2020届高考数学一轮复习课时训练：第14章 选修部分 72 Word版含解析
2020版高考数学(理科)北师大版一轮复习课时规范练14 导数的概念及运算Word版含解析
课时规范练14导数的概念及运算基础巩固组1.已知函数f(x)=+1,则的值为()A.-B.C. D.02.若f(x)=2xf'(1)+x2,则f'(0)等于()A.2B.0C.-2D.-43.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是()A.x+y+1=0B.x+y-1=0C.3x-y-1=0D.3x-y+1=04.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为()A.1B.C. D.5.已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为()A.y=3x+1B.y=-3xC.y=-3x+1D.y=3x-36.设曲线y=sin x上任一点(x,y)处切线的斜率为g(x),则函数y=x2g(x)的部分图像可以为()7.一质点做直线运动,由始点经过t s后的距离为s=t3-6t2+32t,则速度为0的时刻是()A.4 s末B.8 s末C.0 s末与8 s末D.4 s末与8 s末8.(2018河北衡水中学17模,14)函数y=f(x)的图像在点M(2,f(2))处的切线方程是y=2x-8,则=.9.(2018天津,文10)已知函数f(x)=e x ln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为.10.(2018河南六市联考一,14)已知函数f(x)=x++b(x≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b=.11.函数f(x)=x e x的图像在点(1,f(1))处的切线方程是.12.若函数f(x)= x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是.综合提升组13.已知函数f(x)=x ln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为()A.x+y-1=0B.x-y-1=0C.x+y+1=0D. x-y+1=014.下面四个图像中,有一个是函数f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f'(x)的图像,则f(-1)=()A. B.-C. D.-15.(2018全国3,理14)直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.创新应用组16.(2018湖南长郡中学四模,4)已知f(x)=3+2cos x,f'(x)是f(x)的导函数,则在区间任取一个数x0使得f'(x0)<1的概率为()A. B.C. D.17.(2018河北衡水中学押题二,12)已知函数f(x)=若关于x的方程f(x)=kx-恰有四个不相等的实数根,则实数k的取值范围是()A.B.C.D.参考答案课时规范练14导数的概念及运算1.A∵f'(x)=,∴=-=-f'(1)=-=-.2.D f'(x)=2f'(1)+2x,令x=1,则f'(1)=2f'(1)+2,得f'(1)=-2,所以f'(0)=2f'(1)+0=-4.故选D.3.B由函数y=f(x)为奇函数,可得f(x)在[0,+∞)内的解析式为f(x)=-x2+x,故切点为(1,0).因为f'(x)=-2x+1,所以f'(1)=-1,故切线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0.4.B因为定义域为(0,+∞),所以y'=2x-,令2x-=1,解得x=1,则曲线在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d==.故所求的最小值为.5.B因为f(x)=x3+ax2+(a-3)x,所以f'(x)=3x2+2ax+(a-3).又f'(x)为偶函数,所以a=0,所以f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3.所以f'(0)=-3.故所求的切线方程为y=-3x.6.C根据题意得g(x)=cos x,则y=x2g(x)=x2cos x为偶函数.又x=0时,y=0,故选C.7.D s'=t2-12t+32,由导数的物理意义可知,速度为零的时刻就是s'=0的时刻,解方程t2-12t+32=0,得t=4或t=8.故选D.8.-由导数的几何意义可知f'(2)=2,又f(2)=2×2-8=-4,所以=-.9.e∵f(x)=e x ln x,∴f'(x)=e x ln x+.∴f'(1)=eln 1+=e.10.-8∵f'(x)=1-=,∴f'(1)=1-a=2,∴a=-1,f(1)=1+a+b=b,∴在点(1,f(1))处的切线方程为y-b=2(x-1),∴b-2=5,b=7,∴a-b=-8.11.y=2e x-e∵f(x)=x e x,∴f(1)=e,f'(x)=e x+x e x,∴f'(1)=2e,∴f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2e x-e.12.[2,+∞)∵f(x)= x2-ax+ln x,∴f'(x)=x-a+.∵f(x)的图像存在垂直于y轴的切线,∴f'(x)存在零点,∴x+-a=0有解,∴a=x+≥2(x>0).13.B设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图像相切于点(x0,y0),则解得∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.14.D∵f'(x)=x2+2ax+a2-1,∴f'(x)的图像开口向上,故②④排除.若f'(x)的图像为①,则a=0,f(-1)=;若f'(x)的图像为③,则a2-1=0.又对称轴x=-a>0,∴a=-1,∴f(-1)=-.15.-3设f(x)=(ax+1)e x,∵f'(x)=a·e x+(ax+1)e x=(ax+a+1)e x,∴f(x)=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.16.D由f'(x)=-2sin x<1,x∈得x∈,因此所求概率为=,故选D.17.C方程f(x)=kx-恰有四个不相等的实数根转化为y=f(x)的图像与y=kx-的图像有四个不同的交点,如图所示,直线y=kx-过定点,且过点(1,0)时,函数y=f(x)的图像与y=kx-的图像有三个不同的交点,此时k==.设直线y=kx-与y=ln x(x>1)切于点(x0,ln x0),则过该切点的切线方程为y-ln x0=(x-x0).把点代入切线方程,可得--ln x0=-1,解得x0=,所以切点为,则切线的斜率为=,所以方程f(x)=kx-恰有四个不相等的实数根,则实数k的取值范围是,故选C.。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第14章 选修部分 71 Word版含解析
【课时训练】第71节 绝对值不等式解答题1．(2018浙江绍兴模拟)已知函数f(x)＝|x＋m|－|5－x|(m∈R)．(1)当m＝3时，求不等式f(x)>6的解集；(2)若不等式f(x)≤10对任意实数x恒成立，求m的取值范围．【解】(1)当m＝3时，f(x)>6，即|x＋3|－|5－x|>6，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集．Error!解得x≥5；或Error!解得4<x<5；或Error!解集是∅.故不等式f(x)>6的解集为{x|x>4}．(2)f(x)＝|x＋m|－|5－x|≤|(x＋m)＋(5－x)|＝|m＋5|，由题意得|m＋5|≤10，则－10≤m＋5≤10，解得－15≤m≤5，故m的取值范围为[－15,5]．2．(2018郑州一模)设函数f(x)＝|x＋2|－|x－1|.(1)求不等式f(x)>1的解集；(2)若关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解，求实数m的取值范围．【解】(1)函数f(x)可化为f(x)＝Error!当x≤－2时，f(x)＝－3<0，不合题意；当－2<x<1时，令f(x)＝2x＋1>1，得x>0，即0<x<1；当x≥1时，f(x)＝3>1，即x≥1.综上，不等式f(x)>1的解集为(0，＋∞)．(2)关于x的不等式f(x)＋4≥|1－2m|有解等价于(f(x)＋4)m a x≥|1－2m|， 由(1)可知f(x)m a x＝3(也可由|f(x)|＝||x＋2|－|x－1||≤|(x＋2)－(x－1)|＝3，得f(x)m a x＝3)，即|1－2m|≤7，解得－3≤m≤4.故实数m 的取值范围为[－3,4]．3．(2018长春质检)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|.(1)解不等式f (x )>1；(2)当x >0时，函数g (x )＝(a >0)的最小值大于函数f (x )，ax 2－x ＋1x试求实数a 的取值范围．【解】(1)当x >2时，原不等式可化为x －2－x －1>1，解集是∅；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为2－x －x －1>1，即－1≤x <0；当x <－1时，原不等式可化为2－x ＋x ＋1>1，即x <－1.综上，原不等式的解集是{x |x <0}．(2)因为g (x )＝ax ＋－1≥2－1，1xa 当且仅当x ＝时等号成立，所以g (x )m i n ＝2－1，a aa 当x >0时，f (x )＝Error!所以f (x )∈[－3,1)，所以2－1≥1，即a ≥1，故实数a 的取值范围是[1，＋∞)．a 4．(2018河北唐山质检)设函数f (x )＝|kx －1|(k ∈R )．(1)若不等式f (x )≤2的解集为Error!，求k 的值；(2)若f (1)＋f (2)<5，求k 的取值范围．【解】(1)由|kx －1|≤2，得－2≤kx －1≤2，即－1≤kx ≤3，所以－≤x ≤1，13k 3由已知，得＝1，所以k ＝3.k 3(2)由已知得|k －1|＋|2k －1|<5.当k ≤时，－(k －1)－(2k －1)<5，12得k >－1，此时－1<k ≤；当<k ≤1时，－(k －1)＋(2k －1)<5，得k <5，1212此时<k ≤1；当k >1时，(k －1)＋(2k －1)<5，得k <，此时1<k <.综上，k 127373的取值范围是.(－1，73)5．(2018江西六校联考)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2.(1)解不等式：|g (x )|<5；(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．【解】(1)由||x －1|＋2|<5，得－5<|x －1|＋2<5，所以－7<|x －1|<3，解得－2<x <4，所以原不等式的解集是{x |－2<x <4}．(2)因为对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，所以{y |y ＝f (x )}⊆{y |y ＝g (x )}，又f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|≥|(2x －a )－(2x ＋3)|＝|a ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2≥2，所以|a ＋3|≥2，解得a ≥－1或a ≤－5，所以实数a 的取值范围是(－∞，－5]∪[－1，＋∞)．6．(2018威海模拟)设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋4|.(1)解不等式：f (x )>0；(2)若f (x )＋3|x ＋4|≥|a －1|对一切实数x 均成立，求a 的取值范围．【解】(1)原不等式即为|2x －1|－|x ＋4|>0，当x ≤－4时，不等式化为1－2x ＋x ＋4>0，解得x <5，即不等式组Error!的解集是{x |x ≤－4}．当－4<x <时，不等式化为1－2x －x －4>0，解得x <－1，12即不等式组Error!的解集是{x |－4<x <－1}．当x ≥时，不等式化为2x －1－x －4>0，解得x >5，12即不等式组Error!的解集是{x |x >5}．综上，原不等式的解集为{x |x <－1或x >5}．(2)∵f (x )＋3|x ＋4|＝|2x －1|＋2|x ＋4|＝|1－2x |＋|2x ＋8|≥|(1－2x )＋(2x ＋8)|＝9.∴由题意可知|a －1|≤9，解得－8≤a ≤10，故a的取值范围是[－8,10]．。
2020版高考数学理科人教B版一轮温习课时标准练14导数的概念及运算
课时标准练14 导数的概念及运算基础巩固组1.已知函数f (x )=√x 3+1,则llll x→0l (1-Δl )-l (1)Δl 的值为( )13B.13C.232.若f (x )=2xf'(1)+x 2,则f'(0)等于( )3.已知奇函数y=f (x )在区间(-∞,0]上的解析式为f (x )=x 2+x ,那么曲线y=f (x )在横坐标为1的点处的切线方程是( ) +y+1=0 +y-1=0 =0 +1=04.假设点P 是曲线y=x 2-ln x 上任意一点,那么点P 到直线y=x-2的距离的最小值为( )B.√2C.√22 D.√35.已知a 为实数,函数f (x )=x 3+ax 2+(a-3)x 的导函数为f'(x ),且f'(x )是偶函数,那么曲线y=f (x )在原点处的切线方程为( ) =3x+1 =-3x =-3x+1 =3x-36.设曲线y=sin x 上任一点(x ,y )处切线的斜率为g (x ),那么函数y=x 2g (x )的部份图象能够为( )7.一质点做直线运动,由始点通过t s 后的距离为s=13t 3-6t 2+32t ,那么速度为0的时刻是( )s 末 s 末s 末与8 s 末 s 末与8 s 末8.(2018河北衡水中学17模,理14)函数y=f (x )的图象在点M (2,f (2))处的切线方程是y=2x-8,则f '(2)f (2)= . 9.(2018天津,文10)已知函数f (x )=e x ln x ,f'(x )为f (x )的导函数,则f'(1)的值为 .10.(2018河南六市联考一,14)已知函数f (x )=x+ax +b (x ≠0)在点(1,f (1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b= .11.函数f (x )=x e x 的图象在点(1,f (1))处的切线方程是 .12.假设函数f (x )=12x 2-ax+ln x 存在垂直于y 轴的切线,那么实数a 的取值范围是 .综合提升组13.已知函数f (x )=x ln x ,假设直线l 过点(0,-1),而且与曲线y=f (x )相切,那么直线l 的方程为( ) +y-1=0 =0 +y+1=0 +1=014.下面四个图象中,有一个是函数f (x )=13x 3+ax 2+(a 2-1)x+1(a ∈R )的导函数y=f'(x )的图象,则f (-1)=( )A.13 23 C.7313或5315.(2018全国3,理14)直线y=(ax+1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .创新应用组16.(2018湖南长郡中学一模,10)求形如y=f (x )g (x )的函数的导数,咱们常采纳以下做法:先两边同取自然对数得ln y=g (x )ln f (x ),再两边同时求导得1y ·y'=g'(x )ln f (x )+g (x )1f (x )f'(x ),于是取得y'=f (x )g (x )g'(x )lnf (x )+g (x )1f (x )f'(x ),运用此方式求得函数y=x 1x 的一个单调递增区间是( )A.(e,4)B.(3,6)C.(0,e)D.(2,3)17.(2018河北衡水中学押题二,12)已知函数f (x )={-x 2-4x +5,x ≤1,lnx ,x >1,假设关于x 的方程f (x )=kx-12恰有四个不相等的实数根,那么实数k 的取值范围是( )A.(12,√e)B.(12,√e] C.(12,√e e )D.(12,√e e ]课时标准练14 导数的概念及运算∵f'(x )=13x -23,∴lim Δx →0f (1-Δx )-f (1)Δx =-lim Δx →0f (1-Δx )-f (1)-Δx =-f'(1)=-(13×1-23)=-13. f'(x )=2f'(1)+2x ,令x=1,则f'(1)=2f'(1)+2,得f'(1)=-2,因此f'(0)=2f'(1)+0=-4.应选D .由函数y=f (x )为奇函数,可得f (x )在[0,+∞)内的解析式为f (x )=-x 2+x ,故切点为(1,0).因为f'(x )=-2x+1, 因此f'(1)=-1,故切线方程为y=-(x-1), 即x+y-1=0.因为概念域为(0,+∞),因此y'=2x-1x ,令2x-1x =1,解得x=1,那么曲线在点P (1,1)处的切线方程为x-y=0,因此两平行线间的距离为d=2=√2.故所求的最小值为√2.因为f (x )=x 3+ax 2+(a-3)x ,因此f'(x )=3x 2+2ax+(a-3).又f'(x )为偶函数,因此a=0,因此f (x )=x 3-3x ,f'(x )=3x 2-3.因此f'(0)=-3. 故所求的切线方程为y=-3x.依照题意得g (x )=cos x ,则y=x 2g (x )=x 2cos x 为偶函数.又x=0时,y=0,应选C .s'=t 2-12t+32,由导数的物理意义可知,速度为零的时刻确实是s'=0的时刻,解方程t 2-12t+32=0,得t=4或t=8.应选D .12由导数的几何意义可知f'(2)=2,又f (2)=2×2-8=-4,因此f '(2)f (2)=-12.∵f (x )=e xln x ,∴f'(x )=exln x+e x x .∴f'(1)=eln 1+e1=e .∵f'(x )=1-ax 2=x 2-ax 2,∴f'(1)=1-a=2,∴a=-1,f (1)=1+a+b=b ,∴在点(1,f (1))处的切线方程为y-b=2(x-1), ∴b-2=5,b=7,∴a-b=-8.=2e x-e ∵f (x )=x e x ,∴f (1)=e,f'(x )=e x +x e x ,∴f'(1)=2e,∴f (x )的图象在点(1,f (1))处的切线方程为y-e =2e(x-1),即y=2e x-e .12.[2,+∞) ∵f (x )=12x 2-ax+ln x ,∴f'(x )=x-a+1x .∵f (x )的图象存在垂直于y 轴的切线,∴f'(x )存在零点,∴x+1x -a=0有解,∴a=x+1x ≥2(x>0).设直线l 的方程为y=kx-1,直线l 与f (x )的图象相切于点(x 0,y 0),则{kx 0-1=y 0,x 0ln x 0=y 0,ln x 0+1=k ,解得{x 0=1,y 0=0,k =1.∴直线l 的方程为y=x-1,即x-y-1=0. ∵f'(x )=x 2+2ax+a 2-1,∴f'(x )的图象开口向上,故②④排除.若f'(x )的图象为①,则a=0,f (-1)=53; 若f'(x )的图象为③,则a 2-1=0. 又对称轴x=-a>0,∴a=-1,∴f (-1)=-13.设f (x )=(ax+1)e x ,∵f'(x )=a·e x +(ax+1)e x =(ax+a+1)e x ,∴f (x )=(ax+1)e x 在点(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3. 由题意知y'=x 1x·-1x 2ln x+1x 2=x 1x·1-lnxx 2(x>0),令y'>0,得1-ln x>0,∴0<x<e .∴原函数的单调增区间为(0,e),应选C .方程f (x )=kx-12恰有四个不相等的实数根转化为y=f (x )的图象与y=kx-12的图象有四个不同的交点,如下图,直线y=kx-12过定点(0,-12),且过点(1,0)时,函数y=f (x )的图象与y=kx-12的图象有三个不同的交点,现在k=-12-00-1=12.设直线y=kx-12与y=ln x (x>1)切于点(x 0,ln x 0),那么过该切点的切线方程为y-ln x 0=10(x-x 0). 把点(0,-12)代入切线方程,可得-12-ln x 0=-1,解得x 0=√e ,因此切点为(√e ,12),那么切线的斜率为1e =√ee,因此方程f (x )=kx-12恰有四个不相等的实数根,那么实数k 的取值范围是(12,√ee),应选C .。
2020届高考数学一轮复习人教B版逻辑联结词且或非作业Word版含答案
2020届一轮复习人教B版逻辑联结词且或非作业1.若p是真命题,q是假命题,则()A.p且q是真命题B.p或q是假命题C.p是真命题D.q是真命题答案:D2.由下列各组命题构成的新命题“p或q”和“p且q”都为真命题的是()A.p:4+4=9,q:7>4B.p:a∈{a,b,c},q:{a}⫋{a,b,c}C.p:15是质数,q:8是12的约数D.p:2是偶数,q:2不是质数解析:只有命题p和q都正确时“p且q”才正确,据此原则可判断仅B项符合.答案:B3.已知p与q是两个命题,给出下列命题:(1)只有当命题p与q同时为真时,命题“p或q”才能为真;(2)只有当命题p与q同时为假时,命题“p或q”才能为假;(3)只有当命题p与q同时为真时,命题“p且q”才能为真;(4)只有当命题p与q同时为假时,命题“p且q”才能为假.其中正确的命题是()A.(1)和(3)B.(2)和(3)C.(2)和(4)D.(3)和(4)解析:因为当命题p与q同时为真时,命题“p或q”“p且q”都为真,而当命题p与q一真一假时,命题“p 或q”为真,“p且q”为假,所以(1)错,(3)对;而当命题p与q只要有一个为假时,“p且q”就为假,所以(4)错;当命题p与q同时为假时,“p或q”才为假,所以(2)对,故选B.答案:B4.已知全集S=R,A⊆S,B⊆S,若p:∈(A∪B),则“非p”是()A. ∉AB.∈∁S BC. ∉(A∩B)D.∈[(∁S A)∩(∁S B)]解析:对一个命题的否定,只对命题的结论进行否定.答案:D5.导学号90074012已知命题p:存在x∈R,使tan x=1,命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}.有下列结论:①命题“p且q”是真命题;②命题“p且非q”是假命题;③命题“非p或q”是真命题;④命题“非p或非q”是假命题.其中正确的是()A.②③B.①②④C.①③④D.①②③④解析:命题p:存在x∈R,使tan x=1正确.命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|1<x<2}也正确, ∴①命题“p且q”是真命题;②命题“p且非q”是假命题;③命题“非p或q”是真命题;④命题“非p 或非q”是假命题,故应选D.答案:D6.用适当的逻辑联结词填空(填“且”或“或”):(1)若a2+b2=0,则a=0b=0;(2)若ab=0,则a=0b=0;(3)平行四边形的一组对边平行相等.解析:(1)若a2+b2=0,则a=0且b=0,故填“且”.(2)若ab=0,则a=0或b=0,故填“或”.(3)平行四边形的一组对边平行且相等,故填“且”.答案:(1)且(2)或(3)且7.如果命题“非p或非q”是假命题,对于下列结论:①命题“p且q”是真命题;②命题“p且q”是假命题;③命题“p或q”是真命题;④命题“p或q”是假命题.其中正确的是.(填序号)解析:由“非p或非q”是假命题知,“非p”与“非q”都是假命题,所以p,q都是真命题,从而判断①③正确,②④错误.答案:①③8.命题p:1是集合{x|x2<a}中的元素;命题q:2是集合{x|x2<a}中的元素.若“p且q”是真命题,则a的取值范围为.解析:由p为真命题,可得a>1,由q为真命题,可得a>4.当“p且q”为真命题时,p,q都为真命题,即解得{a|a>4}.答案:{a|a>4}9.写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题,并判断其真假.(1)p:1是质数,q:1是方程x2+2x-3=0的根;(2)p:平行四边形的对角线相等,q:平行四边形的对角线互相垂直;(3)p:N⊆Z,q:0∈N.解(1)因为p假q真,所以p或q:1是质数或是方程x2+2x-3=0的根,为真;p且q:1是质数且是方程x2+2x-3=0的根,为假;非p:1不是质数,为真.(2)因为p假q假,所以p或q:平行四边形的对角线相等或互相垂直,为假;p且q:平行四边形的对角线相等且互相垂直,为假;非p:平行四边形的对角线不一定相等,为真.(3)因为p真q真,所以p或q:N⊆Z或0∈N为真;p且q:N⊆Z且0∈N,为真;非p:N⊈Z,为假.B组1.若命题“p或q”与“p且q”中一真一假,则可能是()A.p真q假B.p真q真C.非p真q假D.p假非q真解析:由题意知“p且q”为假,“p或q”为真,则p,q中一真一假.答案:A2.命题“原函数与反函数的图像关于直线y=x对称”的否定是()A.原函数与反函数的图像关于直线y=-x对称B.原函数不与反函数的图像关于直线y=x对称C.存在一个原函数与反函数的图像不关于直线y=x对称D.存在原函数与反函数的图像关于直线y=x对称解析:命题“原函数与反函数的图像关于直线y=x对称”的本质含义是“所有原函数与反函数的图像关于直线y=x对称”.故其否定应为“存在一个原函数与反函数的图像不关于直线y=x对称”.答案:C3.已知命题p:“x>2是x2>4的充要条件”,命题q:“若,则a>b”,则()A.“p或q”为真B.“p且q”为真C.p真q假D.p,q均为假解析:由已知可知命题p为假,命题q为真,因此选A.答案:A4.设命题p:函数y=cos 2x的最小正周期为;命题q:函数f(x)=sin-的图像的一条对称轴是x=-,则下列判断正确的是()A.p为真B.非q为假C.p且q为真D.p或q为假解析:因为函数y=cos 2x的最小正周期为π,故命题p是假命题;因为f-=-1,故命题q是真命题,则非q为假,p且q为假,p或q为真,故选B.答案:B5.已知p:点P在直线y=2x-3上,q:点P在直线y=-3x+2上,则使命题p且q为真命题的一个点P(x,y)是.解析:因为p且q为真命题,所以p,q均为真命题,即点P为直线y=2x-3与y=-3x+2的交点,故有--解得-.故点P的坐标为(1,-1).答案:(1,-1)6.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的范围是. 解析:由题意得,p:x∈[2,5],q:x∈{x|x<1或x>4},因为p或q为假,所以p假q假,故有或解得1≤x<2.答案:[1,2)7.已知函数①f(x)=|x+2|;②f(x)=(x-2)2;③f(x)=cos(x-2).现有命题p:f(x+2)是偶函数;命题q:f(x)在(-∞,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数.则能使p且q为真命题的所有函数的序号是.解析:若p且q为真命题,则p,q均为真命题.对于①,f(x+2)=|x+4|不是偶函数,故p为假命题.对于②,f(x+2)=x2是偶函数,则p为真命题;f(x)=(x-2)2在(-∞,2)内是减函数,在(2,+∞)内是增函数,则q为真命题,故p且q为真命题.对于③,f(x)=cos(x-2)显然在(2,+∞)内不是增函数,故q为假命题.故填②.答案:②8.已知命题p:“存在a>0,使函数f(x)=ax2-4x在(-∞,2]上单调递减”,命题q:“存在a∈R,使任意x∈R,16x2-16(a-1)x+1≠0”.若命题“p且q”为真命题,求实数a的取值范围.解若p为真,则函数f(x)图像的对称轴x=--在区间(-∞,2]的右侧,即≥2,∴0<a≤1.若q为真,则方程16x2-16(a-1)x+1=0无实数根,∴Δ=[16(a-1)]2-4×16<0,∴<a<.∵命题“p且q”为真命题,∴<a≤1.故实数a的取值范围为.9.导学号90074013已知命题p:x1和x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立;命题q:不等式ax2+2x-1>0有解.若p且q是假命题,非p也是假命题.求实数a的取值范围.解∵p且q是假命题,非p是假命题,∴命题p是真命题,命题q是假命题.∵x1,x2是方程x2-mx-2=0的两个实根,∴-.∴|x1-x2|=-.∴当m∈[-1,1]时,|x1-x2|max=3.由不等式a2-5a-3≥|x1-x2|对任意实数m∈[-1,1]恒成立,可得a2-5a-3≥3.∴a≥6或a≤-1,∴当命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.命题q:不等式ax2+2x-1>0有解,①当a>0时,显然有解;②当a=0时,2x-1>0有解;③当a<0时,∵ax2+2x-1>0,∴Δ=4+4a>0,∴-1<a<0.从而命题q:不等式ax2+2x-1>0有解时,a>-1.又命题q是假命题,∴a≤-1.综上所述得或--⇒a≤-1.∴所求a的取值范围为(-∞,-1].。
2020版高考数学理科(人教B版)一轮复习课时规范练14 导数的概念及运算 Word版含解析
课时规范练14 导数的概念及运算基础巩固组1。
已知函数f (x )=√x 3+1，则limΔx →0f (1-Δx )-f (1)Δx 的值为 （ ）A.-13 B.13C.23D 。
0 2。
若f （x ）=2xf’（1）+x 2,则f’（0）等于( ） A 。
2 B.0 C 。
—2 D 。
-43。
已知奇函数y=f (x ）在区间（-∞，0]上的解析式为f (x ）=x 2+x ，则曲线y=f （x ）在横坐标为1的点处的切线方程是( ) A 。
x+y+1=0 B.x+y —1=0 C.3x-y —1=0 D 。
3x —y+1=04。
若点P 是曲线y=x 2—ln x 上任意一点，则点P 到直线y=x —2的距离的最小值为（ ）A 。
1B 。
√2 C.√22 D 。
√35.已知a 为实数，函数f (x )=x 3+ax 2+（a —3)x 的导函数为f'(x ),且f'（x )是偶函数，则曲线y=f （x )在原点处的切线方程为（ ) A.y=3x+1 B.y=-3x C 。
y=-3x+1 D.y=3x-36。
设曲线y=sin x 上任一点（x ，y )处切线的斜率为g （x )，则函数y=x 2g （x ）的部分图象可以为（ )7.一质点做直线运动,由始点经过t s 后的距离为s=13t 3-6t 2+32t ，则速度为0的时刻是( ) A 。
4 s 末 B 。
8 s 末C 。
0 s 末与8 s 末 D.4 s 末与8 s 末8。
(2018河北衡水中学17模，理14）函数y=f (x ）的图象在点M （2,f (2））处的切线方程是y=2x-8,则f '(2)f (2)= .9.(2018天津,文10)已知函数f （x )=e xln x ，f’(x )为f (x )的导函数,则f’(1)的值为 。
10.(2018河南六市联考一,14）已知函数f （x )=x+a x +b (x ≠0)在点(1，f (1）)处的切线方程为y=2x+5，则a —b= 。
2020届高中数学一轮复习人教B版复数课时作业Word版
2020届一轮复习人教B 版 复数 课时作业(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(江西高考)已知集合M {1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－4iD ．4i解析：选C 由M ∩N ＝{4}，知4∈M ，故z i ＝4， 故z ＝4i ＝4ii2＝－4i.2．复数z ＝(1－i )21＋i (i 为虚数单位)的虚部为( )A ．1B ．－1C ．±1D ．0解析：选B 因为z ＝(1－i )2(1－i )(1＋i )(1－i )＝－1－i ，所以复数z 的虚部为－1.3．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选B ∵ab ＝0，∴a ＝0或b ＝0.由复数a ＋bi ＝a －b i 为纯虚数，得a ＝0且b ≠0.∴“ab ＝0”是“复数a ＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．4．复数z ＝－3＋i2＋i 的共轭复数是( )A ．2＋iB ．2－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝－5＋5i5＝－1＋i ，所以其共轭复数为＝－1－i.5．在复平面内，复数11＋i ，11－i(i 为虚数单位)对应的点分别为A ，B ，若点C 为线段AB的中点，则点C 对应的复数为( )A.12 B ．1 C.12i D ．i解析：选A11＋i ＝12－12i ，11－i ＝12＋12i ，故在复平面内对应的点A ⎝⎛⎭⎫12，－12，B ⎝⎛⎭⎫12，12，故点C ⎝⎛⎭⎫12，0，对应的复数为12. 6．(安徽高考)设i 是虚数单位，表示复数z 的共轭复数．若z ＝1＋i ，则zi ＋i·＝( )A ．－2B ．－2iC ．2D ．2i解析：选C 因为z ＝1＋i ，所以zi ＋i·z ＝－i ＋1＋i ＋1＝2.7．(陕西高考)设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：选D 对于A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，是真命题；对于B 、C ，易判断是真命题；对于D ，若z 1＝2，z 2＝1＋3i ，则|z 1|＝|z 2|，但z 21＝4，z 22＝－2＋23i ，是假命题．8．在复平面内，若z ＝m 2(1＋i)－m (4＋i)－6i 所对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(－∞，－2)C ．(－2,0)D ．(3,4)解析：选D 整理得z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应的点位于第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4m ＜0，m 2－m －6＞0，解得3＜m ＜4. 9．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：选A 由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，即z ＝4＋2i1＋i＝3－i. 10．若1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个复数根，则( ) A ．b ＝2，c ＝3 B ．b ＝－2，c ＝3 C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：选B 因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是该方程的根， 则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ， (1＋2i)(1－2i)＝3＝c ， 解得b ＝－2，c ＝3.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z 1－2i的共轭复数是________．解析：由题图知z ＝2＋i ，则z1－2i ＝2＋i1－2i ＝(2＋i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝i ， 其共轭复数是－i. 答案：－i12．计算：[(1＋2i)·i 100－i]2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 230＝________.解析：原式＝[(1＋2i)－i]2－215(－i )215＝(1＋i)2＋i ＝3i. 答案：3i13．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝________.解析：a ＋i i ＝(a ＋i )·(－i )i·(－i )＝1－a i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－a i|＝ a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又因为a 为正实数，所以a ＝ 3. 答案： 314．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z 在复平面对应的点位于第________象限．解析：∵a ，b ∈R 且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i ，即a (1＋i )2＋b (1＋2i )5＝3－i 2，∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，∴z ＝7－10i.∴z 对应的点位于第四象限． 答案：四三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)实数k 为何值时，复数z ＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 满足下列条件？(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0.解：(1)当k 2－5k －6＝0， 即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.16．(本小题满分12分)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝15－5i(2＋i )2.求： (1)z 1z 2； (2)z 1z 2. 解：因为z 2＝15－5i (2＋i )2＝15－5i3＋4i＝(15－5i )(3－4i )(3＋4i )(3－4i ) ＝25－75i 25＝1－3i ，所以(1)z 1z 2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.(2)z 1z 2＝2－3i 1－3i ＝(2－3i )(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )＝11＋3i 10＝1110＋310i. 17．(本小题满分12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|＜|z 1|，求a 的取值范围．解：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝(4－a )2＋4.又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|＜|z 1|， ∴(4－a )2＋4＜13，∴a 2－8a ＋7＜0，解得1＜a ＜7. ∴a 的取值范围是(1,7)．18．(本小题满分14分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由z ＋2i 为实数，得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由z2－i 为实数，得x ＝4. ∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0.解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下面三个命题： ①0比－i 大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数时成立； ③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1. 其中，正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A ①中实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，(B 卷 能力素养提升)但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；③x ＋y i ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有标明x ，y 是否是实数．2．若复数 z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝( ) A ．1 B ．2 C. 2D. 3解析：选C 法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)， 则由z (1＋i)＝2i ，得(a ＋b i)·(1＋i)＝2i ， 所以(a －b )＋(a ＋b )i ＝2i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝2，解得a ＝b ＝1，所以z ＝1＋i ， 故|z |＝12＋12＝ 2.法二：由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i1＋i＝2i (1－i )2＝i －i 2＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝ 2.3．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z ＝(1＋a i)·i 为“等部复数”，则实数a 的值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选A 由已知可得z ＝(1＋a i)·i ＝－a ＋i ， 所以－a ＝1，即a ＝－1.4．已知a ∈R ，且0<a <1，i 为虚数单位，则复数z ＝a ＋(a －1)i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵0<a <1，∴a >0且a －1<0，故复数z ＝a ＋(a －1)i 在复平面内所对应的点(a ，a －1)位于第四象限．故选D.5．已知复数z ＝1＋3i1－i，则z 的实部为( ) A ．1 B ．2 C ．－2D ．－1解析：选D 因为z ＝1＋3i 1－i ＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i2＝－1＋2i ，故z 的实部为－1.6．已知a ，b 是实数，设i 是虚数单位，若a ＋i ＝b i1＋i，则复数a ＋b i 为( ) A ．2－i B ．2＋i C ．1＋2iD ．1－2i解析：选C 因为a ＋i ＝b i1＋i，整理得(a ＋i)(1＋i)＝b i ， ∴(a －1)＋(a ＋1)i ＝b i ， 由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，∴a ＋b i ＝1＋2i ，故选C.7．在复平面内，向量AB 对应的复数是2＋i ，向量CB 对应的复数是－1－3i ，则向量CA 对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i解析：选D CA ＝CB －AB ＝－1－3i －2－i ＝－3－4i.8．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2 C ．|z －z |≥2x D ．|z |≤|x |＋|y |解析：选D |z |＝x 2＋y 2≤x 2＋2|xy |＋y 2＝(|x |＋|y |)2＝|x |＋|y |，D 正确．9．定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad ＋bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪1z －1z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．－1－3i解析：选D 由已知得z i －z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i－1＋i＝(4＋2i )(－1－i )2＝－1－3i.10．已知f (x )＝x 2，i 是虚数单位，则在复平面中复数f (1＋i )3＋i对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 因为f (1＋i )3＋i ＝2i 3＋i ＝15＋35i ，所以选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则|AB |＝________.解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)， 故|AB |＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2.答案：2 212．设复数z 满足i z ＝－3＋i(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 解析：由i z ＝－3＋i ，得z ＝－3＋i i ＝(－3＋i )(－i )i (－i )＝1＋3i ，则z 的实部为1. 答案：113．已知i 为虚数单位，复数z 1＝3－a i ，z 2＝1＋2i ，若z 1z 2在复平面内对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围为________．解析：z 1z 2＝3－a i 1＋2i ＝(3－a i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3－2a 5－6＋a5i ，因为z 1z 2在复平面内对应的点在第四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，6＋a >0⇒－6<a <32.答案：⎝⎛⎭⎫－6，32 14．对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)，定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2.设非零复数ω1，ω2在复平面内对应的点分别为P 1，P 2，点O 为坐标原点．如果ω1⊙ω2＝0，那么在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为________．解析：设OP 1＝x 1＋y 1i ，OP 2＝x 2＋y 2i(x 1，y 1，x 2，y 2为实数)，∵ω1⊙ω2＝0，由定义知x 1x 2＋y 1y 2＝0，∴OP 1⊥OP 2，∴∠P 1OP 2＝π2.答案：π2三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i 且|z |＝4，z 对应的点在第一象限内，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i )2·(1＋i )1－i (a ＋b i)＝2i·i·(a ＋b i)＝－2a －2b i ，由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点， ∴|z |＝|z －z |，把z ＝－2a －2b i 代入化简，得|b |＝1.② 又∵z 对应的点在第一象限内， ∴a <0，b <0.由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求a ＝－3，b ＝－1.16．(本小题满分12分)已知z ＝a －i1－i(a >0)，复数ω＝z (z ＋i)的虚部减去它的实部所得的差等于32，求复数ω.解：由已知，ω＝a －i 1－i ×a ＋11－i＝(a ＋1)(a －i )－2i＝(a ＋1)(1＋a i )2＝a ＋12＋a (a ＋1)2i ， ∴a (a ＋1)2－a ＋12＝32， ∴a ＝2(a >0)，∴ω＝32＋3i. 17．(本小题满分12分)已知z ＝i －1是方程z 2＋az ＋b ＝0的一个根．(1)求实数a ，b 的值．(2)结合根与系数的关系，猜测方程的另一个根，并给予证明．解：(1)把z ＝i －1代入z 2＋az ＋b ＝0得(－a ＋b )＋(a －2)i ＝0，∴a ＝2，b ＝2.(2)猜测：－1－i 是方程的另一个根．证明：设另一个根为x 2，由根与系数的关系，得i －1＋x 2＝－2，∴x 2＝－1－i.把x 2＝－1－i 代入方程左边得(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝2i －2－2i ＋2＝0＝右边， ∴x 2＝－1－i 是方程的另一个根．18．(本小题满分14分)已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)有实数根b .(1)求实数a ，b 的值．(2)若复数z 满足|z －a ＋b i|－2|z |＝0，求z 为何值时，|z |有最小值，并求出|z |的最小值． 解：(1)∵b 是方程x 2－(6＋i)x ＋9＋a i ＝0(a ∈R)的实数根，∴(b 2－6b ＋9)＋(a －b )i ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧b 2－6b ＋9＝0，a －b ＝0.解得a ＝b ＝3. (2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，由|z －3＋3i|＝2|z |，得(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，∴Z 点的轨迹是以O 1(－1,1)为圆心，22为半径的圆．如图，当Z 点在直线OO 1上时，|z |有最大值或最小值．∴当z＝1－i时，|z|有最小值，且|z|min＝ 2.。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第14章 选修部分 70 含答案
【课时训练】第70节 参数方程解答题1．(2018河南郑州模拟)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2－32t ，y ＝12t ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2 2cos (θ－π4)，以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值． 【解】(1)ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2(cos θ＋sin θ)，即ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，可得x 2＋y 2－2x －2y ＝0， 故C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)C 1的普通方程为x ＋3y ＋2＝0，由(1)知曲线C 2是以(1,1)为圆心，以2为半径的圆，且圆心到直线C 1的距离d ＝|1＋3＋2|12＋(3)2＝3＋32，所以动点M 到曲线C 1的距离的最大值为3＋3＋222.2．(2018福建三明质检)在极坐标系中，已知三点O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 2，π4.(1)求经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程；(2)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ.(θ是参数)．若圆C 1与圆C 2外切，求实数a 的值．【解】(1)O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4 对应的直角坐标分别为O (0,0)，A (0,2)，B (2,2)，则过点O ，A ，B 的圆的普通方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，代入可求得经过点O ，A ，B 的圆C 1的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.(2)圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ，(θ是参数)对应的普通方程为(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心为(－1，－1)，半径为|a |，而圆C 1的圆心为(1,1)，半径为2，所以当圆C 1与圆C 2外切时，有2＋|a |＝(－1－1)2＋(－1－1)2，解得a ＝±2.3．(2018江西百校联盟)在平面直角坐标系xOy 中，C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1).(t 为参数)以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．【解】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1)，可得其普通方程为y ＝k (x －1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k 的直线．由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得其直角坐标方程为x 2＋y 2＋10x －6y ＋33＝0，整理得(x ＋5)2＋(y －3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．(2)因为圆心(－5,3)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|－6k －3|1＋k 2＝|6k ＋3|1＋k 2，故|PQ |的最小值为|6k ＋3|1＋k 2－1，故|6k ＋3|1＋k2－1＝2，得3k 2＋4k ＝0，解得k ＝0或k ＝－43. 4．(2018贵州贵阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32，曲线C 的极坐标方程为ρ＝5，直线l 过点P 且与曲线C 相交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若|AB |＝8，求直线l 的直角坐标方程． 【解】(1)由ρ＝5知ρ2＝25，所以x 2＋y 2＝25， 即曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝25.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－3＋t cos α，y ＝－32＋t sin α，(t 为参数)①将参数方程①代入圆的方程x 2＋y 2＝25， 得4t 2－12(2cos α＋sin α)t －55＝0， ∴Δ＝16[9(2cos α＋sin α)2＋55]>0，上述方程有两个相异的实数根，设为t 1，t 2， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝9(2cos α＋sin α)2＋55＝8， 化简有3cos 2 α＋4sin αcos α＝0， 解得cos α＝0或tan α＝－34，从而可得直线l 的直角坐标方程为x ＋3＝0或3x ＋4y ＋15＝0.5．(2018辽宁五校联考)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 【解】(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α，(α为参数，0＜α＜2π)．(2)点M 到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．。
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第章集合与常用逻辑用语第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系：属于或不属于，分别记为∈和∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．(4)常见数集的记法2.A B或B A1．若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.3．A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都至少有两个子集．()(2)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C.()(3)若{x2，x}＝{－1,1}，则x＝－1. ()(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C. ()[解析](1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．集合A是函数y＝x2的定义域，即A＝(－∞，＋∞)；集合B是函数y＝x2的值域，即B＝[0，＋∞)；集合C是抛物线y＝x2上的点集．因此A，B，C不相等．(3)正确．(4)错误．当A＝∅时，B，C可为任意集合．[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22知，a∉A.]3．设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝()A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}A[A∪B＝{1,2,3,4}．]4．设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁A B＝()A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}C[∁A B＝{0,2,6,10}．]5．若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝() A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}A[∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．]1M中的元素个数为()A．3B．4C．5D．6B[因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4，a＝1,2,3时，x＝5,6,7.当b＝5，a＝1,2,3时，x＝6,7,8.由集合元素的互异性，可知x＝5,6,7,8.即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．]2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( )A.92B.98 C ．0 D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.]3．已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1C [由已知得a ≠0，则b a ＝0， 所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]4．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________. 1 [由A ∩B ＝{3}知a ＋2＝3或a 2＋4＝3.解得a ＝1.]【例1】 (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则( )A ．B ⊆AB ．A ＝BC ．A BD ．B A(2)(2019·大庆模拟)集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －3≤0，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则集合B 的子集个数为( )A ．5B ．8C ．3D ．2 (3)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值集合为________．(1)C (2)B(3)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0 [(1)A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，则A B ，故选C.(2)由x ＋1x －3≤0得－1≤x ＜3，则A ＝{－1,0,1,2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }＝{1,2,5}，其子集的个数为23＝8个．(3)A ＝{－3,2}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B ⊆A ，若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 知，1a ＝－3或1a ＝2，故a ＝－13或a ＝12，因此a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－13，12，0.]B ，则符合条件的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．8(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．(1)C(2)[2，＋∞)[(1)由A⊆C⊆B得C＝{0}或{0，－1}或{0,1}或{0，－1,1}，故选C.(2)A＝{x|0≤x≤2}，要使A⊆B，则a≥2.]►【例2】(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B ＝()A．{0}B．{1}C．{1,2} D．{0,1,2}(2)(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}(3)(2019·桂林模拟)已知集合M＝{x|－1＜x＜3}，N＝{－1,1}，则下列关系正确的是()A．M∪N＝{－1,1,3} B．M∪N＝{x|－1≤x＜3}C．M∩N＝{－1} D．M∩N＝{x|－1＜x＜1}(1)C(2)B(3)B[(1)由题意知，A＝{x|x≥1}，则A∩B＝{1,2}．(2)法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B.法二：因为A＝{x|x2－x－2＞0}，所以∁R A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，故选B.(3)M∪N＝{x|－1≤x＜3}，M∩N＝{1}，故选B.]►考法2利用集合的运算求参数【例3】(1)设集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1＜a≤2 B．a＞2C．a≥－1 D．a＞－1(2)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为()A．0B．1 C．2D．4(3)(2019·厦门模拟)已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2－3x＋2＜0}，若A∩B ＝B，则实数a的取值范围是()A．a≤1 B．a＜1C．a≥2 D．a＞2(1)D(2)D(3)C[(1)由A∩B≠∅知，集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示：易知a＞－1，故选D.(2)由题意可知{a，a2}＝{4,16}，所以a＝4，故选D.(3)B＝{x|1＜x＜2}，由A∩B＝B知B⊆A，则a≥2，故选C.]＜0}，则A∪B＝()A．(－1,0) B．(0,1)C．(－1,3) D．(1,3)(2)(2019·西安模拟)设集合A＝{x|x2－3x＋2≥0}，B＝{x|x≤2，x∈Z}，则(∁A)∩B＝()RA．{1}B．{2} C．{1,2}D．∅(3)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}(4)(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}，则A∩B ＝()A．{1,3} B．{1,3,9}C．{3,9,27} D．{1,3,9,27}(1)C(2)D(3)C(4)A[(1)A＝{x|－1＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，所以A∪B＝{x|－1＜x＜3}，故选C.(2)A＝{x|x≤1或x≥2}，则∁R A＝{x|1＜x＜2}．又集合B＝{x|x≤2，x∈Z}，所以(∁R A)∩B＝∅，故选D.(3)∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(4)因为A＝{1,3,9,27}，B＝{y|y＝log3x，x∈A}＝{0,1,2,3}，所以A∩B＝{1,3}．]1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩B＝() A．{0,2}B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[由题意知A∩B＝{0,2}．]2．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为()A．9B．8C．5D．4A[由x2＋y2≤3知，－3≤x≤3，－3≤y≤ 3.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的个数为9，故选A.] 3．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则()A ．A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32B ．A ∩B ＝∅C ．A ∪B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32D ．A ∪B ＝RA [因为B ＝{x |3－2x ＞0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32，A ＝{x |x ＜2}，所以A ∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜32，A ∪B ＝{x |x ＜2}．故选A.]4．(2015·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2D [分析集合A 中元素的特点，然后找出集合B 中满足集合A 中条件的元素个数即可．集合A 中元素满足x ＝3n ＋2，n ∈N ，即被3除余2，而集合B 中满足这一要求的元素只有8和14.故选D.]第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件的概念1．充分条件、必要条件的两个结论(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件；(2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件．2．充分条件、必要条件与集合的关系AB1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”是命题． ()(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”．()(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．()(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．() [解析](1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tan α≠1B．若α＝π4，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠π4D．若tan α≠1，则α＝π4C[“若p，则q”的逆否命题是“若q，则p”，显然q：tan α≠1，p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A[a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]4．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B[x＜⇒/－1＜x＜3，但－1＜x＜3⇒x＜3，因此p是q的必要不充分条件，故选B.]5．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为()A．1B．2 C．3D．4B[原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个假命题．]1．命题“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0D[“若a2＋b2＝0，则a＝b＝0”的逆否命题是“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”，故选D.]2．(2019·开封模拟)下列命题中为真命题的是()A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D．命题“若1x＞1，则x＞1”的逆否命题B[对于A，命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则x2≤1”，易知当x＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B，命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”，分析可知为真命题；对于C，命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题为“若x≠1，则x2＋x－2≠0”，易知当x＝－2时，x2＋x－2＝0，故为假命题；对于D，命题“若1x＞1，则x＞1”是假命题，则其逆否命题为假命题，故选B.]3．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是() A．不拥有的人们会幸福B．幸福的人们不都拥有C．拥有的人们不幸福D．不拥有的人们不幸福D[命题的等价命题就是其逆否命题，故选D.]4．“若m＜n，则ms2＜ns2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．2[原命题：“若m＜n，则ms2＜ns2”，这是假命题，因为若s＝0时，由m＜n，得到ms2＝ns2＝0，不能推出ms2＜ns2.逆命题：“若ms2＜ns2，则m＜n”，这是真命题，因为由ms2＜ns2得到s2＞0，所以两边同除以s2，得m＜n，因为原命题和逆否命题的真假相同，逆命题和否命题的真假相同，所以真命题的个数是2.]“a，b，c，d成等比数列”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)设集合M＝{x|0＜x≤3}，N＝{x|0＜x≤2}，那么“m∉M”是“m∉N”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)B(2)A[(1)a，b，c，d是非零实数，若ad＝bc，则ba＝dc，此时a，b，c，d不一定成等比数列；反之，若a，b，c，d成等比数列，则ab＝cd，所以ad＝bc，所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要而不充分条件，故选B.(2)条件与结论都是否定形式，可转化为判断“m∈N”是“m∈M”的什么条件．由N M知，“m∈N”是“m∈M”的充分不必要条件，从而“m∉M”是“m∉N”的充分不必要条件，故选A.]A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知条件p：x＞1或x＜－3，条件q：5x－6＞x2，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)A[(1)由x3＞8可得x＞2，从而|x|＞2成立，由|x|＞2可得x＞2或x＜－2，从而x3＞8不一定成立．因此“x3＞8”是“|x|＞2”的充分而不必要条件，故选A.(2)由5x－6＞x2得2＜x＜3，即q：2＜x＜3.所以q ⇒p ，p q ，从而q 是p 的充分不必要条件．即p 是q 的充分不必要条件，故选A.]【例2】 (1)设命题p ：(4x －3)2≤1，命题q ：x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0，若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是( )A ．－1≤k ＜3B ．－1≤k ≤3C ．0＜k ＜3D ．k ＜－1或k ＞3(1)A (2)C [(1)由(4x －3)2≤1得12≤x ≤1，即p ：12≤x ≤1， 由x 2－(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)≤0得m ≤x ≤m ＋1，即q ：m ≤x ≤m ＋1. 由p 是q 的必要不充分条件知，p 是q 的充分不必要条件，从而⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1{x |m ≤x ≤m ＋1}．∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12m ＋1≥1，解得0≤m ≤12，故选A.(2)“直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同的交点”的充要条件是|1－k |2＜2，即－1＜k ＜3. 故所求应是集合{k |－1＜k ＜3}的一个子集，故选C.]数m的取值范围是()A．[－1,1] B．[－1,0]C．[1,2] D．[－1,2](2)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.(1)A(2)3或4[(1)由题意知(－1,4)(2m2－3，＋∞)，∴2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1，故选A.(2)当Δ＝16－4n≥0，即n≤4时，方程x2－4x＋n＝0的两根为x＝4±16－4n2＝2±4－n.又n∈N*，且n≤4，则当n＝3,4时，方程有整数根．]第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“或”“且”“非”叫做逻辑联结词．(2)命题p∧q，p∨q，p的真假判断p2.3.p p1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律：(1)p∨q：有真则真．(2)p∧q：有假则假．(3)p与p：真假相反．2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题p∧q的否定是“p∨q”；命题p∨q的否定是“p∧q”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．()(2)命题(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是假命题．()(3)“长方形的对角线相等”是特称命题．()(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．()[解析](1)错误．命题p∨q中，p，q有一真则真．(2)错误．p∧q是真命题，则p，q都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题．(4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题p ，q ，p ∨q ，p ∧q中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 B [p 和q 显然都是真命题，所以p ，q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题．]3．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1＞0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2＞0 C ．∃x ∈R ，lg x ＜1 D ．∃x ∈R ，tan x ＝2B [对于B ，当x ＝1时，(x －1)2＝0，故B 项是假命题．]4．命题：“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立． 当a ≠0时，依题意知⎩⎨⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0， 解得－8≤a ＜0. 综上可知－8≤a ≤0.]定范围．q ：乙降落在指定范围．则命题“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(p )∨(q )B ．p ∨(q )C ．(p )∧(q )D ．p ∧qA[p：甲没有降落在指定范围，q：乙没有降落在指定范围．则“至少有一名学员没有降落在指定范围”可表示为(p)∨(q)，故选A.]2．若命题“p∨q”是真命题，“p”为真命题，则()A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假B[命题“p∨q”是真命题，则p或q至少有一个真命题，又“p”是真命题，则p是假命题，从而q一定是真命题，故选B.]3．(2019·泰安模拟)已知命题p：∀x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是()A．p∧q B．p∧(q)C．(p)∧q D．(p)∧(q)B[∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.∴命题p为真命题，∴p为假命题．∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a2<b2，∴命题q为假命题，∴q为真命题．∴p∧q为假命题，p∧q为真命题，p∧q为假命题，p∧q为假命题．故选B.]p【例1】(1)(2019·武汉模拟)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B ．∀x ∉(0，＋∞)，ln x ＝x －1C ．∃x 0∈(0，＋∞)，ln x 0≠x 0－1D ．∃x 0∉(0，＋∞)，ln x 0＝x 0－1 (2)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥0 B ．∀x ∈R,2x －1＞0 C ．∃x 0∈N ，sin π2x 0＝1 D ．∃x 0∈R ，sin x 0＋cos x 0＝2(1)A (2)D [(1)改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x 0改为x ，否定结论，即ln x ≠x －1，故选A.(2)当x ∈R 时，x 2≥0且2x －1＞0，故A 、B 是真命题． 当x 0＝1时，sin π2x 0＝1，故C 是真命题．由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，故D 是假命题．]000A ．∀x ＞0，使2x (x －a )＞1 B ．∀x ＞0，使2x (x －a )≤1 C ．∀x ≤0，使2x (x －a )≤1 D ．∀x ≤0，使2x (x －a )＞1(2)下列命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．∀α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．∃x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．∃α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos β(1)B (2)D [(1)命题的否定为∀x ＞0，使2x (x －a )≤1，故选B.(2)因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.]【例2】 (1)已知命题“∃x 0∈R ，使2x 20＋(a －1)x 0＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,3)C ．(－3，＋∞)D ．(－3,1)(2)已知p ：∃x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)B (2)A [(1)原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12＞0，由题意知，为真命题，则Δ＝(a －1)2－4×2×12＜0，则－2＜a －1＜2，则－1＜a ＜3，故选B.(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，∀x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎨⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m≥2，故选A.]实数a的取值范围为()A．(－∞，e2] B．(－∞，e]C．[e，＋∞) D．[e2，＋∞)(2)已知命题p：∃x0∈R，x20－ax0＋4＝0；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围是________．(1)B(2)[－12，－4]∪[4，＋∞)[(1)p是假命题，则p是真命题，当x∈[1,2]时，e≤e x≤e2，由题意知a≤(e x)min，x∈[1,2]，因此a≤e，故选B.(2)若p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，解得a≤－4或a≥4.若q是真命题，则－a4≤3，即a≥－12.由p∧q是真命题知，命题p、q均是真命题．因此a的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)．]第2章函数、导数及其应用第一节函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．1．函数与映射的概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[常用结论]求函数定义域的依据(1)整式函数的定义域为R；(2)分式的分母不为零；(3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零； (5)正切函数y ＝tan x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ； (6)x 0中x ≠0；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数． ( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点． ( ) (4)分段函数是两个或多个函数． ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎨⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x ，x ＞1，则f (f (3))等于( ) A.15 B ．3C.23D.139D [f (3)＝23，f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139，故选D.]4．下列函数中，与函数y ＝x ＋1是相等函数的是( ) A ．y ＝(x ＋1)2B ．y ＝3x 3＋1C ．y ＝x 2x ＋1D ．y ＝x 2＋1B [y ＝3x 3＋1＝x ＋1，且函数定义域为R ，故选B.]5．已知函数f (x )＝2x ＋1，若f (a )＝5，则实数a 的值为________． 12 [由f (a )＝5得2a ＋1＝5，解得a ＝12.])A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1](2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是________． (3)已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．(1)C (2)[0,1) (3)[－1,2][(1)由题意得⎩⎨⎧－x 2－x ＋2≥0ln x ≠0x ＞0，解得0＜x ＜1，故选C.(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)． (3)由函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]得 －1≤x 2－1≤2，即函数y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．](1)函数f (x )＝3x 1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x )的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________． (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知⎩⎨⎧1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x＜1，故选A.(2)∵f (2x )的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.]【例2】 (1)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________.(2)已知f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，则f (x )＝________. (3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，则f (x )＝________.(1)12x 2－32x ＋2 (2)x 2－5x ＋9 (3)23x －x3 [(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(2)法一(配凑法)f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4 ＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， ∴f (x )＝x 2－5x ＋9. 法二(换元法)令2x ＋1＝t (t ∈R )，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－6×t －12＋5＝t 2－5t ＋9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9. (3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x . 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．](1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，则f (x )＝________. (1)x 2－1(x ≥1) (2)2x ＋23 (3)2x ＋1－2－x3[(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， 由2f (x －1)＋f (x ＋1)＝6x ，得2[k (x －1)＋b ]＋k (x ＋1)＋b ＝6x ，即3kx －k ＋3b ＝6x ， ∴⎩⎨⎧3k ＝6，－k ＋3b ＝0，∴k ＝2，b ＝23，即f (x )＝2x ＋23. (3)由f (－x )＋2f (x )＝2x ①， 得f (x )＋2f (－x )＝2－x②，①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.∴f (x )的解析式为f (x )＝2x ＋1－2－x3.]►考法1 求分段函数的函数值 【例3】 (1)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0log 3x ，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．－2B ．－3C ．9D ．－9(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2cos πx ，x ＜0f (x －1)＋1，x ＞0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43的值为( )A ．－1B ．1C.32D.52(1)C (2)B [(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋1＋1＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＋2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2＝1，故选B.] ►考法2 求参数或自变量的值【例4】 (1)已知f (x )＝⎩⎨⎧2x－2，x ≥0－x 2＋3，x ＜0，若f (a )＝2，则实数a 的值为( )A ．2B ．－1或2C ．±1或2D ．1或2(2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －b ，x ＜12x ，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78C.34D.12(1)B (2)D [(1)由f (a )＝2得⎩⎨⎧ a ≥0，2a －2＝2，或⎩⎨⎧a ＜0，－a 2＋3＝2，解得a ＝2或a ＝－1，故选B. (2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×56－b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b . 当52－b ＜1，即b ＞32时，3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝4，解得b ＝78(舍去)．当52－b ≥1，即b ≤32时，252－b ＝4，解得b ＝12.故选D.]►考法3 解与分段函数有关的方程或不等式【例5】 (1)(2019·青岛模拟)设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x的取值范围是________．(1)C (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞ [(1)法一：当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，∴f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2a ，∴a ＝14. 此时f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1＞1，∴f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a . 由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝6，故选C.法二：∵当0＜x ＜1时，f (x )＝x ，为增函数， 当x ≥1时，f (x )＝2(x －1)，为增函数， 又f (a )＝f (a ＋1)， ∴a ＝2(a ＋1－1)， ∴a ＝14. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (4)＝6. (2)当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14， ∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立． 当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立． 综上可知，x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.](1)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2(2－x )，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．1或－1 C. 3D.3或－ 3(3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．(1)C (2)D (3)(－∞，8] [(1)∵－2<1， ∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.(2)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝±3，故选D. (3)当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x 13≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8. 综上可知x ∈(－∞，8]．]1．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14A [分类讨论处理条件f (a )＝－3，解得a ，然后代入函数解析式计算f (6－a )．由于f (a )＝－3，①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1. 由于2x >0，所以2a －1＝－1无解； ②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.故选A.]2．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [将已知点代入函数解析式即可求得a 的值． ∵f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.]第二节 函数的单调性与最值[考纲传真] 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质．1．增函数、减函数函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x 1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ( ) (3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( )(4)函数y ＝x 2－2x 在区间[3，＋∞)上是增函数，则函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间为[3，＋∞)．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)如图是函数y ＝f (x )，x ∈[－4,3]上的图象，则下列说法正确的是( )A ．f (x )在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数B ．f (x )在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2C ．f (x )在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3D ．当直线y ＝t 与y ＝f (x )的图象有三个交点时－1＜t ＜2C [由图象知，函数f (x )在[－4,1]上有最小值－2，最大值3，故选C.] 3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )ma x ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]4．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.]5．f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的单调增区间为________，f (x )ma x ＝________. [1,3] 8 [f (x )＝(x －1)2－1，故f (x )的单调增区间为[1,3]，f (x )ma x ＝f (－2)＝8.]【例1】 (1)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)D [由x 2－2x －8>0，得x >4或x <－2.设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数．欲求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)． 故选D.](2)试讨论函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)的单调性．[解] 法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)·x 1x 2－k x 1x 2. 因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋kx (k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减． 法二：f ′(x )＝1－kx2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．( )A ．(－∞，1]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[1，＋∞) (2)(2019·郑州模拟)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为( ) A ．(1，＋∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ (1)B (2)B [(1)设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增． 所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)． (2)令t ＝2x 2－3x ＋1，则t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342－18.又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t是减函数，因此函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132x 2－3x ＋1的单调递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34.故选B.] (3)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)， 由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上递增． 法二：f ′(x )＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2， 所以当a ＞0时，f ′(x )＜0，当a ＜0时，f ′(x )＞0， 即当a ＞0时，f (x )在(－1,1)上为单调减函数， 当a ＜0时，f (x )在(－1,1)上为单调增函数．1．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．3 [函数f (x )在区间[－1,1]上是减函数，则f (x )ma x ＝f (－1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－log 21＝3.]2．函数f (x )＝3x －1x ＋2，x ∈[－5，－3]的值域为________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤163，10 [f (x )＝3x －1x ＋2＝3(x ＋2)－7x ＋2＝3－7x ＋2， 则函数f (x )在区间[－5，－3]上是增函数． 所以f (x )ma x ＝f (－3)＝3－7－3＋2＝10， f (x )min ＝f (－5)＝3－7－5＋2＝163. 因此函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤163，10.]3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．2 [当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x ＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.]的形式，再用单调性求解.►考法1 比较函数值的大小【例2】 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞cD [因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称．由此可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.由x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1＜2＜52＜3，所以f (2)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＞f (3)，所以b ＞a ＞c .]►考法2 解函数不等式【例3】 (2019·青岛模拟)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ，x ∈(－1,1)，则满足f (a 2－1)＋f (a －1)＞0的a 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(1，2)C ．(1,2)D ．(0，2)B [由题意知f (－x )＝(－x )3＋sin(－x )＝－x 3－sin x ＝－(x 3＋sin x )＝－f (x )，x ∈(－1,1)，∴f (x )在区间(－1,1)上是奇函数． 又f ′(x )＝3x 2＋cos x ＞0， ∴f (x )在区间(－1,1)上单调递增， ∵f (a 2－1)＋f (a －1)＞0， ∴－f (a －1)＜f (a 2－1)， ∴f (1－a )＜f (a 2－1)，∴⎩⎨⎧－1＜1－a ＜1，－1＜a 2－1＜1，1－a ＜a 2－1，解得1＜a ＜2，故选B.]►考法3 求参数的值或取值范围【例4】 (1)若函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，＋∞ C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．(1)D (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ， 因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0. 综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎨⎧a ＞1，a －2＞0，f (1)≤0，即⎩⎨⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a ≤3，即实数a 的取值范围是(2,3]．](1)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1](2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)(3)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，当x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2时，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0.设a ＝ln 1π，b ＝(ln π)2，c ＝ln π，则( )A ．f (a )＞f (b )＞f (c )B ．f (b )＞f (a )＞f (c )C ．f (c )＞f (a )＞f (b )D ．f (c )＞f (b )＞f (a )(4)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a x，x ＜0，(a －3)x ＋4a ，x ≥0满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B ．(1,2] C ．(1,3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 (1)D (2)D (3)C (4)A [(1)因为f (x )＝－x 2＋2ax 在[1,2]上是减函数，所以a ≤1，又因为g (x )＝ax ＋1在[1,2]上是减函数，所以a ＞0，所以0＜a ≤1. (2)因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数的图象是一条连续的曲线． 因为当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数， 当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数． 因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ， 即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.(3)由题意可知f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (a )＝f (|a |)，f (b )＝f (|b |)，f (c )＝f (|c |)，又|a |＝ln π＞1，|b |＝(ln π)2＞|a |，|c |＝12ln π，且0＜12ln π＜|a |，故|b |＞|a |＞|c |＞0，∴f (|c |)＞f (|a |)＞f (|b |)，即f (c )＞f (a )＞f (b )．(4)由题意知，函数f (x )在R 上是减函数，则⎩⎨⎧0＜a ＜1，a －3＜0，a 0≥4a ，解得0＜a ≤14，故选A.]1．(2016·全国卷Ⅱ)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1xD [函数y ＝10lg x 的定义域与值域均为(0，＋∞)． 函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D.] 2．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ A [法一：分析f (x )的奇偶性和单调性，然后对所给不等式作出等价转化． ∵f (－x )＝ln(1＋|－x |)－11＋(－x )2＝f (x )，∴函数f (x )为偶函数． ∵当x ≥0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2， 在(0，＋∞)上y ＝ln(1＋x )递增，y ＝－11＋x 2也递增， 根据单调性的性质知，f (x )在(0，＋∞)上单调递增．综上可知：f (x )>f (2x －1)⇔f (|x |)>f (|2x －1|)⇔|x |>|2x －1|⇔x 2>(2x －1)2⇔3x 2－4x ＋1<0⇔13<x <1.故选A.法二：(特殊值排除法)令x ＝0，此时f (x )＝f (0)＝－1<0，f (2x －1) ＝f (－1)＝ln 2－12＝ln 2－ln e>0， ∴x ＝0不满足f (x )>f (2x －1)，故C 错误．令x ＝2，此时f (x )＝f (2)＝ln 3－15，f (2x －1)＝f (3)＝ln 4－110.∵f (2)－f (3)＝ln 3－ln 4－110，其中ln 3<ln 4，∴ln 3－ln 4－110<0，∴f (2)－f (3)<0， 即f (2)<f (3)，∴x ＝2不满足f (x )>f (2x －1)， 故B ，D 错误．故选A.]第三节函数的奇偶性与周期性[考纲传真] 1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[常用结论]1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2．函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．。
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【课时训练】第72节 证明不等式的基本方法
解答题
1．(2018广州五校联考)已知函数f (x )＝|x ＋3|＋|x －1|，其最小值为t .
(1)求t 的值；
(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝t ，求证：1a ＋4b ≥94
. (1)【解】因为|x ＋3|＋|x －1|＝|x ＋3|＋|1－x |≥|x ＋3＋1－x |＝4，所以f (x )m i n ＝
4，即t ＝4.
(2)【证明】由(1)得a ＋b ＝4，故a 4＋b 4＝1，1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4＋b 4＝14＋1＋b 4a
＋a b ≥54＋2b 4a ×a b ＝54＋1＝94，当且仅当b ＝2a ，即a ＝43，b ＝83时取等号，故1a ＋4b ≥94
. 2．(2018湖北八校联考)设不等式－2<|x －1|－|x ＋2|<0的解集为M ，a ，b ∈M .
(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13
a ＋16
b <14； (2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小，并说明理由．
(1)【证明】记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧
3，x≤2，－2x －1，－2<x<1，
－3，x≥1. 由－2<－2x －1<0解得－12<x <12，则M ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12. 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13
a ＋16
b ≤13|a |＋16|b |<13×12＋16×12＝14. (2)【解】由(1)得a 2
<14，b 2<14. 因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2)＝(4a 2－1)(4b 2
－1)>0.
所以|1－4ab |2>4|a －b |2，故|1－4ab |>2|a －b |.
3．(2018广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，
存在实数x 使f (x )<2成立．
(1)求实数m 的值；
(2)若α，β≥1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1β
≥3. 【解】(1)因为|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |.
要使不等式|x －m |＋|x |<2有解，则|m |<2，解得－2<m <2.
因为m ∈N *，所以m ＝1.
(2)因为α，β≥1，f (x )＝2x －1(x ≥1)，
所以f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝4，即α＋β＝3，所以4α＋1β＝13⎝ ⎛⎭
⎪⎫4α＋1β(α＋β)＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫5＋24βα·αβ＝3.(当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时等号成立)故4α＋1β
≥3. 4．(2018武昌质检)已知x ，y ∈R ，且|x |<1，|y |<1.求证：11－x2＋11－y2≥21－xy . 【证明】∵2
11－x2＋11－y2≤1－x2＋1－y22
＝错误!≤错误!＝1－|xy |，∴错误!＋11－y2≥21－|xy|≥21－xy
，
∴原不等式成立．
5．(2018长沙一模)设α，β，γ均为实数．
(1)证明：|cos (α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin (α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|；
(2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.
【证明】(1)|cos (α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤|cos αcos β|＋|sin αsin
β|≤|cos α|＋|sin β|；
|sin (α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋|cos αsin β|≤|cos α|＋|cos
β|.
(2)由(1)知，|cos [α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin (β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|，
而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥cos 0＝1.
6．(2018贵阳模拟)已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|.
(1)求f (x )的最小值m ；
(2)若a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b2a ＋c2b ＋a2c
≥3. (1)【解】当x <－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)；
当－1≤x <2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3,6)；
当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ∈[6，＋∞)．
综上，f (x )的最小值m ＝3.
(2)【证明】a ，b ，c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3，
因为b2a ＋c2b ＋a2c ＋(a ＋b ＋c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b2a ＋a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c2b ＋b ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a2c ＋c ≥2⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫b2a ·a c2b ·b a2c ·c ＝2(a ＋b ＋c )． (当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取等号)
所以b2a ＋c2b ＋a2c ≥a ＋b ＋c ，即b2a ＋c2b ＋a2c ≥3.。