蒋殿春《高级微观经济学》课后习题详解(第2章 利润最大化)

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1．对于Cobb-Douglas 生产函数：12y Ax x αβ=，,0αβ>，1αβ+≤，0A >。

（1）验证：仅在参数条件1αβ+≤下，利润最大化问题的二阶条件才能得到满足；（2）求要素需求函数和产品供给函数（可在结果中保留变量y ）； （3）求利润函数；（4）验证利润函数是()12,,p w w 的一次齐次函数； （5）验证Hotelling 引理。

解：（1）Cobb-Douglas 生产函数为12y Ax x αβ=，利润最大化的二阶条件是生产函数的Hessian 矩阵是半负定的，即：()()21212212211y yx x x D f yy x x x αααβββαβ-⎛⎫⎪⎪= ⎪-⎪ ⎪⎝⎭中，()2110y x αα-≤，()2210y x ββ-≤且矩阵的行列式非负，()()()22222222212121110y y D f x x x x αβαβαβαβαβ⎡⎤=---=--≥⎣⎦ 所以，1αβ+≤。

（2）利润最大化问题的一阶必要条件是： 11121py w pAx x x αβαα-==，12122py w pAx x x αβββ-==所以要素需求函数为()11,pyx p w w α=，()22,pyx p w w β=。

将要素需求函数代入生产函数121212py py p p y Ax x A Ay w w w w αβαβαβαβαβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得产品供给函数为()111112,p p y p w Aw w αβαβαβαβ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

（3）利润函数为：()()()()()()()1,21122,,,,,,,p w w py p w w x p w w x p w py p w py p w py p w παβ=--=--将()111112,p p y p w Aw w αβαβαβαβαβ------⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入，得：()()11111,212,1p p p w w pAw w αβαβαβαβπαβ------⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）由（3）知，利润函数为：()()11111,212,1p p p w w pAw w αβαβαβπαβ------⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()11111,2121111121,2,t 11,tp tp tp w tw tpA tw tw p p t pA w tw t p w w αβαβαβαβαβαβαβαβαβπαβαβαβπ------------⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=因此，利润函数是()12,,p w w 的一次齐次函数。

（5）利润函数()()11111,212,1p p p w w pA w w αβαβαβαβαβπαβ------⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中，p 的幂次为11111αβαβαβαβ++=------，且(),y p w p π∂=∂。

其中一部分1111111p p w w w w αααβαβααα----⎛⎫⎛⎫∂=- ⎪⎪∂⎝⎭⎝⎭从而有，1111111121p p pypA x w w w w w αβαβπααβα------⎛⎫⎛⎫∂=-=-=- ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭。

同理，可验证22x w π∂=-∂。

2．不利用包络定理，证明Hotelling 引理。

证明：对任何的价格参数(),p w **，0,0p w **> ，令相应的产品供给和要素需求分别为y *和x *。

现在如果价格变为(),p w ，而厂商没有相应地调整生产计划，仍然使用要素投入x *，它将得到利润为()1,p w py wx π**=-。

这当然不一定是厂商此时能获得的最大利润(),p w π，因为后者是根据价格(),p w π对生产计划进行了最适调整后得到的。

若将这两个利润水平的差定义为一个新的函数：()()()1,,,p w p w p w δππ=-已知(),0p w δ≥。

假设x *是价格(),p w **下的最优要素投入，从而()()1,,p w p w ππ****=。

所以，函数(),p w δ在(),p w **取得最小值，它必将满足一阶必要条件()(),,0p w p w pδ**∂=∂，()(),,0p w ip w w δ**∂=∂。

即()()()()1,,,,p w p w p w p w y ppππ*****∂∂==∂∂，()()()()1,,,,p w p w iip w p w x w w ππ*****∂∂==-∂∂由于(),p w **为任意可取值，所以Hotelling 引理得以证明。

3．厂商在短期内以可变要素1和固定要素2生产一种市场价格为p 的产品，生产函数为()1/321212,f x x x x =，要素1和2的价格分别为1w 和2w 。

（1）求厂商的短期可变要素需求；（2）求厂商的短期利润函数。

解：（1）厂商的利润函数为1/32121122px x w x w x --，转化为利润最大化问题，即： ()11/323121122max x px x w x w x ⎡⎤-+⎣⎦ 利润最大化的一阶条件为：2323121103px x w --= 解得31213p x x w ⎛⎫= ⎪⎝⎭，这就是厂商的短期可变要素需求。

（2）厂商的短期利润函数为：()132121/32/322212222211123333p p p x p x x w x w x p w x w w w π⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=--=- ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4．某厂商以一种投入同时生产两种产品，生产函数是22120y y x +-=试求该厂商的要素需求和产品供给。

解：由题意可得：[]121122,,max y y xp x p x wx --2212..0s t y y x +-=将约束方程改写为2212y y x +=，代入目标函数，可整理为一个无约束的最大值问题，其一阶必要条件为20i i p wy -=，1,2i =，解得要素供给函数为2ii p y w=，1,2i =，从而得到要素需求函数为2222121224p p x y y w +=+=。

5．一个多产品市场厂商的生产函数是(),0g y x =，对其利润最大化问题（2.32）， （1）写出角点解的一阶必要条件； （2）写出内点解的二阶必要条件。

解：（1）考虑角点解可以列出下列式子：[],max x ypy wx -()..,0s t g y x =构造拉格朗日函数：()1,ni i i L py wx g y x x λμ==--+∑一阶必要条件：在最优点(),y x **，存在λ*及0i μ*≥()1,2,...i n =，使得：(),0i i i ig y x Lw x x λμ****∂∂=--+=∂∂()1,2,...i n = (),0i i ig y x L p y y λ***∂∂=-=∂∂()1,2,...i k = (),0Lg y x λ**∂=-=∂ 并且满足0i i x μ**=()1,2,...i n =。

（2）不考虑角点解，构造拉格朗日函数：()(),,,L x y py wx g y x λλ=--内点解的二阶必要条件是：对任何满足(),0Dg y x h **=的向量h ，满足()2,,0T h D L x y h λ**≤。

6．如果一个厂商的技术是规模收益递增的，产品价格和要素价格都保持不变。

证明：这个厂商的利润或者是零，或者是无穷大。

证明：如果厂商生产技术是规模收益递增的，那么对于任何不为零的要素组合0x >和1t >，都有()()f tx tf x >，从而：()()()()()()()tx pf tx w tx tf x w tx t f x wx t x ππ=-⋅>-⋅=-=⎡⎤⎣⎦所以，只要存在0x >使得()0x π>，厂商在投入组合x 基础上扩大生产规模总可以提高利润，而且这种过程可以无休无止地延续下去，最终厂商获得的利润将是无穷大。

除非，厂商在任何投入水平x 上的利润都是非正值（角点解），此时厂商只有接受零利润。

7．假设某厂商以两种投入生产一种产品，生产函数()12,y f x x =是凹函数；产品市场和要素市场都是完全竞争的，即是说厂商的行为不改变产品和要素的价格。

厂商追求利润最大化，但它资金紧张，可用于购买要素的钱只有0B >，这样它还受预算约束：1122w x w x B +≤ （1）在上述预算约束下，推导厂商的最优要素投入条件。

（2）假设现存在另一种可选要素3，它与要素2是相互完全替代的（投入一单位要素2与一单位要素3没有区别）；要素3的价格高于要素2的价格：32w w >，不过厂商使用要素3不受预算约束的限制——我们可以想象要素3的销售商允许赊账。

在什么情况下厂商会使用要素3？试推导此时厂商对三种要素的最优需求条件。

解：（1）厂商面对的问题是：()()12121122,max ,x x pf x x w x w x -+⎡⎤⎣⎦1122..0s t w x w x B +-≤如果约束是不束紧的，资金B 足够厂商购买它达到利润最大化所需的要素量，问题变为一个无约束的标准利润最大化问题。

现假设约束是束紧的，这样问题就演化为一个等式约束问题。

构造拉格朗日函数：()()()1211221122,L pf x x w x w x w x w x B λ=-+-+-利润最大化的一阶必要条件是：()()12,10i i if x x L p w x x λ∂∂=-+=∂∂ ()11220Lw x w x B λ∂=-+-=∂ 第一个条件可以改写为1ii pf w λ=+，代入第二个条件，解得[]11221p f x f x B λ+=-，再代入第一个条件得，1122i i f x f x f w B+=，1,2i =。

（2）在可用资金约束不束紧的情况下，厂商必然不会使用要素3。

下面假设该约束是束紧的，由于要素3与要素2是完全替代的，生产函数可以写为：()()123123,,,g x x x f x x x ≡+厂商此时面对的问题变为：()()123123112233,max ,x x x pf x x x w x w x w x +-++⎡⎤⎣⎦，1122..0s t w x w x B +-≤构造拉格朗日函数：()()()1231122331122,L pf x x x w x w x w x w x w x B λ=+-++-+-利润最大化的一阶必要条件是：()10i i iLpf w x λ∂=-+=∂，1,2i = 2330Lpf w x ∂=-=∂ ()11220Lw x w x B λ∂=-+-=∂ 由此可得到：()11223221f x f x w w w Bλ+=+=。