第四章 时变电磁场2

令ωt＝π/2 ，得 Re[ j E m ] Re[ j ( j B m )]
即
Im[ E m ] Im[( j B m )]
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Em j Bm
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第4章 时变电磁场
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4.5.1 时谐电磁场的复数表示 时谐电磁场可用复数方法来表示，使得大多数时谐电磁场问 题得分析得以简化。
设 A( r , t ) 是一个以角频率 随时间t 作正弦变化的场量，它
可以是电场和磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变 量，它与时间的关系可以表示成
～ j
略去“.”和下标m
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例题：已知正弦电磁场的电场瞬时值为 E ( z, t ) E1 ( z, t ) E2 ( z, t )
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式中
8 E ( z , t ) e 0.03 sin(10 t kz ) 1 x 8 E ( z , t ) e 0.04 cos(10 t kz / 3) x 2
2
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时谐电磁场的概念 如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变 化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种 以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁 场。 研究时谐电磁场具有重要意义 在工程上，应用最多的就是时谐电磁场。广播、电视和通信 的载波等都是时谐电磁场。 任意的时变场在一定的条件下可通过傅立叶分析方法展开为不 同频率的时谐场的叠加。
j ( kz y / 2) j ( kz x ) ey E ym e 所以 Em ( z ) ex Exm e j y jx (ex Exme ey jEyme )e jkz
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例4.5.2 已知电场强度复矢量 Em ( z ) ex jE xm cos( k z z ) 其中kz和Exm为实常数。写出电场强度的瞬时矢量 解
E ( z , t ) Re[ex jE xm cos( k z z )e j t ]

其中c= -jσ/ω、称为导电媒质的等效介电常数。
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电介质的复介电常数 对于存在电极化损耗的电介质，有 c j ，称为复介电 常数或复电容率。其虚部为大于零的数，表示电介质的电极化损 耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。 同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质 对于同时存在电极化损耗和欧姆损耗的电介质，复介电常数 为
c j ( +
磁介质的复磁导率
)
对于磁性介质，复磁导率数为 c j ，其虚部为大于零 的数，表示磁介质的磁化损耗。
j ( t ) 2 Re[ex E xm cos( k z z )e ] ex Exm cos(k z z ) cos( t ) 2 ex Exm cos(k z z ) sin( t )
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各分量合成以后，电场强度为 复矢量
j t E ( r , t ) Re[ E m ( r )e ]
jx ( r ) j y ( r ) jz ( r ) Em ( r ) ex E xm ( r )e e y E ym ( r )e ez E zm ( r )e
a x e x H 0 k ( ) sin( ) cos( t kz ) 2 a x e z H 0 cos( ) cos( t kz ) a a
故
a x jkz j 2 x jkz ez H 0 cos( )e H m ( x, z ) ex H 0 k ( ) sin( )e a a
式中的A0为振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
利用三角公式 其中
复振幅 Modified by shaohu.li
A( r , t ) A0 cos[ t ( r )]
实数表示法或 瞬时表示法
j ( r ) A(r ) A0e


j t j [ t ( r )] A ( r , t ) Re A0 e Re[ A( r )e ]
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1 j 0 E ( z) ey

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（2）由复数形式的麦克斯韦方程，得到磁场的复矢量
H ( z)
j E x 0 z

j j k 2 ey 0.04 e 3 ]e jkz [0.03e
0
j j 5 4 2 e y k [7.6 10 e 1.01 10 e 3 ]e jkz


磁场强度瞬时值
j t H ( z , t ) Re[ H ( z )e ] e y k [7.6 10 5 sin(10 8 t kz )
E ( z , t ) ex Exm cos( t kz x ) e y E ym cos(t kz y ) 2 j (t kz y / 2) j (t kz x ) Re[ex Exme ey Eyme ]
t
H J j D m m m E j B m m B m 0 D m m
H J j D E j B D B 0
1.01 10 cos(10 t kz
4 8

3
)]
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4.5.3 复电容率和复磁导率 实际的介质都存在损耗： 导电媒质——当电导率有限时，存在欧姆损耗 电介质——受到极化时，存在电极化损耗 磁介质——受到磁化时，存在磁化损耗 损耗的大小与媒质性质、随时间变化的频率有关。一些媒质 的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略。 导电媒质的等效介电常数 对于介电常数为 、电导率为 的导电媒质，有 H E j E j (2）磁场的复矢量和瞬时值。 解：（1）因为 E ( z , t ) ex 0.03sin(108 t kz ) ex 0.04 cos(108 t kz / 3)
8 ex 0.03 cos(10 t kz ) ex 0.04 cos(108 t kz / 3) 2 j (108 t kz / 2) j (108 t kz / 3) Re[ex 0.03e ] Re[ex 0.04e ] j108 t j ( kz / 2) j ( kz / 3) Re ex 0.03e ex 0.04e e 故电场的复矢量为 E ( z ) ex [0.03e j / 2 0.04e j / 3 ]e jkz
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本章内容
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 波动方程 电磁场的位函数 电磁能量守恒定理 惟一性定理 时谐电磁场
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第4章 时变电磁场 4. 5 时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示 复矢量的麦克斯韦方程 复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程 时谐场的位函数 平均能流密度矢量
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（2）因为 cos( kz t ) cos( t kz )
所以
sin( kz t ) cos( kz t ) cos( t kz ) 2 2 a x H ( x , z , t ) e x H 0 k ( ) sin( ) sin( kz t ) a x e z H 0 cos( ) cos( kz t )
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4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程 B 以电场旋度方程 E 为例，代入相应场量的矢量，可得 t
将 、 与Re交换次序，得 t
j t [Re( E m e )] [Re( Bm e j t )] t
j t j t Re[ ( E m e )] Re[ ( B m e )] Re[ j B m e j t ] t 上式对任意 t 均成立。令 t＝0 ，得 Re[ E m ] Re[ j B m]
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从形式上讲，只要把微分算子 用 t
j代替，就可以把时谐电磁
场的场量之间的关系，转换为复矢量之间关系。因此得到复矢量 的麦克斯韦方程
D H J t B E t B 0 D