江苏专用2020版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语2第2讲命题及其关系充分条件与必要条件刷好题练

第2讲 命题及其关系、充分条件与必要条件1．已知向量a ＝(x －1，2)，b ＝(2，1)，则a ⊥b 的充要条件是x ＝________．解析：a ⊥b ⇔2(x －1)＋2＝0，得x ＝0.答案：02．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________． 解析：原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”．答案：“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”3．已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1，2，3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的________条件．解析：当a ＝3时A ＝{1，3}，显然A ⊆B .但A ⊆B 时，a ＝2或3.答案：充分不必要4．已知p ：“a ＝2”，q ：“直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切”，则p 是q 的________条件． 解析：由直线x ＋y ＝0与圆x 2＋(y －a )2＝1相切得，圆心(0，a )到直线x ＋y ＝0的距离等于圆的半径，即有|a|2＝1，a ＝±2.因此，p 是q 的充分不必要条件．答案：充分不必要5．命题：“若x 2<1，则－1<x <1”的逆否命题是________．解析：x 2<1的否定为：x 2≥1；－1<x <1的否定为x ≥1或x ≤－1，故原命题的逆否命题为：若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.答案：若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥16．设集合A ＝{x ∈R |x －2＞0}，B ＝{x ∈R |x ＜0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)＞0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的________条件．解析：A ∪B ＝{x ∈R |x ＜0或x ＞2}，C ＝{x ∈R |x ＜0或x ＞2}， 因为A ∪B ＝C ，所以“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充分必要条件．答案：充分必要7．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是________．解析：原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数”，显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．答案：18．对于函数y ＝f (x )，x ∈R ，“y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称”是“y ＝f (x )是奇函数”的________条件．解析：若y ＝f (x )是奇函数，则f (－x )＝－f (x )，所以|f (－x )|＝|－f (x )|＝|f (x )|，所以y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，但若y ＝|f (x )|的图象关于y 轴对称，如y ＝f (x )＝x 2，而它不是奇函数．答案：必要不充分9．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ＝4a2＋12a≤0，解得－3≤a <0，故实数a 的取值范围是－3≤a ≤0.答案：[－3，0]10．已知集合A ＝{x |y ＝lg(4－x )}，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{x |x <4}，由题意得A B ，结合数轴易得a >4.答案：(4，＋∞)11．有下列几个命题：①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．解析：①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”错误．②原命题的逆命题为“x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”正确．答案：②③12．(2019·扬州四校联考)下列四个说法：①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；②命题“设a ，b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题；③“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．解析：①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a ，b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③1x <12，则1x－12＝2－x 2x <0，解得x <0或x >2，所以“x >2”是“1x <12”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．答案：①②13．(2019·南通数学学科基地命题)△ABC 中，“角A ，B ，C 成等差数列”是“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ”成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)解析：条件“△ABC 中，角A ，B ，C 成等差数列”⇔B ＝π3；结论“sin C ＝(3cos A ＋sin A )cos B ”⇔sin(A ＋B )＝3cos A ·cos B ＋sin A cos B ⇔cos A sin B ＝3cos A cos B ⇔cos A ＝0或sin B ＝3cosB ⇔A ＝π2或B ＝π3.所以条件是结论的充分不必要条件．答案：充分不必要14．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．解析：由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，可知¬p 是¬q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件，故a ≥1.答案：[1，＋∞)1．若a ，b ∈R ，已知原命题是“若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b ≥0”，给出下列命题：①若a 2－4b ≥0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集；②若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集； ③若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b <0；④若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集，则a 2－4b <0； ⑤若a 2－4b <0，则不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是非空数集；⑥若不等式x 2＋ax ＋b ≤0的解集是空集，则a 2－4b ≥0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是________(按要求的顺序填写)．解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于”的否定是“小于”，根据命题的构造规则，命题的序号依次是①③②④.答案：①③②④2．(2019·无锡质检改编)若函数f (x )＝2x－(k 2－3)·2－x，则“k ＝2”是“函数f (x )为奇函数”的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)解析：f (x )＝2x－(k 2－3)·2－x⇒f (－x )＝2－x－(k 2－3)·2x，因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，则k 2－3＝1⇒k ＝±2，“k ＝2”是函数f (x )为奇函数的充分不必要条件．答案：充分不必要3．设有两个命题p 、q .其中p ：对于任意的x ∈R ，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立；命题q ：f (x )＝(4a －3)x在R 上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，求实数a 的取值范围．解：若命题p 为真，则当a ＝0时，不等式为2x ＋1>0，显然不能恒成立，故a ＝0不适合；当a ≠0时，不等式ax 2＋2x ＋1>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝22－4a<0，解得a >1.若命题q 为真，则0<4a －3<1，解得34<a <1.由题意，可知p 、q 一真一假． 当p 真q 假时，a 的取值范围是{a |a >1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a≤34或a≥1＝{a |a >1}；当p 假q 真时，a 的取值范围是{a |a ≤1}∩⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|34<a<1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|34<a<1；所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞)．4．已知集合M ＝{x |x <－3或x >5}，P ＝{x |(x －a )·(x －8)≤0}．(1)求M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件；(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件．解：(1)由M ∩P ＝{x |5<x ≤8}，得－3≤a ≤5，因此M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的充要条件是－3≤a ≤5.(2)求实数a 的一个值，使它成为M ∩P ＝{x |5<x ≤8}的一个充分不必要条件，就是在集合{a |－3≤a ≤5}中取一个值，如取a ＝0，此时必有M ∩P ＝{x |5<x ≤8}；反之，M ∩P ＝{x |5<x ≤8}未必有a ＝0，故“a ＝0”是“M ∩P ＝{x |5<x ≤8}”的一个充分不必要条件．5．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －（3a ＋1）<0，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －a2－2x －a <0.(1)当a ＝12时，求(∁U B )∩A ；(2)p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x －2x －52<0＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2<x<52，B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －94x －12<0＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12<x<94，所以∁U B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x≤12或x≥94.所以(∁U B )∩A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫94≤x<52.(2)因为a 2＋2>a ，所以B ＝{x |a <x <a 2＋2}．①当3a ＋1>2，即a >13时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}．因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B .所以⎩⎪⎨⎪⎧a≤2，3a ＋1≤a2＋2，即13<a ≤3－52.②当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意； ③当3a ＋1<2，即a <13时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，由A ⊆B 得⎩⎪⎨⎪⎧a≤3a＋1，a2＋2≥2，所以－12≤a <13.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0，p ≠1，n ∈N *)，求数列{a n }是等比数列的充要条件．解： a 1＝S 1＝p ＋q .当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)．因为p ≠0，p ≠1，所以pn （p －1）pn －1（p －1）＝p .若{a n }为等比数列，则a2a1＝an ＋1an ＝p ，所以p （p －1）p ＋q＝p ，因为p ≠0，所以p －1＝p ＋q ，所以q ＝－1.这是{a n }为等比数列的必要条件．下面证明q ＝－1是{a n }为等比数列的充分条件．当q ＝－1时，S n ＝p n－1(p ≠0，p ≠1，n ∈N *)，a 1＝S 1＝p －1，当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1＝p n －pn －1＝pn －1(p －1)，所以a n ＝(p －1)pn －1(p ≠0，p ≠1)，an an －1＝（p －1）pn －1（p －1）pn －2＝p 为常数．所以q ＝－1时，数列{a n }为等比数列，即“数列{a n }是等比数列”的充要条件为“q ＝－1”．。