BC的中点，求由P 点沿棱柱侧面到M点的最短路线长．
3设 G 为 矩 形 ABCD 对 角 线 的 交 点 ， 求 三 棱 锥
C B G E的 体 积 ．
【 解 析 】 1 画 出 侧 视 图 如 下 ：
Байду номын сангаас
2 证 明 ： 设 F 为 C E的 中 点 ． 由 三 视 图 可 知 E B
所 以 BF EC .
BC，
又 A D 平 面 A B E ， A D // B C ， 所 以 B C 平 面 A B E ， 则 AE BC . 又 A E E B， 所 以 A E 平 面 B C E ， 所 以 A E B F ， 又 E C A E E， 所 以 B F 平 面 A C E， 所 以 存 在 C E的 中 点 F 满 足 题 意 ．
解 法 2： 当 俯 视 图 是 A时 ， 正 方 体 的 体 积 是1； 当 俯 视 图 是 B时 ， 该 几 何 体 是 圆 柱 ， 底 面 积 是 S ( ) ， 高 为1， 则 体 积 是 ； 2 4 4
2
1 2
，
1


当俯视图是时，该几何体是直三棱柱， 故体积是V 1 2 111 1 2 ；
A. C.
20 3 40 3
B. 4 0 D . 10
【解析】依题意的三视图分析，该几何体为如右图的 几 何 体 ， 可 以 看 作 是 以 四 边 形 BCED为 底 ， 以 AC 为 高 的四棱锥． V A BCED 1 3 S B C E D A C
1 1 1 4 4 4 3 2 故 选 C. 40 3 .
1.圆 锥 的 底 面 半 径 是 3 ， 高 是 4 ， 则 它 的 侧 面 积 是 ( ) A. 1 5 2 C .1 5 D . 30 B.1 2
【 解 析 】 依 题 意 ， 圆 锥 的 母 线 长 为5， 所 以 圆 锥 的 侧 面 积 为 S rl 1 5 .答 案 为 C .
(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影 响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要 求)． (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体 积的计算方式(不要求记忆公式)． 2．易错易漏： 不能正确画出三视图所表示的几何体的直观图； 表面积即全面积，在计算表面积时错把表面积作 侧面积计算．
3．归纳总结： 学习中做到能正确识别图形，对基本的几何图形 要非常熟悉，了解三视图和直观图的关系，能正 确画图．
3 解 法 1 ： 取 A B的 中 点 H ， 连 接 E H .
则 E H 平 面 A C， 且 E H 2， 1 2 S ABC 2 3 . 2，
又 因 为 G 为 A C 的 中 点 ， 所 以 S CBG 所 以 VC BGE V E CBG 1 3
S C B G E H
解 法 2： 在 2 的 条 件 下 ， 连 接 F G . 因 为 G 为 A C 的 中 点 ， F 是 C E 的 中 点 ， 所 以 A E // F G . 因 为 A E 平 面 B C E， 所 以 FG 平 面 BCF， 且 FG 1 2 A E 1 ， S CBE 1 3 1 2 2 3 . 2 2 2，
2 2
2，
所 以 S侧 4
1 2
2 2 8；
S 底 2 2 4. 故 选 B.
3 .如 图 ， 某 几 何 体 的 正 视 图 与 侧 视 图 都 是 边 长 为 1 的正方形，且体积为 1 2 .
则该几何体的俯视图可以是(
)
【 解 析 】 解 法1： 由 题 意 可 知 ， 当 俯 视 图 是 A时 ， 即 每 个 视 图 是 边 长 为1的 正 方 形 ， 那 么 此 几 何 体 是 立 方 体 ， 显 然 体 积 是1， 注 意 到 题 目 中 体 积 是 知 其 是 立 方 体 的 一 半 ， 可 知 选 C.