【配套K12】[学习]河北省邢台市桥东区八年级数学上册 16 轴对称和中心对称 16.3 角的平分线
最新冀教版八年级上册数学精品课件第16章 轴对称和中心对称
知识点 作线段的垂直平分线
如图所示,一只花猫发现一只老鼠溜进了 一个内部连通的鼠洞,鼠洞只有三个出口A,B,C, 要想同时顾及这三个出口以防老鼠出洞,这只 花猫最好蹲守在三个出口所连的三条线段的垂 直平分线的交点处.
第十六章 轴对称和中心对称
16.2 线段的垂直平分线
知识点 线段垂直平分线的性质定理
党和政府十分关心某地灾后重建工作,准备为三 个村庄A,B,C(其位置如图所示)修建一口水井,要求水 井到三个村庄的距离相等,工程负责人作线段AB和CB 的垂直平分线,交点处即为符合要求的点.
知识点 线段垂直平分线性质定理的逆定理
一天傍晚,某牧童在A处放牛,欲将牛牵到 河边饮水后再回到家B处,牧童想以最短的路程 回家.如图所示,作点A关于直线l的对称点A',连 接A'B,与直线l相交于点C,连接AC,由轴对称的 性质可知,AC=A'C,由两点之间线段最短可知 A'B最短,则AC+BC最短.
知识点 画关于某条直线对称的图形
想在一张纸上作出图中房子关于直线对 称的另一部分,可将纸沿着直线折叠,然后将图 形的特殊点在反面描出来,顺次连接各特殊点 就得到另一半.
知识点 中心对称
观察下面的两组图形可以发现: 各组中两个图形的形状、大小相同, 并且将其中的一个图形绕着某一点 转180°,就能够与另一个图形重合.
知识点 中心对称的性质
旋转的物体必须具有稳定性,而中心对称的设计,恰恰满 足了旋转物体的这一需求.因而在工农业生产制作转动工具 时,都不可避免地考虑应用中心对称的设计,小的如日常生活 中单车、闹钟内的齿轮,电风扇的扇叶;大的如推动飞机、轮 船的轮桨,风力发电用的风车等.另外,在日常使用的一些生 活工艺品中,也不难发现中心对称的影子!
冀教版八年级上册数学第16章 轴对称和中心对称 成中心对称
着某一点旋转180 °，它 个图形的位置关
能够与另一个图形重合那 系而言的
中心 对称
么就说这两个图形关于这 (2)中心对称有一个
个点成中心对称
对称中心
2.性质：成中心对称的两个 (3)中心对称是绕对
图形中，对应点所连线段 称中心旋转
经过对称中心，且被对总结 (1)连接两对对应点，则线段的交点即为对称中心. (2)中心对称作图的方法步骤： ①确定对称中心；②作关键点的对称点； ③连线；④写结论. (3)每一对对应点所连线段被对称中心平分是识别中心对
知1－讲
例1 如图所示的图形中，成中心对称的有____3____组．
导引：利用成中心对称的定义解答.
总结
知1－讲
根据成中心对称的定义，看左边的图形能否绕一点 旋转180°后与右边的图形重合，能就成中心对称，不 能就不成中心对称．
知1－练
1 下列说法正确的是( D ) A．全等的两个图形成中心对称 B．能够完全重合的两个图形成中心对称 C．绕某点旋转后能重合的两个图形成中心对称 D．绕某点旋转180°后能够重合的两个图形成中心对
知2－练
1 如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列 说法：①∠BAC＝∠B1A1C1；②AC＝A1C1；③OA＝ OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的 有( D )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知2－练
2 如图，将△ABC以点O为旋转中心旋转180°后得到 △A′B′C′，点E，D分别是AB，AC的中点，已知ED ＝2，则线段E′D′的长度为( A )
知3－练
1 如图，已知四边形ABCD和点O，画四边形A′B′C′D′， 使四边形A′B′C′D′与四边形ABCD关于点O成中心对 称．
冀教版八年级上册数学教学课件 第十六章 轴对称和中心对称 轴对称
轴对称
问题1 下面每一对图形有什么共同特点？
每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合.
轴对称
A B
A' B'
C
C直线对折后，这两 个图形能完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称.这 条直线叫做对称轴．
轴对称
练一练：下面各选项中右边图形与左边图形成轴对称 的是( B )
4.画出下面轴对称图形的对称轴.
5.如图是一个轴对称图形的一半，请你以直线l为对称轴画出它的另一半.
6.如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点. （1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1； （2）求AA1的长度. 10
C1 B1
A1
CONTENTS
4
轴对称 图形
轴对称的作图
归纳： 几何图形都可以看作由点组成.对于某些图形， 只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的_对__称__点__，连 接这些对称点，就可以得到原图形的_轴__对__称__图__形_.
轴对称的作图
例 如图，已知线段AB和直线l，画出线段AB关于直线l的对称线段.
A ●
B●
轴对称的作图
CONTENTS
3
1.现在低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式. 下列共享单车图标中是轴对称图形的是( A )
2.下列图形中，△A′B′C′与△ABC关于直线MN成轴对称的是( B )
3.如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′ 处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和△BC′F的周长之和 为( C ) A.3 B.4 C.6 D.8
C
C'
点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别是对应点.线段AB与线段 A'B',线段AC与线段A'C',线段BC与线段B'C'分别是对应线段.∠A与 ∠A'，∠B与∠B'，∠C与∠C'分别是对应角.
(河北专版)2022秋八年级数学上册 第16章 轴对称和中心对称16.4中心对称图形课件(新版)冀教
(2)两个正方形如图②所示摆放，O 为小正方形对角线的交点，求 作过点 O 的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
解：如图①所示．
(3)八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形 分成面积相等的两部分(用三种方法分割)．
解：如图所示．
10．(中考·四川眉山节选)如图，在方格网中，已知格点三角形 ABC 和点 O，画△A′B′C′和△ABC 关于点 O 成中心对称． 解：如图所示．
11．如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的中线． (1)画出以点 D 为对称中心，与△ABD 成中心对称的三角形；
解：如图，延长 AD 至 E，使 DE＝AD，连接 CE，则 △ECD 即为所求．
(1)在图①中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形； 解：如图①，△DEC 为所求作的格点三角形．(答案不唯一)
(2)在图②中，画出一个与△ABC 成轴对称且与 △ABC 有公共边的格点三角形；
解：如图②，△ADC 为所求作的格点三角形．(答案不唯一) (3)在图③中，画出△ABC 绕着点 C 按顺时针方向旋转 90°后的
2．一个图形绕某一点旋转___1_8_0_°__后与另一个图形重合，就把 这两个图形叫做_成__中__心__对__称___，这个点叫做_对__称__中__心__．
3．(2019·山东青岛)下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中 心对称图形的是( D )
4．(2019·河北衡水期中)下列说法中正确的是( B ) A．两个能够互相重合的图形一定成中心对称 B．成中心对称的两个图形一定能够互相重合 C．把一个图形绕着某一点旋转一定的角度，如果它能够与 另一个图形重合，那么这两个图形一定成中心对称 D．如果两个图形的对应点的连线都经过某一点，那么这两 个图形关于这一点成中心对称
河北省邢台市桥东区八年级数学上册16轴对称和中心对称16.1轴对称导学案(无答案)冀教版(2021
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16。
1 轴对称【学习目标】1.了解轴对称及轴对称图形的概念，会找轴对称图形的对称轴；2。
理解轴对称及轴对称图形的区别与联系，掌握轴对称的性质；3。
理解线段的垂直平分线的定义；4。
会画与已知图形成轴对称的图形．【学习重点】理解并掌握轴对称的性质．【学习难点】轴对称及轴对称图形的区别与联系．【预习自测】1。
全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。
2。
两个全等图形重合时,互相重合的点叫做对应点，互相重合的线段叫做对应线段,互相重合的角叫做对应角。
【合作探究】1. 轴对称图形一般地,如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够 ,那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做．2。
轴对称一般地，如果两个图形沿某条直线对折后,这两个图形能够，那么我们就说这两个图形成轴对称,这条直线叫做，关于对称轴对称的点、对称的线段、对称的角分别叫做、、．3。
轴对称图形的性质DCBA如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么这两个图形是 ，它们的对应 相等，对应 相等，对应点所连的线段被对称轴 ． 4.线段的垂直平分线一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称 。
冀教版八年级上册数学课件(第16章 轴对称和中心对称)
导入新课 情景引入
轴对称在我们的生活中无处不在，无论是随风起舞的风筝 ，凌空翱翔的飞机，还是中外各式风格的典型建筑都和轴对 称密不可分.
现在就让我们一起来认识这奇妙的轴对称吧！
讲授新课
一 轴对称图形与轴对称的概念
问题1 如图，观察这几张图片，它们是不是轴对称，可通过
什么方法进行说明？
√
√
×
a m
A
B
D
C
E
二 线段垂直平分线性质定理的应用
问题 已知：如图，点A，B是直线l外任意两点，在直线l上，试 确定一点P，使得AP+BP最短. B
A
解：作点A关于直线l的对 称点A'，连接A'B ,交直线 l于点P，则AP+BP最短. A'
P
l
典例精析
例2
如图，已知牧马人营地在 M处，每天牧马人好先赶马群到
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第十六章 轴对称和中心对称
16.1 轴对称
学习目标
1.认识轴对称图形，能够识别简单的轴对称图形. 2.理解两个图形成轴对称的概念，能够运用轴对称的性质作图
.（难点）
3.理解线段垂直平分线的意义和线段的轴对称性并用其作图.( 重点）
轴对称图形和对称轴 一般地，如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部
分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直
线叫做对称轴. 练一练 下列图形是轴对称图形吗？
√
√
×
二 轴对称图形的对称轴
对称轴图形是指一个图形的轴对称性，两个图形之间往往
也具有这种对称性.
如图中的两个图形，沿图中的虚线对折后，这两个图形完
冀教版八年级上册数学第16章 轴对称和中心对称 线段垂直平分线性质定理的逆定理
∴点P在线段AB的垂直平分线上，符合题意； B．过线段外一点作已知线段的垂线，不能保证该垂线平分此条线段，不符合 题意． 故选B.
【答案】B
5．如图，点C是△ABE的BE边上一点，点F在AE上，D是BC的中点，且AB ＝AC＝CE.给出下列结论：
①AD⊥BC；②CF⊥AE； ③∠1＝∠2；④AB＋BD＝DE. 其中正确的结论有( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：如图所示，点P即为所求．
9．【易错：容易默认点O是AB的中点】已知直线l与线段AB交于点O，点P在直线l 上，且AP＝PB，下列结论：①OA＝OB；②PO⊥AB；③∠APO＝∠BPO；④ 点P在线段AB的垂直平分线上．其中正确的有________．
④
10．【创新考法】如图，课外实践中小明同学把AB，BC，CD，AD四根木条连 接起来制作了一个框架，其中AB＝AD，BC＝DC，每两根木条的连接处是 可以转动的，几名同学在一起讨论它的用途．
(2)若AD＝3，AB＝5，当BC的长为多少时，点B在线段AF的垂直平分线上？ 为什么？
解：∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B， 同理可得∠CAN＝∠C， ∴∠EAN＝∠BAE＋∠CAN－∠BAC＝∠B＋∠C－∠BAC. 在△ABC中，∵∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝110°， ∴∠EAN＝∠B＋∠C－∠BAC＝110°－70°＝40°.
(1)小红发现可以用它作线段的垂直平分线． 请结合下图补全结论并给出证明． 已知：如图，AB＝AD，BC＝DC. 求证：________垂直平分________．
AC
BD
证明：如图，连接AC，BD. ∵AD＝AB，∴点A在BD的垂直平分线上． ∵BC＝DC，∴点C在BD的垂直平分线上． ∴AC垂直平分BD.
冀教版八年级上册数学教学课件 第十六章 轴对称和中心对称 角的平分线
等三角形的对应角相等.所以AE就是角平分线
想一想：能够运用这种方法作出任意角的角平分 D 线吗？
B E
尺规作角平分线
问题2 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧， 分别交OA，OB于点D，E.
（2）分别以点D，E为圆心，适当长为半O
径，在∠AOB内部画弧，两弧相交于点C. （3）作射线OC.射线OC即为所求.
4.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，
DE＝2，AB＝4，则AC的长是( D )
A．6 B．5 C．4
A E
D．3
B
D
C
5.求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等.
A 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′,
∠BAC=∠B′A′C′,AD,A′D′分别是∠BAC,∠B′A′C′的
角平分线的性质定理(几何语言)：
∵OP 是∠AOB的平分线，
PD⊥_O_A__,PE⊥_O_B__，
O
∴PD = _P_E__．
DA PC
EB
角平分线的性质定理
练一练：如图，OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB，垂足为 D,则PC与PD的大小关系是( B )
A.PC>PD B.PC=PD C.PC<PD D.不能确定
∠B=∠B′,
B
D
C
A'
AB=A′B′,
∠BAC=∠B′A′C′, ∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
B'
D'
C'
CONTENTS
4
角平分线的性 质定理
冀教版八年级上册数学第16章 轴对称和中心对称 用尺规作线段的垂直平分线
第十六章轴对称和中心对称
16.2线段的垂直平分线 第2课时用尺规作线段的垂直平分线
提示：点击 进入习题
1D 2C 3C 4B 5D
6A 7 见习题 8 见习题
答案显示
1．平面内与A，B，C三点等距离的点( D )
A．只有一个
B．有两个
C．有三个或三个以上D．有一个或没有
【点拨】当A，B，C三点不在同一条直线上时，可以得到 一个与A，B，C三点等距离的点，它是以A，B，C三点为 端点的线段的垂直平分线的交点；当A，B，C三点在同一 条直线上时，无法找到与A，B，C三点等距离的点．
解：如图①，直线m 即为所求．
(2)如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D， 画出BC边的垂直平分线n.
解：如图②，直线n即为所示．
【点拨】因为作直线AB的垂线，需要转化为作线段 的垂直平分线，所以第一步要得到以点M为中点的 线段．
【答案】C
4．下列作图方法中，能确定线段AB的中点的是( B ) A．作线段AB的垂线 B．作线段AB的垂直平分线 C．过点A作线段AB的垂线 D．过线段AB的中点作线段AB的垂线
【点拨】因为线段的垂直平分线经过线段的中点，所 以B中的方法可以确定线段AB的中点．
作图的方法在BC上取一点P，使得PA ＋PC＝BC，则下列选项正确的是( )
【点拨】由PB＋PC＝BC和PA＋PC＝BC易得PA＝PB， 根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在AB 的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
【答案】D
6．【中考·河北】如图，已知钝角三角形ABC，依下列步 骤用尺规作图，并保留作图痕迹．
2．用尺规作长度为8cm的线段AB的垂直平分线， 小明在以点A为圆心画弧时，所选的半径可以是 下列线段中的( )
河北省邢台市桥东区八年级数学上册 16 轴对称和中心对称 16.2 线段的垂直平分线(1)导学案(无
16.2线段的垂直平分线（1）【学习目标】1.理解线段垂直平分线的概念；2.掌握线段垂直平分线的性质定理并能解决问题【学习重点】准确理解线段垂直平分线的性质【学习难点】能应用线段垂直平分线的性质定理解决问题【预习自测】1.线段垂直平分线的定义：2.成轴对称图形的性质：【合作探究】线段垂直平分线的性质定理：探究：已知线段AB，直线EF⊥AB，垂足为O，AO=BO的任意一点．求证：EPA=PBP证明：A OF例题：如图，△ABC中，AB＝AC，AB+BC＝13，AB边的垂直平分线MN交AC于点D，求△BCD的周长。
分析：要求△BCD 的周长，只需求BC +CD +BD ，而由MN 是垂直平分线，可知D A ＝DB ，于是△BCD 的周长＝BC +CD +BD ＝BC +AC ，于是问题获解。
解：因为MN 是垂直平分线，点D 在MN 上，所以DA ＝DB ， 于是△BCD 的周长＝BC +CD +BD ＝BC +AC ＝13.说明：这里通过线段的垂直平分线使问题整体求解， 同学们不妨从中体会求解的技巧.【解难答疑】1. 如图所示，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=o，BC 的中垂线交斜边AB 于D ，7.8AB =，3.9AC =，则图中有多少个角等于60o （）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2. 在△ABC 中，EF 是AC 的垂直平分线，AF =12，BF =3，则BC =______【反馈拓展】1. 若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定2. △ABC 中，∠CAB =120º，AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E 、F ，则∠EAF 等于（ ）EB CFABNMDCA ＡＤＢA ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．80º3．在锐角三角形ABC 中，60A ∠=o，AB ，AC 两边的垂直平分线相交于点O ，则BOC ∠的度数是４.已知A 和B 两点在线段EF 的中垂线上，且∠EAF =100°，∠EBF =70°,则∠AEB 等于( ) A ．95° B ．15° C ．95°或15° D ．170°或30°【总结反思】1.本节课我学会了：还有些疑惑：2.做错的题目有： 原因：A。
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16.3角的平分线
【学习目标】
1. 掌握角平分线的性质定理及其逆定理；
2．会灵活运用角平分线的性质定理及其逆定理；
3．会用尺规作角的平分线．
【学习重点】
角平分线的性质定理．
【学习难点】
角平分线的性质定理的逆定理．
【预习自测】
知识链接：
1.角平分线的定义
2.我们已经探究出角平分线上的点所具有的性质，怎样对这个性质进行证明呢？
【合作探究】
探究活动一：角平分线的性质定理
已知：如下图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
证明：∴OC是∠AOB的平分线(已知)，
∴∠1=∠2(角平分线的定义).
∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)，
∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义).
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=∠PEO (已证)，
∠1＝∠2(已证)，
OP＝OP
(公共边)，
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∴△PDO≌△PEO (AAS).
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等).
角平分线的性质定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
探究活动二：角平分线性质定理的逆定理
1.请写出角平分线性质定理的逆命题.
2.请根据逆命题的内容，画出图形，并结合图形，写出已知和求证.
3.写出证明过程.
注：类比“线段垂直平分线的性质定理及其逆定理”的学习过程，让学生独立完成“做一做”中提
出的问题.
这样，我们就得到：
角平分线性质定理的逆定理 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
例题：在△ABC中，∠B=∠C，点D为BC边的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F.求证：点
D在∠A
的平分线上.
尺规作角的平分线
观察与思考
观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如下图)，思考这种作法的依据.
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步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于A，B两点.
步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧交于点C
步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线.
注：独立完成用尺规作角平分线的过程，进一步培养学生的操作能力，并能说出作图过程中每
步的依据.（依据是“SSS”公理和全等三角形的对应角相等）.
【解难答疑】
1. 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.求证，点P到三条边AB，BC，CA的距离相等.
２．如图21所示，107国道OA和306国道OB在我市相交于点O，在AOB的内部有工厂C和
D．现在修建一个货物中转站P，使P
到OA、OB的距离相等，且使PDPC，用尺规作出点
P
的位置（不必写出作法，保留作图痕迹，写出结论），并说明理由．
B
A
O
D
C
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【反馈拓展】
１．BD是ABC的平分线，DEAB⊥于E，
2
36mABCS
△
，18cmAB，12cmBC，
则DE的长是 ．
3.用三角尺画角平分线：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，再分别过M、N作
OA，OB的垂线，交点为P，画射线OP
，则这条射线即为角平分线．请解释
这种做法的道理．你还能举出哪些作角平分线的方法，并说明这种做法
的道理．
４．如图所示，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条
公路的距离相等，则可选择的地址有_______处.
【总结反思】
1.本节课我学会了：
还有些疑惑：
2.做错的题目有：
原因：
Ａ
Ｅ
Ｄ
Ｃ
Ｆ
Ｂ
l3
l1
l2