群论复习思考题
群论课后习题答案
群论课后习题答案群论是数学中的一个分支，研究的是群的性质和结构。
在学习群论的过程中，习题是不可或缺的一部分，通过解答习题可以加深对群论概念和定理的理解。
本文将给出一些群论课后习题的答案，希望能对读者在学习群论时有所帮助。
1. 证明：对于任意群G和H，如果存在同构映射f: G→H，则G和H具有相同的群性质。
证明：假设f: G→H是一个同构映射。
由同构的定义可知，f是一个双射，并且满足对于任意的g1, g2∈G，有f(g1g2) = f(g1)f(g2)。
首先证明G和H具有相同的单位元。
设eG和eH分别是G和H的单位元，则有f(eG) = eH。
对于任意的h∈H，存在g = f^(-1)(h)∈G，因此有f(g) = h。
由此可得f(eG) = f(geG) = f(g)f(eG) = hf(eG)，即eH = hf(eG)。
同理可证hf(eG) = eH，因此G和H具有相同的单位元。
其次证明G和H具有相同的逆元。
设g∈G，对应的元素f(g)∈H。
由于f是双射，存在g' = f^(-1)(f(g))∈G，使得f(g') = f(g)^(-1)。
因此有f(g)f(g') = f(gg') = eH。
同理可证f(g')f(g) = eH。
由此可知g' = g^(-1)，即G和H具有相同的逆元。
最后证明G和H具有相同的封闭性。
设g1, g2∈G，对应的元素f(g1), f(g2)∈H。
由于f是双射，存在g' = f^(-1)(f(g1)f(g2))∈G，使得f(g') = f(g1g2)。
因此有f(g') = f(g1)f(g2)。
由此可知g' = g1g2，即G和H具有相同的封闭性。
综上所述，如果存在同构映射f: G→H，则G和H具有相同的群性质。
2. 设G是一个有限群，证明：G的任意子群的阶数必整除G的阶数。
证明：设H是G的一个子群，记|G|为G的阶数，|H|为H的阶数。
群论期末考试复习题
群论期末考试复习题
一、概念题
1.群、群的阶、群元素的阶、群的生成元、群的秩
2.子群、不变子群
3.阿贝尔群
4.共轭元素和类
5.群的同构、同态
6.固有转动、固有点群、点群
7.群的恒等表示、真实表示、特征标
8.群函数、群空间、群的正则表示
9.等价表示、两个表示等价的充要条件
10.可约表示、完全可约表示
11.无限群、连续群、李群
12.并矢及其运算
13.极射赤面投影
计算题、证明题
1．给出三阶群的乘法表
2．阿贝尔群的不可约表示都是一维的。
3．除恒等表示外，有限群任意不可约表示的特征标对群元素求和等于零。
4．设E是群G的恒源，R和S是群G中的任意元素，R-1和S-1分别是R和S 的逆元，试由群的定义证明：
(1) RR-1 = E
(2) RE = R
(3) 若TR = R, 则 T = E
(4) 若TR = E, 则 T= R-1
(5) (RS)的逆元为S-1R-1
5．试证明，除恒元外，每个元素的阶都是2的群一定是阿贝尔群6．试用正交法求出三角形对称群D3的特征标表
7．证明：两个右陪集SX和SY，要么所含的元完全相同，要么完
全没有共同的元
8．试证明，陪集不包括属于子群的元，并证明陪集不是群。
9．试证明垂直于某轴的面上的镜像操作的并矢σ→→为
u u I →
→→→→→-=2σ 其中，u →
是沿该轴的单位矢量
10．试画出C 4、C 4v 、C 4h 、S 4、D 4的极射赤面投影
C 4 C 4v C 4h S 4
D 4。
第二章群论复习题答案
第二章群论复习题答案1. 群的定义是什么？答：群是一个集合G，配备一个二元运算*，满足以下四个条件：封闭性，即对于任意的a, b属于G，a*b也属于G；结合律，即对于任意的a, b, c属于G，(a*b)*c = a*(b*c)；存在单位元，即存在一个元素e 属于G，对于任意的a属于G，e*a = a*e = a；存在逆元，即对于任意的a属于G，存在一个元素b属于G，使得a*b = b*a = e。
2. 什么是子群？答：子群是群G的一个非空子集H，它本身在G的运算下也是一个群，即满足封闭性、结合律、单位元和逆元的条件。
3. 群的同构是什么？答：如果存在一个双射函数f: G → H，使得对于任意的a, b属于G，都有f(a*b) = f(a)*f(b)，则称群G和群H是同构的。
4. 什么是正规子群？答：如果群G的子群N满足对于任意的g属于G和n属于N，都有g*n*g^-1属于N，则称N是G的一个正规子群。
5. 群的直积是如何定义的？答：如果有两个群G和H，它们的直积G×H是所有有序对(g, h)的集合，其中g属于G，h属于H，并且定义运算为(g1, h1) * (g2, h2) = (g1*g2, h1*h2)。
6. 什么是群的阶？答：群的阶是指群中元素的数量。
7. 什么是拉格朗日定理？答：拉格朗日定理指出，对于任何有限群G和它的子群H，H的阶能整除G的阶。
8. 什么是群的同态？答：如果存在一个函数f: G → H，使得对于任意的a, b属于G，都有f(a*b) = f(a)*f(b)，则称f是群G到群H的一个同态。
9. 什么是阿贝尔群？答：如果群G的运算满足交换律，即对于任意的a, b属于G，都有a*b = b*a，则称G是一个阿贝尔群。
10. 什么是群的生成元？答：如果群G中的元素g可以通过它的幂次生成整个群，即存在整数n 使得G中的每个元素都可以表示为g的n次幂，那么称g是群G的一个生成元。
第二章群论复习题
第二章群论复习题一、填空题1、集合A 的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合下列三个条件： 。
2、设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：[][]b a ,是两个等价类。
则[][]⇔=b a 。
3、设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群()a G 的阶等于 。
4、设G =()a 是12阶循环群，则G 的生成元是 。
5、3S 的子群()()(){}132,123,1=H 的一切右陪集 。
6、设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha 。
7、设G =()a 是循环群，则G 与模n 的剩余类加群同构的充要条件是 。
8、设G =)(a 是10阶循环群，则G 的子群的个数为_________.9、在5次对称群5S 中，.______)15423(_____,)125)(13(1==-10、设G =)(a 是15阶循环群，则G 的子群的个数为_________.11、整数加群Z 是一个循环群，它有且仅有两个生成元是______和_____.二、判断题1、（ ）若B A ,都是群G 的子群，则B A 也是G 的子群。
2、（ ）交换群的子群是循环群。
3、（ ）循环群的同态象是循环群。
4、（ ）一个阶是11的群只有两个子群。
5、（ ）有单位元且满足消去律的有限半群是群。
6、（ ）交换群的子群是不变子群。
7、（ ）全体整数的集合对于普通减法构成一个群8、（ ）群G 的指数是2的子群一定是不变子群。
三、计算题1：将置换(456)(567)(761)σ=写成不相交循环置换的乘积，并求σ的阶； 2：求三次对称群3S 的所有子群。
3：计算置换1211n n n σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭的奇偶性。
4、求解模20剩余类20Z 的所有子群。
四、证明题1：令G 是实数对(,),0a b a ≠的集合，在G 上定义(,)(,)(,)a b c d ac ad bc =+，证明G 是群2：设(),,,,1a b ax b G f x a b c d R c d cx d ⎧⎫+⎪⎪==∈=⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，证明G 关于变换的乘法构成群。
群论复习思考题1
群论2006.121． 写出C 4v 对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论：（1） C 4v 的不变子群H 的不变子群K 不一定是C 4v 的不变子群。
（2） C 4v 的不变子群的交集仍是C 4v 的不变子群。
2． 试由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110和⎪⎪⎭⎫⎝⎛00i i 生成一矩阵群。
证明此群为8阶群，分五类，但与C 4v 不同构。
（提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C 4v 中只有2个）3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel 群。
4． （1）设a 2=b 3=(ab)2=e,由a ，b 生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。
（2）若a ，b 乘积可对易，且a 2=b 3=e,证明a ，b 生成的群定是循环群。
5． 叙述同态核定理，并加以证明。
6． 若G 群是2n 阶的，H 为G 的n 阶子群，则H 必为G 的不变子群。
其商群必为二阶循环群。
7． 若群G=H ⊗K ，试证明（1）商群G/H 与K 同构;（2）群G 的类数等于两因子群类数之积。
8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。
（2）证明置换群S n 中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。
9．（1）设a,b,c 为群元，试证 abc,bca,cab 同阶。
（2）证明下列循环积恒等式：()()()()y b X a y Xb a ab =10．证明在适当的基函数下，群G 可约表示的形式是()()()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=A D A X O A D A D 21其中()()A D1和()()2D A 分别是m 阶和n 阶方阵； ()A X 是n 行m 列的矩阵，而O 是m 行n 列的零矩阵。
（提示：采用行矢量基矢，()00,1,0,0 i i =ϕ ）11．（1）在R 3空间中,平移用a T 表示。
定义为a r r r T a-=='，求平移算符a J 的形式。
（2）绕z 轴的定轴转动()()2SO R ∈θ,其算符表示可以由OXY 平面线性变换求得。
第二章群论复习题答案
第二章群论复习题答案第二章群论复习题答案群论是数学中的一个重要分支，研究的是群的性质和结构。
在群论的学习过程中，复习题是非常重要的一部分，通过解答复习题可以加深对群论的理解和应用。
本文将给出第二章群论复习题的答案，并对其中涉及的概念和定理进行解释和讨论。
1. 设G是一个群，证明单位元是唯一的。
解答：假设G中有两个单位元e和e'，则有e * e' = e' * e = e，其中*表示群的运算。
由于e是单位元，所以e * e' = e' * e = e'。
再由e'是单位元，可得e * e' = e'。
结合上述两个等式，可以得到e = e'。
因此，单位元是唯一的。
2. 设G是一个群，证明每个元素都有唯一的逆元。
解答：假设G中的元素a有两个逆元a'和a''，则有a * a' = a' * a = e和a * a'' = a'' * a = e，其中e表示单位元。
由于a'是a的逆元，所以a * a' = e。
再由a''是a的逆元，可得a * a'' = e。
结合上述两个等式，可以得到a' = a''。
因此，每个元素都有唯一的逆元。
3. 设G是一个群，证明对于任意的元素a和b，有(a * b)^-1 = b^-1 * a^-1。
解答：根据群的性质，对于任意的元素a和b，(a * b)^-1是(a * b)的逆元。
即(a * b) * (a * b)^-1 = (a * b)^-1 * (a * b) = e，其中e表示单位元。
将等式左边展开，得到a * b * (a * b)^-1 = e。
再将等式右边展开，得到(a * b)^-1 * a * b = e。
由于群的结合律，可以将等式左边重新排列为a * (b * (a * b)^-1) = e。
群论复习资料
则有：（1）当M≠0时，表示A和B 必等价； （2）当表示A和B不等价时，必有M≡0。 群上函数：设有限群 G ， g G ，元素 g 的群上函数定义为： f g C （ C 复数
7
域）
右正则表示 TR (h) ： 在 L (G) { f ( g )} ，以 h G 生成 L (G) 的一个线性变换 TR (h) ： TR (h) f ( g ) f ( gh1 )
(1)ha ,h H H , 有ha h H (2) ha H H , 有ha 1 H
n阶循环群
大学数学群论练习题及答案
大学数学群论练习题及答案一、群论概述群论是数学中极为重要的一个分支，它研究了集合和代数结构之间的关系。
群论的应用广泛，涉及到代数、几何、计算机科学等领域。
本文将介绍一些大学数学群论的练习题，并提供答案供读者参考。
二、基本概念1. 定义：集合G上的一个二元运算*，如果满足结合律、存在单位元和逆元，那么称< G, *>为一个群。
2. 练习题：a. 证明：一个群的单位元唯一。
答案：假设有两个单位元e1和e2，那么e1*e2=e1 (e2作为单位元)，但同时由于e1*e2=e2 (e1作为单位元)，所以e1=e2。
因此，群的单位元是唯一的。
b. 证明：群中的任意元素的逆元唯一。
答案：假设有两个逆元a和b，那么a*a^-1=e (a的逆元)，同时a*b^-1=e (b的逆元)。
根据群的结合律，我们有a^-1*(a*b^-1)=(a^-1*a)*b^-1=e*b^-1=b^-1。
因此，a^-1=b^-1，逆元是唯一的。
三、群的性质1. 半群：若集合G上的二元运算*满足结合律，但不存在单位元和逆元，则称< G, *>为一个半群。
2. 幺半群：若集合G上的二元运算*满足结合律和幺半性质（存在单位元），但不存在逆元，则称< G, *>为一个幺半群。
3. 练习题：a. 判断以下集合在给定的运算下是半群、幺半群还是群：i) 整数集合Z上的加法运算。
答案：整数集合Z上的加法运算满足结合律，存在单位元0，但不存在逆元。
因此，< Z, + >是一个幺半群。
ii) 实数集合R上的减法运算。
答案：实数集合R上的减法运算满足结合律，不存在单位元和逆元。
因此，< R, - >是一个半群。
b. 证明：每个群都是幺半群。
答案：对于一个群< G, *>，它满足结合律、存在单位元和逆元，因此也满足幺半性质。
所以每个群都是幺半群。
四、同态与同构1. 定义：设有两个群< G, *>和< H, @>，若存在一个满射f：G→H，且对任意的g1、g2∈G有f(g1*g2) = f(g1)@f(g2)，则称f为从群< G, *>到< H, @>的同态映射。
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群论复习思考题
2006.12
1． 写出C 4v 对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论：
（1） C 4v 的不变子群H 的不变子群K 不一定是C 4v 的不变子群。
（2） C 4v 的不变子群的交集仍是C 4v 的不变子群。
2． 试由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110和⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛00i i 生成一矩阵群。
证明此群为8阶群，分五类，但与C 4v 不同构。
（提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C 4v 中只有2个）
3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel 群。
4． （1）设a 2=b 3=(ab)2=e,由a ，b 生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。
（2）若a ，b 乘积可对易，且a 2=b 3=e,证明a ，b 生成的群定是循环群。
5． 叙述同态核定理，并加以证明。
6． 若G 群是2n 阶的，H 为G 的n 阶子群，则H 必为G 的不变子群。
其商群必为二阶循环群。
7． 若群G=H ⊗K ，试证明（1）商群G/H 与K 同构;（2）群G 的类数等于两因子群类数之积。
8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。
（2）证明置换群S n 中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。
9．（1）设a,b,c 为群元，试证 abc,bca,cab 同阶。
（2）证明下列循环积恒等式：
()()()()y b X a y Xb a ab =
10．证明在适当的基函数下，群G 可约表示的形式是
()()()()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=A D A X O A D A D 21
其中()()A D 1和()()2D A 分别是m 阶和n 阶方阵； ()A X 是n 行m 列的矩阵，而O 是m 行n 列的零矩阵。
（提示：采用行矢量基矢，()00,1,0,0 i i =ϕ ）
11．（1）在R 3空间中,平移用a T 表示。
定义为a r r r T a
-=='，求平移算符a J 的形式。
（2）绕z 轴的定轴转动()()2SO R ∈θ,其算符表示可以由OXY 平面线性变换求得。
试求()θR 的表示。
12．叙述舒尔引理Ⅰ和Ⅱ，分别给出一种证明。
利用舒尔引理导出群的不可约表示的正交关
系:
()()jk il G g ij lk n g g D g D δδδμγμαγαμα=
∑∈)()*( 13．给定两个基函数,2)(,)(2221xy r b y x r b =-= 构成二维空间()
()xy b y x a F 2222+-= ()R b a ∈,。
求3D 群在2F 上的诱导算符表示。
14．若在三维空间中给定三个独立的基矢()3,2,1=i a i ，置换群3S 的元素S 对i a
的作用是()s A i a =s a 。
按照这一方法写出3S 所有元素的表示矩阵。
这种表示是否可约？如可约，它包含几个哪一类不等价不可约表示？
15．试用列表形式给出v C 5群的不可约表示特征标表。
并加简要推导和说明。
16．一个具有v C 4对称性的正四棱锥体系，沿一组相对面方向受到压缩，压缩后对称性群是v C 2，给出v C 4和v C 2的不可约表示特征标表，并利用其说明该体系受扰动前后的能级分裂情况。
17．对于幺正不可约表示)(μD ，)(λD ，)(γD ，证明直积表示)()(γμD D ⊗，)()(λγD D ⊗和
)()(λμD D ⊗中分别包含不可约表示)*(λD ，)*(μD ，)*(γD 的次数相等。
证明群的正则表示中包含其所有不可约表示，且每个不可约表示出现的次数等于该不可约表示的维数。
18．SU(2)群的元素可表示为⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-**a b b a ()1**=+bb aa ，证明 a 的实部相同的元素属于同一类。
*19. 试用SO(3)与SU(2)的对应关系()⎪⎭
⎫ ⎝⎛≡-+2)(2)()
(')
('2sin ,2cos ,,γαβαββγβαi i j m m j m m e e D D 由()b a D j ,)( 给出转动矩阵元)('j m m D 的表达式。
20. 求3D 群的两个2维表示直积的约化C-G 系数。
21. 用对称化基函数法将D 3群在 F 3={ f(r
)=ax 2+by 2+c.2xy| a,b,c ∈R}上的诱导算符群的表
示T 约化(提示: D 3群的3维表示一定可约)。
22.采用Euler 角方法，写出SO(3)群元素()γβα,,R 的表示矩阵。
今有一定轴转动()()321,,e e e C k
ϕ=(231,,e e e ), 求转轴k 的取向和转角ϕ。
23．写出反映正四面体完全对称性的d T 群所包含的所有点操作，它分为几类？求相应的不可约表示特征标。
24．求nv C 群的不可约表示及相应的表示的特征标。
25．求立方体转动对称O 群的二个三维不可约表示的表示矩阵和特征标。
（提示：用对称化
基函数）
26．叙述晶体转轴制约定理，并证明之。
*27．空间平移矢量()3,2,1=s a s ，相应方向上的格点数为s N 。
求平移群的不可约表示)()(k n T ，
这种表示有多少个？各是几维的？
28．写出6243,,H C CH NH 分子的对称点操作群。
的杨算符。
试验证它们是原始幂等元。
29．写出标准杨盘
30．用标准杨盘（表）方法求置换群4S 的[]1,3不可约表示中元素（12），（23），及（14）的
表示矩阵。
31．用阶梯法求以下不可约表示的类特征标。
（1）[]2,4)2(3
χ （2）[]2221,3,4)1,2,3(χ 32．利用特征标表验证下列直积表示关系
[][][]1,211,23
D D D =⊗
[][][]2
41,211,3D D D =⊗ 推广到一般情况。
试论证：两个不可约表示的直积)()(γμD D
⊗仍为不可约表示的条件是什么？
33．求置换群3S 的不可约表示[]1,2D
的自身外积[]1,2D ⊙[]1,2D 的约化。
并用表示维数加以验
证。
34．（1）验证杨图等式
⊙ = ⊙ ⊙ - ⊙
（2）计算外积 ⊙ ，并验证维数。
（3）将下列外积表示成一系列与一维表示之外积的代数和
*35. 分别计算S 6群所有(K-1,K)对换在下列两个不可约表示中的实正交矩阵形式。
并计算它
们之间的相似变换矩阵X 。
]3,3[]1[]2[63⊗= （提示：]3,3[]1[X ]2[X 6
31⊗=- 结果：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=0000100010001000100
010000X ） *36. GL(5,C)群的4秩张量空间可约化为哪些不变的张量子空间，其子空间的维数各为多
少？（用Robinson 公式）。
(提示: 625=5+70+315+135+100)
*37. 由普通张量4321i i i i T , 写出[3，1]对称形张量具体形式。
*38. 约化GL(3,C)群的直积表示]1,3[]1,4[D D ⊗，并核对维数。
提示：[7，2], [7，12], 2⨯[6，2，1] 2⨯[5，3，1], [4，4，1], [5，2，2] 而[6,13], [5,14], [5,2,12], [4,2,13], [4,22,1] 不属于约化表示。