特征标121

不可约表示：G的表示A在V中不存在G不变真子空间。 可约表示可以用同一个相似变换将群元的表示矩阵D(A) 、 D(B)、Λ同时变成具有相同块结构的块状对角矩阵；换言 之，可进一步对角化的表示为可约表示。
正交性定理
设D(i)(R)和D( j)(R)是群G的两个ni，nj维的不等价不可 约表示（R代表群G中的任一元）,则有
AP 可约 (gi )
L(gi ) S P AP (gi )
p 1
Hale Waihona Puke q正则表示含不等价不可约酉表示的次数，等于该表示的 维数。
群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标为 D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)=
i
a A ( g )
p
p
p, v
v
v
i
av S p ( Av | )
p
p
推论：
1、勃恩赛德（Burside)定理 有限群的所有不等价不可约酉表示维数的平方和， 等于群的阶。即
2 2 S12 S2 ... S q n
2、正则表示L(gi)按不等价不可约酉表示 化为
i
2,...,q) A ( p 1,是有限群
p
G 的所有不等价不可 g ,..., g ,...g

生成的群函数
1
i
n

A
p
在群
1 p ( ) 函数集｛ A ｝是 的完备基。 是群函数空 ( ) A v g i g s v R G i 间的正交归一基。群G的任意复函数可展为：
p
p
(g )
亦即( i ,
j ) = ij
此正交关系也称为特征标的第一正交关系 注：若将一个群的所有不等价不可约表示的特征标列成表，并 以群元类作为行编号而以不等价不可约表示作为列编号的话， 则不同行的特征标是正交的
推论： 1、群G的所有不等价不可约表示的个数r≤C （G中共轭类的个数）
例：验证正交性
(2) : 同一不可约(幺正)表示的基函数彼此正交
ij
正交
┌ 1 i ┐ ∣ 2i ∣ ┌ 1j ┐ ∣ 2j ∣ ∣ ∣ └ njj ┘
正交∣ ∣
∣ ∣ └ nii ┘
∣ ∣ 正交
完备性定理
设 约酉（幺正）表示，则 p 函数中间是完备的。 Av ( g )
X ( R) X j ( R)a j
j
(5)不可约表示特征标的正交性定理
定理：一个群G的两个不等价不可约表示D(i)和D( j)的特征 标X(i)和X( j)满足关系式
(i ) ( j )* X ( R ) X ( R) g ij R
其中，g是群阶，R是群G中的任一元，X(i),X( j)代 表第i和第j个不可约表示的特征标。
(3)属于同一共轭类的群元在同一表示中有相同的特征标， 因此特征标是类的函数，独立的特征标个数等于类的个数
证明：Ri与Rj共轭，则有 R-1RiR=Rj
所以D(R-1)D(Ri)D(R)=D(Rj)
D-1(R)D(Ri)D(R)=D(Rj) 得：X(Ri)=X(Rj)（相似矩阵有相同的迹）
(4)一个可约表示的特征标，等于约化后各不可约表示的特 征标之和
D
a 1
n
aa
( R)
式中，R表示G的任一元 Daa是对角元，n是表示空间的维数。 特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用， 第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
2.特征标的性质
(1)单位矩阵的特征标等于它的阶，若表示是一维的，则特 征标就是表示自身 (2)等价表示有相同的特征标 (由于相似变换并不改变矩阵的迹)
当我们寻找一个群的全部表示是，只须考虑那 些互不等价的表示。
可约表示和不可约表示
可约表示：设A是群G在表示空间V上的一个表示。如果V 存在一个G不变的真子空间W(即W既不是空集或V本身） 则称表示A是可约表示。亦即对任意y ∈W,任意g ∈G,有 A(g )y ∈W。 A(g )不把W中的向量变到W以外去。
A1～A2:1×1×1+2×1×1+3×1×(-1)=0 A2～E:1×1×2+2×1×(-1)+3×(-1)×0=0 E～E：1×2×2+ 2×（-1）×(-1)+ 3×0×0=6
2、有限群不可约表示的特征标内积等于1即：
（ p , p ) 1
3、可约表示A的特征标
A 的内积大于1
q p 1
p A (gi ) mp （ gi )
mp为不可约表示Ap在可约表示A的等价幺正表示 A’中的重复度。
（ A , A ) m2 p 1
P 1
可约表示的约化: 只要知道群的所有不可约表示的特征标 ( 即 不可约表示特征标表 ), 就可对该群任一表示的 可约性作出判断。 1.如该表示的特征标和某一不可约表示的特 征表完全相同, 则与这一不可约表示等价,亦为不 可约表示。
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1、相关概念热身 2、特征标基本性质 3、特征标正交性与完备性 4、特征标表的构造
等价表示和非等价表示
等价表示：群G存在两个表示 D1={D1(E),D1(A),D1(B),…} D2={D2(E),D2(A),D2(B),…} 若存在一个非奇异矩阵S，使得每个元素都能满足 D1(A)=S-1D2(A)S,D1(B)=S-1D2(B)S,…等，即 D1=S-1D2S (相似变换) 则称两个表示D1和D2等价。记作D1∽D2
证明：
( i )* ( j) ( i )* ( j) X ( R ) X ( R ) D ( R ) D uu aa ( R) R R u a ( i )* ( j) Duu ( R)Daa ( R) ua R
g g ij ua ij ua ni ua ni ua g ij 1 g ij ni ua
(i ) ( j )* D ( R ) D ap q ( R) g ij a pq / ni R
用内积表示即: （D( j)p (R)|D(i)ßq (R))= ij ij /ni
其中，g是群G的阶，求和对一切群元进行。 ni是不 可约表示D(i)(R)的维数。
注：为什么叫正交性定理？ (1) i j: 两个不等价不可约(幺正)表示的基函数彼此正 交;