正态分布T-值表
标准正态分布对照表
标准正态分布对照表摘要：一、标准正态分布的定义与性质1.标准正态分布的定义2.标准正态分布的概率密度函数3.标准正态分布的累积分布函数二、标准正态分布对照表的应用1.对照表的构成与意义2.对照表的使用方法3.对照表在实际问题中的应用举例三、标准正态分布与其他分布的关系1.标准正态分布与正态分布的关系2.标准正态分布与t 分布的关系3.标准正态分布与卡方分布的关系四、标准正态分布在统计学中的重要性1.描述性统计分析中的应用2.推断性统计分析中的应用3.概率论与数理统计的基础知识正文：标准正态分布，又称为高斯分布（Gaussian distribution），是一种连续型概率分布。
它具有对称的钟形曲线，其分布的均值（μ）为0，标准差（σ）为1。
标准正态分布广泛应用于统计学、概率论、工程学等领域，其对照表是研究和解决实际问题的关键工具。
一、标准正态分布的定义与性质标准正态分布的定义可以追溯到19 世纪初，德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）对这一分布的深入研究。
标准正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / (√(2π))) * e^(-(x^2) / 2)其累积分布函数为：F(x) = 1 / (√(2π)) * ∫[e^(-(t^2) / 2), t ≤ x] dt二、标准正态分布对照表的应用标准正态分布对照表是一个重要的工具，它可以帮助我们快速查找标准正态分布在一定置信水平下的临界值。
对照表通常包括正态分布的累积分布函数值、z 分数（Z-score）以及对应的概率。
使用对照表时，我们可以根据实际问题中所给的置信水平，找到对应的z 分数，从而求解问题。
例如，在产品质量控制中，我们希望确定一个产品的合格率。
已知过去经验表明，合格率约为95%。
我们可以使用对照表查找标准正态分布在95% 置信水平下的z 分数，得到±1.96。
然后，将这个z 分数代入到正态分布的累积分布函数中，得到产品的合格率。
标准正态分布分位数表
标准正态分布分位数表正态分布这个概念在统计学中很常见，在做与正态分布有关计算的时候经常会用到标准正态分布表。
如果知道一个数值的标准分数即z-score ,就可以非常便捷地在标准正态分布表中查到该标准分数对应的概率值。
任何数值,只要符合正态分布的规律,均可使用标准正态分布表查询其发生的概率。
下表就是标准正态分布表,在使用的时候,第一步是先计算数值的标准分数,然后将标准分数四舍五入到小数点后第二位第二步是在标准正态分布表中的左侧查到直到标准分数的小数点后第一位,然后用顶部的数值查到所对应的标准分数的小数点后第二位。
市川新田三丁貝比如标准分数为1.16 ,在表左侧可以查到1.1所在的行,然后再找到0.06所在的列,最后对应的概率值为0.877。
这就意味看在正态分布的情况下,如果一个数值的标准分数为1.16 ,那么该数值所代表的情况出现的概率为87.7%。
以下通过案例来看标准正态分布表的应用。
假设某地成年男性的身高数据呈正态分布,平均身高为1.70米,标准差为4厘米。
问题：1.男性身高超过1.75米的占比为多少？2.男性身高在1.74-1.75米之间的占比为多少？3.如果有20%的男性身高高于某个数值,该数值所对应的身高数据是多少?4.如果有20%的男性身高低于某个数值,该数值所对应的身高数据是多少? 解题：1、先用标准分数即z-score计算公式将1.75米的身高数据转换成标准分数,结果为(1.75- 1.70) / 0.04 =1.25 ,这样问题就成了：在标准正态分布曲线中标准分数大于1.25的概率是多少？查询标准正态分布表，可以看到1.25的标准分数对应的概率值为0.894二89.4%，也就是有89.4%的男性身高数据的标准分数不超过1.25 ,因此有100%-89.4%二10.6%的男性身高超过1.75米。
■＜厉丿」隔曰三丁目2、在问题1中已知身高为1.75米的标准分数为1.25 ,那么身高为1.74米的标准分数=(1.74 -170)/4 = 1.00,因此只需找到l.OOv标准分数＜1.25所对应的概率即可,1.00的标准分数所对应的概率值为0.841 ,也就是有84.1%的男性身高数据的标准分数不超过1.00,因此身高在1.74-1.75米之间的男性占比为0.894-0.841 二0.853二5.3%3、如果说有20%的男性身高高于某个数值,那就意味看80%的男性身高不超过该数值,因此在标准正态分布表看到概率值为0.800所对应的标准分数为 0.84 ,现在将这个标准分数转换成身高数据,带入z-score的计算公式为0.84二(x-1.70)/0.04 ,结果为1.7336米，即在全部成年男性中有20%的男性身高高于1.7336米。
正态分布 t分布
未知时，以样本标准差 S 代替 σ 所得到的统 计量
xμ S/ n
态分布，而是服从 t 分布(t-distribution)。 它的概率分布密度函数如下：
t 分布概率密度曲线特点: 1、t 分布受自由度的制约，每一个自由度都有一条 t 分布概率密度曲线。 2、t 分布概率密度曲线以纵轴为对称轴，左右对称， 且在t＝0时，取得最大值。 3、与标准正态分布曲线相比，t 分布曲线顶部略低， 两尾部稍高而平。df 越小这种趋势越明显。df 越大，t 分布越趋近于标准正态分布。当n >50时，t 分布与标 准正态分布的区别很小；n >100时，t 分布基本与标准 正态分布相同；n→+∞时，t 分布与标准正态分布完全 一致。
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
x=
1 2
x
-3 -2 -1 0
x=
1 2 3 x
x=
不同均数 均值 反映随机变量的平均水平（位置参数），向 右平移表示逐渐增大，向左平移表示逐渐减小。
（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴永不相交 （2）曲线是单峰的,它关于直线 x=μ对称 1 （3）曲线在 x=μ 处达到峰值(最高点) σ 2π （4）曲线与横轴 x所夹面积为1
例3 某地1986年120名8岁男孩身高均数为 X =123.02cm ，标准差为S=4.79cm，试估 计: (1)该地8岁男孩身高在130cm以上者占该地8 岁男孩总数的百分比； (2)身高在120cm～128cm者占该地8岁男孩总 数的百分比; (3)该地80%的男孩身高集中在哪个范围？
t 分布
利用公式，查附表得： (1) P(x＜1.64) =Φ(1.64) =0.9495 (2) P (x≥2.58) =1-Φ(2.58) =1-0.9951 =0.0049 (3) P (│x│≥2.56) =2-2Φ(2.56) =2-2×0.9948 =0.0104 (4) P (0.34＜x≤1.53) =Φ(1.53)-Φ(0.34) = 0.9370-0.6331=0.3039 (5) P(x＜-1.82) =1-Φ(1.82) =1-0.9656 =0.0344
t检验临界值表(t-test)-t检验表
t < t (df )0.05
5、根据是以上分析，结合具体情况，作出结论。
T检验举例说明
例如，T检验可用于比较药物治疗组与安慰剂治疗组病人的测量差别。理论上， 即使样本量很小时，也可以进行T检验。（如样本量为10，一些学者声称甚至更小的 样本也行），只要每组中变量呈正态分布，两组方差不会明显不同。如上所述，可以 通过观察数据的分布或进行正态性检验估计数据的正态假设。方差齐性的假设可进行 F检验，或进行更有效的Levene's检验。如果不满足这些条件，只好使用非参数检验代 替T检验进行两组间均值的比较。
2）如果要评断两组样本平均数之间的差异程度，其统计量t值的计算公式为：
3、根据自由度df=n-1，查t值表，找出规定的t理论值并进行比较。理论值差异的显著 水平为0.01级或0.05级。不同自由度的显著水平理论值记为t(df)0.01和t(df)0.05 4、比较计算得到的t值和理论t值，推断发生的概率，依据下表给出的t值与差异显 著性关系表作出判断。
例1 难产儿出生体重
一般婴儿出生体重μ0 = 3.30（大规模调查获得），问相同否？ 解：1.建立假设、确定检验水准α H 0:μ = μ0 （难产儿与一般婴儿出生体重的总均数相等；H 0无效假设，null （难产儿与一般婴儿出生体重的总均数不等；H 1备择假设，alternative 双侧检验，检验水准:α = 0.05 2.计算检验统计量
P越小，不是说明实际差别越大，而是说越有理由拒绝H0 ，越有理由说明两者有 差异，差别有无统计学意义和有无专业上的实际意义并不完全相同
假设检验和可信区间的关系 结论具有一致性 差异：提供的信息不同
区间估计给出总体均值可能取值范围，但不给出确切的概率值，假设检验可以给出 H0成立与否的概率
统计临界值表格
目录附表一：随机数表 _________________________________________________________________________ 2附表二：标准正态分布表 ___________________________________________________________________ 3附表三：t分布临界值表____________________________________________________________________ 4附表四：2分布临界值表__________________________________________________________________ 5附表五：F分布临界值表（α=0.05）________________________________________________________ 7附表六：单样本K-S检验统计量表___________________________________________________________ 9附表七：符号检验界域表 __________________________________________________________________ 10附表八：游程检验临界值表 _________________________________________________________________ 11附表九：相关系数临界值表 ________________________________________________________________ 12附表十：Spearman等级相关系数临界值表 ___________________________________________________ 13附表十一：Kendall等级相关系数临界值表 ___________________________________________________ 14附表十二：控制图系数表 __________________________________________________________________ 15附表一：随机数表（查表时注意：v是指自由度，并分单侧和双侧两种类型）（左侧的示意图是单侧检验的情形）附表四：2分布临界值表附表五：F分布临界值表（α=0.05）F分布临界值表（α=0.01）附表六：单样本K-S 检验统计量表[])(1)()(sup 0d D P x F x F D n n x n ≤-=-=α附表七：符号检验界域表附表十二：控制图系数表。
统计分布临界值表
统计分布临界值表附录附表一：随机数表___________________________________________________ 2附表二：标准正态分布表_____________________________________________ 3附表三：t分布临界值表_____________________________________________ 4附表四：2χ分布临界值表____________________________________________ 5附表五：F分布临界值表（α=0.05）__________________________________ 7附表六：单样本K-S检验统计量表_____________________________________ 9附表七：符号检验界域表____________________________________________ 10附表八：游程检验临界值表__________________________________________ 11附表九：相关系数临界值表__________________________________________ 12附表十：Spearman等级相关系数临界值表_____________________________ 13附表十一：Kendall等级相关系数临界值表____________________________ 14附表十二：控制图系数表____________________________________________ 15附表一：随机数表（查表时注意：v是指自由度，并分单侧和双侧两种类型）（左侧的示意图是单侧检验的情形）附表四：2χ分布临界值表附表五：F分布临界值表（α=0.05）F分布临界值表（α=0.01）附表六：单样本K-S 检验统计量表[])(1)()(sup 0d D P x F x F D n n x n ≤−=−=α附表七：符号检验界域表附表十二：控制图系数表。
t分布的概念表和查表方法
t分布介绍在和中，学生t-分布（t-distribution），可简称为t分布，用于根据小样本来估计呈且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。
目录123456历史在和统计学中，学生t-分布（Student's t-distribution）经常应用在对呈的总体的进行估计。
它是对两个差异进行测试的学生t测定的基础。
t检定改进了Z检定（en:Z-test），不论样本数量大或小皆可应用。
在样本数量大（超过120等）时，可以应用Z检定，但Z检定用在小的样本会产生很大的误差，因此样本很小的情况下得改用学生t检定。
在数据有三组以上时，因为误差无法压低，此时可以用代替学生t检定。
当母群体的是未知的但却又需要估计时，我们可以运用学生t-分布。
学生t-分布可简称为t分布。
其推导由于1908年首先发表，当时他还在都柏林的健力士酿酒厂工作。
因为不能以他本人的名义发表，所以论文使用了学生（Student）这一笔名。
之后t检验以及相关理论经由的工作发扬光大，而正是他将此分布称为学生分布。
定义由于在实际工作中，往往σ是未知的，常用s作为σ的估计值，为了与u变换区别，称为t变换，统计量t 值的分布称为t分布。
假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从分布，那么的分布称为自由度为n 的t分布，记为。
分布密度函数，其中，Gam(x)为伽马函数。
扩展（normal distribution）是数理统计中的一种重要的理论分布，是许多的理论基础。
正态分布有两个参数，μ和σ，决定了正态分布的位置和形态。
为了应用方便，常将一般的正态变量X通过u变换[(X-μ)/σ]转化成标准正态变量u，以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0，σ=1的（standard normal distribution），亦称u分布。
t分布表精确完整图
t分布在概率论和统计学中，t-分布（t-distribution）用于根据小样本来估计呈正态分布且方差未知的总体的均值。
如果总体方差已知（例如在样本数量足够多时），则应该用正态分布来估计总体均值。
t分布曲线形态与n（确切地说与自由度df）大小有关。
与标准正态分布曲线相比，自由度df越小，t分布曲线愈平坦，曲线中间愈低，曲线双侧尾部翘得愈高；自由度df 愈大，t分布曲线愈接近正态分布曲线，当自由度df=∞时，t分布曲线为标准正态分布曲线。
设随机变量T ∼ t n, 则其密度函数为：t n(x)=Γ(n+12)Γ(n2)√nπ(1+x2)−n+12,−∞<x<∞该密度函数的图形如下：t分布表如下：n | α0.250.10 0.050.0250.010.005 1 1.0000 3.0777 6.3138 12.7062 31.8205 63.6567 20.8165 1.8856 2.9200 4.3027 6.9646 9.9248 30.7649 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8409 40.7407 1.5332 2.1318 2.7764 3.7469 4.6041 50.7267 1.4759 2.0150 2.5706 3.3649 4.0321 60.7176 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 70.7111 1.4149 1.8946 2.3646 2.9980 3.4995 80.7064 1.3968 1.8595 2.3060 2.8965 3.3554 90.7027 1.3830 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 100.6998 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 110.6974 1.3634 1.7959 2.2010 2.7181 3.1058 120.6955 1.3562 1.7823 2.1788 2.6810 3.0545 130.6938 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 140.6924 1.3450 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768 150.6912 1.3406 1.7531 2.1314 2.6025 2.9467160.6901 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 170.6892 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 180.6884 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 190.6876 1.3277 1.7291 2.0930 2.5395 2.8609 200.6870 1.3253 1.7247 2.0860 2.5280 2.8453 210.6864 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2.6951 440.6801 1.3011 1.6802 2.0154 2.4141 2.6923 450.6800 1.3006 1.6794 2.0141 2.4121 2.6896 460.6799 1.3002 1.6787 2.0129 2.4102 2.6870 470.6797 1.2998 1.6779 2.0117 2.4083 2.6846 480.6796 1.2994 1.6772 2.0106 2.4066 2.6822 490.6795 1.2991 1.6766 2.0096 2.4049 2.6800 500.6794 1.2987 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 510.6793 1.2984 1.6753 2.0076 2.4017 2.6757 520.6792 1.2980 1.6747 2.0066 2.4002 2.6737 530.6791 1.2977 1.6741 2.0057 2.3988 2.6718 540.6791 1.2974 1.6736 2.0049 2.3974 2.6700 550.6790 1.2971 1.6730 2.0040 2.3961 2.6682 560.6789 1.2969 1.6725 2.0032 2.3948 2.6665 570.6788 1.2966 1.6720 2.0025 2.3936 2.6649 580.6787 1.2963 1.6716 2.0017 2.3924 2.6633 590.6787 1.2961 1.6711 2.0010 2.3912 2.6618600.6786 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 610.6785 1.2956 1.6702 1.9996 2.3890 2.6589 620.6785 1.2954 1.6698 1.9990 2.3880 2.6575 630.6784 1.2951 1.6694 1.9983 2.3870 2.6561 640.6783 1.2949 1.6690 1.9977 2.3860 2.6549 650.6783 1.2947 1.6686 1.9971 2.3851 2.6536 660.6782 1.2945 1.6683 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