2.4正态分布

若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的 坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率（阴 影部分的面积）为:
即由正态曲线,过点(a,0)和点(b,0)的两条x轴的垂线,及x 轴所围成的平面图形的面积,就是X落在区间(a,b】的概 率的近似值。
P(a X b) m ,s ( x)dx
m+a
m-a
P( m s X m s ) 0.6826, P( m 2s X m 2s ) 0.9544, P( m 3s X m 3s ) 0.9974.
当 a 3s 时正态总体的取值几乎总取值于区间 由于这些概率值很小（一般不超过 5％ ）， .在实 (m 3 s , m 3s ) 之内, 其他区间取值几乎不可能 通常称这些情况发生为小概率事件。 际运用中就只考虑这个区间 ,称为 3s 原则.
2.4 正态分布
复习
画频率分布直方图的步骤：
⑴.计算最大值与最小值的差(知道这组数据的变动
范围);
⑵.决定组距与组数;
组数:将数据分组,当数据在100个以内时,按数据多
少常分5-12组. 组距:指每个小组的两个端点的距离. ⑶.将数据分组; ⑷.列出频率分布表;
⑸.画出频率分布直方图。
复习
频率 组距
y
为 0.8．
o x
练习
1、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正 态分布 N (70,102 ) ，如果规定低于60分为不及格， 求： （1）成绩不及格的人数占多少？
A.
1 f ( x) e 2s
2 f ( x) e 2
( x m )2 2s 2
, m , s (s 0)都是实数
B.
x2 2
C.
1 f ( x) e 2 2
( x 1)2 4
D.
1 f ( x) e 2
x2 2
2.正态曲线的性质
m s ( x )
P(a X b) m ,s ( x)dx
a
b
0
a
b
x
经验表明, 一个随机变量如果是众多的、互 不相干的、不分主 次的偶 然因素作用结果 之和, 它就服从或近似服从正态分布.例如高 尔顿板试 验中 , 小球下落过程中要与众多小 木板碰撞, 每次碰撞的结果使得小球随机地 向左或向右下落, 因此小球第1 次与高尔顿板 底部接触时的坐标 X 是众多随机碰 撞的结 果, 所以它近似服从正态分布.
P(2 X 2) =
0.9544
.
3.已知X~N (0,1),则X在区间 (, 2) 内取值的 概率等于（ D ） A. 0.9544 B. 0.0456 C. 0.9772 D. 0.0228
【4】某校高三男生共1000人，他们的身高 X(cm)近似服从正态分布 N (176,16) ,则身 高在180cm以上的男生人数大约是（ B） A.683 B.159 C.46 D.317 【5】假 设 总 体 服 从 正 态 分 布 N (3, 1 ) ,如 果 要 拒 绝 16
我们从上图看到，正态总体在 m 2s , m 2s 以外取值的概率只有4.6％，在m 3s , m 3s 以外 取值的概率只有0.3 ％。
例2.在某次数学考试中,考生的成绩 服从一个正态分 布,即 ~N(90,100).
(1).试求考试成绩 位于区间(70,110)上的概率是多少？
总体密度曲 线
产品 尺寸 (mm)
引入 正态分布在统计学中是很重要的分布。 我们知道,离散型随机变量最多取可列个不 同值,它等于某一特定实数的概率≥0,人们 感兴趣的是它取不同值的概率,即研究其分 布列；连续型随机变量可能取某个区间上 的任何值,它等于任何一个实数的概率可能 都为0,所以通常感兴趣的是它落在某个区 间的概率。离散型随机变量的概率分布规 律用分布列描述,而连续型随机变量的概率 分布规律用密度曲线描述。
y μ= -1 σ=0.5
1
2s y
e

( x m )2 2s 2
, x ( , )
y μ=1
μ=0 σ=1
σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2 3 x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交. （2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
正态分布的函数表示式
1 f ( x) e 2 s ( xm )2 2s 2
x (,)
y μ=0
当μ= 0，σ=1时 标准正态分布的函数表示式
σ=1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
1 2 f ( x) e x (,) 2
x2
标准正态曲线
例1.下列函数是正态密度函数的是（ B ）
练习：1.已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩
X~(100,52 ),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪 个区间内？（A ）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115] 2.设连续型随机变量X~N(0,1),则 P( X 0) = 0.5 ,
y
μ= -1 σ=0.5
1 2s
e

( x m )2 2s 2
, x ( , )
y
μ=1
y
μ=0
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2
3
x
-3 -2 -1 0
1
2 3
4x
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
2.正态曲线的性质
m s ( x )
如果把球槽编号 , 就可以考察到底是落在第几号球槽 中.重复进行高尔顿板试验, 随着试验次数的增加, 掉入 各个球槽内的小球的个数就 越来越多 , 堆积的高度也 会越来越高 .各个球 槽的堆积高度反映了小球掉入各 球槽的个数多少.
频率 组距
以球槽的编号为横坐 标，以小球落入各个 球槽内的频率值为纵 坐标，可以画出“频 率分布直方图”。
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （4）曲线与x轴之间的面积为1
1 σ 2π
2.正态曲线的性质
方差相等、均值不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1 μ= 1
σ=0.5
若s 固定, 随m值 的变化而 沿x轴平 移, 故 m 称为位置 参数；
m2
m1
m3
2.正态曲线的性质
均值相等、方差不等的正态分布图示
若 m 固定, s 大 时, 曲线矮而胖； s 小时, 曲线瘦而 高, 故 称 s 形状参数。
μ=0
s=0.5
s=1
s=2
m
2.正态曲线的性质
y X=μ
σ=0.5
m s ( x )
1 2 s
e

( x m )2 2s 2
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
（5）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变 化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
2
P( ≤ 4) 0.84 ， 则 P( ≤ 0) （A ） N (2，s ) ，
A． 0.16 C． 0.68 B． 0.32 D， 0.84
y
o
x
【3】 （07 全国） 在某项测量中， 测量结果 服从正态分布 N (1 1) ，s )(s 0) ．若 在 (0，
2
2) 内取值的概率 内取值的概率为 0.4， 则 在 (0，
( x 80)2 200
f ( x)
1 2 10
e
, x (, ) ，则下列命题不正确的
是„( B ) A．该市这次考试的数学平均成绩为 80 分 B． 分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C． 分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同 D．该市这次考试的数学成绩标准差为 10
m a
P(m a ≤ m a)
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 m 和 s而言，该面 积随着 s 的减少而变大。这说明 s 越小, 落在区间 (m a, m a] 的概率越大，即X集中在 m 周围概率越大。
m s ( x )dx m
, a
x=μ
特别地有
P( m s X m s ) 0.6826, P( m 2s X m 2s ) 0.9544, P( m 3s X m 3s ) 0.9974.
a
b
1.正态分布定义
如果对于任何实数a<b, 随机变量X满足:
y
则称X 的分布为正态分布. 正态分布由参数m、s唯一 确定, m、s分别表示总体的平均数与标准差.正态分布 记作N（ m，s2）.其图象称为正态曲线. 若随机变量X服从正态分布,则记作:X~N(m,s2) 。
注 : 参数m是反映随机变量取值水平的特征数, 可以 用样本均值去估计; s是衡量随机变量总体波动大 小的特征数, 可以用样本标准差去估计.
【1】 （07 湖南）设随机变量 服从标准正态分
1) ， 已 知 p （ ＜ － 1.96 ） =0.025 ， 则 布 N (0， P(| | 1.96) =（ C ）
A．0.025 C．0.950 B．0.050 D．0.975
y
o
x
【2】 （07 浙江）已知随机变量 服从正态分布
这 个 统 计 假 设 ,则 在 一 次 实 验 中 取 值 应 落 在 区 间 „„„„„„„„„„„„„ ( C ) A． (, 9 )