群论的应用
群论及其在密码学中的应用
群论及其在密码学中的应用密码学作为一门研究信息加密和解密的学科，近年来受到了越来越多的关注。
在密码学中，群论是一种重要的数学工具，被广泛应用于密码算法的设计和分析。
本文将介绍群论的基本概念和特性，以及它在密码学中的应用。
一、群论基础知识群论是研究代数结构的一个分支，主要研究集合和运算之间的关系。
在群论中，一个群是一个集合G和一个二元运算*的组合，满足以下四个条件：1. 闭合性：对于任意的a、b∈G，a*b∈G。
2. 结合性：对于任意的a、b、c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)。
3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，a*e=e*a=a。
4. 存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。
群论中还有许多重要的概念和定理，如阶(order)、循环群(cyclic group)、同态(homomorphism)等，这些概念和定理为密码学提供了强大的分析工具。
二、群论在密码学中的应用1. 公钥密码算法公钥密码算法是现代密码学中常用的加密算法，其安全性基于数学难题的复杂性，如大整数因子分解和离散对数。
其中，离散对数问题是基于有限域上的群运算进行定义的。
通过选择适当的群结构和运算规则，可以构造出具有高度安全性和效率的公钥密码算法。
2. 密码协议密码协议用于实现通信中的安全性和认证机制。
许多密码协议的设计和安全性分析都依赖于群论的相关理论。
例如，Diffie-Hellman密钥交换协议利用有限域上的离散对数问题，通过交换指数的方式协商密钥；ElGamal加密算法利用循环群的离散对数问题，实现了公钥加密。
3. 数字签名数字签名用于验证信息的完整性和身份的真实性。
群论中的椭圆曲线密码算法可以用于构造高强度的数字签名方案。
椭圆曲线群的运算规则可以保证不可逆性和无法伪造性，从而保证数字签名的安全性。
4. 密码分析密码分析是破译密码算法的过程，群论提供了一些有效的分析方法。
群论的应用
群论的基础及应用第二章群论的应用2.1图论的结构群应用在所有数学分支以及计算科学中，结构的概念是最基本的，以不正式的角度看，一个结构s 是在点集U 的一个construction r，它由一对点集组成。
图 2.1通常说，U 是结构s 的底图集，图2.1描述了两个结构的例子：一个e有根树，和一个有向圈。
在集合论上，题中的树可以描述为s=（γ，xU ），其中U=｛a，b，c，d，e，f｝，γ=（｛d｝，｛｛d，a｝，｛d，c｝，｛c，b｝，｛c，f｝，｛c，e｝｝）出现在γ上第一部分的根点｛d｝指的是树的根节点。
对于有向圈它可以写成形式为s=（γ， U），其中U=｛x ，4，y，a，7，8｝，γ=｛（4，y）（y，a）（a，x）（x，7）（7，8）（8，4）｝U={a ，b， c，d，e，f}图 2.2考虑有根树s=（γ， U）它的底图集是U，通过图2.2 中的σ变换，将U 中每一个元素替换成V 中的元素，这幅图清晰的显示了变换中如何将结构树s 对应到集合V 上相应的树t=（，V），我们说树t 可以由树s通过变换σ得到。
记作t=σ· s.则树s和树t是同构的，σ叫做s到t 的同构。
我们可以将底图的点视为无标记的点，这样就得到同构图的通用形式。
如果σ是U 到U，则它是自同构。
此时树的变换σ· S 等价于树s，即s=σ· s.我们已经知道结构s的定义，那么可以定义它在规则F下的结构群，我们用F[U]表示集合U 上所有满足F的结构F[U]={f|f= （γ， U），γ [U]}其中[U]表示U 中所有未排序的元素对所组成的边。
一个结构群满足规则F：1.对任意一个有限集U，都存在一个有限集F[U]2.对每一个变换：U→V，存在一个作用F[ ]:F[U]到F[V] 进一步F[ ]满足下列函数性质：1.对所有的变换：U→ V 和：V →WF[ · ]=F[ ]· F[ ] ；2.对恒等映射一个元素s数域F[U]叫做U 上的一个F 结构，作用F[ ]称为F 结构在下的变换。
群论在现代数学中的应用
群论在现代数学中的应用群论是数学中的一个重要分支，它研究的对象是代数结构中的群。
群是一种集合，配上一个二元运算，并满足封闭性、结合律、存在单位元和逆元等性质。
虽然在19世纪中叶之前，群论相对来说比较孤立，但是在现代数学中，群论已经成为了许多数学领域的重要工具，并且在物理学、化学、密码学等应用中也有着广泛的应用。
群论在代数学中的应用首先我们来看看在代数学中，群论是如何得到应用的。
代数学中的一个重要问题就是解方程，而群论的一个重要应用就是研究多项式方程的根与对称性。
通过群论的方法，我们可以用对称群来研究多项式方程的根与对称特性，进而解决一些复杂多项式方程的根的个数和形态问题。
另外，在表示论和模表示论中，我们也经常需要研究抽象代数结构在不同向量空间上的表示，这同样离不开对群论结构的深入研究。
群论在几何学中的应用几何学作为古典数学的一部分，在现代数学中也发挥着重要作用。
群论在几何学中的应用主要体现在对称性和对称群上。
比如，在晶体学中，晶体的对称性可以由对称群来描述。
而对称群的性质和结构则可以通过群论方法来研究和描述。
此外，在拓扑学、微分几何学等领域，对称性和变换群也是非常重要的研究对象，而群论正是在这些研究中发挥着关键作用。
群论在物理学中的应用物理学作为自然科学领域中最基础的学科之一，其发展也离不开数学工具的支持。
在粒子物理学和场论等领域，对称性和对称群被广泛运用。
比如，标准模型中描述基本粒子相互作用的规律正是利用了各种对称性和对称群来描述和预测基本粒子的性质和行为。
此外，在相对论力学、量子力学等领域，对称性和守恒律也是物理定律描述和推导过程中不可或缺的部分。
群论在密码学中的应用密码学是信息安全领域中非常重要且广泛应用的一部分，而群论正是密码学研究中不可或缺的工具之一。
在公钥密码系统中，离散对数问题及相关算法就涉及到了群论结构与运算特性。
通过利用素数阶循环群等结构，可以构建出一些难以被破解的密码系统，并保障信息传输和存储过程中的安全性。
群论的基本概念与应用
群论的基本概念与应用在现代数学中，群论是一门重要的研究对象。
它是数学中的一个分支领域，研究代数结构的深刻性质，以及在物理、化学、计算机科学等领域的应用。
本文将针对群论的基本概念和应用进行探讨。
一、群的定义和基本概念群是一种代数结构，具有以下特性：1. 封闭性：对于群中的任意两个元素，其运算结果仍然属于该群。
2. 结合性：群运算是一个可结合的运算。
3. 单位元素：群中存在一个单独的元素，对于该群中的任意元素，它与单位元素的运算结果等于其本身。
4. 逆元素：群中的每个元素都有一个逆元素，在该元素与其逆元素运算后等于单位元素。
5. 可交换性：在群运算中，交换任意两个元素的位置不会影响整个运算的结果。
此外，群还有两个重要的概念：群的阶和子群。
群的阶是指群中元素的个数，记为|G|。
对于一个有限群G，其阶等于元素个数。
而对于无限群G，其阶可以用“无穷大”来表示。
子群指一个群G的子集，它包含G中的所有单位元素和逆元素，并且对于G中的任意两个元素之间的运算，在该子群中仍然成立。
二、常见的群类型常见的群类型包括置换群、加法群和乘法群。
置换群是由一组置换组成的群，其中每个置换都是将集合中的元素重新排列的函数。
这种群在密码学、组合学和物理学中都有应用。
加法群是指一个按照加法运算组成的群，例如整数集上的加法和向量空间的加法。
这种群在物理、化学和工程学中得到广泛应用。
乘法群是指一个按照乘法运算组成的群，例如复数集合上的乘法和单位圆上的乘法。
这种群在数论、几何学和代数学的许多领域中都有应用。
三、群论在数论中的应用群论在数论中的应用非常广泛。
其中一项重要的应用是解决费马大定理（Fermat's last theorem）。
费马大定理是由法国数学家皮埃尔·费马于17世纪提出的。
它的表述是：当n大于2时，关于x、y和z的方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
这个问题一直是数学家们的难题，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）通过运用群论的方法，完美地解决了费马大定理。
数学教学中的群论
数学教学中的群论数学教育是培养学生的数学思维和解决问题能力的重要途径。
而在数学教学中，群论作为重要的数学分支之一，扮演着重要的角色。
本文将探讨群论在数学教学中的应用，以及它对学生数学思维的培养和问题解决能力的提升。
一、群论在数学教学中的应用群论是一个抽象的代数学分支，研究的是集合与运算之间的一种代数结构。
在数学教学中，群论可以应用于多个方面，例如：1.1 数论群论在数论中有着广泛的应用。
通过引入群的概念，可以帮助学生理解和证明各种数论问题。
例如，费马小定理和欧拉定理可以通过离散数学和群论的知识进行证明。
通过群的概念，学生可以更深入地理解数论的原理和结论，提高其数论问题的解决能力。
1.2 几何在几何学中，群论可以应用于对称性的研究。
通过引入对称群的概念，可以研究几何图形的对称性质。
例如，通过研究正多边形的对称性群，可以探讨正多边形的对称轴数量及其性质。
这不仅有助于学生对几何形状的理解，还可以培养学生的抽象思维和逻辑推理能力。
1.3 代数群论作为代数学的重要分支，可以应用于代数运算的研究。
例如，通过研究置换群，可以揭示代数运算的一些基本性质和规律。
这对于学生理解和掌握代数运算具有重要的意义。
同时，通过引入群的概念，可以将抽象的代数概念具体化，帮助学生更好地理解代数学的知识。
二、群论对数学思维的培养群论的引入，可以培养学生的数学思维。
具体来说，群论培养学生的抽象思维、综合思维和逻辑推理能力。
首先，群论的概念本身是一种抽象的数学结构，涉及到符号、运算和性质等多个层面。
学生需要通过抽象思维将这些概念具体化，并进行推理和证明。
这种抽象思维能力的培养，对学生综合运用各种数学知识解决实际问题具有重要意义。
其次，群论涉及到不同概念之间的联系和推理，需要学生进行综合思考和分析。
例如，在证明数论问题时，学生需要将群论的概念与数论的知识相结合，进行综合分析和推理。
这样的综合思维能力的培养，对于学生整合各种数学知识解决复杂问题具有重要帮助。
群论的应用
群论的应用群论是数学中的一门重要分支，它是研究对称性的一种数学工具。
群论的应用非常广泛，尤其在物理、化学、计算机科学等领域中，其应用更是不可或缺。
本文将从这些领域中的具体应用来介绍群论的重要性。
在物理学中，群论被广泛应用于研究粒子物理学和凝聚态物理学。
在粒子物理学中，群论被用来研究基本粒子的对称性，如电荷守恒、自旋守恒等。
在凝聚态物理学中，群论被用来研究晶体结构的对称性，如晶格点群、空间群等。
这些对称性的研究可以帮助科学家预测物质的性质，并且为新材料的设计提供了理论基础。
在化学中，群论被广泛应用于分子对称性的研究。
分子的对称性可以通过群论来刻画，而分子的对称性又直接决定了分子的性质，如极性、光学活性等。
因此，群论在化学中的应用非常重要，不仅可以帮助化学家理解分子的性质，还可以在合成新药物、新材料等方面提供指导。
在计算机科学中，群论被广泛应用于密码学和计算机图形学中。
在密码学中，群论被用来设计安全的加密算法，如RSA算法、椭圆曲线加密算法等。
在计算机图形学中，群论被用来描述三维物体的对称性，如旋转对称性、平移对称性等。
这些对称性的研究可以帮助计算机图形学家设计出更加逼真的三维模型，并且可以在虚拟现实、游戏等方面得到应用。
除此之外，群论还被应用于音乐理论、经济学、生物学等多个领域。
在音乐理论中，群论被用来研究音乐的对称性，如和声、旋律等。
在经济学中，群论被用来研究市场的对称性，如货币汇率、股票价格等。
在生物学中，群论被用来研究生物分子的对称性，如蛋白质的空间结构等。
通过上述应用的介绍，我们可以看出群论在各个领域中的作用是非常重要的。
无论是物理、化学、计算机科学还是其他领域，群论都为科学家提供了一个强有力的数学工具，帮助他们更好地理解和预测物质的性质。
因此，我们可以说群论在现代科学中具有不可替代的地位。
群论及其在凝聚态物理中的应用
群论及其在凝聚态物理中的应用
群论是数学中的一项分支，主要研究对称性和变换。
在凝聚态物理中，群论有着广泛应用。
以下是群论在凝聚态物理中的一些应用：
1. 晶体学：晶体中的原子或分子构成了具有高度对称性的排列方式，
这种排列方式可以用点群或空间群来描述。
晶体的物理性质受这些群
的限制，而这些群的性质可以用来解释晶体的几何和物理属性。
2. 自旋系统：自旋系统指的是由自旋相互作用构成的物理体系，它们
通常可以用对称性较高的群来描述。
例如，对于具有SU(2)对称性的自
旋系统，我们可以用群论的表示来描述不同自旋状态之间的转换关系。
3. 拓扑相变：拓扑相变是一种特殊的相变，它发生在系统的拓扑结构
发生变化时，而不是由能量驱动的相变。
拓扑相变的研究需要用到群
论中的拓扑不变量，例如Chern数和Z2不变量等。
4. 量子场论：在凝聚态物理中，量子场论通常被用来描述物质的基本
自由度。
量子场论中的自由度可以形成一个群，例如自旋群或Lorentz 群。
通过对这些群的研究，可以推导出量子场论中的各种性质和规律。
5. 量子信息：群论在量子信息领域中也有许多应用。
例如，在量子纠
缠和量子态传输等问题中，可以利用SU(2)或SO(3)群的表示，推导出
量子态随时间演化的规律。
群论不仅在凝聚态物理中得到广泛应用，在其他领域，如化学、生命科学、计算机科学等都有着重要的地位，是一门具有广泛实用价值的数学。
群论及其应用
群论及其应用
群论是一门研究群与群之间关系的数学分支，它包含了群的定义、性质以及群之间的映射等内容。
群论的应用非常广泛，涉及到许多领域，如物理学、化学、计算机科学等。
本文将从几个具体的应用角度来介绍群论的相关内容。
一、物理学中的群论应用
物理学是群论最早应用的领域之一。
在量子力学中，对称性和群论有着密切的联系。
通过研究粒子的对称性，可以得到许多重要的结论。
例如，角动量算符的对易关系可以通过群论的方法导出，从而得到粒子的角动量量子化条件。
此外，群论还可以用来描述粒子的内禀对称性，如同位旋对称性、荷共轭对称性等。
二、化学中的群论应用
在化学中，对称性和群论有着重要的地位。
通过对分子的对称性进行分析，可以预测分子的性质和反应。
群论可以用来描述分子的对称元素、对称操作和对称操作的代数性质。
通过对分子的对称性进行分类，可以预测分子的振动谱和光谱，从而得到关于分子结构和性质的信息。
三、计算机科学中的群论应用
在计算机科学中，群论被广泛应用于密码学和编码理论。
群论可以用来描述密码系统的对称性和置换操作。
通过研究群的性质，可以设计出高效、安全的密码算法。
此外，群论还可以用来研究编码理
论中的纠错码和分组密码等问题。
群论是一门重要的数学分支，具有广泛的应用领域。
无论是在物理学、化学还是计算机科学中，群论都发挥着重要的作用。
通过研究群的性质和对称性，可以得到许多重要的结论和应用。
因此，深入理解和应用群论对于相关领域的研究和发展具有重要意义。
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群论的基础及应用第二章群论的应用2.1图论的结构群应用在所有数学分支以及计算科学中，结构的概念是最基本的，以不正式的角度看，一个结构s是在点集U的一个construction r，它由一对点集组成。
e4图 2.1通常说，U是结构s 的底图集，图2.1描述了两个结构的例子：一个有根树，和一个有向圈。
在集合论上，题中的树可以描述为s=（γ，U），其中U={a，b，c，d，e，f}，γ=（{d}，{{d，a}，{d，c}，{c，b}，{c，f}，{c，e}}）出现在γ上第一部分的根点{d}指的是树的根节点。
对于有向圈它可以写成形式为s=（γ，U），其中U={x，4，y，a，7，8}，γ={（4，y）（y，a）（a，x）（x，7）（7，8）（8，4）}U={a ，b ，c ，d ，e ，f}σV={x ，3，u ，v ，5，4}图2.2考虑有根树s=（γ，U ）它的底图集是U ，通过图2.2中的σ变换，将U 中每一个元素替换成V 中的元素，这幅图清晰的显示了变换中如何将结构树s 对应到集合V 上相应的树t=（τ，V ），我们说树t 可以由树s 通过变换σ得到。
记作t=σ·s.则树s 和树t 是同构的，σ叫做s 到t 的同构。
我们可以将底图的点视为无标记的点，这样就得到同构图的通用形式。
如果σ是U 到U ，则它是自同构。
此时树的变换σ·S 等价于树s ，即s=σ·s.我们已经知道结构s 的定义，那么可以定义它在规则F 下的结构群，我们用F[U]表示集合U 上所有满足F 的结构F[U]={f|f=（γ，U ），γ⊆ϑ[U]}其中ϑ[U]表示U 中所有未排序的元素对所组成的边。
一个结构群满足规则F ：1.对任意一个有限集U ，都存在一个有限集F[U]2.对每一个变换σ：U →V ，存在一个作用 F[σ]:F[U]到F[V] 进一步F[σ]满足下列函数性质： 1.对所有的变换σ：U →V 和τ ：V →W F[σ·τ]=F[τ]·F[σ]；2.对恒等映射一个元素s 数域F[U]叫做U 上的一个F 结构，作用F[σ]称为F 结构在σ下的变换。
例：对所有的整数0≥n ，指定n S 是由},,2,1{][n n Λ=的置换作成的对称群，在群作用的操作下，集合F[n]是[n]上的F-结构。
说明对每个0≥n ，每个F-结构群，通过令)]([s F s σσ=⋅（对n S ∈σ和][n F s ∈）诱导出群n S 在集合F[n]上的一个作用][][n F n F S n →⨯（1）证明：设F[n]是[n]上的F-结构，不妨令][)),(,(|{][]2[21n i i i s s n F n ϑγγ∈==Λ， 对任意][n F s ∈和n S ∈σσ作用在s 上等价于)()(2121n n j j j i i i K K ο=σ即))(,(')]([21n j j j s s F s Λγσσ===⋅仍然属于F[n]，因此得到群n S 在集合F[n]上的一个作用][][n F n F S n →⨯ 同样的，任何集合作用族n n n F F S →⨯ （2）满足一个F-结构群的定义，因为在（1）和（2）的作用族是同构的。
2.2群论在物理学中的应用在物理学中，群论被广泛应用到固体物理，理论物理中，比如点群的数学理论用于分析晶体对称性，规范场论、弦理论的数学基础李群李代数，还有量子场论中有关对称性运用到的群理论。
群论在固体物理中的一个经典的应用就是对晶体对称性的研究。
由于晶体具有平移不变性，通过群理论的方法，就可将晶体进行分类，并计算出晶体可能有11种固定点群、32种点群、7种晶系、14种布拉菲格子、73种简单空间群和230种空间群。
单从这方面看，群论对于晶体的研究就起到了不可或缺的作用。
在群论的基础知识中，我们曾经提到过，对于某些变换关系我们也可以构成群，如数域P 上的线性空间V 的全体可逆线性变换对于变换的乘法构成一个群。
同样的，由于晶体的原子在三维空间有周期性列（晶格），晶格对三维空间一定的平移变换保持不变l r r l T r r ρρρρρρ+=='→）（这样的平移矢量l ρ叫做晶格矢量。
晶格的原胞是晶格最小的周期单元，其不共面的三条棱可作为晶格的基本矢量，称为晶格矢量，用i a ρ表示。
原始的晶格晶格基本矢量要求晶格矢量都可被基本矢量用整数线性组合表示出来，即是整数i 31i i i 332211l l a l a l a l a l ∑==++=ρρρρρ保持晶体不变的平移变换）（l T ρ的集合构成群，称为晶体的平移群，简称平移群，记作T 。
除了晶体的平移不变性外，晶体理论中晶体的对称操作平移、转动、反演的协同变换也具有不变性，一般记作），（αρR g∑==+=='→31i i i a r R r R g r r ααααρρρρρρρρ，），（其中，R ：三维实正交变换（固有转动和非固有转动），它保持原点不变.i α：实常数，描述原点的平移.当R=E 时，i α必须取整数i l ，）（），（l T l E g ρρ=是平移变换。
对称变换的乘积定义为相继做两次对称变换βαβαβαρρρρρρρρρR r R R }r R {R g r R g R g ++'=+'='），（），（），（对于给定的晶体，在它的对称变换），（αρR g 中出现的所有实正交变换R 的集合构成群，称为晶格点群，简称点群，记作G 。
空间群是晶体对称变换的集合构成晶体对称群，记作S 。
平移群T 是空间群S 的子群，而且是不变子群，因为平移变换的共轭元素仍然是平移变换，）（））（，（），（）（），（l R T R -l R E g R g l T R g 1-1-ρρρρρρρ=+=αααα，l l R ρρ'=，设i l 是i α的整数部分，则①现在我们来证明：对于给定的晶体和选定的晶格基矢，在对称变换中，每一个R 只能对对应一个t ρ。
用反证法，设），（）和，（t R g t R g ρρ'都是晶体的对称变换，则由于式①对t ρ的限制，只能t t ρρ='，得证。
物理学中各个领域还有众多对于群理论的应用，群论对于系统对称性的研究使得群论称为物理工作者必备的工具。
2.3 群论在化学中的应用在化学研究中，运用群论研究分子的对称性是一种常见的手段。
分子中，原子的空间排列是对称的，且原子固定在平衡位置上，运用群论研究其对成性，进一步解决分子的结构和性质问题，是人们认识分子的主要途径和方法。
分子、离子、原子簇所属的对称点群经常要在化学研究中确定。
由于群论原理的制约，某个分子具有的对称元素和可能的对称操作是有限的。
例：简述苯分子点群类型并求其群的轨道 首先确定苯分子的点群：一个是6C 轴；六个62C C ⊥；一个苯分子平面垂直于垂直于6C 轴的镜面h e ；），（），（），（），（），（ααβαβαρρρρρρ1-1-1-R -R g R g R R R g R g R g =+'='），（）（），（，，t R g l T R g 1t 0t l i i i i ρρρ=≤≤+=ααl l R t -t l T t R t R -T t R g t R g 1-1-1-ρρρρρρρρρ'=='='+='）（）（），（），（所以苯分子属于h 6D 点群。
其次求群的轨道2121226E E B A E E B A ⊕⊕⊕=⊕⊕⊕=τ 处理得到故b 2h C a 2h C b 1h C a 1h C 2h C 2h C J E 66E 55E 44E 13B 22A 11+++++=则 .2h J b 2h J a 2h J b 1h J a 1h J 2h J 2C E 6C E5C E 4C E3C A 1C 654321B======；；；；；在上面对苯分子的点群处理之后，我们可以得出苯分子共轭结构大c 键分子轨道波函数1C J ~6C J 。
2.4欧拉定理的证明对于学习数学的人来说，欧拉这个人名绝不陌生，因为在数学中，有很多的公式、定理都以欧拉命名。
在数论中，欧拉定理也称为费马-欧拉定理，此定理是关于同余性质的理论。
这个理论在数学中占有很重要的地位，被称为最美妙的公式之一。
下来我们就用群论知识来证明欧拉定理。
定理（欧拉定理）设m 是一个大于1的整数，（a ，m ）=1，则我们有）（）（m mod 1a m ≡φ，其中φ（m ）是欧拉函数。
在证明之前，我们提出群论中关于剩余类的概念。
对于一个给定模数n ，全体整数按模n 同余分成一些等价类，此时的等价类叫做整数模n 的剩余类。
）（654321E 5O -O -O 2O -O -O 2121a 2J +=）（6532E6O -O O -O 21b 2J +=）（654321A 1O O O O O O 612J +++++=）（6532E4O O -O O 21b 1J ++=）（654321E 3O O -O 2-O -O O 2121a 1J ++=）（654321B 2O -O O -O O -O 612J ++=证明：首先我们来考虑这样的情况。
用M={[0],[1],[2]，...,[m-1]}表示模m 的剩余类。
集合N={[1a ],[2a ],...,[）（m a φ]}⊂M 是模m 的一个简化剩余类，其中[1a ]=1。
我们规定M 的一个二元运算“·”，即[a]·[b]=[ab].进而证明M 的二元运算“·”与剩余类代表元的选取无关.对于任意整数1a ，1b ，若1a ∈[a],1b ∈[b],则1a =a+km ，1b =b+lm ，其中k ，l 是整数，所以1a 1b =ab+（kb+la+klm ）m ∈[ab],即有[1a ]·[1b ]=[a]·[b].因此二元运算“·”是M 的一个代数运算，易得“·”也是M 的子集N 的一个代数运算，这时根据前面的群论基础知识，我们可以得到N 关于二元运算“·”是一个阶为φ（m ）的有限群。
有了上面的结论，我们来考虑集合N={[1a ],[2a ],...,[）（m a φ]}。
由于N 关于二元运算“·”是一个群，其中[1]是单位元，对任意整数a ，若（a ，m ）=1，则[a]∈N,用k a ][表示k 个[a]连续做运算，由于N 含有φ（m ）个元，即群N 的阶为φ（m ）。
于是]1[]a []a [m m ==）（）（φφ,从而得到sm 1a m +=）（φ，故）（）（m mod 1a m ≡φ成立。