向量共线定理及其扩展应用
共线向量定理及其应用
共线向量定理及其应用知识点：一、共线向量基本定理a （a ≠0 ）与b 共线⇔存在唯一一个实数λ，使b a λ= 。
推论：a 与b共线⇔存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+=成立。
二．三点共线1.点A,B,P 共线⇔存在非零实数λ，使AP AB λ=成立。
（1）若点P 在线段AB 上（与A.B 不重合）时，则0<λ<1; (2)若点P 与A 重合时，则λ=0； （3）若点P 与B 重合时，则λ=1；（4）若点P 在线段AB 的延长线上时，则λ>1； (5)若点P 为线段AB 的中点时，则λ=12； （6）点P 在线段BA 的延长线上时，λ<0. 2.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔x (1)()OP OA x OB x R =+-∈3.对于平面上的任意一点O,点P.A.B 三点共线⇔(,)OP xOA yOB x y R =+∈且x+y=1.三．重要结论1.若向量a,b不共线，则12120==0a b λλλλ+= 当且仅当时成立，反之亦然。
2.若向量a,b不共线，则1212a ==0b λλλλ= 当且仅当时成立，反之亦然。
3.若向量a,b不共线，则11221212a ==b a b λμλμλλμμ+=+ 当且仅当且时成立，反之亦然练习部分：1.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D不重合），若的取值范围是（）A．B．C．D．2.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA 的延长线交于圆O 外的点D，若，则m+n的取值范围是A.（0，1）B（1，+∞）C（-∞，-1）D（-1，0）.3.如图，经过∆OAB的重心G的直线与OA.OB分别交于P.Q，设,,,,OP mOA OQ nOB m n R==∈，则11n m+的值为----------- 。
4.如图，一条直线EF 与平行四边形ABCD 的两边AB,AD 分别交于E,F 两点，且交其对角线AC于K ，其中，则λ的值是（）A.15B.14C.13D.125.在△ＡＢＯ中，11,,42OC OA OD OB == ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｍ，设,OA a OB b ==，试用a 和b 表示向量OM６.设两个非零向量a 与b 不共线，试确定实数ｋ，使得ka b + 和a kb +共线答案：1.设(01)CO CD λλ=<< ,x (1)AO AB X AC xAB AC xAC =+-=+- , ()AO AC x AB AC ∴-=- ,x ()3CO CB x BC xCD ⇒==-=-,3,x λ∴=-所以，0<-3x<1,103x ∴-<<.2.解：：由C,O.D 三点共线知，(0),1OCOC kOD k k OD=<=<又,所以-1<k<0. 又B.A.D三点共线，(1)OD OA OBλλ∴=+- .(1)OC kOD k OA k OB λλ∴==+- .所以m+n=k λ+(1)k λ-=k (1,0)∈-3.解221111()()3323OG OD OA OB OP OQ m n ==⨯+=+ =1133OP OQ m n+.,,P G Q 三点共线，11111,333m n m n∴+=∴+= 4.解()AK AC AB AD λλ==+=32AE AF λλ+ ,因为K,E,F 三点共线，所以3λ+2λ=1.∴λ=15. ５.解∵D ，M ，A三点共线，∴存在实数m使得m (1)(1);2m O M O D m O A m a b =+-=-+ 又B ，M ，C 三点共线，同理可得，1(1)4n OM nOB n OC a nb -=+-=+62{,1714mn m n m =∴=--=得，1377OM a b ∴=+６.ｋ＝１。
向量的共线定理
它的长度和方向规定如下：
回顾旧知:
（1 ） | a || || a |;
（2）当 0 时， a 的方向与 a 的方向相同； 当 0 时， a 的方向相反。 a 的方向与 特别的，当 0时， a 0.
4:（2003 全国）O是平面上一定点，A、B、 C是平面上不共线的三个点，动点P满足
AB AC ), [0, ), OP OA ( | AB | | AC | 则P的轨迹一定通过△ABC的( B )
设 , 为实数，那么 (1)λ(μ a) = (λμ)a; 第一分配律 (2)(λ + μ)a = λ a + μ a; 第二分配律 (3)λ(a + b) = λ a + λ b.
练习： a a 已知非零向量 ，求向量 的模 |a| a 结论： ① 是单位向量 |a| a ②与 a 同向的单位向量是 |a| a ③与a 反向的单位向量是 |a| a ④与 a 平行的单位向量是 |a|
共线
运用
例3.设e1,e2是两个不共线的向量, 已知向 量AB=2e1+ke2, CB=e1+3e2, CD=2e1+e2, 若A、B、D三点共线, 求k的值.
解：∵A、B、D三点共线, 得(2-λ)e1+(k+2λ)e2=0， ∴AB//BD， ∵ e1, e2不共线, 而AB=2e1+ke2,, ∴2−λ=0，k+2λ=0， BD=CD-CB=e1-2e2， 解得k=−4. 显然BD≠0， 则存在实数λ使得AB=λBD ， 即2e1+ke2=λ(e1-2e2 )，
向量三点共线定理及其延伸应用汇总
向量三点共线定理及其延伸应用汇总1.如何判断三点共线？根据向量三点共线定理，只需判断向量AB和向量AC是否共线即可。
如果它们共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三点A、B、C 共线。
2.判断四点共面问题将四点依次相连，可以形成三个向量：向量AB，向量AC和向量AD。
如果这三个向量共面，则四点A、B、C、D共面。
这可以通过判断向量AB 和向量AC是否共线，以及向量AB和向量AD是否共线来进行。
3.判断平行四边形平行四边形是指具有两对平行的对边的四边形。
如果一个四边形ABCD是平行四边形，那么向量AB和向量CD是共线的，向量AD和向量BC 也是共线的。
因此，可以通过判断向量AB和向量CD是否共线，以及向量AD和向量BC是否共线来判断一个四边形是否为平行四边形。
4.求解向量坐标问题假设已知三个点A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)在坐标平面上，现要求证这三个点共线。
可以将它们看作向量，向量AB=(x2-x1,y2-y1)和向量AC=(x3-x1,y3-y1)。
如果这两个向量共线，即存在实数k，使得向量AB=k向量AC，则三个点共线。
5.解决线段相交问题如果已知线段AB和线段CD，在平面上是否相交？可以将线段AB表示为向量AB，线段CD表示为向量CD。
如果向量AB和向量CD共线，那么线段AB和线段CD必定相交；反之，如果不共线，则线段AB和线段CD不相交。
6.判断三角形共线问题已知三角形ABC，如果顶点A、B和C共线，即向量AB和向量AC共线，则三角形ABC退化为一条线段。
7.探索顺、逆时针旋转问题已知三点A、B和C按照顺时针旋转形成的向量AB和向量AC是否共线？如果向量AB和向量AC共线，则这三点按顺时针方向排列；反之，如果不共线，则这三点按逆时针方向排列。
8.求解线段长度问题定理：若O为向量OA与向量OB的中点，则向量OA和向量OB共线且长度相等。
利用这个定理，可以求解线段长度。
向量共线定理及其扩展应用
向量共线定理及其扩展应用例题1 设两个非零向量a与b不共线。
（1）若AB＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），求证：A，B，D三点共线；（2）试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线。
（1）证明：∵AB＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），∴BD＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5AB，∴AB，BD共线。
又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线。
（2）假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ（a ＋k b ）， 即（k －λ）a ＝（λk －1）b 。
又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0。
消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1。
总结提升：（1）证明三点共线，通常转化为证明由这三点为起点、终点的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据。
（2）注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。
（3）向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线。
【三点共线定理】已知,PA PB 为平面内两个不共线的向量，设PC xPA yPB =+，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，x>0，y>0； 当点P 在线段AB 之外时，xy<0。
证明：充分性如图，因为A ，B ， C 三点共线，设AC AB λ=，则()=(1)PC PA AC PA AB PA PB PA PA PB λλλλ=+=+=+--+，又由PC xPA yPB =+，所以1x y λλ=-⎧⎨=⎩，所以x+y=1。
必要性∵PC xPA yPB =+，且x+y=1，(1)()=-AC PC PA xPA yPB PA x PA yPB yPA yPB y PB PA ∴=-=+-=-++=-=y AB ，∴AC AB 向量与向量共线。
O0010,向量共线定理的几个推论及其应用
向量共线定理的几个推论及其应用人教版《数学》（必修）第一册（下）P115面介绍了一个定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且仅有一个实数λ，使b =λa 。
谓之“向量共线定理”。
以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如“三点共线”“三线共点”等）时有着广泛的应用。
以下通过例题来加以说明。
一、定理的推论推论一：向量b 与向量a 共线⇔存在不全为0的实数12,λλ，使120a b λλ+=，这实质是定理的另外一种表述形式。
推论二：三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数12,λλ，使120AB AC λλ+=。
注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中,AB AC 均不为零向量，而推论（一）中，向量,a b 可能含O 。
推论三: 设O 、A 、B 三点不共线，且OP xOA yOB =+，（x ，y∈R），则P 、A 、B 三点共线⇔x+y=1。
这实质是直线方程的向量形式。
推论四: 设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 共线⇔存在一组全不为0的实数123,,λλλ使123OA OB OC O λλλ++=且123λλλ++=0证：① 当O 点与A 、B 、C 三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）；② 当O 点与A 、B 、C 三点均不重合，则三点A 、B 、C 共线⇔存在s ，t∈R，且s·t≠0，使得sAB t AC O +=，此时，s≠-t ，否则AB AC =，从而B 点与C 点重合，这与已知条件矛盾，故有：()()s OB OA t OC OA O -+-=，即：()s OB tOC s t OA O ⋅+-+=。
显然s+t+[-(s+t)]=0令123()0,0,0s t s t λλλ-+=≠=≠=≠,故1230λλλ++=得证。
推论五： 设O 为平面内任意一点，则三个不同点A 、B 、C 不共线⇔若存在实数123,,λλλ，使123OA OB OC O λλλ++=且1230λλλ++=则123λλλ===0。
共线向量定理的推论的推广及其应用
共线向量定理的推论的推广及应用贵州织金一中 龙瑞华最近几年的高考试题中，很多题目都是以向量知识为背景，向量知识成高考的热点。
在高二下册B 版本的课本第九章第五节中讲到共线向量定理的推论。
下面就该推论的推广在解题中的应用加以探究。
一、推论的叙述及变式。
如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式：(1)OP OA ta=+在l 上取AB a =，则（1）式可化为OP OA t AB =+因为AB OB OA =- ∴(1)(2)OP t OA tOB=-+由（2）式可看出等号的左边向量OP 的系数1刚好等于右边的向量OA 与OB 的系数之和1-t +t ，由推论易知此时A 、B 、P 三点同在一条直线上。
O 为直线外一点，即P 为△OAB 边AB 上的点，线段OB 、OP 、OA 是有共同端点的三条线段，另外的三个端点都在同一条线上。
线段OP 刚好是三条线段中的中间一条，它所表示的向量(1)OP t OA tOB =-+，在等式中，左边系数之和=右边系数之和。
图（一）a二、推论的推广由共线向量定理的推论，我们可以得到如下结论： 结论一：在△ABC 中，D 为BC 边上的点，如果BD x =DCy，则以A 点为起点的三个向量的中间一个向量AD =AC AB x y x y x y+++。
证明：BD BC,BD=AD AB,BC=AC-AB xx y=-+即可证明。
结论二：共起点的三个向量如果它们的终点在同一条直线上，那么用其中二个向量表示另一个向量时，左边系数之和等于右边系数之和。
结论三：在结论一中如果点D 不在边BC ，是在三角形ABC 的内部或外部，在图（三）中，AD=xAC+yAB ，则 1x y +<，在图（四）中AD AC AB x y =+，则 1x y +>，证明先找到AD 与BC 的交点，转化为第一种情形，即三点在同一条直线上，再应用向量共线定理a b λ=进行转化。
向量共线原理的应用
向量共线原理的应用1. 简介向量是数学中的重要概念，它们广泛应用于多个领域，包括几何、物理、计算机科学等。
向量共线原理是一个基础定理，指出当两个或多个向量的方向相同或相反时，它们是共线的。
本文将介绍向量共线原理的基本概念和应用。
2. 向量共线原理的基本理论向量共线原理是建立在向量的基本概念之上的。
一个向量可以由其大小和方向来表示。
两个向量相等当且仅当它们具有相同的大小和方向。
两个向量A和B是共线的，当且仅当它们的大小比例相同，即A=kB，其中k为常数。
3. 向量共线原理的应用向量共线原理在实际生活中有许多应用。
下面列举了其中的几个应用场景。
3.1 几何问题向量共线原理可以用于解决几何问题。
例如，当一个线段的中点与另外一个不同的点相连时，可以使用向量共线原理证明这两个线段是平行的。
同样地，两个平行线的方向向量也是共线的。
3.2 物理问题在物理学中，向量共线原理有广泛的应用。
例如，在受力分析中，当几个力的合力为零时，可以使用向量共线原理证明这些力是共线的。
在静力学中，可以利用向量共线原理求解两个平衡物体之间的力的关系。
3.3 计算机图形学在计算机图形学中，向量共线原理也有重要的应用。
例如，在三维空间中，可以使用向量共线原理来判断线段是否相交。
此外，向量共线原理还可以用于计算机动画中的物体移动和旋转。
3.4 金融学在金融学中，向量共线原理可以用于分析资产组合。
通过分析资产的收益率向量，可以判断不同资产之间的相关性，并进行风险管理和投资组合优化。
3.5 人工智能向量共线原理在机器学习和人工智能领域也有重要的应用。
在自然语言处理中，可以使用向量共线原理来表示词向量，进而进行文本分类和情感分析。
此外，向量共线原理还可以用于图像识别和模式识别。
4. 总结向量共线原理是一个基础定理，具有广泛的应用。
本文介绍了向量共线原理的基本理论和几个应用场景，包括几何问题、物理问题、计算机图形学、金融学和人工智能。
通过了解和应用向量共线原理，我们可以更好地理解和解决现实生活中的问题。
根据向量共线定理的几个推论及其应用,给出10个例子。
根据向量共线定理的几个推论及其应用，给出10个例子。
根据向量共线定理的几个推论及其应用本文将讨论根据向量共线定理得出的几个推论，并给出10个例子进行应用。
推论1：向量共线的充要条件向量共线的充要条件是它们可以表示为等比例的关系。
即，两个向量v和w是共线的，当且仅当存在一个非零常数k，使得v = kw。
实例1：设向量v = ⟨2, 4⟩，向量w = ⟨6, 12⟩，则v和w共线，因为可以表示为v = 3w。
推论2：向量共线的性质向量共线具有以下性质：1. 共线向量的数量不唯一。
对于任意一个向量v，与之共线的向量有无穷多个。
2. 共线向量的方向相同或相反。
共线向量的方向可以是相同的，也可以是相反的。
3. 共线向量的模长比例相同。
共线向量的模长之间存在一个恒定的比例关系。
实例2：考虑两个共线向量v = ⟨1, 2⟩和w = ⟨-2, -4⟩，它们的方向相反，模长的比例为2。
推论3：向量共线与线性相关两个向量共线等价于它们线性相关。
即，向量v和w共线，当且仅当它们的行列式为0。
实例3：设向量v = ⟨3, 6⟩，向量w = ⟨-2, -4⟩，则v和w共线，因为它们的行列式为0。
推论4：向量共线的应用向量共线的理论在实际中有很多应用，其中包括但不限于以下几个方面：1. 几何学：根据向量共线定理，可以判断线段是否共线，计算线段的长度比例等。
2. 物理学：在力学、电磁学等物理学领域中，向量共线定理被广泛应用于描述物体的运动、力的合成等问题。
3. 工程学：在建筑、航空、航天等领域中，向量共线定理可以用于分析和计算结构的稳定性和强度等。
实例4-10：1. 在平面上，三个点A(2, 4)、B(-1, -2)、C(3, 6)共线。
2. 直线L:x/3 = y/2 = z/4，过点P(3, 6, 12)。
3. 三维空间中，平面P1：2x + 4y + 6z = 0 和平面P2：4x + 8y + 12z = 0 共线。
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向量共线定理及其扩展应用
例题1 设两个非零向量a与b不共线。
（1）若AB＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），
求证：A，B，D三点共线；
（2）试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线。
（1）证明：∵AB＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b），∴BD＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）
＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5AB，
∴AB，BD共线。
又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线。
（2）假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ（a ＋k b ）， 即（k －λ）a ＝（λk －1）b 。
又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0。
消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1。
总结提升：
（1）证明三点共线，通常转化为证明由这三点为起点、终点的两个向量共线，向量共线定理是解决向量共线问题的依据。
（2）注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线。
（3）向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线。
【三点共线定理】
已知,PA PB 为平面内两个不共线的向量，设PC xPA yPB =+，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1。
特别地有：当点P 在线段AB 上时，x>0，y>0； 当点P 在线段AB 之外时，xy<0。
证明：充分性
如图，因为A ，B ， C 三点共线，设AC AB λ=，则
()=(1)PC PA AC PA AB PA PB PA PA PB λλλλ=+=+=+--+，
又由PC xPA yPB =+，所以1x y λ
λ=-⎧⎨=⎩
，所以x+y=1。
必要性
∵PC xPA yPB =+，且x+y=1，
(1)()
=-AC PC PA xPA yPB PA x PA yPB yPA yPB y PB PA ∴=-=+-=-++=-=y AB ，
∴AC AB 向量与向量共线。
又∵向量AC 与向量AB 有一个公共点A ， ∴A 、B 、C 三点共线。
总结提升：
充要条件的判断和证明一定要双向进行推理和证明，分清条件和结论。
例题2 如图，在△ABC 中，13AN AC =，P 是BN 上的一点，若2
11
AP mAB AC =+，
则实数m 的值为（ ）
A.
11
9
B.
115 C. 11
3 D.
11
2
答案：B
解法1：选取、
AB AC 作为基底， 因为13AN AC =
，2
11
AP mAB AC =+，所以 22
()(1)1111
BP AP AB mAB AC AB m AB AC =-=+-=-+，
1
3
BN AN AB AC AB =-=-，
因为向量BP 与BN 共线， 所以12(1)3
11m -=-
，解得511
m =。
解法2：注意到N ，P ，B 三点共线，
因此＝m ＋112AC ＝m ＋11
6
AN ， 从而m ＋116＝1，所以m ＝11
5。
总结提升：
利用三点共线定理在解决有关参数求值问题时，解题的关键是找到几何图形中共线的三
点，构造出中以这三点为终点的三个向量，然后利用平面向量的线性运算，用其中两个不共线的向量表示另一个向量，观察是否满足定理条件中x+y=1这一条件，如满足，则说明这三点共线。
例题3 如图，点G 是ΔOAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线，设OP xOA,OQ yOB.==求
11
x y
+的值。
解：如图，延长OG ，交AB 于点D ，则
222121()()()333233OG OD OA AD OA AB OA OB OA =
=+=+=+-=11
33OA OB +，
因为OP xOA,OQ yOB,==
所以11
,,OA OP OB OQ x y ==
所以1111
33OG OP OQ x y =⨯+⨯，
因为P ，G ，Q 三点共线，根据三点共线定理可知
11133x y +=，即11
3x y
+=。
1. 证明A 、B 、C 三点共线的方法：
（1）共线定理：若为非零向量，
//a b a a b λ=⇔。
（2）三点共线定理：已知,PA PB 为平面内两个不共线的向量，设PC xPA yPB =+，则A ，B ，C 三点共线的充要条件为x ＋y ＝1。
D
G
Q P B
A
O
2. 数学思想方法 化归与转化的数学思想
（答题时间：30分钟）
1. ,a b 为不共线向量，2m a b =-，n a b λ=+，当//m n 时，λ =（ ）
A. 0
B.-1
C.-2
D.12- 2. 已知向量(23)(12)a ,,b -,==，若nb ma +与b a 2-共线，则n
m
等于（ ）
A. -2
B. 2
C. 12
- D.1
2
3. 已知,a b 为任意两个非零向量，且b a AB 5+=，b a BC 82+-=，)(3b a CD -=，
则（ ）
A. B ，C ，D 三点共线
B. A ，B ，C 三点共线
C. A ，B ，D 三点共线
D. A ，C ，D 三点共线
4. ΔOAB 中，点P 在边AB 上，3AB AP =，设OA a,OB b ==，则OP =（ ） A.
1233a b + B. 2133a b + C. 1233a b - D. 2133
a b - 5. 如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 在线段BN 上且
22
()1111
AP m AB BC =+
+，则实数m 的值为（ ）
A. 1
B.
31 C. 11
9
D.
11
5
6. 如图，在ΔABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 与不同的两点M 、N ，若,,AB mAM AC nAN ==则m+n 的值为__________。
7. 如图，平行四边形ABCD中，
11
45
BE BA,BF BD
==，求证：E、F，C三点共线。
N
O
M
C
B
A
D
1. 答案：D
解析：∵//，故可设x = ∴2b a -=)(b a x λ+ ∴)1()2(=---x x λ 又，为不共线向量 ∴⎩⎨
⎧=+=-0
102λx x ∴21
-=λ
2. 答案：C
解析：向量)23,2(n m n m n m +-=+向量)1,4(2-=- 由共线定理得：)23(4)2(1n m n m +⋅=-⋅-化简得n m 714-=即2
1
-=n m 。
3. 答案：C
解析：由已知得b a b a b a CD BC 5)(382+=⋅++-=+，所以BD AB =，即A ，B ，D 三点共线。
故选C 。
4. 答案：B
解析：如图，因为3AB AP =，所以
112121
()333333
=OP OA AP OA AB OA OB OA OA OB a b.+=+
=+-=+=+
5. 答案：D 解析：22222
()()()1111111111
AP m AB BC m AB AC AB m AB AC =+
+=++-=+，
设(01),BP BN λλ=≤≤
则()(1)AP AB BN AB AN AB AB AN λλλλ=+=+-=-+，
因为13AN AC =，所以1
(1)3
AP AB AC λλ=-+， 则⎪⎩⎪⎨⎧=-=,31112,1λλm 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
==,115,116m λ故选D 。
6. 答案：2
P
B
A
O
解析：
11111
()22222
AO AB AC AB AC mAM nAN =
+=+=+， ∵M ，O ，N 三点共线，
11
122
m n ∴+=， ∴m+n=2。
7. 证明：
11
45BA BC BD,BE BA,BF BD +==
=， 41
54,,55
BF BC BE BF BE BC ∴=+∴=+
所以点E ，F ，C 三点共线。