高考数学基础小题冲刺训练1

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2023届重庆高考冲刺训练数学试题及参考答案

2023年重庆高考冲刺训练数学试题及参考答案一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{y |y ＝x }，B ＝{x |y ＝x }，全集为R ，则A ∩(∁R B )等于()A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．{0,1}D ．{(0,0)，(1,1)}2．已知复数z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，(z －z )i ＝2(i 为虚数单位)，则z 等于()A ．2＋iB ．2－iC ．－2＋iD ．－2－i3．已知|a |＝5，b ＝(1,2)，且a ∥b ，a ·b <0，则a 的坐标为()A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．(1，－2)D ．(－1，－2)4．甲、乙、丙三人参加社区义工活动，每人从编号为1到6的社区中任选一个，所选社区编号数各不相同且不相邻，则不同的选择方案的种数为()A ．12B ．24C ．36D ．485．已知数列{a n }满足a 1＝2，S n ＋1＝2(1＋S n )，若a 6是a m ，a 2n 的等比中项，m ，n ∈N *，则m ＋2n 等于()A ．12B ．123C ．22D ．46．如图所示，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若|AB |∶|BF 2|∶|AF 2|＝3∶4∶5，则双曲线的离心率为()A ．2B .15 C.13 D.37．如图，已知三棱锥P －ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABC ，AC ＝BC ＝2，AB ＝2，球心O 到平面ABC 的距离为3，则球O 的体积为()A.32π3B.16π3C ．16πD ．32π8．已知f(x)＝x(l n x－a)，不等式f(x)≥x2－e x－1恒成立，则实数a的取值范围是() A．(－∞，－1]B．(－∞，0]C．(－∞，1]D．(－∞，e]二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分)9．已知函数f(x)＝sin2x＋3cos2x，则下列四个命题正确的是()A．f(x)的最小值为－2B．f(x)向右平移π3个单位长度后得到的函数是奇函数C．f(x)在0，π12上单调递增D．f(x)关于直线x＝7π12对称10．已知x>0，y>0，且x＋y＋xy－3＝0，则()A．x y的取值范围是[1,9]B．x＋y的取值范围是[2，＋∞)C．x＋4y的最小值是3D．x＋2y的最小值是42－311．有两个箱子，第1个箱子有3个白球，2个红球，第2个箱子有4个白球，4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中随机取1个球放到第1个箱子里，则下列判断正确的是()A．从第2个箱子里取出的球是白球的概率为2345B．从第2个箱子里取出的球是红球的概率为2245C．若从第2个箱子里取出的球是白球，则从第1个箱子里取出的是白球的概率为1523D．两次取出的球颜色不同的概率为5912．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝2a2.则下列结论正确的是()A．当E与D1重合时，异面直线AE与BF所成的角为π3B．三棱锥B－AEF的体积为定值C．EF在平面ABB1A1内的射影长为a2D．当E向D1运动时，二面角A－EF－B的平面角保持不变三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在的二项展开式中，所有项的系数之和为81，则常数项为________．14．设曲线y＝12x2在点A1，12y＝x l n x在点P处的切线互相平行，则点P的坐标为________．15．以模型y＝c e k x(c>0)去拟合一组数据时，设z＝l n y，将其变换后得到经验回归方程z ＝2x－1，则c＝________.16．在△ABC中，AB＝2，AC＝23，BC＝4，点O为△ABC的外心，则AO→·BC→＝________，P是△ABC外接圆圆O上一动点，则PA→·(PB→＋PC→)的最小值为________．四、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)在①a3＋a11＝20，②a3S10＝310这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，若1a n a n＋1n∈N*)的前2023项和；若问题中的数列不存在，说明理由．问题：是否存在正项等差数列{a n}(n∈N*)，其前n项和为S n，且a1＝1，________？18．(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，已知a c o s C＋c c o s A＝3，a＝2b.(1)求a；(2)若S＝312(a2＋c2－b2)，求A.19．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△PAB为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，M为PD的中点．(1)求证：PB∥平面ACM；(2)求直线BM与平面PAD所成角的正弦值．20．(12分)某新华书店将在六一儿童节进行有奖促销活动，凡在该书店购书达到规定金额的小朋友可参加双人PK赢取“购书券”的游戏．游戏规则为：游戏共三局，每局游戏开始前，在不透明的箱中装有5个号码分别为1,2,3,4,5的小球(小球除号码不同之外，其余完全相同)．每局由甲、乙两人先后从箱中不放回地各摸出一个小球(摸球者无法摸出小球号码)．若双方摸出的两球号码之差为奇数，则甲被扣除2个积分，乙增加2个积分；若号码之差为偶数，则甲增加n(n∈N*)个积分，乙被扣除n个积分．PK游戏开始时，甲、乙的初始积分均为零，PK游戏结束后，若双方的积分不等，则积分较大的一方视为获胜方，将获得“购书券”奖励；若双方的积分相等，则均不能获得奖励．(1)设PK游戏结束后，甲的积分为随机变量ξ，求ξ的分布列；(2)以(1)中的随机变量ξ的均值为决策依据，当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，记正整数n的最小值为n0.①求n0的值，并说明理由；②当n＝n0时，求在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率．21．(12分)在平面直角坐标系中，已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，点P(t，s)(s>0)为抛物线C上一点，P关于x轴对称的点为Q，且△OPQ和△OPF的面积分别为16和2.(1)求C的方程；(2)设点D(a,2)，A，B为抛物线C上不同的三点，直线DA，DB的倾斜角分别为α，β，且满足tanα＋tanβ＝1，证明：直线AB经过定点．22．(12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax－b(其中a，b为参数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a＝1，函数g(x)＝f(x e x)有且仅有2个零点，求b的取值范围．参考答案1．B 2.B 3.D4.B5.A6.C7．A[如图，因为AC ＝BC ＝2，AB ＝2，所以AC 2＋BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC .因为PA ⊥平面ABC ，AB ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥BC .又AC ∩PA ＝A ，PA ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥PC ，所以球心O 是PB 的中点．取AB 的中点D ，连接OD ，则OD ∥PA ，所以OD ⊥平面ABC ，所以OD ＝ 3.设球O 的半径为R ，在Rt △ODB 中，R ＝OB ＝OD 2＋DB 2＝(3)2＋12＝2，所以球O 的体积为43πR 3＝43×π×23＝32π3.]8．B[由题意可知x >0，由f (x )≥x 2－e x －1，可得a ≤e x －1x＋l n x －x .∵e x －1x ＋l n x －x ＝1e ·e x x ＋l n x e x ，令t ＝e xx ，则t ′＝e x x －e x x 2＝e x (x －1)x 2，∴t ＝e xx在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴t ≥t (1)＝e ，因此令φ(t )＝1e t ＋ln 1t ＝1e t －ln t (t ≥e)，φ′(t )＝t －e t e ≥0，∴φ(t )在[e ，＋∞)上单调递增，故φ(t )≥φ(e)＝0，∴a ≤0.]9．ACD 10．BD[因为x >0，y >0，所以x ＋y ≥2xy ，所以3－xy ≥2xy ，解得0<xy ≤1，即0<xy ≤1，故A 错误；因为x >0，y >0，所以x y ，所以3－(x ＋y )，即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥2，故B 正确；因为x ＋y ＋x y －3＝0，所以x ＝－y ＋3y ＋1＝－1＋4y ＋1，则x ＋4y ＝－1＋4y ＋1＋4y ＝4y ＋1＋4(y ＋1)－5≥2×4－5＝3，当且仅当4y ＋1＝4(y ＋1)，即y ＝0时等号成立．因为y >0，所以x ＋4y >3，故C 错误；x ＋2y ＝－1＋4y ＋1＋2y ＝4y ＋1＋2(y ＋1)－3≥42－3，当且仅当4y ＋1＝2(y ＋1)，即y ＝2－1时等号成立，故D 正确．]11．ABC[从第2个箱子里取出的球是白球的概率为35×59＋25×49＝2345，故A 正确；从第2个箱子里取出的球是红球的概率为35×49＋25×59＝2245，故B 正确；设从第2个箱子取出的球是白球为事件A ，从第1个箱子取出的球是白球为事件B ，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝35×592345＝1523，故C 正确；两次取出的球颜色不同的概率为35×49＋25×49＝49，故D 错误．]12．BCD[当E 与D 1重合时，因为EF ＝22a ，此时F 为B 1D 1的中点，记BD中点为O ，连接D 1O ，如图，由正方体性质可知，BO ∥D 1F ，BO ＝D 1F ，所以四边形BOD 1F 为平行四边形，所以D 1O ∥BF ，所以AE 与BF 所成的角为∠AD 1O .又D 1O＝6a 2，AD 1＝2a ，AO ＝2a 2，所以cos ∠AD 1O ＝3a 22＋2a 2－a 222×6a2×2a＝32，故A 错误；V B －AEF ＝V A －BEF ，易知点A 到平面BB 1D 1D 的距离和点B 到直线B 1D 1的距离为定值，且EF ＝2a2为定值，所以三棱锥A －BEF 的体积为定值，故B 正确；易知∠A 1B 1D 1＝π4，EF 在平面ABB 1A 1内的射影在A 1B 1上，所以射影长为2a 2×cos π4＝a2，故C 正确；二面角A －EF －B 即为二面角A －B 1D 1－B ，显然其平面角不变，故D 正确．]13．8；14.(1,0)；15.1e 解析由z ＝l n y ，得l n y ＝2x －1，y ＝e 2x －1＝e －1·e 2x ，所以c ＝e －1＝1e.16．40解析因为AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AB ⊥AC ，所以O 是BC 的中点．以A 为原点，AB ，AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A (0,0)，B (2,0)，C (0,23)，O (1，3)，AO →＝(1，3)，BC →＝(－2,23)，所以AO →·BC →＝4.圆O 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.设P (x ，y )，则PA →＝(－x ，－y )，PB →＝(2－x ，－y )，PC →＝(－x ,23－y )，所以圆上点P d min ＝r －1＝2－1＝1，所以PA →·(PB →＋PC →)的最小值为2×12－2＝0.17．解若选择①1＝1，3＋a 11＝a 1＋2d ＋a 1＋10d ＝20，所以d ＝32，所以a n ＝1＋(n －1)×32＝32n －12.由a 3S 10＝(1＋2d＋10×92d 310，得d ＝32(舍负)，因此a n ＝1＋(n －1)×32＝32n －12.因为1a n a n ＋1＝所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a 2023a 2024＝－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a 2023＝23×＝40466071.18．解(1)在△ABC 中，由a cos C ＋c cos A ＝3及余弦定理，可得a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3，即2b 2＝23b ，则b ＝3，而a ＝2b ，所以a ＝ 6.(2)由S ＝312(a 2＋c 2－b 2)，得S ＝312×2ac ×cos B ＝36ac cos B ，又S ＝12ac sin B ，所以12ac sin B ＝36ac cos B ，则tan B ＝33，因为B ∈(0，π)，故B ＝π6，根据a ＝2b ，得sin A ＝2sin B ＝22，又A >B ，A ∈(0，π)，所以A ＝π4或3π4.19．(1)证明连接BD 交AC 于点N ，连接MN ，如图，在正方形ABCD 中，N 为BD 的中点，而M 为PD 的中点，则PB ∥MN ，而MN ⊂平面ACM ，PB ⊄平面ACM ，所以PB ∥平面ACM .(2)解取AB 的中点O ，连接PO ，如图，在正△PAB 中，PO ⊥AB ，因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ∩底面ABCD ＝AB ，PO ⊂侧面PAB ，则PO ⊥平面在平面ABCD 内，过点O 作OE ⊥AB 交CD 于点E ，则射线OB ，OE ，OP 两两垂直，以O 为原点，射线OB ，OE ，OP 分别为x ，y ，z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，A (－1,0,0)，D (－1,2,0)，P (0,0，3)，－12，1AD →＝(0,2,0)，AP →＝(1,0，3)，BM →－32，1设平面PAD 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)·AD →＝2y 1＝0，·AP →＝x 1＋3z 1＝0，令z 1＝1，得m ＝(－3，0,1)，设直线BM 与平面PAD 所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈m ，BM →〉|＝|m ·BM →||m ||BM →|＝232×2＝32，所以直线BM 与平面PAD 所成角的正弦值为32.20．解(1)记“一局游戏后甲被扣除2个积分”为事件A ，“一局游戏后乙被扣除n 个积分”为事件B ，由题意可知P (A )＝C 12C 13A 22A 25＝35，则P (B )＝1－P (A )＝25，当三局均为甲被扣除2个积分时，ξ＝－6，当两局为甲被扣除2个积分，一局为乙被扣除n 个积分时，ξ＝n －4，当一局为甲被扣除2个积分，两局为乙被扣除n 个积分时，ξ＝2n －2，当三局均为乙被扣除n 个积分时，ξ＝3n ，所以P (ξ＝－6)＝27125，P (ξ＝n －4)＝C 23×25＝54125，P (ξ＝2n －2)＝C 13×35×＝36125，P (ξ＝3n )＝8125，所以随机变量ξ的分布列为ξ－6n －42n －23n P2712554125361258125(2)①由(1)易得E (ξ)＝(－6)×27125＋(n －4)×54125＋(2n －2)×36125＋3n ×8125＝6n －185，显然甲、乙双方的积分之和恒为零，当游戏规则对甲获得“购书券”奖励更为有利时，则需E (ξ)＝6n －185>0，所以n >3，即正整数n 的最小值n 0＝4.②当n ＝4时，记“甲至少有一局被扣除积分”为事件C ，则P (C )＝1＝117125，由题设可知若甲获得“购书券”奖励，则甲被扣除积分的局数至多为1，记“甲获得‘购书券’奖励”为事件D ，易知事件CD 为“甲恰好有一局被扣除积分”，则P (CD )＝C 13×35×＝36125，所以P (D |C )＝P (CD )P (C )＝36125×125117＝413，即在甲至少有一局被扣除积分的情况下，甲仍获得“购书券”奖励的概率为413.21．(1)解由题意知|PQ |＝2s ，所以△OPQ 的面积为12×t ×2s ＝ts ，则ts ＝16.①又因为焦点|OF |＝p 2，则△OPF 的面积为12×p 2×s ＝ps 4，则ps4＝2.②由①②联立解得t ＝2p ，s ＝8p，则p将P 点坐标代入抛物线方程得＝2p ·2p ，解得p ＝2，故C 的方程为y 2＝4x .(2)证明将D (a ,2)代入抛物线C 的方程得22＝4a ，解得a ＝1，所以D (1,2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋n ，＝my ＋n ，2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4n ＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4n .因为tan α＋tan β＝1，即k DA ＋k DB ＝1，所以y 1－2x 1－1＋y 2－2x 2－1＝1，所以y 1－2y 214－1＋y 2－2y 224－1＝4y 1＋2＋4y 2＋2＝1，整理得y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0，所以－4n －2×4m －12＝0，则n ＝－2m －3，所以直线AB 的方程为x ＝my －2m －3，即x ＋3＝m (y －2)，所以直线AB 经过定点(－3,2)．22．解(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x －ax2.当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间；当a >0时，令f ′(x )>0，解得x >a ，令f ′(x )<0，解得0<x <a ，11所以f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞)．(2)当a ＝1时，g (x )＝f (x e x )＝ln x e x ＋1x e x －b ＝ln x ＋x ＋1x ex －b ，g ′(x )＝1x ＋1－x ＋1x 2e x ＝(x ＋1)(x e x －1)x 2ex .令g ′(x )＝0，则x e x ＝1(x ＝－1舍去)，令h (x )＝x e x －1(x >0)，则h ′(x )＝(x ＋1)e x >0，所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又＝12e －1<0，h (1)＝e －1>0，且函数h (x )在(0，＋∞)上的图象是连续不断的曲线，所以根据零点存在定理，存在唯一的x 0h (x 0)＝x 00e x －1＝0，并且当x ∈(0，x 0)时，h (x )<0，当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )>0，所以当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (x 0)＝ln x 0＋x 0＋1e x x 00－b ＝1－b .因为函数g (x )有且仅有2个零点，所以必须有g (x )min <0，即b >1.下面证明当b >1时，函数g (x )有且仅有2个零点．因为g (x 0)＝1－b <0，g (b )＝ln b ＋1b eb >0，且g (x )在(x 0，＋∞)上单调递增且连续，所以g (x )在(x 0，＋∞)上有且仅有1个零点，因为g (x )＝f (x e x )＝ln x e x ＋1x e x －b ，令x e x ＝t (0<t <x 0)，则F (t )＝ln t ＋1t－b .因为b >1，所以0<e －b <1e <12，F (e －b )＝ln e －b ＋e b －b ＝e b －2b ，令φ(b )＝e b －2b ，b >1，显然φ(b )＝e b －2b 在(1，＋∞)上单调递增，所以φ(b )＝e b －2b >e －2>0，又g (x 0)＝1－b <0，所以g (x )在(0，x 0)上有且仅有1个零点．综上，b >1.。

2025高考数学冲刺分层训练专题3-1、三角函数小题(一)

专题3-1、三角函数小题（一）一、单选题1．（2024·湖北·宜昌市一中校联考模拟预测）设1cos 3x =，则sin 2x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（）A ．13B ．13−C ．3D ．3−sin 2x π⎛− ⎝1cos 3x =sin x ⎛∴− ⎝故选：B2．（2024·湖南岳阳·统考二模）已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴查合，点A 是角α的终边与单位圆的交点，若点A 的横坐标为45−，则cos2α=（）A ．25−B ．25C ．725−D ．7253．（2024·江苏·统考一模）已知函数()()()sin 20πϕϕ=+<<f x x 的图象关于直线π6x =对称，则ϕ的值为（） A ．π12 B ．π6C ．π3D ．2π34．（2024·福建漳州·统考三模）已知πsin 6α⎛⎫+= ⎪⎝⎭5πsin 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．34−B ．34C ．4−D ．45．（2024·江苏泰州·统考一模）已知sin cos 65αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则cos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．725−B ．725 C ．2425− D ．24256．（2024·福建泉州·统考三模）已知sin 0αα=，则cos 2=α（）A ．13−B ．0C ．13D7．（2024·山东·烟台二中校联考模拟预测）将函数()πcos 6f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标缩短为原来的13，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）．A ．()g x 在ππ,23⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()g x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 在ππ,23⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()g x 在ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减8．（2024·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知πcos 243α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（）．A ．13B ．12C ．12−D ．13−【详解】sin α−=13α=−．9．（2024·湖北·校联考模拟预测）已知cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则cos α=（）A B C D10．（2024·湖北·统考模拟预测）已知cos 752α⎛⎫︒+= ⎪⎝⎭()cos 30α︒−的值为（）A ．13B ．13−C ．23D ．23−11．（2024·江苏·统考一模）在ABC 中，2π3BAC ∠=，BAC ∠的角平分线AD 交BC 于点D ，ABD △的面积是ADC △面积的3倍，则tan B =（） A B C D 【详解】1sin 21sin 2ABDADCAB AD BADAB AC AC AD CAD ⋅⋅∠==⋅⋅，在ABC 中，作sin b CAH AB AH ∠=+12．（2024·湖南·模拟预测）已知πsin 4sin 0,,21cos 4cos 2ααααα⎛⎫∈= ⎪+−⎝⎭，则tan 2α=（）ABCD【详解】α13．（2024·广东茂名·统考一模）下列四个函数中，最小正周期与其余三个函数不同的是（）A ．()2cos sin cos f x x x x =+B ．()1cos 22sin cos xf x x x−=C ．()ππcos cos 33f x x x ⎛⎫⎛⎫=++− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()ππsin cos 66f x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、多选题14．（2024·广东深圳·统考一模）已知函数()f x 的图象是由函数2sin cos y x x =的图象向右平移π6个单位得到，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在区间ππ,63⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 的图象关于直线π3x =对称D ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称15．（2024·浙江·校联考模拟预测）将函数π()2sin26f x x⎛⎫=−⎪⎝⎭的图象向左平移(0)θθ>个单位长度，得到函数()g x的图象，下列说法正确的是（）A．当5π6θ=时，()g x为偶函数B．当5π6θ=时，()g x在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C．当π4θ=时，()g x在ππ,66⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域为D．当π4θ=时，点π,06⎛⎫−⎪⎝⎭是()g x的图象的一个对称中心16．（2024·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知1 sin cos5θθ+=，()0,πθ∈，则（）A ． 12sin cos 25θθ=− B ． sin cos 1225θθ−=C ． 7sin cos 5θθ−=D ．4tan 3θ=−θcos θ0，所以sin ，解得4sin ,cos 5θ=17．（2024·江苏南京·南京市秦淮中学校考模拟预测）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若()222tan a c b B +−=，则B 的值为（）A ．6π B ．3π C ．56π D ．23π 18．（2024·山东潍坊·校考一模）将函数()π2cos 24f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象向右平移π8个单位长度得到()y g x =的图象，则（）A ．()y f x =在ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫−=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()y g x =是奇函数D ．()1y g x =−在[]π,π−上有4个零点2sin 2x ，故0，得到sin 19．（2024·山东·河北衡水中学统考一模）已知函数()ππsin()0,0,22f A x A x ωϕωϕ⎛⎫=+>>−<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．当ππ,44x ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为22⎡−⎢⎣⎦ C ．将函数()f x 的图象向右平移π12个单位长度可得函数()sin 2g x x =的图象 D ．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称20．（2024·湖南湘潭·统考二模）将2sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到()f x 的图象，则（）A ．π()2sin 23f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭B ．()f x 的图象关于直线π12x =对称 C ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭内是增函数21．（2024·湖南邵阳·统考二模）若函数()()()2cos cos sin 10f x x x x ωωωω=−−>的最小正周期为π，则（）A ．π24f ⎛⎫−= ⎪⎝⎭B ．()f x 在π23π,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()f x 在5π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有5个零点D ．()f x 在ππ,44⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,1−【答案】BCπ4x ⎫+⎪⎭三、填空题22．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知5π2tan 43θ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则tan θ=________.所以tan 5θ=−. 故答案为：5−.23．（2024·浙江·校联考三模）写出一个满足下列条件的正弦型函数，()f x =____________．①最小正周期为π； ②()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥上单调递增； ③,()2x f x ∀∈≤R 成立．24．（2024·江苏宿迁·江苏省沭阳高级中学校考模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，sin sin sin sin sin sin A B A C B C +=，则b c +的最小值为_____________.25．（2024·山东淄博·统考一模）若sin 63θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,πθ∈，则cos θ=______.【详解】()0,πθ∈π7π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭，又ππ,62⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π,π2⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，26．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）锐角α满足sin 43α⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 2=α____________.27．（2024·湖南长沙·统考一模）已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>,若函数()f x 的图象关于点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称,且关于直线π3x =轴对称,则ω的最小值为______．28．（2024·广东惠州·统考模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的终边经过点()1,2，则2cos sin 2θθ+=__________．【答案】1【分析】法一：利用三角函数的定义求出sin θ、cos θ的值，再利用二倍角的正弦公式计算可得结果；29．（2024·广东江门·统考一模）已知,02θ⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，7cos29θ=，则sin θ的值为___________.30．（2024·广东湛江·统考一模）cos 70cos 20cos 65︒−︒=︒______．。

数学(新高考)2022届高考考前冲刺卷(一)教师版

（新高考）2022届高考考前冲刺卷数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}05,U x x x =<<∈N ，{}2560M x x x =-+=，则U M =（） A ．{}2,3 B ．{}1,5C ．{}1,4D ．{}2,3,5【答案】C【解析】由题设，{2,3}M =，{1,2,3,4}U =，所以{1,4}U M =，故选C ． 2．复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则i z ⋅=（） A ．2i -+ B ．2i +C ．2i --D ．2i -【答案】D【解析】依题意12i z =-+，12i z =--，()i 12i i 2i z ⋅=--⋅=-，故选D ．3．函数sin()()e ex xx f x π-=+的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C 【解析】函数sin()()e e x x x f x π-=+定义域为R ，sin()sin()()()e e e ex xx x x x f x f x ππ-----===-++，即()f x 是奇函数，A ，B 不满足；当(0,1)x ∈时，即0x ππ<<，则sin()0x π>，而e e 0x x -+>，因此()0f x >，D 不满足，C 满足，故选C ．4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是直角三角形，且1AB BC AA ==，D 为棱11B C 的中点，点E 在棱BC 上，且4BC BE =，则异面直线AC 与DE 所成角的余弦值是（）A ．3417B ．3434C ．105D ．1010【答案】B【解析】如图所示，在棱BC 上取点F ，使CF BE =，连接11,,C F AF A F ，因为1AB BC AA ==，D 为棱11B C 的中点，点E 在棱BC 上，且4BC BE =，设14AB BC AA ===，可得1BE CF ==，3BF =，1142AC AC ==，2EF =，在ABF △中，因为4,3AB BF ==，所以22435AF =+=，在直角1A AF △中，221141A F AA AF =+=，在直角1C CF △中，221117C F CC CF =+=，此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号因为D 是11B C 的中点，所以12C D =，所1EF C D =，又因为11BC B C ∥，所以1EF C D ∥，所以四边形1C DEF 是平行四边形，所以1DE C F ∥，所以11A C F ∠是异面直线AC 与DE 所成的角，在11A C F △中，由余弦定理可得1132174134cos 3424217AC F +-∠==⨯⨯，即异面直线AC 与DE 所成角的余弦值是3434，故选B ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足10a <，916S S =，则（） A ．0d < B ．n S 的最小值为25SC ．130a =D ．满足0n S >的最大自然数n 的值为25【答案】C【解析】由于916S S =，101112131415160a a a a a a a ++++++=，∴上式中等差中项130a =，13110120a a a d -=-=>，即0d >，故A 错误；由等差数列的性质可知2513250S a ==，110S a =<，即125S S <，故B 错误；由以上分析可知C 正确，D 错误，故选C ．6．从编号分别为1、2、3、4、5、6、7的七个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则至少有两个小球编号相邻的概率为（） A ．57B ．35C ．25D ．13【答案】A【解析】随机取出三个小球共有3735C =种情况，任意两个小球编号都不相邻的基本事件有()1,3,5，()1,3,6，()1,3,7，()1,4,6，()1,4,7，()1,5,7，()2,4,6，()2,4,7，()2,5,7，()3,5,7共有10种，故所求概率为35105357-=，故选A ． 7．已知函数()21ln ,02,0x x f x x x x x ⎧->⎪=⎨⎪+≤⎩，则函数[()1]y f f x =+的零点个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】D【解析】令()()21ln 1,011,0x x x t f x x x ⎧-+>⎪=+=⎨⎪+≤⎩． ①当0t >时，1()ln f t t t=-，则函数()f t 在(0,)+∞上单调递增，由于(1)10f =-<，1(2)ln 202f =->，由零点存在定理可知，存在1(1,2)t ∈，使得()10f t =；②当0t ≤时，2()2f t t t =+，由2()20f t t t =+=，解得2320t t =-=，．作出函数()1t f x =+，直线120t t t t ==-=、、的图象如下图所示：由图象可知，直线1t t =与函数()1t f x =+的图象有两个交点；直线0t =与函数()1t f x =+的图象有两个交点；直线2t =-与函数()1t f x =+的图象有且只有一个交点，综上所述，函数()1y f f x ⎡⎤=+⎣⎦的零点个数为5，故选D ．8．已知两条直线1:2320l x y -+=，2:3230l x y -+=，有一动圆（圆心和半径都在变动）与12,l l 都相交，并且12,l l 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（）A ．()22165y x --= B ．()22165x y --= C ．()22165y x -+= D ．()22165x y +-=【答案】D【解析】设动圆圆心(),P x y ，半径为r ，则P 到1l的距离1d =，P 到2l的距离2d =因为12,l l 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，24∴==，化简后得222212169,144r d r d -=-=，相减得222125d d -=，将1d =，2d =()22165x y +-=，故选D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题中，正确的命题是（）A ．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的70%分位数是7B ．若随机变量1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()4=9D X C ．若事件A ，B 满足()()()1P AB P A P B ⎡⎤=⋅-⎣⎦，则A 与B 独立 D ．若随机变量()2~2,X N σ，()10.68P X >=，则()230.18P x ≤<= 【答案】CD【解析】A ：由1070%7⨯=，所以70%分位数是787.52+=，错误； B ：由题设，()1146(1)333D X =⨯⨯-=，错误；C ：因为()()()P AB P AB P A +=，即()()()P AB P A P AB =-，又()()()[1]P AB P A P B =⋅-，即()()()()P A P B P A P AB =-，所以()()()B P AB P A P =，故A 与B 独立，正确；D ：由题设，()P X 关于2X =对称，所以()2(1)1230.182P X P x >-≤<==，正确，故选CD ．10．已知函数()()cos 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为2π，将()f x 的图象向左平移6π个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（） A ．()00g =B ．()g x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增 C ．()g x 的图象关于4x π=-对称D ．()g x 在,123ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是1 【答案】AC【解析】由题意222ππω=，2ω=，所以()cos(4)6f x x π=-， 1()cos[4()]cos(4)sin 4662g x x x x πππ=+-=+=-，()sin 2g x x =-，(0)0g =，A 正确； 0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，220,x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 2y x =递增，()g x 递减，B 错；()sin()142g ππ-=--=是最大值，C 正确；,123x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 2y x =的最小值是12-，()g x 的最大值是12， D 错，故选AC ．11．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P ，交抛物线的准线于点Q ，下列说法正确的是（） A ．若O 为线段PQ 中点，则2PF =B ．若4PF =，则OP =C ．存在直线l ，使得PF QF ⊥ D ．PFQ △面积的最小值为2【答案】AD【解析】抛物线24y x =的准线为1x =-，焦点()1,0F ，若O 为PQ 中点，所以1P x =，所以12p PF x =+=，故A 正确；若4PF =，则413P x =-=，所以OP ===，故B 错误；设()2,2P a a ，则21,Q a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以()21,2FP a a =-，22,QF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以22224220FP QF a a ⋅=-+=+>，所以FP 与FQ 不垂直，故C 错误；212112212PFQ P Q S a OF a y a a y =+=⋅⨯⨯=+⋅-≥△，当且仅当1a a=，即1a =±时，取等号，所以PFQ △面积的最小值为2，故D 正确，故选AD ．12．定义：在区间I 上，若函数()y f x =是减函数，且()y xf x =是增函数，则称()y f x =在区间I 上是“弱减函数”．根据定义可得（） A ．()1f x x=在()0,∞+上是“弱减函数”B ．()ex x f x =在()1,2上是“弱减函数”C ．若()ln x f x x=在(),m +∞上是“弱减函数”，则e m ≥D ．若()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是“弱减函数”，则213k ππ≤≤ 【答案】BCD【解析】对于A ，1y x =在()0,+∞上单调递减，()1y xf x ==不单调，故A 错误；对于B ，()e x x f x =，()1ex xf x -'=在()1,2上，()0f x '<，函数()f x 单调递减，()2e x x y xf x ==，()2220e ex xx x x x y --'==>，∴y 在()1,2单调递增，故B 正确；对于C ，若()ln x f x x =在(),m +∞单调递减，由()21ln 0xf x x-'==，得e x =， ∴e m ≥，()ln y xf x x ==在()0,+∞单调递增，故C 正确；对于D ，()2cos f x x kx =+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()sin 20f x x kx '=-+≤在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立minsin 2x k x ⎛⎫⇒≤ ⎪⎝⎭，令()sin x h x x =，()2cos sin x x x h x x-'=，令()cos sin x x x x ϕ=-，()cos sin cos sin 0x x x x x x x ϕ'=--=-<，∴()x ϕ在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()()00x ϕϕ<=，∴()0h x '<，∴()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，()22h x h ππ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，∴212k k ππ≤⇒≤，()()3cos g x xf x x x kx ==+在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()2cos sin 30g x x x x kx =-+≥'在0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，∴2maxsin cos 3x x x k x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，令()2sin cos x x x F x x -=，()23cos 2cos 0x x x F x x+'=>， ∴()F x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()22F x F ππ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，∴2233k k ππ≥⇒≥，综上：213k ππ≤≤，故D 正确，故选BCD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量()(),2λλ=∈R m ，()3,3=-n ，若()3⊥+n m n ，则实数λ=______．【答案】20【解析】依题意()()()3,233,39,11λλ+=+-=-m n ，若()3⊥+n m n ，则()()()33,39,11327330λλ⋅+=-⋅-=-++=n m n ，解得20λ=，故答案为20．14．将3封不同的信随机放入2个不同的信箱中，共有n 种不同的放法，则在nx ⎛ ⎝的展开式中，含2x 项的系数为________．【答案】70【解析】由题意得328n ==，在8x ⎛ ⎝展开式中，818(r r r r T C x -+=，当1822r r --=，即4r =时，该项为270x ，故答案为70．15．《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”．秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法．以S ，a ，b ，c 分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；,,a b c h h h分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则111222a b c S ah bh ch ====．若在ABC △中，2a h =，7b h =，c h =__________．【答案】3【解析】由a b c ah bh ch ==，知111::::8:7:5a b ca b c h h h ==，设8,7,5a k b k c k ===，则2S ===，又182S k =⨯=，∴2=，∴1k =，∴8,7,5a b c ===，∴2221cos 22a cb B ac +-==，又()0,B π∈，∴3B π=，∴该三角形外接圆的直径2sin 3b R B ===，．16．定义：若A ，B ，C ，D 为球面上四点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，则把以EF 为直径的球称为AB ，CD 的“伴随球”．已知A ，B ，C，D 是半径为2的球面上四点，AB CD ==AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围为__________；若A ，B ，C ，D 不共面，则四面体ABCD 体积的最大值为___________．【答案】(]0,2，4【解析】设O 为,,,A B C D 所在球面的球心，∴2OA OC==． ∵AB CD ==,E F 分别是,AB CD 的中点， ∴OE AB ⊥，OE CD ⊥，且AE CF == ∴1OE OF ==，则E 、F 均是以O 为球心，1为半径的球面上的点，若以EF 为直径作球，则02EF OE OF <≤+=，即AB ，CD 的“伴随球”的直径取值范围是(0,2]． ∵E 是AB 中点，∴223A BCD A CDE CDE V V S d --==⋅△， d为点A 到平面CDE 距离，d AE ≤=，又12CDE S CD h =⋅△，h 为点E 到CD 距离，2h EF ≤≤，∴22323432A BCDV -⨯≤⨯⨯=，当且仅当,E O ，F 三点共线，且AB ⊥CD 时，等号成立．故答案为(0,2]，4．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C -=．（1）求角B 的大小；（2）已知3b =，若D 为ABC △外接圆劣弧AC 上一点，求AD DC +的最大值．【答案】（1）3π；（2）23 【解析】（1）法一：∵22cos a c b C -=，由正弦定理得2sin()sin 2sin cos B C C B C +-=， ∴2(sin cos sin cos )sin 2sin cos B C C B C B C +-=， ∴()sin 2cos 10C B -=， ∵sin 0C ≠，∴1cos 2B =，又∵0B π<<，∴3B π=．法二：∵22cos a c b C -=，由余弦定理得22222222222a b c a c b a ac a b c ab +--=⋅⇒-=+-， ∴222a cb ac +-=，∴2221cos 22a cb B ac +-==，∵0B π<<，∴3B π=．（2）由（1）知，3B π=，而四边形ABCD 内角互补，则23ADC π∠=，法一：设DAC ∠θ=，则3DCA πθ∠=-，由正弦定理得232sin sinsin 33AD DC ACππθθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭∴33AD πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，23DC θ=，∴23233cos 3232333AD DC ππθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+=+=+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当3AD DC ==AD DC +的最大值为23法二：在ADC △中，23ADC π∠=，3AC =，由余弦定理得22222cos 3AC AD DC AD DC π=+-⋅，∴22()()994AD DC AD DC AD DC ++=+⋅≤+，∴23AD DC +≤当且仅当3AD DC ==AD DC +的最大值为2318．（12分）已知数列{}n a 满足113a =，1111n n a a ++=+．（1）设1n nb a =，证明：{}n b 是等差数列；（2）设数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求n S ．【答案】（1）证明见解析；（2）()()3234212n n S n n +=-++．【解析】（1）因为111111111111111n n n n n n n n n n n n a b b a a a a a a a a a +++-=-=-=-=-=-++，∵1n nb a =，∴1113b a ==，所以数列{}n b 是以3为首项，1为公差的等差数列．（2）因为1113b a ==，所以3(1)12n b n n =+-⨯=+，由12n n a =+，得12n a n =+，故()1111222n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以1212n n a a a S n=++⋅⋅⋅+ 1111111111111112322423521122n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111111111232435112n n n n ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-+- ⎪-++⎝⎭()()111113113231221222124212n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫=+--=--=- ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭． 19．（12分）如图1，在平面四边形PDCB 中，PD BC ∥，BA PD ⊥，1PA AB BC ===，12AD =．将PAB △沿BA 翻折到SAB △的位置，使得平面SAB ⊥平面ABCD ，如图2所示．（1）设平面SDC 与平面SAB 的交线为l ，求证：BC l ⊥；（2）在线段SC 上是否存在一点Q （点Q 不与端点重合），使得二面角Q BD C --的余弦值为66，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在点Q 为SC 的中点时，使得二面角Q BD C --的余弦值为66，理由见解析．【解析】（1）证明：延长,BA CD 相交于点E ，连接SE ，则SE 为平面SCD 与平面SBA 的交线l ．证明如下：由平面SAB ⊥平面ABCD ，BA AD ⊥，AD ⊂平面ABCD ，且平面SAB平面ABCD AB =，所以AD ⊥平面SAB ，又由AD BC ∥，所以BC ⊥平面SAB ，因为SE ⊂平面SAB ，所以BC SE ⊥，所以BC l ⊥．（2）解：由（1）知：,,SA AB AD AB SA AD ⊥⊥⊥，以A 为坐标原点，以,,AD AB AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得1(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(,0,0),(0,0,1)2A B C D S ，则1(,1,0)2BD =-，设SQ SC λ=(其中01)λ<<，则(,,1)Q λλλ-，所以(,1,1)BQ λλλ=--，设平面QBD 的法向量为(,,)x y z =n ，则()()102110BD x y BQ x y z λλλ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅=+-+-=⎩n n ，令2x =，可得131,1y z λλ-==-，所以13(2,1,)1λλ-=-n ，又由SA ⊥平面BDC ，所以平面BDC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，则21361cos ,135()11λλλλ-⋅-==⋅-+⋅-m n m n m n ，解得12λ=，所以存在点Q 为SC 的中点时，使得二面角Q BD C --6．20．（12分）某企业从生产的一批零件中抽取100件产品作为样本，检测其质量指标值m （其中：100400m ≤≤），得到频率分布直方图，并依据质量指标值划分等级如表所示：质量指标值m150≤m <350 100≤m <150或350≤m ≤400等级A 级B 级（1）根据频率分布直方图估计产品的质量指标值的60%分位数；（2）从样本的B 级零件中随机抽3件，记其中质量指标值在[350，400]的零件的件数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；（3）该企业为节省检测成本，采用混装的方式将所有的零件按500个一箱包装，已知一个A 级零件的利润是10元，一个B 级零件的利润是5元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱零件的利润．【答案】（1）2875．；（2）分布列见解析，数学期望为32；（3）每箱零件的利润是4750元．【解析】（1）前三组的频率和为00010002000350030.6++⨯=<（...）.，前四组的频率和为030008500706+⨯=>．．．．，设60%分位数为x ，(250,300)x ∈，0.3(250)0.0080.6x +-⨯=，解得2875x =.，∴产品的质量指标值的60%分位数为2875．．（2）()0.0010.0015010010+⨯⨯=，所以样本的B 级零件个数为10个，质量指标值在[350，400]的零件为5个，故ξ可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为30553101(0)12C C P C ξ===，()21553105112C C P C ξ===，()12553105212C C P C ξ===，03553101(3)12C C P C ξ===，随机变量ξ的分布列为ξ123P112512512112所以期望()1212122E ξ=++=．（3）设每箱零件中A 级零件有X 个，则B 级零件有()500X -个，每箱零件的利润为Y元，由题意知：()10550052500Y X X X =+-=+，由（2）知：每箱零件中B 级零件的概率为()0.0010.001500.1+⨯=，A 级零件的概率为10109-=．．，所以()~500,0.9X B ，所以()5000.9450E X =⨯=，所以()()()52500525004750E Y E X E X =+=+=(元)，所以每箱零件的利润是4750元．21．（12分）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，点11,4T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在E 上．（1）求TF ；（2）O 为坐标原点，E 上两点A 、B 处的切线交于点P ，P 在直线2y =-上，P A 、PB 分别交x 轴于M 、N 两点，记OAB △和PMN △的面积分别为1S 和2S ．试探究：12S S 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．【答案】（1）54；（2）是，12S S 为定值2．【解析】（1）因为点11,4T ⎛⎫⎪⎝⎭在E 上，于是112p =，解得2p =，所以15424p TF =+=．（2）抛物线方程为24x y =，故214y x =，所以12y x '=．设A 、B 的坐标分别为211,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、222,4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则P A 的方程为2111()24x x y x x =-+，即21124x x y x =-；同理PB 的方程为22224x x y x =-，联立P A ，PB 方程得122P x x x +=，124P x xy =，所以P 、M 、N 的坐标分别为1212,24x x x x+⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,02x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1224x x =-，128x x =-，设AB 的直线方程为y kx b =+，联立24y kx bx y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx b --=，由韦达定理可知1248x x b =-=-，所以2b =，故直线AB 过定点(0,2)，所以11212122S x x x x =⋅⋅-=-，12122122222x x x x S -=⋅⋅-=，因此，122S S =，故12SS 为定值2． 22．（12分）已知函数2()1e x ax f x =-，0a ≠．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x >，0a >时，e ()x f x bx ≥，证明：32e 27ab ≤．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）()f x 的定义域为R ，()()()2222e e e e x xxxax x ax ax f x --'=-=．①当0a >时，当(,0)x ∈-∞或(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减．②当0a <时，当(,0)x ∈-∞或(2,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；当(0,2)x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．（2）由e ()x f x bx ≥，得2e 0x ax bx --≥，因为0x >，所以e 0x ax b x--≥，令()()e 0xg x ax b x x =-->，则()()21e x x g x a x-'=-，设()()()21e 0x x h x ax x-=->，则()()2322e 0xxx h x x-+'=>，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，又因为()10h a =-<，()()()()21221e 1011aa a a h a a a a a a a +⋅++=->-=-=++，（由（1）知当1a =时，()()24210e f x f ≥=->，所以当0x >时，210ex x ->，即2e x x >．）所以，存在0(1,1)x a ∈+，使得0()0h x =，即()0021e x x a x-=．所以，当0(0,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增，所以()()0000e 0x g x g x ax b x ≥=--≥，所以()()000000001e 2e e xxx x x b x x x --≤-=，所以()()()222000033032e 12e x x x x x x ab xx-+---≤=．设()()()22332e 1xx x F x x x -+-=>，则()()()2322244232227106e e xx x x x x x x F x x x--+-+-'=-⋅=-⋅，当312x <<时，()0F x '>，()F x 单调递增；当32x >时，()0F x '<，()F x 单调递减，所以()332e 227F x F ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以32e 27ab ≤．。

福建省2024年(冲刺高考)高考适应性训练数学试题含答案

（冲刺高考）2024年福建省高考适应性训练数学试题一、单选题）已知集合A=｛寸五于叶，B＝｛寸守＞1｝，则A u B =( ) A.{x ix>一2} B.{xjx<-2或x>O}C. {xjx<-2或x>l} D. {xjO<x<I }2.）是虚数单位，复数z满足;(2-4i)=-10i ，则z= () A. --2iC.2-iB.1+2i D.2+i 兀3.已知两单位向性e 1与e 2的夹角为－，则向榄e，十让，与2e,-3今的夹角0=() 3A !!...B !!... c 竺6 - 3 - 3 4.在锐角..A BC中，若B=2A,sinB 则——的取值范围是（sin AA.（石，勾8.［抖］c 停引D . 3冗D .［甘）5.数列{F,,}: I, 1,2,3,5,8,13,21,34,．．．，成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为＂兔子数列“，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{F,,）的前n项和为S,'，则下列结论正确的是(A. S 20,9 =片。

21+2B. S 20,9 = "2021 -IC.Sw,9 =乓。

w +2D.S 20,9 = F 2020 -I6.生物学家认为，睡眠中的恒温动物的脉拇率f （单位：心跳次数．min -')与体重W （单位：k g)的－次方成反比若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2k g、脉搏3率为210次min -',B的脉搏率是70次min_,，则8的体重为() A.6k g B. 8k gC . 18k g D.54kg 7.已知正三棱锥S-ABC的底面边长为五导，外按球表面积为3,r,SA<✓2，点M,N分别是线段AB ,AC的中点，点P,Q分别是线段SN和平面SCM上的动点，则AP+PQ 的最小值为（）2石－石拆＋石A 4 B 4 c 孚五2D 8.点A （x。

高考逆袭卷01-2024年高考数学最后冲刺大题秒杀技巧及题型专项训练(新高考新题型专用)(原卷版)

2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）01数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。

预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．已知样本数据12100,,,x x x 的平均数和标准差均为4，则数据121001,1,,1x x x ------ 的平均数与方差分别为（）A ．5,4-B ．5,16-C ．4,16D ．4,42．已知向量()1,2a = ，3b = ，2a b -= ，则向量a 在向量b 上的投影向量的模长为（）A ．6B ．3C ．2D ．53．已知在等比数列{}n a 中，23215a a +=，234729a a a =，则n n S a -=（）A ．1232n -⨯-B ．()11312n --C ．23n n ⨯-D ．533n ⨯-4．已知三棱锥A BCD -中，6,3,AB AC BC ===三棱锥A BCD -的体积为2，其外接球的体积为500π3，则线段CD 长度的最大值为（）A ．7B ．8C ．D ．105．一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有（）A ．60种B ．68种C ．82种D ．108种6．已知 1.12a -=，1241log log 33b c ==，，则（）A ．a b c ＜＜B ．c b a ＜＜C ．b a c ＜＜D ．b c a ＜＜7．纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert 提出铅酸电池的容量C 、放电时间t 和放电电流I 之间关系的经验公式：C I t λ=，其中λ为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert 常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为7.5A 时，放电时间为60h ；当放电电流为25A 时，放电时间为15h ，则该蓄电池的Peukert 常数λ约为（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）（）A ．1.12B ．1.13C ．1.14D ．1.158．已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>与抛物线22:2(0)C y px p =>，抛物线2C 的准线过双曲线1C 的焦点F ，过点F 作双曲线1C 的一条渐近线的垂线，垂足为点M ，延长FM 与抛物线2C 相交于点N ，若34ON OF OM += ，则双曲线1C 的离心率等于（）A1+BCD1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在复平面内，下列说法正确的是（）A ．若复数1i 1i-=+z （i 为虚数单位），则741z =-B ．若复数z 满足z z =，则z ∈RC ．若120z z =，则10z =或20z =D ．若复数z 满足112z z -++=，则复数z 对应点的集合是以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆10．设直线系:cos sin 1n m M x y θθ+=（其中0，m ，n 均为参数，02π≤≤θ，{},1,2m n ∈），则下列命题中是真命题的是（）A ．当1m =，1n =时，存在一个圆与直线系M 中所有直线都相切B ．存在m ，n ，使直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限C ．当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1，最小值为2D ．当2m =，1n =时，若存在一点()0A a ，，使其到直线系M 中所有直线的距离不小于1，则0a ≤11．如图所示，一个圆锥SO 的底面是一个半径为3的圆，AC 为直径，且120ASC ∠=︒，点B 为圆O 上一动点（异于A ，C 两点），则下列结论正确的是（）A ．SAB ∠的取值范围是ππ,62⎡⎤⎢⎣⎦B ．二面角S BC A --的平面角的取值范围是ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．点A 到平面SBC 的距离最大值为3D ．点M 为线段SB 上的一动点，当SA SB ⊥时，6AM MC +>第II 卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设集合{}2|60A x x x =--<，{|}B x a x a =-≤≤，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是．13．已知三棱柱111ABC A B C -中，ABC 是边长为2的等边三角形，四边形11ABB A 为菱形，160A AB ∠=︒，平面11ABB A ⊥平面ABC ，M 为AB 的中点，N 为1BB 的中点，则三棱锥11C A MN -的外接球的表面积为.14．已知对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时，都有：()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-，则a 的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别a ，b ，c ，其中2,a b c =+=，且sin A C =.(1)求c 的值；(2)求tan A 的值；(3)求cos 24A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16．（15分）如图，在三棱锥-P ABC 中，M 为AC 边上的一点，90APC PMA ∠=∠=︒，cosCAB ∠=2AB PC =PA =(1)证明：AC ⊥平面PBM ；(2)设点Q 为边PB 的中点，试判断三棱锥P ACQ -的体积是否有最大值？如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由.17．（15分）近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了,A B 两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼.(1)该校学生甲､乙､丙三人某周均从,A B 两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲､乙､丙该周选择A 健身中心健身的概率分别为112,,233，求这三人中这一周恰好有一人选择A 健身中心健身的概率；(2)该校学生丁每周六､日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A 健身中心的概率为12.若丁周六选择A 健身中心，则周日仍选择A 健身中心的概率为14；若周六选择B 健身中心，则周日选择A 健身中心的概率为23.求丁周日选择B 健身中心健身的概率；(3)现用健身指数[]()0,10k k ∈来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k 值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k 值低于1分的概率为0.12.现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过n .若抽取次数的期望值不超过23，求n 的最大值.参考数据：2930310.980.557,0.980.545,0.980.535≈≈≈.18．（17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上下顶点分别为12,B B ，左右顶点分别为12,A A ，四边形1122A B A B 的面积为C 上的点到右焦点距离的最大值和最小值之和为6.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点()1,0-且斜率不为0的直线l 与C 交于,P Q （异于12,A A ）两点，设直线2A P 与直线1AQ 交于点M ，证明：点M 在定直线上.19．（17分）给定整数3n ≥，由n 元实数集合P 定义其随影数集{},,Q x y x y P x y =-∈≠∣.若()min 1Q =，则称集合P 为一个n 元理想数集，并定义P 的理数t 为其中所有元素的绝对值之和.(1)分别判断集合{}{}2,1,2,3,0.3,1.2,2.1,2.5S T =--=--是不是理想数集；（结论不要求说明理由）(2)任取一个5元理想数集P ，求证：()()min max 4P P +≥；(3)当{}122024,,,P x x x = 取遍所有2024元理想数集时，求理数t 的最小值.注：由n 个实数组成的集合叫做n 元实数集合，()()max ,min P P 分别表示数集P 中的最大数与最小数.。

2023年新高考数学大一轮复习专题七考前冲刺一 12类二级结论高效解题(含答案)

新高考数学大一轮复习专题：考前冲刺一 12类二级结论高效解题高中数学二级结论在解题中有其高明之处，不仅简化思维过程，而且可以提高解题速度和准确度，记住这些常用二级结论，可以帮你理清数学套路，节约做题时间，从而轻松拿高分.结论1 奇函数的最值性质已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0.特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0，且若0∈D ，则f (0)＝0. 【例1】设函数f (x )＝（x ＋1）2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析显然函数f (x )的定义域为R ， f (x )＝（x ＋1）2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0， ∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 答案 2【训练1】已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝( )A.－1B.0C.1D.2解析令g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )，x ∈R ，则g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )，因为g (x )＋g (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＝ln(1＋9x 2－9x 2)＝ln 1＝0，所以g (x )是定义在R 上的奇函数.又lg 12＝－lg 2，所以g (lg 2)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝0，所以f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＝g (lg 2)＋1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 12＋1＝2.答案 D结论2 函数周期性问题已知定义在R 上的函数f (x )，若对任意的x ∈R ，总存在非零常数T ，使得f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )是周期函数，T 为其一个周期. 常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .【例2】 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)＝( )A.－2B.－1C.0D.1(2)(多选题)(2020·济南模拟)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( ) A.f (x )为奇函数B.f (x )为周期函数C.f (x ＋3)为奇函数D.f (x ＋4)为偶函数解析 (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝－f (x )，所以f (x ＋3)＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，则f (x )的周期T ＝3. 则有f (1)＝f (－2)＝－1，f (2)＝f (－1)＝－1，f (3)＝f (0)＝2，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020) ＝673×[f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2 020)＝0＋f (1)＝－1.(2)法一由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (－x )＋f (2＋x )＝0，f (－x )＋f (4＋x )＝0，所以f (2＋x )＝f (4＋x )，即f (x )＝f (2＋x )，所以f (x )是以2为周期的周期函数.又f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，所以f (x )，f (x＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.法二由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (x )的周期为2|2－1|＝2，所以f (x )与f (x ＋2)，f (x ＋4)的奇偶性相同，f (x ＋1)与f (x ＋3)的奇偶性相同，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.答案 (1)B (2)ABC【训练2】奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( ) A.－2B.－1C.0D.1解析由f (x ＋2)是偶函数可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，又由f (x )是奇函数得f (－x ＋2)＝－f (x －2)，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，f (x ＋4)＝－f (x )，f (x ＋8)＝f (x ). 故f (x )是以8为周期的周期函数，所以f (9)＝f (8＋1)＝f (1)＝1.又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以f (8)＝f (0)＝0，故f (8)＋f (9)＝1. 答案 D结论3 函数的对称性已知函数f (x )是定义在R 上的函数.(1)若f (a ＋x )＝f (b －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称，特别地，若f (a＋x )＝f (a －x )恒成立，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.(2)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (a －x )＝0，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a ，0)对称.(3)若f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b 恒成立，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称.【例3】 (1)函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________. (2)(多选题)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝2－f (2－x )，且f (x )是偶函数，下列说法正确的是( )A.f (x )的图象关于点(1，1)对称B.f (x )是周期为4的函数C.若f (x )满足对任意的x ∈[0，1]，都有f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2<0，则f (x )在[－3，－2]上单调递增D.若f (x )在[1，2]上的解析式为f (x )＝ln x ＋1，则f (x )在[2，3]上的解析式为f (x )＝1－ln(x －2)解析 (1)因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，所以f (x )是R 上的奇函数，又f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4.所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4，所以f (2 016)＋f (2 018)＝－f (2 014)＋f (2 014＋4) ＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0，所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4.(2)根据题意，f (x )的图象关于点(1，1)对称，A 正确；又f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )＝f (－x )，则2－f (2－x )＝f (－x )，f (x )＝2－f (x ＋2)，从而f (x ＋2)＝2－f (x ＋4)，所以f (x )＝f (x ＋4)，B 正确；由f （x 2）－f （x 1）x 1－x 2<0可知f (x )在[0，1]上单调递增，又f (x )的图象关于点(1，1)对称，所以f (x )在[1，2]上单调递增，因为f (x )的周期为4，所以f (x )在[－3，－2]上单调递增，C 正确；因为f (x )＝f (－x )，x ∈[－2，－1]时，－x ∈[1，2]，所以f (x )＝f (－x )＝ln(－x )＋1，x ∈[－2，－1]，因为f (x )的周期为4，f (x )＝f (x －4)，x ∈[2，3]时，x －4∈[－2，－1]，所以f (x )＝f (x －4)＝ln(4－x )＋1，x ∈[2，3]，D 错误.综上，正确的是ABC. 答案 (1)4 (2)ABC【训练3】 (1)若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (1－x )的图象大致为( )(2)若偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，且f (3)＝3，则f (－1)＝________. 解析 (1)作出y ＝f (x )的图象关于y 轴对称的图象，得到y ＝f (－x )的图象，将y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位，得y ＝f [－(x －1)]＝f (1－x )的图象.因此图象A 满足.(2)因为f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以f (x )＝f (4－x )，f (－x )＝f (4＋x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (x )＝f (x ＋4)，则f (－1)＝f (3)＝3. 答案 (1)A (2)3 结论4 两个经典不等式(1)对数形式：x ≥1＋ln x (x >0)，当且仅当x ＝1时，等号成立. (2)指数形式：e x≥x ＋1(x ∈R )，当且仅当x ＝0时，等号成立. 进一步可得到一组不等式链：e x>x ＋1>x >1＋ln x (x >0，且x ≠1). 【例4】已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)证明：对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e. (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意. ②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0；所以f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点.因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1. (2)证明由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0. 令x ＝1＋12n ，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12n .从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e.【训练4】 (1)已知函数f (x )＝1ln （x ＋1）－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln （x ＋1）－x ≠0，得{x |x >－1，且x ≠0}，所以排除选项D. 当x >0时，由经典不等式x >1＋ln x (x >0)，以x ＋1代替x ，得x >ln(x ＋1)(x >－1，且x ≠0)，所以ln(x ＋1)－x <0(x >－1，且x ≠0)，排除A ，C ，易知B 正确. 答案 B(2)已知函数f (x )＝e x，x ∈R .证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点.证明令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x ＋1＝e x －12x 2－x －1，x ∈R ，则g ′(x )＝e x－x －1，由经典不等式e x≥x ＋1恒成立可知，g ′(x )≥0恒成立，所以g (x )在R 上为增函数，且g (0)＝0.所以函数g (x )有唯一零点，即两曲线有唯一公共点. 结论5 三点共线的充要条件设平面上三点O ，A ，B 不共线，则平面上任意一点P 与A ，B 共线的充要条件是存在实数λ与μ，使得OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.特别地，当P 为线段AB 的中点时，OP →＝12OA →＋12OB →.【例5】在△ABC 中，AE →＝2EB →，AF →＝3FC →，连接BF ，CE ，且BF 与CE 交于点M ，AM →＝xAE →＋yAF →，则x －y 等于( ) A.－112B.112C.－16D.16解析因为AE →＝2EB →，所以AE →＝23AB →，所以AM →＝xAE →＋yAF →＝23xAB →＋yAF →.由B ，M ，F 三点共线得23x ＋y ＝1.①因为AF →＝3FC →，所以AF →＝34AC →，所以AM →＝xAE →＋yAF →＝xAE →＋34yAC →.由C ，M ，E 三点共线得x ＋34y ＝1.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝23，所以x －y ＝12－23＝－16.答案 C【训练5】在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点.若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.解析如图，连接MN 并延长交AB 的延长线于T .由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →， ∴AT →＝54λAM →＋54μAN →，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1，∴λ＋μ＝45.答案 45结论6 三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a2sin A. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.【例6】 P 是△ABC 所在平面内一点，若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 是△ABC 的( ) A.外心B.内心C.重心D.垂心解析由PA →·PB →＝PB →·PC →，可得PB →·(PA →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB →⊥CA →，同理可证PC →⊥AB →，PA →⊥BC →.∴P 是△ABC 的垂心. 答案 D【训练6】 O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OB →＋OC→2＋λAP →，λ∈R ，则P 点的轨迹一定经过△ABC 的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心解析设BC 的中点为M ，则OB →＋OC →2＝OM →，则有OP →＝OM →＋λAP →，即MP →＝λAP →. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的重心. 答案 C结论7 与等差数列相关的结论已知等差数列{a n }，公差为d ，前n 项和为S n .(1)若S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项、前2m 项、前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列.(2)若等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)，S 偶－S 奇＝md ，S 偶S 奇＝a m ＋1a m.(3)若等差数列{a n }的项数为奇数2m －1，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m －1＝(2m －1)a m ，S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝m m －1. 【例7】 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A.3B.4C.5D.6(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. 解析 (1)∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5. 经检验，m ＝5符合题意.(2)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2. 又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38，显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10. 答案 (1)C (2)10【训练7】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝20，S 20＝50，则S 30＝________. (2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.解析 (1)(S 20－S 10)－S 10＝(S 30－S 20)－(S 20－S 10)，S 30＝3S 20－3S 10＝3×50－3×20＝90. (2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162. 又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案 (1)90 (2)5结论8 与等比数列相关的结论已知等比数列{a n }，公比为q ，前n 项和为S n .(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也为等比数列，其公比为1q.(2)公比q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *). (3)若等比数列的项数为2n (n ∈N *)，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶＝qS 奇.(4)已知等比数列{a n }，公比为q ，前n 项和为S n .则S m ＋n ＝S m ＋q mS n (m ，n ∈N *). 【例8】 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( ) A.2 B.73 C.83D.3解析由已知S 6S 3＝3，得S 6＝3S 3且q ≠－1，因为S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也为等比数列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，则(2S 3)2＝S 3(S 9－3S 3).化简得S 9＝7S 3，从而S 9S 6＝7S 33S 3＝73.答案 B(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 3＝72，S 6＝632.①求数列{a n }的通项公式；②求log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 25的值.解 ①由S 3＝72，S 6＝632，得S 6＝S 3＋q 3S 3＝(1＋q 3)S 3，∴q ＝2.又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)，得a 1＝12.故通项公式a n ＝12×2n －1＝2n －2.②由①及题意可得log 2a n ＝n －2，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝25×（－1＋23）2＝275.【训练8】已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( ) A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析设等比数列{a n }的公比为q ，易知S 3≠0. 则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116. 答案 C结论9 多面体的外接球和内切球(1)长方体的体对角线长d 与共点的三条棱长a ，b ，c 之间的关系为d 2＝a 2＋b 2＋c 2；若长方体外接球的半径为R ，则有(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2. (2)棱长为a 的正四面体内切球半径r ＝612a ，外接球半径R ＝64a . 【例9】已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( ) A.7π6B.4π3C.2π3D.π2解析当注入水的体积是该三棱锥体积的78时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x (各棱长都相等).依题意，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 43＝18，得x ＝2，易得小三棱锥的高为263.设小球半径为r ，则13S 底面·263＝4×13S 底面·r (S 底面为小三棱锥的底面积)，得r ＝66.故小球的表面积S ＝4πr 2＝2π3. 答案 C【训练9】 (1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为( ) A.14B.2 3C.4 6D.3(2)已知球O 的直径PA ＝2r ，B ，C 是该球面上的两点，且BC ＝PB ＝PC ＝r ，三棱锥P －ABC 的体积为3223，则球O 的表面积为( )A.64πB.32πC.16πD.8π解析 (1)由于直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形.把直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的表面积是16π，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长2，所以该三棱柱的侧棱长为16－2＝14.(2)如图，取PA 的中点O ，则O 为球心，连接OB ，OC ，则几何体O －BCP 是棱长为r 的正四面体，所以V O －BCP ＝212r 3，于是V P －ABC ＝2V O －BCP ＝26r 3，令26r 3＝3223，得r ＝4.从而S 球＝4π×42＝64π.答案 (1)A (2)A结论10 焦点三角形的面积公式(1)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)中，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2·tan θ2，其中θ＝∠F 1PF 2.(2)在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，F 1，F 2分别为左、右焦点，P 为双曲线上一点，则△PF 1F 2的面积S △PF 1F 2＝b 2tanθ2，其中θ＝∠F 1PF 2.【例10】如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点.若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A. 2B. 3C.32D.62解析设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，则有a 22＋b 22＝c 22＝c 21＝4－1＝3.又四边形AF 1BF 2为矩形，所以△AF 1F 2的面积为b 21tan 45°＝b 22tan 45°，即b 22＝b 21＝1.所以a 22＝c 22－b 22＝3－1＝2. 故双曲线的离心率e ＝c 2a 2＝32＝62. 答案 D【训练10】已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 解析在焦点三角形PF 1F 2中，PF 1→⊥PF 2→，所以∠F 1PF 2＝90°，故S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝b 2tan 45°＝9，则b ＝3.答案 3结论11 圆锥曲线的切线问题(1)过圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝R 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝R 2.(2)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.(3)已知点M (x 0，y 0)，抛物线C ：y 2＝2px (p ≠0)和直线l ：y 0y ＝p (x ＋x 0). ①当点M 在抛物线C 上时，直线l 与抛物线C 相切，其中M 为切点，l 为切线.②当点M 在抛物线C 外时，直线l 与抛物线C 相交，其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线，即直线l 为切点弦所在的直线.【例11】已知抛物线C ：x 2＝4y ，直线l ：x －y －2＝0，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程.解联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x －y －2＝0，消去y ，整理得x 2－4x ＋8＝0，Δ＝(－4)2－4×8＝－16<0，故直线l 与抛物线C 相离.由结论知，P 在抛物线外，故切点弦AB 所在的直线方程为x 0x ＝2(y ＋y 0)，即y ＝12x 0x －y 0.【训练11】 (1)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A.2x ＋y －3＝0 B.2x －y －3＝0 C.4x －y －3＝0D.4x ＋y －3＝0(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，则椭圆C 在点P 处的切线方程为________________.解析 (1)如图，圆心坐标为C (1，0)，易知A (1，1).又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.(2)由于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆x 24＋y 23＝1上，故切线方程为x 4＋32y 3＝1，即x ＋2y －4＝0.答案 (1)A (2)x ＋2y －4＝0结论12 过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则 (1)x A ·x B ＝p 24.(2)y A ·y B ＝－p 2.(3)|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).【例12】过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4B.92C.5D.6解析由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝92.答案 B【训练12】设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94解析法一由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6. 因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94.法二由2p ＝3，及|AB |＝2psin 2α得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38，故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94.答案 D。

(整理版)高考数学小题狂做冲刺训练(详细解析)

高考数学小题狂做冲刺训练〔详细解析〕、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分。

在每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的〕 1.点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，那么角α的取值范围是( )A.［0，2π］B.［0，2π〕∪［43π,π) C.［43π,π) D.(2π,43π］解析:∵y′＝3x 2-1,故导函数的值域为［-1，+∞). ∴切线的斜率的取值范围为［-1,+∞〕. 设倾斜角为α,那么tanα≥-1. ∵α∈［0,π),∴α∈［0,2π)∪［43π,π).答案:B2.假设方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,那么a 2+b 2的最小值为( )A.3B.516 C.517 D.518 解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,那么a 2+b 2的几何意义为l 上的点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2＝211)1(1)100(2224222-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,那么f(u)≥f(5)＝516, ∴a 2+b 2的最小值为516.应选B. 答案:B3.国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况,它的计算公式为yxn =(x:人均食品支出总额,y:人均个人消费支出总额),且y ＝2x+475.各种类型家庭情相同的情况下人均少支出75元，那么该家庭属于( )解析:设1998年人均食品消费x 元，那么人均食品支出：x(1-7.5%)＝92.5%x,人均消费支出：2×92.5%x+475，由题意,有2×92.5%x+475+75＝2x+475,∴x＝500. 此时，14005.462475%5.922%5.92=+⨯=x x x ≈0.3304＝33.04%,应选D.答案:D4.(海南、宁夏高考,文4)设f(x)＝xlnx,假设f′(x 0)＝2,那么x 0等于( )2B.eC.22ln 解析:f′(x)＝lnx+1,令f′(x 0)＝2, ∴lnx 0+1＝2.∴lnx 0＝1.∴x 0＝e. 答案:B5.n ＝log n+1 (n+2)(n∈N *).定义使a 1·a 2·a 3·…·a k 为整数的实数k 为奥运桔祥数,那么在区间［1,2 008］内的所有奥运桔祥数之和为( )A.1 004B.2 026C.4 072D.2 044解析:a n ＝log n+1 (n+2)＝)1lg()2lg(++n n ,a 1·a 2·a 3·…·a k ＝2lg )2lg()1lg()2lg(4lg 5lg 3lg 4lg 2lg 3lg +=++••k k k . 由题意知k+2＝22,23,…,210,∴k＝22-2,23-2,…,210-2.∴S＝(22+23+…+210)-2×9＝20261821)21(49=---. 答案：B6.从2 004名学生中选取50名组成参观团,假设采用下面的方法选取,先用简单随机抽样法从2 004人中剔除4人,剩下的 2 000人再按系统抽样的方法进行,那么每人入选的概率〔〕A ．不全相等B ．均不相等C ．都相等且为002125D ．都相等且为401解析：抽样的原那么是每个个体被抽到的概率都相等,所以每人入选的概率为002125. 答案：C7.将数字1,2,3,4,5,6拼成一列，记第i 个数为a i 〔i ＝1,2,…,6〕,假设a 1≠1,a 3≠3,5≠5,a 1＜a 3＜a 5,那么不同的排列方法种数为〔〕A ．18B ．30C ．36D ．48 解析：∵a 1≠1且a 1＜a 3＜a 5,∴〔1〕当a 1＝2时，a 3为4或5,a 5为6，此时有12种；〔2〕当a 1＝3时，a 3仍为4或5，a 5为6，此时有12种；〔3〕当a 1＝4时，a 3为5，a 5为6，此时有6种. ∴共30种. 答案：B8.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手.假设从中任选3人,那么选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为〔〕A ．511 B ．681 C ．3061 D ．4081 解析：属于古典概型问题,根本领件总数为318C ＝17×16×3,选出火炬手编号为a n ＝a 1＋3〔n －1〕〔1≤n ≤6〕,a 1＝1时,由1,4,7,10,13,16可得4种选法; a 1＝2时,由2,5,8,11,14,17可得4种选法; a 1＝3时,由3,6,9,12,15,18可得4种选法. 故所求概率68131617444444318=⨯⨯++=++=C P . 答案：B9.复数i 3(1+i)2等于( )A.2B.-2 C解析：i 3(1+i)2=-i(2i)=-2i 2=2. 答案：A 10.(全国高考卷Ⅱ,4)函数x xx f -=1)(的图象关于( ) A.y 轴对称 B.直线y ＝-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y ＝x 对称解析: x xx f -=1)(是奇函数,所以图象关于原点对称. 答案:C、填空题〔本大题共5小题，每题5分，共25分〕11.垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x 3+3x 2-5相切的直线方程为___________________.解析：与直线2x-6y+1=0垂直的直线的斜率为k=-3,曲线y=x 3+3x 2-5的切线斜率为y ′=3x 2+6x.依题意,有y ′=-3,即3x 2+6x=-3,得x=-1.当x=-1时，y=(-1)3+3·(-1)2-5=-3.故所求直线过点(-1，-3)，且斜率为-3,即直线方程为y+3=-3(x+1), 即3x+y+6=0. 答案：3x+y+6=0 12.函数13)(--=a axx f (a≠1).假设f(x)在区间(0,1］上是减函数，那么实数a 的取值范围是______________. 解析：由03)1(2)('<--=axa a x f ,⎪⎩⎪⎨⎧<->-②,0)1(2①,03a aax由①,得a ＜x3≤3. 由②,得a ＜0或a ＞1,∴当a ＝3时,f(x)在x∈(0,1)上恒大于0,且f(1)＝0,有f(x)＞f(1). ∴a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3］. 答案:(-∞,0)∪(1,3］ 13.平面上三点A 、B 、C满足3||=AB ,5||=CA ,4||=BC ,那么AB CA CA BC BC AB •+•+•的值等于________________.解析：由于0=++CA BC AB ，∴)(2||||||)(2222AB CA CA BC BC AB CA BC AB CA BC AB •+•+•+++=++0)(225169=•+•+•+++=AB CA CA BC BC AB ,即可求值.答案：-2514.设一次试验成功的概率为p,进行100次独立重复试验，当p=_________________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为___________________________________.解析：4)2(2n q p n npq D =+≤=ξ,等号在21==q p 时成立，此时Dξ＝25，σξ＝5. 答案：215 15.设z 1是复数,112z i z z -=(其中1z 表示z 1的共轭复数),z 2的实部是-1,那么z 2的虚部为___________________.解析：设z 1=x+yi(x,y ∈R),那么yi x z -=1. ∴z 2=x+yi-i(x-yi)=x-y+(y-x)i. ∵x-y=-1, ∴y-x=1. 答案：1。

2020年江苏高考数学第二轮复习专题训练含解析

2020 年江苏高考数学第二轮复习精典试题
高考冲刺训练专题 (一 )
4 1. 中心在原点，一个顶点为 A( －3，0)，离心率为 3的双曲线的
x2 y2 方程是 9 － 7 ＝1 .
解析：因为双曲线的顶点为 A( －3，0)，所以双曲线的焦点在 x
x2 y2
4
轴上，所以设双曲线的方程为 a2－b2＝1，则 a＝3.又因为 e＝3，所以
4. 已知双曲线 xa22－y2＝1(a>0)的一条渐近线为 3x＋y＝0，则 a
3 ＝3.
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为
y＝－
3x，且
a>0，则
b a
＝ 1a＝
3，解得
a＝
3 3.
x2 y2 5. 设双曲线 a2－b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，右准线 l 与两
条渐近线交于 P，Q 两点，如果△ PQF 是直角三角形，那么双曲线的
－ y0)，M→F2＝( 3－ x0，－y0)，所以 M→F1·M→F 2＝ x02－ 3＋ y20.因为点 M 在双曲线上，所以 x220－ y20＝ 1，代入不等式 M→F 1·M→F 2<0，得 3y02<1，解得
3
3
－ 3 <y0< 3 .
9.
设 F1， F2 是双曲线
x2－
y2 24＝
1
的两个焦点，
P
是双曲线上的
一点，且 3PF1＝ 4PF2，则△ PF1F2 的面积为 24 .
解析：由题意知，双曲线的实轴长为 2，焦距为 F1F2＝2×5＝ 10，
4
1
PF1－PF2＝ 3PF2－ PF2＝ 3PF2＝2，所以

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集合的概念，集合间的基本关系时间：30分钟姓名：成绩：家长签字：一、填空题（共12题，每题5分）1、集合中元素的特征：，， .2、集合的表示法：，， .3、用符号“∈”或“∉”填空:0______N , 5______N , 16______N .4、用列举法表示集合：M m m Z m Z =+∈∈{|,}101=________． 5、设集合{}2|20,A x x x x R =-≤∈，且若A 是Z 的子集,则集合A 中有_______个元素。

6、已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是 .7、满足条件∅≠⊂M ≠⊂{0，1，2}的集合共有个.8、集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，若A 是B 的子集,，则实数a ＝．9、已知集合{}{}A x x x RB x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若A B ⊇，则a 的取值范围是．10、若2{|30}A x x x a =++=，求集合A 中所有元素之和．11、任意两正整数m 、n 之间定义某种运算⊕，m ⊕n=⎝⎛+异奇偶）与同奇偶）与n m mn n m n m ((,则集合M={(a,b)|a ⊕b=36,a 、b ∈N +}中元素的个数是___________.二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)12、已知集合P={-1,a,b}，Q={-1,a 2,b 2}，且Q=P ，求1+a 2+b 2的值．集合的基本运算时间：30分钟姓名：成绩：家长签字：一、填空题（共12题，每题5分）1、已知集合{}12S x x =∈+R ≥，{}21012T =--，，，，，则S T = ． 2、已知全集U =R ，集合{|23}(|10)A x x B x x =-=+>≤≤，，则集合U A B = ð ． 3、已知全集U =R ，集合{}22A x x =-<<，{}220B x x x =-≤，则A B =I．4、已知函数y 的定义域为集合P ,N 为自然数集,则集合P N 中元素的个数为．5、若集合2{|90}A x x x =-<，4|B y y y*⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭Z N 且，则集合A B 的元素个数为．6、集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于．7、已知集合M =｛直线的倾斜角｝，集合N ={两条异面直线所成的角}，集合P =｛直线与平面所成的角｝，则(M ∩N)∪P= ． 8、设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝．9、已知集合{2,3},{1,},{2},A B a A B A B ==== 若则．10、已知集合{}{}20,,|30,A m B n n n n Z ==-<∈，若A B ≠∅ ，则m 的值为．11、设集合{}{}22|21,|25M y y x x N x y x x ==++==-+，则N M ⋂等于．12、设集合}0|{≥+=m x x M ，}082|{2<--=x x x N ，若U ＝R ，且∅=N M U，则实数m 的取值范围是．二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、求实数m的范围，使关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0（1）有两个实根；（2）有两个实根，且一个比0大，一个比0小；（3）有两个实根，且都比1大；高考数学基础小题冲刺训练（3）命题及其关系时间：30分钟姓名：成绩：家长签字：一、填空题（共12题，每题5分）1、设集合""""},3{},2{P M x P x M x x x P x x M ∈∈∈<=>=是或那么的．2、把命题“面积相等的两个三角形全等”。

写成“若P ，则q ”的形式为．3、“a =1”是“函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的．4、已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题：①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件．则正确命题的序号是． 5、设p ：25x x >≤-或；q ：502x x+<-,则非q 是非p 的． 6、写出命题“若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等” 的逆否命题为：．7、下列四个命题：①在空间，存在无数个点到三角形各边的距离相等； ②在空间，存在无数个点到长方形各边的距离相等；③在空间，既存在到长方体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点； ④在空间，既存在到四面体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点、其中真命题的序号是、（写出所有真命题的序号） 8、设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x .若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是． 9、已知集合()3,12y A x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，()(){},115B x y a x y =++=，A B =∅ ．则实数a 的取值范围是．10、设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0和a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的_______条件. 11、设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个.12、给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是 b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 .其中正确命题的序号是．二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、证明：若p 2 ＋ q 2＝2，则p ＋ q ≤ 2．高考数学基础小题冲刺训练（4）逻辑联接词时间：30分钟姓名：成绩：家长签字：一、填空题（共12题，每题5分）1、命题“π02(,)∃∈x ，tan sin >x x ”的否定是．2、命题“方程x 2－1＝0的解是x=±1”中使用逻辑联结词的情况是_．3、下列四个命题p ：有两个内角互补的四边形是梯形或是圆内接四边形或是平行四边形q ：π不是有理数； r ：等边三角形是中心对称图形； s ：12是3与4的公倍数其中简单命题只有________. 4、命题“2,220x R x x ∃∈++≤”的否定是． 5、命题“x R ∀∈，sin 1x -≥”的否定是 .6、复合命题s 具有p 或q 的形式，已知p 且r 是真命题，那么s 是_ ．7、对于命题p ：R x ∈∃，使得x 2+ x +1 < 0．则p ⌝为：_________．8、分别用“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”填空：(1)命题“非空集A ∩B 中的元素既是A 中的元素，也是B 中的元素”是________的形式．(2)命题“非空集A ∪B 中的元素是A 中的元素或B 中的元素”是________的形式． (3)命题“C I A 中的元素是I 中的元素但不是A 中的元素”是________的形式．(4)x y =1x y =1x =1y =0x =0y =1221122命题“方程组＋＋的整数解是，”是⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩____的形式． 9、P: 菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分，p 或q 形式的复合命题是．10、有四个命题：(1)空集是任何集合的真子集； (2)若x ∈R ，则|x|≥x(3)单元素集不是空集； (4)自然数集就是正整数集其中真命题是________(填命题的序号) 11、已知命题：“[1,2]x ∃∈，使x 2+2x +a ≥0”为真命题，则a 的取值范围是．12、已知命题p 、q ，写出“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”并判断真假． (1)p ：2是偶数 q ：2是质数________；(2)p：0的倒数还是0 q：0的相反数还是0________高考数学基础小题冲刺训练（4）题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断此复合命题的真假．(1)A A B/⊆∪(2)方程x2＋2x＋3=0没有实根(3)3≥3高考数学基础小题冲刺训练（5）综合运用一、填空题（共12题，每题5分）1、设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P ★Q={（},|),Q b P a b a ∈∈则P ★Q 中元素的个数为 ________．2、某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．3、设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，若()x y A B ∈ ，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ________．4、1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有_______个5、定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧-=101sgn x 000<=>x x x ，则不等式：x x x sgn )12(2->+的解集是________．6、满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是 ________．7、若不等式的值等于则实数的解集为a x a x x ],5,4[4|8|2-≤+-________． 8、已知集合2{|320}A x ax x x R =-+=∈至多有一个元素，则a 的取值范围________．若至少有一个元素，则a 的取值范围________．9、设[]x 表示不超过x 的最大整数(例[5、5]=5,[－5、5]=－6),则不等式2[]5[]6x x -+≤0的解集为 10、记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ．若Q P ⊆，正数a 的取值范围是11、已知集合2{,,2},{,,}A m m d m d B m mq mq =++=，0m ≠其中,A B =且,则q 的值为________．12、设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉且1k A +∉，那么k 是A的一个“孤立元”，给定{1,2,3,4,5,6,7,8,}S =，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.高考数学基础小题冲刺训练（5）题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、设命题:p 函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ．命题:q 函数()2lg 1y x ax =-+的值域为R ．如果命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的范围．高考数学基础小题冲刺训练（6）函数及其表示方法一、填空题（共12题，每题5分）1、若函数2()2f x x x =-，则)3(f =________．2、点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________．3、下列各组中的两个函数是同一函数的为________． ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ；⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f4、已知函数⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =,则x =________．5、已知⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π，则f {f [f (-1)]}= ．6、若函数 1 (<1)()(1)x x f x x +⎧=⎨≥⎩2x ，则(1)f -=______. 7．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩，则((0))f f =________．8、已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 .9、集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成个不同的映射. 10、若记号“*”表示的是2*ba b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 .11、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满、这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式 . 12.设,αβ是方程24420,()x mx m x R -++=∈的两实根,当m 为时,22αβ+有最小值为高考数学基础小题冲刺训练（6）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点出发顺次经过B、C、D再回到A；设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数解析式、函数的解析式和定义域时间：30分钟姓名：成绩：家长签字：一、填空题（共12题，每题5分）1、函数y 的定义域为．2、函数1()1f x n x=+的定义域为．3、函数1)y a <<的定义域是．4、已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为．5、下列函数：①y =2x +5；②y = xx 2+1 ；③y = |x |-x ；④y = ⎩⎨⎧2x ， x ＜0，x +4，x ≥0．其中定义域为R 的函数共有m 个，则m 的值为．6、若f (2x +3)的定义域是[-4,5)，则函数f (2x -3)的定义域是．7、函数xx x x x x f +-++-=02)1(65)(的定义域为．8、已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = . 9、设f (x )是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，则f (x )= ． 10、若f (x )满足f (x )+2f (x1)=x ，则f (x )= ． 11、若f[g (x )] = 9x +3，且g (x ) = 3x +1，则f (x )的解析式为．12、若函数y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，实数a 的取值范围为．二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且方程()2f x x =的解分别是-1，3，若方程()7f x a =-有两个相等的实数根，求)(x f 的解析式.函数的值域与最值时间：30分钟姓名：成绩：家长签字：一、填空题：（共12题，每题5分）1、函数y =2312+-x x 的值域是．2、函数y=2－x x 42+-的最大值是．3、函数y x =的值域是．4、已知函数2323(0),2y x x x =-+≤≤则函数的最大值与最小值的积是． 5、若函数y=x 2－3x －4的定义域为[0,m],值域为[－425,－4],则m 的取值范围是．6、已知函数 y =lg(x 2+ax +1)的值域为R ，则a 的取值范围是．7、若指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 是． 8、用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值设f （x ）=min{2x, x+2,10-x} (x ≥ 0),则f （x ）的最大值为．9、已知函数y =M ，最小值为m ，则mM的值为．10．函数222(03)()6(20)x x x f x x x x ⎧-≤≤⎪=⎨+-≤≤⎪⎩的值域是________．11.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“文峰函数”，那么解析式为2y x =，值域为{4，1}的“文峰函数”共有个。