群论-群论基础
群论基本概念
群论基本概念
群论是数学中的一个分支，主要研究群及其性质。
群是一个集合，它满足以下四个基本性质：
1. 封闭性：群中的任意两个元素进行运算后得到的结果仍然属于群中。
2. 结合律：群中任意三个元素a、b、c进行运算时，括号的不同组合得到的结果是相同的，即：(a·b)·c=a·(b·c)。
3. 单位元：存在一个元素e，满足对于群中的任意元素a，e·a=a·e=a。
4. 逆元：群中任意元素a都存在一个元素a’，使得a·a’=a’·a=e。
此外，群还满足以下性质：
5. 唯一性：群中的单位元和逆元各自唯一。
6. 可逆性：群中任意两个元素的运算结果也属于群，且任意元素在群中都存在逆元。
7. 交换律：对于群中任意两个元素a和b，满足a·b=b·a，则称该群为交换群或阿贝尔群。
8. 子群：若群G中的一个非空子集H也满足对于群的四个基本性质，则称H为群G的子群。
9. 同态：若两个群之间存在一个映射，满足相应元素的运算关系保持不变，则称这两个群是同态的。
10. 同构：若两个群之间存在一个双射的同态映射，则称这两个群是同构的，即它们的结构完全相同。
群论群论基础课件
式中 y 称为 x 在B 上的象，而 x 称为 y 在 A 上的原象。
对应规则：与函数的比较
群论-群论基础-集合与运算
满射 单射 一一映射 逆映射： f -1 恒等映射：e
变换： 体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换 若f 是一一映射，则称为对称变换 一一变换有性质：
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编
参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠）
物理学中的群论 （马中骐）
物理学中的群论基础 （约什）
群论
物理学中的群论
第一章 群论基础 第二章 晶体对称群 第三章 群表示理论 第四章 三维转动群 第五章 群论在量子力学中的应用
群论-群论基础
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作……
集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
乘法表：有限集
A
l
m
O
D3
e
a
b
B
k
l
k
m
C
ee
a
b
k
l
m
aa
b
e
m
k
l
bb
e
a
l
m
k
kk
l
m
e
a
b
ll
m
k
b
e
a
mm
k
l
a
b
e
4 同态与同构
群论-群论基础-集合与运算
设 A 和 B 是两个不同集合，其中分别定义了乘法 ·和 ×； 若有满射 f ，使得对于 yi = f ( xi ), yj = f ( xj )来说有
群论基本知识及一些重要定理
群论基本知识及⼀些重要定理群论⼀.基本定义群：给定⼀个集合G={a,b,c...}和集合上的⼆元运算"·"，要求满⾜下⾯四个条件①.封闭性：对于任意a,b\in G，⼀定存在c\in G，使得a·b=c②.结合律：对于任意a,b,c\in G,有(a·b)·c=a·(b·c)③.单位元：存在e\in G，使得对任意a\in G,有a·e=e·a=a④.逆元：对任意a\in G，均存在b\in G,使得a·b=e，其中b称作a的逆元，记作a^{-1}=b如果⼀个集合满⾜这个条件，那么就称这个集合是在运算·下的⼀个群⼦群：设G是⼀个群，H是G的⼀个⼦集，且H在相同意义下仍然构成⼀个群，那么称H是G的⼀个⼦群接下来将运算a·b简记为ab⼆.基本性质：①.⼀个群的单位元是唯⼀的②.群中任意元素的逆元是唯⼀的③.对a,b,c\in G，若ab=ac，则b=c④.(abcd...m)^{-1}=m^{-1}l^{-1}...a^{-1}（这⾥做⼀个说明：群的定义及性质中均没有要求交换律，因此不要想当然地在群运算中进⾏交换操作！）三.置换群：（接下来的内容有个⼈理解成分在内，如果有不准确的部分请及时指出，谢谢！）1.置换的定义：记⼀个序列{a_{n}}={a_{1},a_{2}...a_{n}}是1~n的⼀个排列定义⼀个置换p=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}其含义是⽤a_{1}取代原来的元素1，⽤a_{2}取代原来的元素2...⽤a_{n}取代原来的元素n置换的运算定义如下：设两个元素p_{1}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix},p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n} \end{pmatrix}，则运算p_{1}p_{2}过程如下：p_{1}p_{2}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{1}&b_{2}&...&b_{n}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&...&a_{n}\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\b_{a_{1}}&b_{a_{2}}&...&b_{a_{n}}\end{pmatrix}同理可以看出：如果我们计算p_{2}p_{1}，则得到的结果应当是\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{b_{1}}&a_{b_{2}}&...&a_{b_{n}} \end{pmatrix} 2.置换群的定义：那么定义置换群G={p_{1},p_{2}...p_{m}}不难发现，n个元素的⼀个置换与1~n的⼀个排列相对应，因此由1~n的全排列所对应的n!个置换可以构成⼀个群，记作S_{n}，称S_{n}为n 个⽂字的对称群（|S_{n}|=n!）3.循环的定义：但是我们发现，每次写⼀个置换太复杂了，因此我们给出⼀个简单记法：记(a_{1},a_{2}...a_{m})=\begin{pmatrix} a_{1}&a_{2}&...&a_{m}\\a_{2}&a_{3}&...&a_{1} \end{pmatrix}稍微解释⼀下：原本的⼀个置换可以写作\begin{pmatrix} 1&2&...&n\\a_{1}&a_{2}&...&a_{n} \end{pmatrix}，那么我们可以把这个置换群写成这个形式：\begin{pmatrix} 1&a_{1}&...&n\\a_{1}&a_{p}&...&a_{q} \end{pmatrix}也就是说我们直接把⼀个置换连续相接，就能得出⼀个循环，这样得出的循环就是上⾯那个形式但是，⼀个循环中不⼀定会出现所有n个元素，⽽且⼀个置换可能需要由⼤量这种循环来构成举个例⼦：S_{3}={(1)(2)(3),(2 3),(1 2),(1 3),(1 2 3),(1 3 2)}可以发现，每个元素不⼀定会出现在每个循环之中，原因是如果⼀个元素i满⾜i=a_{i}，那么这个元素就不必（也⽆法）写⼊循环了⽽且，如果对于每个i都有a_{i}=i，那么肯定不能全都省略，因此对于这种由多个循环组成的置换我们⼀般把它写成⼀个循环乘积的形式。
第七章 群论基础 - ===欢迎访问结构化学精品课程网站===
⎡ −1 ⎢ 2 ⎢ 2 ˆ C3 = ⎢ − 3 2 ⎢ ⎢ 0 ⎢ ⎣ 3 2 2 0⎤ ⎥ ⎥ ˆ (240) 0⎥ = C 3 ⎥ 1⎥ ⎥ ⎦
ˆ φ = 1200 C 3,
n
y ' = x sin φ + y cos φ
(x, y)
φ
α
z' = z
⎡ x' ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡cos φ ⎢ '⎥ ˆ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ y ⎥ = C (φ ) ⎢ y ⎥ = ⎢ sin φ ⎢ z' ⎥ ⎢ ⎣z⎥ ⎦ ⎢ ⎣ 0 ⎣ ⎦ − sin φ cos φ 0 0⎤ ⎡ x ⎤ ⎢ y⎥ 0⎥ ⎥⎢ ⎥ 1⎥ ⎦⎢ ⎣z⎥ ⎦
理论与计算化学实验室
第七章 群论基础
量子化学与群论
Ĉ3
Ĉ
Ĉ3
3
3
Ĉ
3=
Ĉ
3
2
Ĉ3
=Ê
Ĉ3
旋转轴次 n =
2π
α
； α 为基转角 （规定为逆时针旋转）
理论与计算化学实验室
第七章 群论基础
量子化学与群论
7.2.2 分子点群
分子中或多或少地存在一些对称元素, 这些对称元 素对应的对称操作的组合满足群的定义, 构成群, 称为对 称操作群. 因为分子中的对称元素至少通过一点公共点, 故称为点群. 对称操作构成群的命题可以用通过乘法表示验证：
量子化学与群论
对称操作的表示矩阵为：
⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 ⎢ ⎣ a31
a12 a22 a32
a13 ⎤ ⎥ a23 ⎥ a33 ⎥ ⎦
物理学中的群论基础第一章
平面上所有平移的集合 平面上所有平移的集合 √ 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上以一个定点为中心的所有旋转的集合 平面上所有轴反射的集合 平面上所有轴反射的集合
√
a1 a2
×
1.1.2正方形的对称性群 正方形的对称性群 (1)平面上正方形 )平面上正方形ABCD的对称变换群 的对称变换群
B
A
A
B
6 :
C B D A D D C A
7:
C B D A C B B C
8 :
C D A D
(2)S(K)中的运算举例 ) 中的运算举例
2 1 = 2
B A B A A D
2π π
C D
1
C
2π π
D
2
B
——
π 2
C
2 5 = 7
B A C D D A
5
C D B A
2
C
B
(3)S(K)中的幺元 ) 中的幺元
生成一个群, 例:由元素A生成一个群,只要求 n=E,n是满足此关系式的最 由元素 生成一个群 只要求A , 是满足此关系式的最 小正整数. 小正整数. 由于A是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 由于 是群中的一个元素,所有它的整数幂必定也在这个群中. 是群中的一个元素 故可以生成群的新元素, , 故可以生成群的新元素,A2,A3,…,直到 n=E,更高次幂不能 ,直到A , 给出新元素,因为A 所求得群, 给出新元素,因为 n+k= Ak.所求得群,故所求得群阶为 所求得群 故所求得群阶为n. 生成一个群, 例:由两元素A和B生成一个群,只要求 2=B3=(AB)2=E. 由两元素 和 生成一个群 只要求A 由于A 由于 2=E和B3=E,此群必包含元素 ,A,B,B2. 它一定也包 和 ,此群必包含元素E, , , 含所有A,B和B2的乘积. 因此得到两个新元素AB和BA. A和B不 含所有 , 和 的乘积 因此得到两个新元素 和 和 不 对易,否则由(AB)2=E将得到 对易,否则由 将得到 E=ABAB=A2B2=B2. ABAB= AB 和BA是不同的元素. 由此生成6个元素E, A, B, B2, AB, BA. BA是不同的元素 由此生成6个元素E 是不同的元素. AB, 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的. 可以证明,这个集合是一个群,即它对乘法是封闭的.
群论基础
第七章 群论基础学习指导 7.1 群的定义及性质群 如果一个含幺半群中每个元素都有逆元，即：),(⊗G G g ∈∀都有逆元，则称为一个群，称二元运算“G g∈−1),(⊗G ⊗”为乘，一般将),(⊗G 的单位元记为e 。
为简便起见，在不致混淆的情况下，将群),(⊗G 简记为，a G b ⊗简记为。
类似于半群，我们可以将群分为交换群与非交换群，有限群与无穷群等等；集合中元素的个数称为有限群G 的阶，记为。
ab G ||G 群是一种特殊的含幺半群。
因而群具有半群（或含幺半群）所有的性质。
下面是群独有的性质：定理（无零元性质） 设G 是群并且，则群无零元。
1||>G G 定理（满足消去律） 群G 满足消去律，即对,,,G c b a ∈（1）由可以推出；（2）由ba ab ac =b c =ca =可以推出b c =。
定理（单位元是幂等元） 群G 中只有单位元e 是幂等元。
定理（方程唯一解性质） 设是群，则对于G G b a ∈∀,，方程ax b =和在中均有唯一的解。
ya b =G 定理（逆元性质） 设G 是群，则（1）对于G b a ∈∀,，有11()ab b a 1−−−=。
（2）对于，有。
G a ∈∀a a =−−11)(定理（交换群判别） 群G 是交换群的充分必要条件是对G b a ∈∀,，有。
222()a b ab =元素的阶 对于群G 的元素a ，如果存在正整数使得，则的阶定义为使得上式成立的最小正整数；如果对于任何正整数n 都不成立，则定义的阶为；a 的阶记为|。
任何群的单位元的阶都是1，而且只有单位元的阶才会是1。
n e a n =a n e a n =a ∞|a 定理（元素与其逆元有相同阶） 对群中的任何元素 G G a ∈，与均有相同的阶。
a 1−a定理（元素阶的性质） 设群G 中元素 G a ∈的阶是。
则对正整数，的充分必要条件是整除。
所以，如果存在正整数使得，则a 的阶是的因子。
群论-群论基础
群论-群论基础物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐群论教材教材与参考书教材：⾃编参考书群论及其在固体物理中的应⽤参考书：群论及其在固体物理中的应⽤（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群论-群论基础第章群论基础第⼀章群的基本概念和基本性质§1.1 集合与运算§1.2群的定义和基本性质§1.3 ⼦群及其陪集13§1.4 群的共轭元素类§1.5 正规⼦群和商群§1.6 直积和半直积16§1.7 对称群§1.8 置换群§1.1集合与运算抽象代数的基本概念1集合抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表⽰“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的⼀对有序元”，也称为A和B的直乘，⽤符号表⽰即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2映射定义：设A 与B 是两个集合，若有⼀种规则f ，使得A 的每⼀个元素在B 上都有唯⼀的元素与之对应，这种对应规则f 的⼀个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) ,或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，⽽x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射⼀⼀映射逆映射：f -1恒等映射：e变换恒等映射：体系A 的⼀个⾃⾝映射f 称为A 的⼀个变换，若f 是⼀⼀映射则称为对称变换⼀⼀变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3⼆元运算定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每⼀对a,b)A上有唯⼀确定的c与之对应，即有⼀规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的⼀个⼆元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)⼀般记为c = a·b，或c = ab。
群论的基本概念和运算
群论的基本概念和运算群论是数学中的一个重要分支，研究的是集合上的一种代数结构，称为群。
群具有丰富的数学性质和广泛的应用，是现代数学中不可或缺的基础工具。
本文将介绍群论的基本概念和运算。
一、群的定义和基本性质群是一个非空集合G，配上一种二元运算"·"，如果满足下列四个条件：1.封闭性：对于任意的a，b∈G，a·b也属于G。
2.结合律：对于任意的a，b，c∈G，有(a·b)·c = a·(b·c)。
3.单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a·e = e·a = a。
4.逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a'∈G，使得a·a' = a'·a = e。
群的基本性质如下：1.单位元唯一性：群中的单位元只有一个。
2.逆元唯一性：群中的元素的逆元唯一。
3.消去律：若a·b = a·c，则b = c；若b·a = c·a，则b = c。
二、群的示例下面以一些常见的群为例介绍群的概念。
1.整数加法群（Z，+）：整数集合配上加法运算构成一个群。
单位元为0，每个元素的逆元为其相反数。
2.整数乘法群（Z*，×）：整数集合去掉0后，配上乘法运算构成一个群。
单位元为1，每个非零整数的逆元为其倒数。
3.矩阵群（GL(n，R)）：n阶实数矩阵集合中，可逆矩阵配上矩阵乘法运算构成一个群。
单位元为单位矩阵，每个可逆矩阵的逆矩阵存在且唯一。
4.置换群（Sn）：由n个元素的全排列组成的集合，配上排列的乘法运算构成一个群。
单位元为恒等排列，每个排列的逆排列存在且唯一。
三、群的运算群的运算包括闭包性、结合律、单位元和逆元。
群运算的一些性质如下：1.闭包性：群的运算必须满足封闭性，即群中的任意两个元素的运算结果仍然属于群。
2.结合律：群的运算必须满足结合律，即对于群中的任意三个元素a，b，c，有(a·b)·c = a·(b·c)。
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物理学中的群论——群论基础主讲翦知渐教材教材：自编参考书：群论及其在固体物理中的应用参考书群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）群的基本概念和基本性质1.11.21.3131.41.51.6161.71.81.1抽象代数的基本概念1抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘：C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的C A表示“一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即：, a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={aA}B b b}则集合1C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。
定义设是两个集合若有种规则使得2定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → Bf ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。
对应规则函数对应规则：函数满射单射一一映射逆映射：f -1恒等映射：e 变换恒等映射：体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若f 是一一映射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。
变换有性质：f f -1= f -1f = e3定义：若对A 上的每对有序元(a, b ) ，在A 上有唯确定的A每一对a,b)A上有唯一确定的c与之对应，即有一规则R 使得A×A → A，则R 称为A上的一个二元运算，记为()()R：A×A → A，或R：a, b ) →c= R(a, b)一般记为c = a·b，或c = ab。
二元运算般也称为乘法二元运算一般也称为“”——数值加法数值乘法对称操作……AmlOC kBe a b k l m D3e e a b k l ma ab e m k lb b e a l m k k k l m e a b l l m k b e a m m k l a b e4设A和B是两个不同集合，其中分别定义了乘法· 和×，若有满射f，使得对于y i f( x i ), y j f( x j)来说，=f(i)=f(f( x i · x j) = f( x i) ×f( x j)——即像的乘积=乘积的像则称f 为A到B的同态，记为A ~ B同态映射若是一一映射→同构同构：乘法表完全一样的结构，只是换了记录的符号数学上，同构即是同一数学上同构即是同→1:1= {e= a4, a, a2, a3} →G ={ 1, i, -1, -i}例如：C4物理上同构的集合有分别：物理上，同构的集合有分别：C 2= {e, c 2} 和C i = {e, c i }同态：A 到B 的等比例缩小保持了乘法结构3:1例如{{1→ 3:1例如：C 4= {e, a, a 2, a 3}→ G ' ={ 1, -1}二对一的同态二对的同态1.2什么是群？1G ={ e, g2, …, g i, …} 是一个集合，其中定义了乘法。
如果对于所定义的乘法，以下四个条件成立，则集合G称为群：1)闭合律：g i g j∈G, g i,g j∈G2)结合律：g i(g j g k)=(g i g j)g k, g i,g j, g k∈G3)存在单位元：g i e = e g i= g i, g i∈G4)存在逆元素：g i∈G ，g i-1∈G ，使得g i g i-1 = g i-1 g i= e广群，半群，幺半群广群半群幺半群21){ 1 }：只含一个元素的群, 1 即是单位元e 。
2){1，-1 }：这个集合对普通乘法构成一个群。
{e，I}：e为恒等操作，I为反演操作；乘法：变换合成。
3){1，i，-1，-i}：四个元素的集合对普通数值乘法构成群。
{e, a, b, c}：乘法定义为：a2= b2= c2= e,ab= c, bc= a, b乘法定义为b b bca = b ，其中乘法可交换次序。
4)全体实数对普通加法构成群。
除0 之外的所有实数对普通乘法构成群。
5)全体n 阶非奇异方矩阵的集合对矩阵的乘法构成群。
6)D3群。
3)1)阿贝尔群：可交换群2)有限群：可给出群表3)无限群：离散群，连续群4)群元素的阶：g n= e群阶：|G|5)生成元：通过乘法产生群G的最小子集6)循环群：一个生成元4设G {g i}是个群G=是一个群g i, g∈G, 方程g i x = g，x g i= g有唯一解j j j( g i-1)-1=g i( g i g j)-1= g j-1g i-1单位元唯一；唯一逆元素唯若群G= { e, g2, …, g i,…} 与群G'= { e', g'2, …, g'j,…} 同态或同构，则：态或构则G的单位元e的象是G'的单位元e'g∈G，设g的象是g，则g的逆元g1的象是g1设'则-'-设G 是个N 阶群则G 的每个元素在群表的每G 是一个N 阶群，则G 的每一个元素在群表的每一行以及每一列中出现且只出现一次。
若f 是群元的任意函数，则有N Nxg x G =∀∈∑()()11,i ii i f g f g ==∑1.3群的乘法联系起来的内部结构1设的个子集若它则称H 为G 的一个子集，若它对G 的乘法构成群，则称H 为G 的子群平凡子群，真子群判别方法 判别方法：符合以下两个条件的G 的子集H 是G 的子群：g H g 若g i , g j ∈H ，有g i g j ∈H若g i ∈H ，则g i -1∈H对于有限群，只要满足第一个条件，即乘法的封闭性，就可证明H 是G 的子群。
2设H = { e , h 2, …, h m } 是G 的一个子群，对于某个元素x ∈G ，={}的一个集合xH = { x , xh 2, …, xh m } 称为H 的个左陪集。
H 的所有左陪集都包含有相同数目的元素若x ∈H ，则xH = H若x בH ，则xH ∩ H = 若某个g ∈xH ，则有gH = xH ：陪集中任意元形成的陪集相同，或者说陪集中任意元可作为此陪集的“代表元” 右陪集：H 的右陪集和左陪集有同样的性质。
H H 不定相等左陪集xH 和右陪集Hx 不一定相等。
3根据陪集的性质，可以得到结论：任意两个左陪集xH 和yH ，要么完全相同，要么完全不同母群的每个元素都一定在子群的某个陪集中；每个陪集的元素个数相同；所有陪集要么没有公共元，要么全同——所以母群一定可以划分为子群的不同陪集的集合拉格朗日定理：的一个子群则所以母群定可以划分为子群的不同陪集的集合设H 是G 的一个子群，则G 的阶|G|一定是H 的阶|H|的整数倍，即|G| = k |H|。
其中k 是正整数，称为H 在G 中的指数，实际上也就是G 中含H 的陪集数。
推论 1.2 （定理.的推论）：若群G 的阶为素数时，G 没有真子群，而且G 必为循环群。
D 只有三阶子群和二阶子群，即C C C 3 = {e, a, b }例：3只有阶子群和阶子群，即3和2左陪集（两个）右陪集（两个）======eC 3aC 3bC 3{e ，a ，b }C 3e C 3a C 3b {e ，a ，b }kC 3=lC 3=mC 3={k ，l ，m }C 3k =C 3l =C 3m ={k ，l ，m }C 2 = {e, k }左陪集（三个）右陪集（三个）====eC 2kC 2{e ，k }C 2e C 2k {e ，k }aC 2=mC 2={a ，m }C 2a =C 2l ={a ，l }====bC 2lC 2{b ，l }C 2b C 2m {b ，m }1.4等价关系联系起来的内部结构1g是G的一个元素，h∈G，元素g'= hgh-1称为g的设的个元素元素共轭元素，而g和g'具有共轭关系。
如果G是矩阵群，则共轭关系就是相似变换，共轭元素就是相似矩阵。
自反性：即G的任一元素与自身共轭对称性：即g i是g j的共轭元素，则g j也是g i的共轭元素 传递性：若g i与g j共轭，而g j与g k共轭，则g i也是g k的共轭元素——共轭关系是种等价关系共轭关系是一种2G中所有相互共轭的元素构成的集合，称为共轭类设g'是gi 的共轭元素，即有x∈G，使得g'=x gix-1，当x走遍G的所有元素时，所有不同的'构成的G的一个子集称g为G中含gi 的共轭类，记为Ci= { g1, g2, …, g m}同类元素有相同的阶。
直接验证即可。
两个类不能有公共元素，否则它们是同一个类。
可知若两个类有公共元素则根据共轭关系的传递性可知，若两个类有公共元素，则这两个类的所有元素都是相互共轭的，自然组成一个类。
单位元自成一类单位元可与任何元素交换乘积次序阿贝尔群的所有元素各成一类；循环群等，群元乘积可交换次序矩阵群：共轭关系对于矩阵是相似变换，而矩阵的相似变换不改变矩阵的迹，所以迹相同的矩阵属于同一个类群G 中任何一个类C i 满足：x ∈G ，xC i x -1 = C i 。
-1因为所有形如xg i x 的元素都是共轭的，而且每个都互不相同，个数与C i 中一样，所以xC i x -1 = C i 。
逆类：若C i = {g 1, g 2, …, g m } 是群G 的一个共轭类，集合C i '= { g 1-1, g 2-1, …, g m -1 } 也是G 的一个共轭类，称为C i 的逆类逆类。
设,g ∈-1=g g i , g j C i ，有xg i x g j ，所以可以得到(xg i x -1) -1= (g j ) -1——也就是说xg i -1x -1= g j -1，可见g i -1和g j -1也属于一个类。
又因为xC i x -1 = C i ，所以有xC i ' x -1 = (xC i x -1 )-1= C i -1= C i ' ，成立所以'的一个类称为的逆类x ∈G 成立，所以C i 是G 的个类，称为C i 的逆类。
可以把群分解为不相交的共轭类的并集 可以把群分解为不相交的共轭类的并集：G = C 1∪C 2…∪C c 式中C i 为第i 个共轭类，G 按共轭关系分成c 个不同的类。
D 3群的共轭类D 3群有三个共轭类：C 1= { e }，C 2= { a , b }，C 3= { k , 因为）称之为绕l , m }。