第四章群论及应用
(完整word版)p163-203讲稿北师大的群论
第四章点群及其应用§ 4.1点群一、几个基本概念：点群的任一群元（正交变换），都保持系统 至少有一点是不动的。
点群的群元（正交变换）没有平移。
点群描写系统的宏观对称性； 平移对称操作与微观对称性、空间群。
二、正当转动点群及其非任意性 （除球之外） 群元Cm ，m 度轴（对称元素） m 重极点（m-1个）、极点星（m ，）m g设群中共有入组极点星，则 除单位元外，群的极点数满足久1 11、和 1|、-1<(1-)+ (1 -)+■ —(1 —)<2£ 匕（叫 -1）二 2（g-l ）其中即有m x叫/ 1 11、即1()2m1m2m得到入=2或3组。
(1) 入=2(1-- ) + (1-- )-2(1--)1 1—+——_ 2m x■M g，即> g即「-得到V}=V2=1（注意也w = g ）记M "，得到两个极点星（n, 1）、（n, 1）这就是正当转动点群Cn群。
（2）入=3（1-丄）+ （1」）+ （1-丄）二2（1-丄/?21叫丹?3 S令叫W 叫，得到的=2 ；代入，得到1 1 ——+——1 2 +——2g分为两种情况佗=2、3： （2-1）叫=21 2碍一 g ,艮卩=2叫记，得到三个极点星 X（2，n ）、（ 2，n ）、 这就是正当转动点群Dn 群。
1112 ----- 1 ---- =1——叫 ◎ 2 g ，得到这时小'、4、5，对应的极点星和群: g=12:（2, 6）、（ 3, 4）、（ 3， 4）这就是正当转动点群T 群；n ，2）(2-2)佗二3代入g=24：（2，12）、（3，8）、（4，6）这就是正当转动点群0群；g=60：（2，30）、（3，20）、5，12）这就是正当转动点群P群。
正当转动点群：Cn、Dn、T、0、P 三、点群的分类：第一类点群（正当转动点群）第二类点群（含有非正当转动操作的点群）晶体点群：第一类晶体点群11个，第二类晶体点群21个，晶体点群共有32个。
群论电子版第四章
第四章点群及其应用4.1点群点群是正交群？的离散子群.离散群?是指这个群对三维空间中的任意矢量？作用后,得到点集？并使空间的每一个有界子集中只包含这个点集的有限个点。
在点群的全部正交变换下三维空间至少有一点是不动的,所以,点群不包括平移(等距离变换),点群是有限的离散群。
如果一个系统在某一正交变换下不变(即与自身重合),那么这个变换就是系统的一个对称操作.一个系统拥有的对称操作越多,表明它的对称性越高.一个系统的全部对称操作组成的群是点群,称为这个系统的对称性群。
乍看起来,点群好像会有很多,其实不然.下面就来找出全部可能的点群。
正当转动点群由于正当转动与非正当转动是一一对应的,所以可先从正当转动出发,找出全部可能的正当转动点群,然后适当地配上非正当转动,就可以找到全部可能的点群。
正当转动点群的群元都是一些绕某轴转动?角的操作(记作?),而且同样的操作连续实行m次的的话,系统应与最初情况一样,即？。
因此,m是大于等于1的整数。
相应于?转动轴则称为m度轴。
如果能够知道在三维空间中能有几种m度轴，而且这些m度轴是如何配置组成正当转动点群的，那么，正当转动点群的数目也就知道了。
这种设想可以用下面的方法来实现。
以坐标原点为球心画一个单位半径的球。
如果存在一个m度轴的话，那么这个轴就必与球面交于两点？及？。
当绕这m度轴转动时，球面上的点将移动至球面上的其他位置（如从？），但？和？却保持不动，这种点成为极点。
若转轴是一个m度轴，则极点就称为m重极点。
绕m度轴转动的操作是？，？，？，这些操作构成了一个循环群？，它是点群？的一个子群。
可见子群？的每个群元都保持m重极点？，？不动。
如果点群？不是子群？本身，那么，必然存在某些群元？而不属？。
？也是一个转动操作，其作用是m重极点从？移动到？（？移动到？）处，？点同样也是m重极点，因为？表示由于？的作用，m度轴？移至？，转动？角后又将？轴转回？处。
可见？轴是与？轴等价的m度轴（？，？是共轭元），而？则与？一样是个m重极点。
群论的基本概念与应用
群论的基本概念与应用在现代数学中，群论是一门重要的研究对象。
它是数学中的一个分支领域，研究代数结构的深刻性质，以及在物理、化学、计算机科学等领域的应用。
本文将针对群论的基本概念和应用进行探讨。
一、群的定义和基本概念群是一种代数结构，具有以下特性：1. 封闭性：对于群中的任意两个元素，其运算结果仍然属于该群。
2. 结合性：群运算是一个可结合的运算。
3. 单位元素：群中存在一个单独的元素，对于该群中的任意元素，它与单位元素的运算结果等于其本身。
4. 逆元素：群中的每个元素都有一个逆元素，在该元素与其逆元素运算后等于单位元素。
5. 可交换性：在群运算中，交换任意两个元素的位置不会影响整个运算的结果。
此外，群还有两个重要的概念：群的阶和子群。
群的阶是指群中元素的个数，记为|G|。
对于一个有限群G，其阶等于元素个数。
而对于无限群G，其阶可以用“无穷大”来表示。
子群指一个群G的子集，它包含G中的所有单位元素和逆元素，并且对于G中的任意两个元素之间的运算，在该子群中仍然成立。
二、常见的群类型常见的群类型包括置换群、加法群和乘法群。
置换群是由一组置换组成的群，其中每个置换都是将集合中的元素重新排列的函数。
这种群在密码学、组合学和物理学中都有应用。
加法群是指一个按照加法运算组成的群，例如整数集上的加法和向量空间的加法。
这种群在物理、化学和工程学中得到广泛应用。
乘法群是指一个按照乘法运算组成的群，例如复数集合上的乘法和单位圆上的乘法。
这种群在数论、几何学和代数学的许多领域中都有应用。
三、群论在数论中的应用群论在数论中的应用非常广泛。
其中一项重要的应用是解决费马大定理（Fermat's last theorem）。
费马大定理是由法国数学家皮埃尔·费马于17世纪提出的。
它的表述是：当n大于2时，关于x、y和z的方程x^n + y^n = z^n没有正整数解。
这个问题一直是数学家们的难题，直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）通过运用群论的方法，完美地解决了费马大定理。
群论第4章
S 1D( R) S D( R) 或 D( R) S D( R)S 1
则称（在不相同的基下得到的）这两个表示是等价的， 否则就是不等价的
等价表示的对应矩阵是相似矩阵，它们的迹相等；
同理，维数相同的表示，只要所有对应矩阵的迹相等，
则是等价的。 可见，可通过相似变换进行转变的表示，互为等价表示。
1 0 0 D ( xz ) 0 1 0 0 0 1
1 0 0 D (C2 ) 0 1 0 0 0 1 1 0 0 D( yz ) 0 1 0 0 0 1
C2v四个元素对应表示矩阵群的乘法表：
通过讨论对称操作作用于分子中某点的坐标
所产生的变换效应，即可求得对称操作的矩阵表示。
一.恒等操作E的表示矩阵 D(E)
( x, y, z) ( x, y, z)
E
x ' x 0 y 0z y ' 0x y 0z z ' 0x 0 y z
x ' 1 0 0 x y ' 0 1 0 y z ' 0 0 1 z
可约表示经由相似变换可被约化成如下不可约表示：
1 2 3
D
1A
, D1 B , D2 B , D3 B
... ...
D D
2A
3A
...
1 2 3 ...
既可约表示 被分解为1，2，3 ...等表示的直和
练习：
C2v的四个对称操作在选择不同基时，求其不同的矩
1 0 0 D( xz )= 0 1 0 0 0 1
( x, y, z ) ( x, y, z )
群论的基本理论及其应用
群论的基本理论及其应用群论是现代数学中的一个重要分支，它研究的对象和思想对现代科学和技术的发展具有深远影响。
本文将简要介绍群论的基本理论，包括群的定义和基本性质、同构与同态、正则表示等，以及群论在物理、化学、密码学等领域的应用。
一、群的定义和基本性质群是指一个集合G，和一个二元运算“·”，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意的a，b∈G，a·b∈G。
2. 结合律：对于任意的a，b，c∈G，(a·b)·c=a·(b·c)。
3. 单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a·e=e·a=a。
4. 逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a^-1∈G，使得a·a^-1=a^-1·a=e。
以上四个条件被称作群的基本公理，满足这些公理的集合和运算就构成了一个群。
除了以上四个基本性质，群还具有一些重要的衍生性质，如：1. 唯一性：群的单位元和逆元是唯一的。
2. 闭合性：群的任意子集在运算下仍构成一个群。
3. 基本定理：任意群都同构于一个置换群。
二、同构与同态同构和同态是群论中最重要的概念之一。
同构指两个群之间存在一个双射函数，满足这个函数保持乘法运算，即对于任意的群元素a，b∈G，有f(a·b)=f(a)·f(b)。
同构很像一种数学上的等价关系，它说明两个群结构上是相同的。
同态指两个群之间存在一个映射，满足这个映射保持群的乘法和单位元素，即对于任意的群元素a，b∈G，有f(a·b)=f(a)·f(b)且f(e)=e'，其中e和e'分别是两个群的单位元素。
同态具有保持群结构的性质，它将一个群映射到另一个群上，并保留了群的结构特征。
三、正则表示群的正则表示是指把一个任意群转化成可逆矩阵群的一种数学方法。
这种转化方法常用于群论与物理学、化学等学科的交叉研究领域。
群论及其在物理学中的应用
群论及其在物理学中的应用1. 群论的定义和基本概念群论是一种研究代数结构的数学分支，其中的群是一个由元素和一个二元操作组成的代数结构。
群的核心理念是封闭性，也就是说，任何两个群的元素的乘积都必须属于该群内。
群还具有唯一的单位元素，让任何元素加上单位元素都等于该元素本身；并且群中任何元素都有一个相应的逆元素，使得该元素和它的逆元素的乘积等于单位元素。
2. 群论在物理学中的应用群论在物理学中有着广泛的应用。
其中最重要的应用之一是研究对称性。
物理学中的许多问题都与对称性有关，例如粒子的自旋，电荷守恒等等。
而这些问题都可以用群论来描述。
在量子场论中，对称性群被广泛用于描述基本粒子之间的相互作用。
另一个群论在物理学中的应用是费米子测度。
费米子是具有半整数自旋的粒子，例如电子，中子等等。
由于费米子有一个独特的量子性质，所以它们的变换规则与量子场论和量子力学中的其他粒子有所不同。
这些规则可以通过对称性群来描述。
3. 群论在宇宙学中的应用群论在宇宙学中也有重要的应用。
宇宙学中的许多问题都与宇宙的结构和演化有关，例如宇宙大尺度结构，星系形成等等。
通过对这些问题的研究，我们可以了解宇宙的形成和演化历程。
群论被广泛用于描述这些宇宙结构的对称性，从而提供了关于宇宙演化的更深入的理解。
4. 群论的未来研究方向未来的群论研究将更加关注代数拓扑的交叉作用。
随着数学的发展和现代物理学和宇宙学的需求，群论的应用和研究将会越来越广泛和深入。
我们可以期待看到更多的新颖应用和创新性方法的发展，让我们更深刻地理解物理学和宇宙学中复杂的现象和问题。
第四章群论及应用
如果不存在这样的相似变换则称为不可约表示。 可约表示记为：
ai
i
i
找到 不等价、不可约、酉表示
自然要提出这样的问题： （A）如何判断一个表示是否可约？ （B）可约表示的约化是否唯一？ （C）一个群的不等价不可约的表示数目有多少？
三、群表示理论 (一) 有关不可约表示的五个重要规则
（1）基矢变换（坐标系旋转）
坐标系取向改变时，空间固定点的P的坐标如何变化。 设有两个原来相重合的坐标系OXYZ和OX’Y’Z’（右手直角坐标系） ，它们的基矢分别用 (i , j , k ) 和 (i ' , j ' , k '来表示。 ) P在OXYZ坐标系中的坐标为（x,y,z）则矢径
（1） CZ ( ) 的表示（绕Z轴旋转）
（请注意，作用对象不同，表示不同（基矢不同，表示不同））
①以x,y为基 （Px,Py）
x'
y ' x
cos y sin
sin cos
cos D(C z ( )) sin
1
sin cos
Ai Bi
则：
Ak Bk
（ Bi ， Bk 不一定不同）
Ai Ak Bi Bk
称G与G’同态。
六 特征标（实为矩阵内容，群通过矩阵表示） 1、定义：（矩阵的迹）
x aii
2、AB与BA有相同的特征标
( AB BA)
证明：
x AB cii
i i
a b
ij j
它们的元素之间一一对应并满足下列性质
Ai Bi
Ak Bk
则：
Ai Ak Bi Bk
群论及其应用
群论及其应用
群论是数学的一个分支，它研究由一些元素组成的集合，这些元素在某种运算下满足一定的性质。
群论的应用非常广泛，涵盖了许多领域，包括物理学、化学、计算机科学、密码学等。
在物理学中，群论被广泛应用于研究对称性。
例如，在量子力学中，粒子的波函数在某些变换下保持不变，这些变换可以用群论中的表示理论来描述。
群论还被用于研究晶体结构、相对论等。
在化学中，群论被用于研究分子的对称性。
分子的对称性可以用群论中的对称操作来描述，这些操作可以帮助我们了解分子的结构和性质。
群论还被用于研究化学反应的机理和催化剂的设计等。
在计算机科学中，群论被用于设计和分析密码系统。
例如，Diffie-Hellman 密钥交换协议就是基于群论的原理。
群论还被用于研究网络安全、图像处理等领域。
在数学本身，群论也有许多应用。
例如，它被用于研究代数结构、几何变换、数论等领域。
总的来说，群论是一种非常重要的数学工具，它在许多领域都有广泛的应用。
对于学习和研究这些领域的人来说，了解群论的基本概念和
方法是非常必要的。
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3）共轭元素的性质
（1）每个元素自身共轭。A X 1 AX (为什么？）（X=E）
（2）A与B共轭，则B与A共轭（相互）
A X 1BX
B XAX 1 Y 1 AX
（3）A与B共轭，A与C共轭，则B与C共轭。（传递性）
A X 1BX
A Y 1CY ZCZ 1
B XAX 1 XZCZ 1 X 1 ( XZ )C( XZ )1
$4-2 分子点群
Cn
Dnh
Cnv
Dnd
Cnh
Sn
Cs
Td
Ci
Oh
Dn
$4-3 群表示理论 一、什么是群表示？
群G（对称群）用同构或同态的矩阵群来表示。
1、基矢变换和坐标变换 进行对称操作，就是把物体各点的位置按一定规律变动。
这样有两种表示方法： 给定坐标系，物体的各点的坐标按一定规律变换。 坐标系变化，物体中各点坐标变化情况。
v xi
v yj
v zk
i,
j,
k
x y
er
z
e
i , j,k
x
r
y
z
（习惯上指把基矢写成行矩阵，坐标写成列矩阵）
物体不动，坐标系OX’Y’Z’经变换R到新的位置。P在OX’Y’ 坐标系中的坐标为（x’,y’,z’）则矢径
uuur v v v
OP xi ' yj ' zk '
2、AB与BA有相同的特征标 (AB BA)
证明：
xAB cii
aij b ji
i
i
j
xBA d jj
b ji aij
b ji aij
aij b ji xAB
j
ji
i
j
i
j
3、共轭矩阵特征标相同
B X 1 AX
xB bii
X
a 1
ij
jk
X
ki
i
i jk
X
ki
X
a 1
ij
jk
jk i
kj a jk a jj xA
jk
j
七 直积 如果有两个群: G1 {E, A1, A2 ,L Ai ,L Am} G2 {E, B1, B2 ,L Bj ,L Bk } 如果它们的元素彼此相乘的意义明确,并且相互对易: Ai B j B j Ai 则可以定义一个更大的群G,G为G1和G2的直接乘积G1G2 G G1 G2 {E, A1, A2,L Ai ,L Am}{E, B1, B2,L Bj ,L Bk}
（1）基矢变换（坐标系旋转）
坐标系取向改变时，空间固定点的P的坐标如何变化。
设有两个原来相重合的坐标系OXYZ和OX’ Y’Z’（右手直角坐标系 ，它们的基矢分别用 (i , j, k )和 (i ', j ', k '来) 表示。
P在OXYZ坐标系中的坐标为（x,y,z）则矢径 OP为：
uuur OP
G中包含的每一个元素都可以唯一地写成GiGj
例如:
G1 {E, C3, C32} C3
G2 {E, h} Cs
定义直积
G G1 G2
{E, C3, C32}{E, h} {E, C3, C32 , h , C3 h , C32 h} C3h
直积群有如下性质: 1、各个直因子的共同元素只有单位元素。 2、各个直因子都是G的不变子群
五 同构与同态
1、同构：设有两个同阶的群：
G {E, A1, A2 , , Am )
G' {E', B1, B2 , , Bm )
它们的元素之间一一对应并满足下列性质
则：
Ai Bi
Ai Ak Bi Bk
Ak Bk
称G与G’同构。
2、同态：设有两个不同阶的群：
G {E, A1, A2 , , Am )
则群H称作群G的子群。
有二个平凡子群（非真子群） E（单位元素）和 G（G群本身） 其它为真子群
四 共轭元素与类
1）共轭元素：设A，B，X是一个群的任何三个元素，若满足 B X 1 AX
则称A，B相互共轭。（相似变换）
2）类的定义： 相互共轭的元素的集合称为一个共轭类。 一个类中包含的元素数目称作它的阶。
（4）群中二个不同类没有共同元素 （从传递性可以证明）
（5）单位元素自成一类 因为
E AEA1 EAA1 EE E
（6）对易群每个元素自成一类 对易因群为 ： AB=BA
A1BA BA1 A BE B
（7）一个类中所有元素都有相同的周期
a 什么是周期？ An E
（则n 称为A的周期）
$4-1群的定义和基本概念
一 为什么要学群论
1、 物理与化学的许多研究对象与对称性联系。 2、 表象 本质 3、光谱 4、简化计算（如判断积分是否为零）
二 群的定义
一个集合G（A，B，C，…）如果满足条件： 1）封闭性 2）缔合性： 3）单位元素
4）逆元素
三 子群 如果群G中的一部分元素对于群G的乘法也构成群H，
G' {E', B1, B2 , , Bn )
若G中任何一个元素都可以在G’中找到一个元素和他对应， 并满足下列性质
Ai Bi Ak Bk 则：
（ Bi ，Bk 不一定不同）
Ai Ak Bi Bk
称G与G’同态。
六 特征标（实为矩阵内容，群通过矩阵表示）
1、定义：（矩阵的迹）
x aii
i'
,
j',
k'
x' y'
e' r'
z'
如果, k在') OXYZ坐标系中的分量用矩阵D（R）表示：
e' eD(R)
OP e'r' eD(R)r' er
rv' [D(R)]1rv
（1）
（2）坐标变换（物体旋转）
若令物体随OX’Y’Z’坐标系一起变换R（物体运动），物体上的 P点移到空间另一点P’上，自然P’点在OX’Y’Z’的坐标系中的 还是(x,y,z)，设P’点在OXYZ坐标系的坐标为(x’,y’,z’)，则：
OP' e' r er'
因为
ev' evD(R)
OP' eD(R)r er'
rv' D(R)rv
（2）
比较（1）和（2）式， 将物体固定变换基矢与将基矢固定使物体 作相反方向变动时，物体上各点的坐标变换情况是一样的。
矩阵D（R）完全反应了变换R（对称操作）的作有结果。 所以把D（R）称为变换R的矩阵表示。
b 证明： B n ( X 1 AX )n X 1 AXX 1 AX X 1 AX X 1 An X X 1EX E （逆定理不成立）
（8）若两元素（对称操作）同类，则两对称元素可经某一操作 使之重合。（化学中用于判断方法）
如NH3中的3个对称面是同类。 而水分子中二个对称面则不同类。 又如苯分子中的二次轴