特征标表
oh群特征标表
oh群特征标表
【实用版】
目录
1.Oh 群特征表的定义和作用
2.Oh 群特征表的内容
3.Oh 群特征表的应用领域
4.Oh 群特征表的优缺点
正文
Oh 群特征表是一种用于描述物质的物理和化学特性的表格，它可以帮助科学家和工程师更好地理解和利用这些物质。
Oh 群特征表通常包含一系列的特征参数，例如熔点、沸点、密度、硬度、电导率等等，这些参数可以描述物质的各种性质和行为。
Oh 群特征表的内容非常丰富，其中包括了许多重要的特征参数。
例如，熔点是指物质从固体到液体的转化温度，沸点是指物质从液体到气体的转化温度，密度是指物质单位体积的质量，硬度是指物质抵抗划痕或穿透的能力，电导率是指物质导电的能力。
Oh 群特征表的应用领域非常广泛，它可以用于各种物质的研究和利用。
例如，在化学研究中，Oh 群特征表可以帮助科学家更好地理解物质的性质和行为；在工程应用中，Oh 群特征表可以帮助工程师更好地设计和利用物质。
Oh 群特征表的优缺点也非常明显。
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特征标表(PPT文档)
RHale Waihona Puke h 12 1 12 2 (1)2 3 6
四.不可约表示的性质
3、对于每一类操作，其特征标的平方乘该类之阶，然后遍 及所有的不可约表示（l），就等于对称操作的总数h：
h g[R (l)]2
l
h 12 2 12 2 12 2 6
四.不可约表示的性质
4、除了全不对称的不可约表示A1外，对于其余每一个不可 约表示，每一类操作的特征标与此类之阶相乘，然后遍及所 有的类求和，其值为零。
对于E不可约表示
h 21 (1) 2 03 0
四.不可约表示的性质
5、任何两个不可约表示（i, j）的相应特征标之积，再乘此类 之阶，其加和为零：
§ 2-2 特征标表
复习：原子轨道
§ 2-2 特征标表 Character Tables
四.不可约表示的性质
1、每个点群中不可约表示的数目与群中对称操作的类的数 目相等。 2、对于每一个不可约表示，每一类操作（R）的特征标（χ） 的平方乘该类之阶（g），然后遍及所有的类求和，就等于此 群之阶（即对称操作的总数h）
也即任意两 个不可约表 示是正交的
特征标和特征标表
5.04, 无机化学原理 II 麻省理工学院化学系 第4讲 特征标和特征标表''v 在前面一讲中，我们构建了一套操作为2'33E C C v v σσσ、、、、、的特征标表。
但因为我们选择的三角形基组是不完全的，所以并没有揭示所有不可约表示Γirr 。
可以用一个三角形代表笛卡儿坐标空间（x, y, z ），在该空间中可以确定不可约表示Γirr ，也可以尝试选择其他的基以揭示其他的不可约表示Γirr 。
例如，考察绕z 轴的旋转，在群的操作（因为同一类操作的特征标是相同的，因此对每一类只选择一个操作）下，这个基fn 、Rz 的变换特性如下：()z z 3z zv z z →''v E R R C R R xy R R σ→→：：：注意：这些变换特性产生不包括在三角形基之内的不可约表示。
可得到一个新的（1×1）的表示[representation ，原文误为：basis ]Γ3，这个表示描述R z 的变换特性。
由2'33E C C v v σσσ、、、、、定义的群的Γi 总结如下：不可约表示及其特征标服从五个重要规则：规则1：群的不可约表示Γi的维数（l i）平方和等于群的阶h，即：由于恒等操作下特征标等于Γi的维数（因为E总是单位矩阵），该规则也可表述如下：原文误为：规则2：不可约表示Γi的特征标的平方和等于h原文误为：规则3：两个不同不可约表示的特征标作为分量的矢量正交原文误为：规则4：对于给定的表示，所有属于同类操作的矩阵的迹（trace ，原文误为character ）相等 。
规则5：群中不可约表示Γi 的数目等于群中类的数目运用这些规则，我们就可以从代数学角度构建特征标表。
下面仍以前面的例子为例来构建缺乏任一基时的特征标表：规则5：E ，()2C C 、33，()'''v v v σσσ、、，可分为3类，∴3Γi规则1：22261,l l l l l l 1231232++=∴===，规则2：所以特征标表都具有一个全对称表示，这样，其中的一个不可约表示Γi 具有特征标χ1（E ）＝1，χ1＝（C 3，C 32）＝1（原文误为：σ1＝），χ1＝（σv ，σv ′，σv ″）＝1。
对称群s4的特征标表的两种构造方法
对称群s4的特征标表的两种构造方法
1、一种构造方法
（1）对每一个n-维对称群S4，建立n个基矢e1，e2，…，en，满足：e1^2=e2^2=…=en^2=1，且e1、e2、…、en间的叉积满足群S4的定义。
（2）定义Mn表：Mn的元素是所有可能的n-维对称群S4的成员ω.
（3）用以下公式定义每个ω的特征值：
ω(e1，e2，…，en)=α1e1+α2e2+…+αnen
（4）用以下公式计算特征值：
αi=1/nΣω(ei,ej)
其中，i=1,2,…,n；j=1,2,…,n；i≠j。
（5）用每个ω的特征值组成Mn表，即可得到对称群S4的特征标表。
2、另一种构造方法
（1）对每一个n-维对称群S4，建立n个基矢e1，e2，…，en，满足：e1^2=e2^2=…=en^2=1，且e1、e2、…、en间的叉积满足群S4的定义。
（2）定义Mn表：Mn的元素是所有可能的n-维对称群S4的成员ω.
（3）用以下公式定义每个ω的特征值：
ω(e1，e2，…，en)=α1e1+α2e2+…+αnen
（4）用以下公式计算特征值：
αi=Σ(-1)^((i-j)mod2)ω(ej)
其中，i=1,2,…,n；j=1,2,…,n；i≠j。
（5）用每个ω的特征值组成Mn表，即可得到对称群S4的特征标表。
特征标表
对任意 a, b ∈V ，有
并且
∑ a = α ju j j
∑ b = βkuk k
∑ ∑ ⎛
a⋅b = ⎜ ⎝
j
α
j
u
j
⎞ ⎟ ⎠
⋅
⎛ ⎜⎝
k
β k uk
⎞ ⎟⎠
∑ = α j βku j ⋅ uk jk
∑ ∑ =
jk
α jβk
⎛ ⎜⎝
A
ν
A jk
uA
⎞ ⎟⎠
∑ ∑ =
⎛ ⎜
α
j βkν
A jk
⎞ ⎟uA
6
4）第一正交关系（行正交关系）
∑ 1
|G|
ν
nν Χ(α ) (Kν )Χ(β ) (Kν ) = δαβ
(α , β = 1, 2,", q)
α =1 时 Χ(1) (Kν ) = 1 (Kν ∈ KG )
故
（第一行）
∑ nν Χ(β ) (Kν ) = 0
ν
5）第二正交关系（列正交关系）
(β = 2,3,", q)
14
由 12 + s22 + s32 + s42 + s52 = 8
解得 s2 = s3 = s4 = 1
s5 = 2
故 C4v 的类特征标表示及第一行第一列就求出来了
剩下 16 个未知数，由第一，第二正交关系可以建立 16 个方程，只有 8 个 是线性的，
1）τ (2) ，τ (3) ，τ (4) 都是一维的， 特征标就是矩阵元
11
1）τ (2) 是 1 维的， χ (2) (g) 就是矩阵元, 故
所以
(χ (2) (c2′))2 = χ (2) (c2′ ⋅ c2′) = χ (2) (e) ，
3-2 特征标表PPT课件
群表示理论
目录
3 群表示理论（2）
3.4 广义正交定理 3.5 特征标表 3.6 直积群的表示 3.7 某些群的不可约表示（特征标表）
(A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1
(A E) E 2 1 0 2 1 0
(A A1 ) A1 1 1 1 1 1 1 (A A2 ) A2 1 1 1 1 1 1 (A E) E 2 1 0 2 1 0
本节结束
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0
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d 轨道函数空间下 C3v 的不等价不可约表示
现在我们把一个 g 阶的群 G 的操作分类，用符号 Ci 表示。将 第 i 类操作的数目用 gi 表示，把群中类的数目用 k 表示，因此
k
gi g
i1
例如，对于 C3v 群，我们有
C1 E Eˆ C2 2C3 Cˆ 3 Cˆ 32
如果直因子的表示是不可约的，则相应的直积群的表示也是不 可约的。
因为，直积群的类的数目等于其直因子的类的数目之积，因此， 直积群的不可约表示的数目也等于它的直因子的不可约表示的数目 的乘积。
直积群的不可约表示完全由它的直因子的不可约表示决定。
例 D3h 群的特征标表
D3h D3 Cs
D3 群是 C3v 群的同构群，其共轭类、特征标表与 C3v 相同。
E 2 1 0 (x , y);(Rx , Ry ) (xz, yz);(x2 y2 , xy)
12阶群的特征标表
12阶群的特征标表12阶群是指具有12个元素的群。
接下来，我将介绍12阶群的特征标表。
首先，我们需要确定12阶群的不可约表示。
根据群论的定理，任何有限群的特征标表的行数等于其共轭类的个数，因此我们需要找到12阶群的所有共轭类。
12阶群共有五个共轭类，它们分别是:1.单位元素类：{e}2.阶为2的元素类：{a,a^-1}，其中a是12阶群中阶为2的元素。
3.阶为3的元素类：{b,b^4,b^7}，其中b是12阶群中阶为3的元素。
4.阶为4的元素类：{c,c^3,c^9}，其中c是12阶群中阶为4的元素。
5.阶为6的元素类：{d,d^5}，其中d是12阶群中阶为6的元素。
接下来，我们需要计算这些共轭类的特征标。
特征标是将群的元素映射为一个复数的函数，满足以下性质:1.对于单位元素，特征标为12.对于非单位元素，则特征标的绝对值等于其共轭类大小的平方根。
下面是12阶群的特征标表:12阶群，{e}，{a,a^-1}，{b,b^4,b^7}，{c,c^3,c^9}，{d,d^5}--------，-----，-----------，--------------，---------------，---------χ1，1，1，1，1，1χ2，1，1，1，1，-1χ3，1，1，1，-1，1χ4，1，1，1，-1，-1χ5，1，1，-1，1，1χ6，1，1，-1，1，-1χ7，1，1，-1，-1，1χ8，1，1，-1，-1，-1χ9，2，-1，0，2，0χ10，2，-1，0，-2，0χ11，2，-1，0，0，2χ12，2，-1，0，0，-2在特征标表中，χ1至χ8都是行对称的，而χ9至χ12则是列对称的。
这就是12阶群的特征标表。
特征标是研究群表示论中非常重要的工具，它们不仅可以帮助我们确定一个群的结构，还可以在许多数学和物理学领域中找到应用。
低阶群的特征标表的开题报告
低阶群的特征标表的开题报告1. 研究背景和意义在群理论中，一个群的特征标表是群表示理论中的一种重要工具，可以描述群的不同表示之间的关系。
特征标表通常由一组列向量构成，称为特征标向量。
这些特征标向量可用于计算群的元素特征值，以及用于群表示中的一些重要运算如内积、张量积和直和等。
对于低阶群，尤其是像对称群、置换群和二面体群等简单群，研究其特征标表是有实际应用价值的。
特征标表在表示理论中的重要性质主要有以下几点：(1) 特征标表包含了群表示的所有信息，可以用特征标表刻画和比较不同的群表示。
(2) 特征标向量具有正交归一性，可以用于定义一组基底，进而计算不同表示间的内积和张量积等运算。
(3) 特征标表的构造可以通过迭代计算实现，因此能够快速求得很多群的表示。
因此，研究低阶群的特征标表有助于深入理解群表示的基本概念和原理，并在物理学、化学、计算机科学等领域中得到广泛应用。
因此，本研究选择对低阶群的特征标表进行深入研究，以期能够为群表示理论的发展做出一定的贡献。
2. 研究现状特征标表是群表示理论中的重要工具，对于相同的群，其特征标表可以有多种不同的构造方法。
研究低阶群的特征标表已有一定的文献报道。
下面简要介绍一下相关研究现状：(1) 对称群的特征标表在对称群的研究中，常用的特征标表是杨图或Young图表。
这种特征标表主要用于对称群的张量积表示的计算。
对于小型对称群，特征标表的构造可以通过Young 图的递归构造法来实现。
(2) 置换群的特征标表置换群的特征标表也可以用Young图表示。
此外，置换群的特征标表还可以通过加法交错群的特征标来计算。
(3) 二面体群的特征标表二面体群的特征标表可以通过矩阵群的方法来构造。
这种方法主要是利用了矩阵乘法和幺模变换的性质，以及二面体群的对称性质。
另外，二面体群的特征标表还可以通过其子群的特征标表来计算。
综上，现有的文献研究了一些对称群、置换群和二面体群的特征标表，但还有许多其他低阶群的特征标表需要进行深入研究。