不等式的基本性质
不等式的性质 不等式的基本性质
不等式的性质不等式的基本性质各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢不等式的性质不等式的性质1.不等式的基本性质:性质1:如果a>b,b>c,那么a>c(不等式的传递性).性质2:如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).性质3:如果a>b,c>0,那么ac>bc;如果a>b,cd,那么a+c>b+d.性质5:如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.性质6:如果a>b>0,n∈N,n>1,那么an>bn,且.例1:判断下列命题的真假,并说明理由.若a>b,c=d,则ac2>bd2;(假)若,则a>b;(真)若a>b且abb;(真)若|a|b2;(充要条件)命题A:a命题A:,命题B:0说明:本题要求学生完成一种规范的证明或解题过程,在完善解题规范的过程中完善自身逻辑思维的严密性.a,b∈R且a>b,比较a3-b3与ab2-a2b 的大小.(≥)说明:强调在最后一步中,说明等号取到的情况,为今后基本不等式求最值作思维准备.例4:设a>b,n是偶数且n∈N*,试比较an+bn与an-1b+abn-1的大小.说明:本例条件是a>b,与正值不等式乘方性质相比在于缺少了a,b为正值这一条件,为此我们必须对a,b的取值情况加以分类讨论.因为a>b,可由三种情况(1)a>b≥0;(2)a≥0>b;(3)0>a>b.由此得到总有an+bn>an-1b+abn-1.通过本例可以开始渗透分类讨论的数学思想.练习:1.若a≠0,比较(a2+1)2与a4+a2+1的大小.(>)2.若a>0,b>0且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.(>)3.判断下列命题的真假,并说明理由.(1)若a>b,则a2>b2;(假) (2)若a>b,则a3>b3;(真)(3)若a>b,则ac2>bc2;(假) (4)若,则a>b;(真)若a>b,c>d,则a-d>b-c.(真).各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢。
不等式的基本性质有哪些
不等式的基本性质有哪些基本性质：①对称性；②传递性；③加法单调性，即同向不等式可加性；④乘法单调性；⑤同向正值不等式可乘性；⑥正值不等式可乘方；⑦正值不等式可开方；⑧倒数法则。
不等式的基本性质有哪些1不等式8个基本性质如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；如果x>y，y>z；那么x>z；如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z,即不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变;如果x>y，z>0，那么xz>yz,即不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变;如果x>y，z<0，那么xz<yz,即不等式两边同时乘（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变;如果x>y，m>n，那么x+m>y+n；如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；如果x>y>0，那么x的n次幂>y的n次幂（n为正数），x的n次幂<y的n次幂（n为负数）。
2不等式定理口诀解不等式的途径，利用函数的性质。
对指无理不等式，化为有理不等式。
高次向着低次代，步步转化要等价。
数形之间互转化，帮助解答作用大。
证不等式的方法，实数性质威力大。
求差与0比大小，作商和1争高下。
直接困难分析好，思路清晰综合法。
非负常用基本式，正面难则反证法。
还有重要不等式，以及数学归纳法。
图形函数来帮助，画图、建模、构造法。
3基本不等式两大技巧“1”的妙用。
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。
如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
不等式的基本性质和证明的基本方法
通过构造平方和并利用非负性进行证明。
应用领域
在线性代数、函数分析和概率论中有广泛应用，如证明某些函数的可 积性等。
切比雪夫不等式
定义
对于任意两个实数序列，序列和的乘积小于或等于序列各项乘积 的和。
证明方法
通过排序后应用算术-几何平均不等式进行证明。
应用领域
在数论、概率论和统计学中有应用，如证明某些概率分布的性质等。
06
经典不等式介绍及其证明
算术-几何平均不等式
定义
对于所有非负实数，算术平均数永远大于或等于 几何平均数。
证明方法
通过数学归纳法或拉格朗日乘数法进行证明。
应用领域
在概率论、信息论和统计学中广泛应用，如证明 熵的最大值等。
柯西-施瓦茨不等式
定义
对于任意两个向量，它们的内积的绝对值小于或等于它们的模的乘 积。
数列的单调性
利用不等式的性质，可以判断数列的单调性，即数列是递增还是 递减。
数列的有界性
通过不等式的性质，可以证明数列的有界性，即数列的每一项都落 在某个区间内。
数学归纳法中的不等式证明
在数学归纳法中，经常需要利用不等式的性质进行证明，如证明某 个不等式对所有的自然数都成立。
05
证明不等式的基本策略
不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛应用，研究不等式有 助于解决实际问题。
不等式的基本性质概述
01
传递性
02
可加性
03 可乘性
04
特殊性
对称性
05
如果a>b且b>c，则a>c。 如果a>b，则a+c>b+c。 如果a>b且c>0，则ac>bc。 任何数都大于负数，小于正数。 如果a=b，则b=a。
不等式的基本性质
D
ab .
A
ab 这个圆的半径为 2 显然，它大于或等于CD，
ab 2
ab
C
a
O
b
B
半径不小于半弦
E
二. 最值定理应用:设 x 0, y 0,由x y 2 xy
x 1.若积 xy P(定值），则和 y有最小值2 P
作业：
P10 Ex 3、10、11、13选做来自Ex 14五、基本不等式
一．常用的重要的不等式和基本不等式
a R, 则a 2 0, a 0（ 当且仅当 a 0时, 取“” 1.若 ）。
2.若 a, b R, 则a b 2ab （当且仅当a=b时取等号）.
2 2
a, b R ，则 a b 2 ab （当且仅当a=b时取等号）. 3.若
不等式的基本性质
一.不等式的三个基本事实：
a b a b 0; a b a b 0; a b a b 0.
比较大小的基本依据。
O
二. 不等式的基本性质(运算性质)
(1)a b b a. 对称性 (2)a b, b c a c. 传递性 (3)a b a c b c. 可加性 (4)a b, c 0 ac bc; 可乘性 a b, c 0 ac bc. (5)a b 0 a b (n N , n 2).
a 2 b2 ab 2 ( ) （当且仅当a=b时取等号）. 4.若a, b R , 则 2 2
1 3：（1）已知0<x< , 求函数y x(1 3x)的最大值。 3
不等式的基本性质和解题方法
不等式的基本性质和解题方法不等式是数学中非常重要的概念，它在我们的日常生活中也有很多应用。
比如，我们可以用不等式来描述一些数值之间的关系，例如大小、大小关系等。
不等式的基本性质和解题方法对我们的数学学习和应用都有着重要的影响。
一、不等式的基本性质不等式有很多基本性质，这些基本性质对于我们的不等式运算和解题都是非常重要的。
下面我们来介绍一下不等式的基本性质。
1. 如果a>b，则a+c>b+c （加法性质）。
2. 如果a>b，且c>0，则ac>bc（乘法性质）。
3. 如果a>b，且c<0，则ac<bc（乘法性质）。
4. 对于一个正数a，a^2>0。
5. 如果a>b，那么a^3>b^3。
6. 如果a>b，且c>d，则a+c>b+d。
7. 对于任意的实数a，-a≤a≤|a|。
8. 如果a>0，则1/a>0。
这些基本性质是不等式运算和解题的基础，学好这些基本性质，才能更好的掌握不等式的解法。
二、不等式的解法不等式的解法也是非常重要的，因为只有掌握了不等式的解法，我们才能更好地运用不等式去解决问题。
下面我们来介绍一些基本的解不等式方法。
1. 两边同时加、减同一个数：如果a>b，则a+c>b+c；如果a<b，则a+c<b+c。
2. 两边同时乘、除同一个正数：如果a>b，且c>0，则ac>bc；如果a<b，且c>0，则ac<bc。
如果a>b，且c<0，则ac<bc；如果a<b，且c<0，则ac>bc。
3. 公式法：a^2-b^2=(a+b)(a-b)，a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。
4. 合并同类项：如2x+3>4x-1，可变形为-x<4，即x>-4。
5. 分类讨论法：将待解的不等式根据条件分成各个区间，分别讨论。
不等式的基本性质
b，则 a c b c
观察2：
> 6 9 2 ___ > 6 2 9 ___ < 6 (2) 9 （- 2） ___
9 3 ___ > 6 3 < 6 (3) 9 (-3) ___
发现：不等式的基本性质二： 不等式的两边都乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变 a b c 0 则a c b c或 可用符号表示为：若 a b， c c 不等式的基本性质三： 不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变 a b 可用符号表示为：若 a b，c 0 则 a c b c 或 c c
：
不等式与等式只有一字之差， 那么它们的性质是否也有相似 之处呢？
观察1：
请用“<”“>”或“=”填空，并找一找其中的 规律
>2 3 ___
发现：不等式的基本性质一：
不等式的两边都加上或减去同一个数（或式子）, 不等号的方向不变
3 1 ___ >2 1
3 - 2 ___ > 22
可用符号表示为：若 a
等式的性质 1
等式的两边加或减 去同一个数 ( 或式子 ) ， 结果仍相等.
不等式的性质 1
不等式的两边加 ( 或减 ) 同一个数 ( 或式子 ) ，不等 号的方向不变.
等式的性质 2
等式的两边乘或除以 同一个数(除数不为0)， 结果仍相等.
不等式的性质 2
不等式的两边乘(或除以)同 一个正数，不等号的方向不变.
不等式的性质 3
不等式的两边乘(或除以)同一 个负数，不等号的方向改变.
a 2a a 2a a 2a
通过这节课的学习 活动你有哪些收获？
不等式的基本性质
教学目标：
知识与技能
掌握不等式的基本性质.
过程与方法
明白用类比的方法是一个重要的学习方法
情感态度与价值观
通过探索不等式的基本性质，增强学习数学的兴 趣。
.
4<8
乘(或除以减)正数
4×5__ < 8× 5
1 4×1 < __ 8× 4 4
乘(或除以)负数
4× (-5)__ ＞ 8× (-5)
36500365
胯恒柠
已知，x＜y,用“＞”“＜”填空 1、 x+2___y+2
1 1 y 2、 x ___ 3 3
3、－x___ －y
（不等式的基本性质——） （不等式的基本性质——） （不等式的基本性质——）
4、 x－m___ y－m （不等式的基本性质——）
1 4×（－4 ） __ ＞
8×（ ）
1 4
4÷2 __ < 8÷ 2
4÷（－2）＞ __ 8÷ （－2）
（1）a+3___b+3 （2）a-9___b-9 （3）a+2c___a+2c
a b （4）3 ___ 3
（5）-5a___-5b
2、在下列括号内，填出不等式变形所根据的性质 如果3x－2＞2x－1,那么3x－2x＞2－1 如果－ 如果2x≥－3，那么≥－ 3、判断题
3 x 0 ,那么x＞0 4 3
用同样的方法猜想不等式的基本 性质，并设法验证你的猜想，说 一说你用什么方法验证的？
等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个 数（或除以同一个不为0的数），所得的结 果仍是等式。 不等式基本性质2：不等式的两边都乘（或除 以）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式基本性质3：不等式的两边都乘（或除 以）同一个负数，不等号的方向改变.
不等式的基本性质
结论：
性质一（不等式的传递性）：
如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质二（不等式的加法性质）：
如果a>b,那么a+c>b+c.
探究：
性质三（不等式的乘法性质）：
如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
Байду номын сангаас
例题解析：
例4：用符号“<”或“>”填空，并说出应用了不等式的哪条性 质。 (1)设a>b，a-3 b-3; (2)设a>b，6a 6b; (3)设a<b,-4a -4b; (4)设a<b,5-2a 5-2b. 解：（1）>; （2） >;
小结：
不等式的三条基本性质内容。
性质一（不等式的传递性）：
如果a>b,且b>c,那么a>c.
性质二（不等式的加法性质）：
如果a>b,那么a+c>b+c.
性质三（不等式的乘法性质）：
如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc.
课后作业：
必作：习题2.1 A组1—2题； 选作：习题2.1 B组
看一看：
想一想：
问题一：
有A、B、C三个人玩跷跷板游戏，如果A比B重，B 比C重，A与B玩后，B下来换上C与A比较，跷跷板 的方向会不会改变？
问题二：
有A、B二人玩跷跷板游戏，如果A比B重，现在在跷 跷板两端添加相同重量的物体后，跷跷板的倾斜方 向会不会改变？
做一做：
请用天平验证你的结论。
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做一做P100
例 已知a＜0，试比较2a与a的大小.
课内练习P101 T1、T2
探究活动
比较等式与不等式的基本性质.
例如，等式是否有与不等式的基本性 质1类似的传递性？不等式是否有与等式的 基本性质类似的移项法则？你可以用列表 的方式进行对比.（请与你的伙伴交流）
通过这节课的学习 活动你有哪些收获？
＞ －2 5－2____3 -1+2____3+2 <
< －3 -1－3____3
发现:当不等式两边加上或减去同一个数时, 你能发现不等式有什么性质吗？ 不变 不等号的方向________
(2)观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的 规律.
＞ ×5 (3) 6＞2 6×5____2 < ×(-5) 6×(-5)____2
合作学习
（1）已知a＜b和b＜c，在数轴上表示如图5-9.
由数轴上a和c的位置关系，你能得出什么 结论？你那举几个具体的例子说明吗？ 不等式的基本性质1 若a＜b和b＜c，则a＜c.
（不等式的传递性）
(2)观察:用“<”或“>”填空,并找一找其中的 规律.
(1)5>3
(2) –1<3
＞ 5+2____3+2
不等式的基本性质3 不等式的两边都乘以（或 除以）同一个正数，所得的不等式仍成立； 不等 式的两边都乘以（或除以）同一个负数，必须把 不等号的方向改变，所得的不等式成立.
做一做P100
试一试
1.若-m>5，则m
<
-5.
2.如果x/y>0, 那么xy 3.如果a>-1,那么a-b
>
0. -1-b.
>
< ×6 (4) –2<3 (-2)×6____3 ＞ ×(-6) (-2)×(-6)____3
当不等式的两边同乘以同一个正数时,不等 不变 而乘以同一个负数时,不等号的方 号的方______; 改变 向________.
不等式的基本性质2 不等式的两边都加 上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍 成立。 即 如果a＞b，那ห้องสมุดไป่ตู้a+c＞b+c，a-c＞b-c； 如果a＜b，那么a+c＜b+c，a-c＜b-c.
1、 课本P107
2、预习5.3
作业题
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茉莉的长一些，身后居然出现了八条洁白蓬松的大尾巴。那尾巴摸起来一定很软，好想抱着它睡一觉啊。慕容凌娢似乎已经忘 记了疼痛和恐惧。毕竟这些原本只会在玄幻小说中出现的东西，真的发生在眼前，实在是不可思议。“真是太让我伤心了，小 茉莉～”百蝶伸手便是一爪，被茉莉灵巧的躲过了。接着她顺势一甩尾巴，刚才还柔软无比的毛，瞬间像钢针一样朝茉莉扫了 过来。要是被碰到，绝对会血流成河。好吧，是我想多了。慕容凌娢吐了吐舌头马上收回了自己之前的想法，她可不想被捅成 马蜂窝。茉莉一个后空翻，在空中改变了方向，虽然没有正面迎接这一击，但依旧被百蝶散发出的强烈气息扫出了几米远。 “喵～”茉莉长吼一声，虽然没有什么气势，但意外的让慕容凌娢觉得很萌。“小茉莉，跟我比你的修为差的太远。”百蝶瞬 移到茉莉面前，一掌正中其胸口，茉莉身体飞出撞在假山上，百蝶显然没有出全力。“凌娢……”茉莉似乎是想要慕容凌娢快 点逃，但话说了一半便停住了。以自己九千年的修为，都敌不过百蝶，怎么能指望慕容凌娢逃跑呢。唉～又是一个知道我真实 姓名的人哦不，是猫。“你，慕容凌娢。”百蝶手掌中慢慢幻化出一团银色的光芒“这一切，早就该结束了。”死就死吧，能 看到这么逆天的生物存在，死也瞑目了。话说为什么所有人都知道我的真名？那化名“白绫”还有什么用，谁能告诉我这是为 什么啊！在心里想了一遍遗言，慕容凌娢安静的闭眼等死。随之而来的是一阵令人恐惧的杀意。“等一下。”有些焦急的喊声， 却让百蝶就此收手。慕容凌娢睁开眼睛，百蝶已经恢复了人类的样子，一脸的不情愿。(古风一言)为你守候半生韶华，却抹不 去你一道伤疤。为你承受风吹雨打，却换不来你一句回答。第046章 你以为这是直播？死就死吧，能看到这么逆天的生物存在， 死也瞑目了。话说为什么所有人都知道我的真名？那化名“白绫”还有什么用，谁能告诉我这是为什么啊！在心里想了一遍遗 言，慕容凌娢安静的闭眼等死。随之而来的是一阵令人恐惧的杀意。“等一下。”有些焦急的喊声，却让百蝶就此收手。慕容 凌娢睁开眼睛，百蝶已经恢复了人类的样子，但眼神依旧像是鹰在看自己的猎物一样，太可怕了。“明明都是同类，干嘛打得 这么热火朝天。”韩哲轩笑着安抚百蝶。“谁和那只中华田园猫是同类！我可是狐，从北极来的！”要不是有所顾忌，百蝶早 就把韩哲轩杀掉撕成碎片了，狐狸也是有狐权的，他这是严重侮辱了自己的狐权。狐狸，还是白色的北极狐，真是稀有，化成 原型一定更可爱。危险解除，慕容凌娢又得到了填补自己脑洞的灵感。北极狐的话……明明那么少见的，要是能抱一抱，摸一 模多好玩啊……“谁是中华田园