正态分布图
正态分布(4)
2.正态分布密度函数： 正态分布密度函数： 正态分布密度函数
正态曲线（ 正态曲线（normal curve）是一条高峰位于中 ） 央，两端逐渐下降并完全对称，曲线两端永远不 两端逐渐下降并完全对称， 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为： 与横轴相交的钟型曲线。其密度函数为：
−( X −µ)2 2σ 2
1 f ( z) = 2π
e
−
z 2
2
− ∞ < z < +∞
经标准化变换后，原变量X变为 ，Z服从总体 经标准化变换后，原变量 变为Z， 服从总体 变为 均数为0，总体标准差为 的正态分布 的正态分布， 均数为 ，总体标准差为1的正态分布，即标准 正态分布（ 正态分布（standard normal distribution）。 ） 记作： 记作：
习惯上用N 表示均数为µ 标准差为σ 习惯上用 (µ ，σ2)表示均数为 、标准差为 表示均数为 的正态分布。记作： 的正态分布。记作：
X ~ N(µ,σ )
2
二、正态曲线下面积的分布规律 （一）正态分布曲线下面积 正态曲线下面积的分布规律由µ 所决定。 正态曲线下面积的分布规律由 及σ所决定。 所决定 一般正态分布曲线下面积分布状况： 一般正态分布曲线下面积分布状况： µ± σ µ±1.64 σ µ±1.96 σ µ±2.58 σ 0.6827 0.9090 0.9500 0.9900
Z ~ N ( 0 ，) 1
统计学家编制了标准正态分 布曲线下面积分布表， 布曲线下面积分布表，正态 分布两边对称， 分布两边对称，表中只给出 取负值的情况。 了Z取负值的情况。表内所 取负值的情况 列数相当于Z值左侧标准正 列数相当于 值左侧标准正 态分布曲线下面积， 态分布曲线下面积，记作 Φ(z)。 。
正态分布图制图步骤知识讲解
操作说明
1.统计数据个数；任意选个单元格，如B1，输入
count(A1:A10)；
2.求最大值；如B2中输入：max(A1:A10)
3.求最小值；如B3中输入：min(A1:A10)
4.求平均值；如B4中输入：average(A1:A10)
5.求标准偏差：如B5中输入：stdev(A1:A10)
6.获得数据区间；用最大值减最小值；如B6中输入：B3-B2
7.获得直方图个数；个数的开放加1
，如B7中输入：sqrt
（B1）+1
8.获得直方图组距；用区间除以(直方图个数-1)，如B8中输入B7/(B7-1)
下面就开始作图了：
1.任选个空单元格：如C列第一个单元格C1，令C1等于最小值，即输入=B3
2.在C2中输入=C1+$B$8 (最小值逐渐累加，绝对引用)
3.选中C2，然后向下拉，直到数据大于最大值就可以了；比如你拉到C5了。
4.统计频数，如在D1中输入frequency（A1:A10，C1:C5）确定，然后将选中D1到D5，将光标定位到公式栏，同时按住Ctrl+Shift+Enter
5.统计正态分布的数据，E1中输入normdist（C1，
$B$4,$B$5,0）回车；然后选中E1，下拉到E5。
正太分布2012
A、正态分布法
B、百分位数法
理论上应用 1.96 ，由于μ、σ一般都未知 故用式
X 1.96 S
代替
公式： 双侧95%参考值范围 单侧95%参考值范围
X 1.64 S
单侧 下限
X 1.64 S
X 1.96 S
单侧 上限
例5-13 调查某地120名健康女性血红蛋 白，直方图显示，其分布近似正态分 布，均数为117.4(g/L)，S=10.2(g/L) 估计该地健康女子血红蛋白的95%的 参考值范围
U 0.05/ 2 1.96
三、正态分布的应用
1.医学上的参考值范围估计
（1）医学参考值范围:（reference value） 指正常人的人体形态、机能和代谢产物等 各种生理及生化指标的波动范围。 正常人不是只任何组织、器官的形态和机 能都正常的人，而是指排除了有关疾病和 因素、对所研究指标有影响的特定健康状
P (k1 X k 2 )
k 1 x k 2
C
x n
x
(1 )
n x
k 2 0 .5 n k1 0.5 n ( ) ( ) n (1 ) n (1 ) pX k pk 0.5 X k 0.5 k 0. 5 n k 0 .5 n ( ) ( ) n (1 ) n (1 )
P ( X k ) C (1 )
x 0 x n x
k
n x
k 0.5 n ( ) n (1 ) P ( X k ) C (1 )
xk x n x n n x
k 0. 5 n 1 ( ) n (1 )
正态分布 课件
总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。
正态分布在概率和统计中占有重要地位。
4、正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（μ－σ，μ＋σ]
0.6826
（μ－2σ，μ＋2σ]
0.9544
（μ－3σ，μ＋3σ]
0.9974
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（4）曲线与x轴之间的面积为1.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
（5）若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定 .σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
5、特殊区间的概率:
m-a
m+a
x=μ
若X~N ,则对于任何实数a>0,概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即X集中在 周围概率越大。
4
0.04
[0.5,1)
8
0.08
[1,1.5)
15
0.15
[1.5,2)
22
0.22
[2,2.5)
25
0.25
[2.5,3)
14
0.14
[3,3.5)
6
0.06
[3.5,4)
4
0.04
[4,4.5)
2
0.02
11
高尔顿钉板实验的 频率分布直方图
这条曲线具有 “中间高，两头低” 的特征，像这种类型的曲线, 就是（或近似地是）以下函数的图像:
2.4正态分布
解答
引申探究
本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，求c的值.
解 因为X服从正态分布N(1,22)， 所以对应的正态曲线关于x＝1对称. 又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，
c＋1＋c－1 因此 ＝1，即 c＝1. 2
解答
反思与感 悟
利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的
2
1 2 3 4 5
解析
答案
3.已知服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)， (μ － 2σ ， μ ＋ 2σ) 和 (μ － 3σ ， μ ＋ 3σ) 内 取 值 的 概 率 分 别 为
68.3%,95.4% 和99.7%.若某校高一年级 1 000名学生的某次考试
成绩X服从正态分布N(90,152)，则此次考试成绩在区间 (60,120) 内的学生大约有 A.997人 B.972人
解析 答案
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
S(-,-X)
S(X,)＝S(-,-X)
正态曲线下的面积规律
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
3、特殊区间的概率:
特别地有
解析
由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，
曲线越矮胖；σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，故选A.
1 2 3 4 5
解析
答案
2.设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ ＝0无实数根的概率为 ，则μ等于 1
直方图和正态分布图
直方图和正态分布图
直方图（Historgram）是将某期间所收集的计量值数据经分组整理成次数统计表，并使用柱形予以图形化，以掌握这些数据的分布状况。
直方图的应用
制造---加工尺寸的分布
经济---收入支出的分布
教育---考试成绩的分布……
●直方图是反映分组数据频数的柱形图
●正态分布图是一条单峰、对称成钟形的曲线。
Frequency函数
●以一个垂直数组返回某个区域中数据的频率分布
●由于函数frequency返回返回一个数组，所以必须以数组公式的形式输入
Frequency（data_array，bins_array）:
data_array为一数组或对一组数值的引用，用来计算频率。
Bins_array 为间隔的数组或对间隔的引用，该间隔用于对data_array中的数值进行分组
Normdist函数
返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数
Normdist (x，mean，standard_dev，cumulative)
其中x为需要计算其分布的数值
Mean 分布的算术平均数
Standard_dev 分布的标准偏差
Cumulative 如果为false，则返回概率密度函数
正态分布图的差异：中心偏移，分布不同
分析工具库-安装加载宏：制作直方图
VBA：全称Visual Basic for Application, 它是Visual Basic 的应用程序版本，是面向对象的编程语言。
VBA也可应用于AutoCAD
VBA的应用
●自动执行重复的操作
●进行“智能化”处理
●Office二次开发的平台。
柏拉图及直方图和正态分布图绘制方法
正态图
40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 5% 0%
图9 为0
设置柱形图的“分类间距”
图10 直方图和正态分布图
准备绘制图表所需的数据。如图所示1，A3:B8单元格区域为消费支出的数 据，并按支出金额的大小排列，其中表格的第2行设计成累计值为0的空白 项目。 C3:C8单元格区域为每项支出占全部支出的比例，D3:D8单元格区域为每项 支出的累计比例，E3:E8单元格区域为绘制累计比例的XY散点图系列所对 应的x坐标值。 各列公式的设置方法如下：分别选取C3:C8、D3:D8和E3:E8单元格区域， 然后输入下列公式，按<Ctrl+Enter>组合键完成公式的编辑。
标准柏拉图（Pareto chart)
100% 80% 60% 40% 20% 0% 娱乐 租金 食物 衣服 交通 其它 17% 54% 100% 80% 60% 40% 20% 5% 3% 0%
12%
9%
图10 标准柏拉图
直方图及正态分布图绘制方法介绍
定义：直方图是通过对数据的加工整理，从而分析和掌握质量数据的分布 状况和估算工序不合格品率的一种方法。 用途：常用于分析质量原因，测量工序能力，估计工序不合格品率等。 作直方图的三大步骤：(1)作频数分布表 (2)画直方图 (3)进行相关计算 常见的几种典型形状：(1)正常型 (2)孤岛型 (3)偏向型 (4)平顶型 定量表示直方图的主要统计特征值： (1)平均值--表示数据的分布中心位置， (2)标准偏差--表示数据的分散程度 。 直方图和正态分布图是统计中使用最为频繁的图表。直方图是先按分组区 间计算出数据的发生频数，再以柱形表示频数的图表。正态分布图则描述数 据在分组区间内出现的概率，在图表中表现为一条单峰，对称的钟形曲线。 具体的绘制步骤如下： 原始数据：
正态分布图0321版
图形设定TRUE起点0操作步骤及说明：1. 在Excel、Word等电子文档的表格内复制源数据，不限排列方式，但不得含有其它无关数据；然后点击本页面的“更新数据”按钮，源数据即被调入本文件；2. 在本页面黄色区域内填写相关信息和测试标准，然后点击“重新绘图”按钮，则生成相关图片；3. 当复制的所有数据完全相等，或者所复制的内容、数据为文字格式时，本程式无法绘图。
4. 本图表可以自定义图形的组距和组界，其中组界是通过设定 X 起点的方式实现；图形实际显示的范围比 X 起点和 X 终点都要多出半个组距，如例图，如果起点设定为2.72，组距设定为 0.04，那么当把下限设定为2.7时，红色的规格线2.7也将出现在图形上。
5. 图形的复制和保存的默认路径在本程序所在的文件夹下，如果点击“另存打开”，则复制后得到的图形文件呈打开状态，点击“另存关闭”，则所复制得到图形文件直接保存并关闭。
6. 首次使用VBA程序时，应首先将EXCEL中的安全性设定为“中” (具体设定位置在“工具” → “宏” →“安全性”)，然后关闭本文件，再次打开这个文件，在打开文件时遇到的第一个对话框上选择“启用宏”。
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