2015年广东高考文科数学基础题专项练习7
2015年广东卷文科数学高考试卷(原卷 答案)
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)文科数学本试卷共21题，共150分。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2015•广东）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A．{0．﹣1}B．{0}C．{1}D．{﹣1，1}2．（5分）（2015•广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2D．﹣23．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+D．y=x2+sinx4．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2B．5C．8D．105．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3B．2C．2D．6．（5分）（2015•广东）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4B．0.6C．0.8D．18．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2B．3C．4D．99．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5B．4C．3D．210．（5分）（2015•广东）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card （F）=（）A．200B．150C．100D．50二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）（2015•广东）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为．（用区间表示）12．（5分）（2015•广东）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为．13．（5分）（2015•广东）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=．坐标系与参数方程选做题14．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为．几何证明选讲选做题15．（2015•广东）如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）（2015•广东）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．17．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？18．（14分）（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．19．（14分）（2015•广东）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当n≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1．（1）求a4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）（2015•广东）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)文科数学(参考答案)一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．故选：C．2．【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．3．【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R，对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；对于B，（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx；是偶函数；对于C，，是偶函数；对于D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+sinx）；所以是非奇非偶的函数；故选：D．4．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，﹣1）．此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，故选：B．5．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：C．6．【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选D．7．【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．8．【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，==（3，﹣1）．∴=3×2+（﹣1）×1=5．故选：A．10．【解答】解：（1）s=4时，p，q，r的取值的排列情况有4×4×4=64种；s=3时，p，q，r的取值的排列情况有3×3×3=27种；s=2时，有2×2×2=8种；s=1时，有1×1×1=1种；∴card（E）=64+27+8+1=100；（2）u=4时：若w=4，t，v的取值的排列情况有4×4=16种；若w=3，t，v的取值的排列情况有4×3=12种；若w=2，有4×2=8种；若w=1，有4×1=4种；u=3时：若w=4，t，v的取值的排列情况有3×4=12种；若w=3，t，v的取值的排列情况有3×3=9种；若w=2，有3×2=6种；若w=1，有3×1=3种；u=2时：若w=4，t，v的取值的排列情况有2×4=8种；若w=3，有2×3=6种；若w=2，有2×2=4种；若w=1，有2×1=2种；u=1时：若w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种；若w=3，有1×3=3种；若w=2，有1×2=2种；若w=1，有1×1=1种；∴card（F）=100；∴card（E）+card（F）=200．故选A．11．【解答】解：原不等式等价于x2+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1；所以不等式的解集为（﹣4，1）；故答案为：（﹣4，1）．12．【解答】解：∵数据x1，x2，…，x n的平均数为均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为：=5×2+1=11；故答案为：11．【点评】本题考查数据的平均数的求法，是基础题．13．【解答】解：∵三个正数a，b，c 成等比数列，∴b2=ac，∵a=5+2，c=5﹣2，∴=1，故答案为：1．14．【解答】解：曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立，解得，则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．故答案为：（2，﹣4）．15．【解答】解：连接OC，则OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴由切割线定理可得CE2=BE•AE，∴12=BE•（BE+4），∴BE=2，∴OE=4，∴，∴AD=3故答案为：3．16．【解答】解：tanα=2．（1）tan（α+）===﹣3；（2）====1．17．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户18．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA；（2）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD；（3）解：取CD的中点E，连接AE和PE，因为PD=PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE===．因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD．由（2）知：BC⊥平面PDC，由（1）知：BC∥AD，所以AD⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．设点C到平面PDA的距离为h．因为V C﹣PDA=V P﹣ACD，所以，所以h==，所以点C到平面PDA的距离是．19．【解答】（1）解：当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即，解得：；（2）证明：∵4S n+2+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），∴4S n+2﹣4S n+1+S n﹣S n﹣1=4S n+1﹣4S n（n≥2），即4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），∵，∴4a n+2+a n=4a n+1．∵=．∴数列{}是以=1为首项，公比为的等比数列；（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，∴．即，∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，∴，即，∴数列{a n}的通项公式是．20．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．21．【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a2+|a|﹣a（a﹣1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0，当a≥0时，a，可得a∈[0，]．当a＜0时，|a|+a﹣1≤0，恒成立．综上a．∴a的取值范围：；（2）函数f（x）==，当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x==a+＞a，y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，（3）F（x）=f（x）+=，，当x＜a时，=，所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=═，所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．F（a）=a﹣a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，F′（a）=1﹣2a==．所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，所以F（a）＜，即F（a）＜0，当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．。
广东高考文数试卷及答案2015
广东高考文数试卷及答案2015
高考对于有的同学来说是一个转折，是一个新的起点;对于某些同学来说则更像是一堵墙，一道阻碍你继续前进的坎，只有用积极的心态面对它，眼前的阻碍或者屏障便会成为帮助你走向成功的垫脚石。
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最后祝同学们考取好的成绩。
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2015年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M ∩N=（ ） A ．{0．﹣1} B ．{0} C ．{1} D ．{﹣1，1}2．（5分）已知i 是虚数单位，则复数（1+i ）2=（ ） A ．2i B ．﹣2i C ．2D ．﹣23．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．y=+sin2B ．y=2﹣cosC ．y=2+D ．y=2+sin4．（5分）若变量，y 满足约束条件，则=2+3y 的最大值为（ ）A ．2B ．5C ．8D ．105．（5分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a=2，c=2，cosA=．且b ＜c ，则b=（ ） A ．B ．2C ．2D ．36．（5分）若直线 l 1和l 2 是异面直线，l 1在平面 α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ） A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ） A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．1 8．（5分）已知椭圆+=1（m ＞0 ）的左焦点为F 1（﹣4，0），则m=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．99．（5分）在平面直角坐标系Oy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（ ）A ．5B ．4C ．3D ．210．（5分）若集合E={（p ，q ，r ，s ）|0≤p ＜s ≤4，0≤q ＜s ≤4，0≤r ＜s ≤4且p ，q ，r ，s ∈N}，F={（t ，u ，v ，w ）|0≤t ＜u ≤4，0≤v ＜w ≤4且t ，u ，v ，w ∈N}，用card （）表示集合中的元素个数，则 card （E ）+card （F ）=（ ） A ．200 B ．150 C ．100 D ．50二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式﹣2﹣3+4＞0的解集为 ．（用区间表示）12．（5分）已知样本数据 1，2，…，n 的均值=5，则样本数据 21+1，22+1，…，2n +1 的均值为 ．13．（5分）若三个正数 a ，b ，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b= ．坐标系与参数方程选做题14．（5分）在平面直角坐标系Oy 中，以原点O 为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ（cos θ+sin θ）=﹣2，曲线C 2的参数方程为 （t 为参数），则C 1与C 2交点的直角坐标为 ．几何证明选讲选做题15．如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线EC 的垂线，垂足为D ．若AB=4．CE=2，则AD= ．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．17．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？18．（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA 的距离．19．（14分）设数列 {a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *．已知a 1=1，a 2=，a 3=，且当n ≥2时，4S n+2+5S n =8S n+1+S n ﹣1． （1）求a 4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n }为等比数列； （3）求数列{a n }的通项公式．20．（14分）已知过原点的动直线l 与圆C 1：2+y 2﹣6+5=0相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数 ，使得直线L ：y=（﹣4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）设 a 为实数，函数 f （）=（﹣a ）2+|﹣a|﹣a （a ﹣1）． （1）若f （0）≤1，求a 的取值范围； （2）讨论 f （）的单调性；（3）当a ≥2 时，讨论f （）+ 在区间 （0，+∞）内的零点个数．2015年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A．{0．﹣1} B．{0} C．{1} D．{﹣1，1}【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．故选：C．【点评】考查列举法表示集合，交集的概念及运算．2．（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【分析】利用完全平方式展开化简即可．【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算；注意i2=﹣1．3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=+sin2 B．y=2﹣cos C．y=2+D．y=2+sin【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R，对于A，﹣+sin（﹣2）=﹣（+sin2）；是奇函数；对于B，（﹣）2﹣cos（﹣）=2﹣cos；是偶函数；对于C，，是偶函数；对于D，（﹣）2+sin（﹣）=2﹣sin≠2+sin，2﹣sin≠﹣（2+sin）；所以是非奇非偶的函数；故选：D．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下，判断f（﹣）与f（）的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数．4．（5分）若变量，y满足约束条件，则=2+3y的最大值为（）A．2 B．5 C．8 D．10【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由=2+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时最大．由，解得，即B（4，﹣1）．此时的最大值为=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．5．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A． B．2 C．2 D．3【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：B．【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．6．（5分）若直线 l 1和l 2 是异面直线，l 1在平面 α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ） A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交【分析】可以画出图形说明l 与l 1，l 2的位置关系，从而可判断出A ，B ，C 是错误的，而对于D ，可假设不正确，这样l 便和l 1，l 2都不相交，这样可推出和l 1，l 2异面矛盾，这样便说明D 正确． 【解答】解：A ．l 与l 1，l 2可以相交，如图：∴该选项错误；B ．l 可以和l 1，l 2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C ．l 可以和l 1，l 2都相交，如下图：，∴该选项错误；D ．“l 至少与l 1，l 2中的一条相交”正确，假如l 和l 1，l 2都不相交； ∵l 和l 1，l 2都共面； ∴l 和l 1，l 2都平行；∴l 1∥l 2，l 1和l 2共面，这样便不符合已知的l 1和l 2异面； ∴该选项正确． 故选：D ．【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确．7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组合数公式，分步计数原理．（﹣4，0），则m=（）8．（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1A．2 B．3 C．4 D．9（﹣4，0），可得25﹣m2=16，【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1即可求出m．（﹣4，0），【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）在平面直角坐标系Oy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，==（3，﹣1）．∴=3×2+（﹣1）×1=5．故选：A．【点评】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．10．（5分）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（）表示集合中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A．200 B．150 C．100 D．50【分析】对于集合E，s=4时，p，q，r从0，1，2，3任取一数都有4种取法，从而构成的元素（p，q，r，s）有4×4×4=64个，再讨论s=3，2，1的情况，求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数，而对于集合F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合E，F元素个数相加即可．【解答】解：（1）s=4时，p，q，r的取值的排列情况有4×4×4=64种；s=3时，p，q，r的取值的排列情况有3×3×3=27种；s=2时，有2×2×2=8种；s=1时，有1×1×1=1种；∴card（E）=64+27+8+1=100；（2）u=4时：若w=4，t，v的取值的排列情况有4×4=16种；若w=3，t，v的取值的排列情况有4×3=12种；若w=2，有4×2=8种；若w=1，有4×1=4种；u=3时：若w=4，t，v的取值的排列情况有3×4=12种；若w=3，t，v的取值的排列情况有3×3=9种；若w=2，有3×2=6种；若w=1，有3×1=3种；u=2时：若w=4，t，v的取值的排列情况有2×4=8种；若w=3，有2×3=6种；若w=2，有2×2=4种；若w=1，有2×1=2种；u=1时：若w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种；若w=3，有1×3=3种；若w=2，有1×2=2种；若w=1，有1×1=1种；∴card（F）=100；∴card（E）+card（F）=200．故选：A．【点评】考查描述法表示集合，分布计数原理的应用，注意要弄清讨论谁，做到不重不漏．二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式﹣2﹣3+4＞0的解集为 （﹣4，1） ．（用区间表示） 【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之．【解答】解：原不等式等价于2+3﹣4＜0，所以（+4）（﹣1）＜0，所以﹣4＜＜1；所以不等式的解集为（﹣4，1）； 故答案为：（﹣4，1）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法；一般的首先将二次项系数化为正数，然后选择适当的方法解之；属于基础题．12．（5分）已知样本数据 1，2，…，n 的均值=5，则样本数据 21+1，22+1，…，2n +1 的均值为 11 ．【分析】利用平均数计算公式求解【解答】解：∵数据1，2，…，n 的平均数为均值=5， 则样本数据 21+1，22+1，…，2n +1 的均值为：=5×2+1=11；故答案为：11．【点评】本题考查数据的平均数的求法，是基础题．13．（5分）若三个正数 a ，b ，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b= 1 ．【分析】由已知可得，b 2=ac ，代入已知条件即可求解b 【解答】解：∵三个正数 a ，b ，c 成等比数列， ∴b 2=ac ， ∵a=5+2，c=5﹣2， ∴=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础试题坐标系与参数方程选做题14．（5分）在平面直角坐标系Oy中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．【分析】曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把代入可得直角坐标方程．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8．联立解出即可．【解答】解：曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：+y+2=0．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8．联立，解得，则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．故答案为：（2，﹣4）．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．几何证明选讲选做题15．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD= 3 ．【分析】连接OC，则OC⊥DE，可得，由切割线定理可得CE2=BE•AE，求出BE，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴由切割线定理可得CE2=BE•AE，∴12=BE•（BE+4），∴BE=2，∴OE=4，∴，∴AD=3故答案为：3．【点评】本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．（2）利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解：tanα=2．（1）tan （α+）===﹣3；（2）====1．【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力．17．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125++0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125++0.005+0.0025）×20=1，解方程可得=0.0075，∴直方图中的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．18．（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．【分析】（1）利用四边形ABCD 是长方形，可得BC ∥AD ，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出BC ⊥平面PDC ，即可证明BC ⊥PD ； （3）利用等体积法，求点C 到平面PDA 的距离．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ∥AD ， 因为BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以BC ∥平面PDA ； （2）证明：因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD=CD ，BC ⊂面ABCD ， 所以BC ⊥平面PDC ， 因为PD ⊂平面PDC ， 所以BC ⊥PD ；（3）解：取CD 的中点E ，连接AE 和PE ， 因为PD=PC ，所以PE ⊥CD ， 在Rt △PED 中，PE===．因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC ∩平面ABCD=CD ，PE ⊂平面PDC ， 所以PE ⊥平面ABCD ． 由（2）知：BC ⊥平面PDC ， 由（1）知：BC ∥AD ， 所以AD ⊥平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ． 设点C 到平面PDA 的距离为h ． 因为V C ﹣PDA =V P ﹣ACD ， 所以，所以h==，所以点C 到平面PDA 的距离是．【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，线面垂直与线线垂直的判定，考查三棱锥体积等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）设数列 {a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *．已知a 1=1，a 2=，a 3=，且当n ≥2时，4S n+2+5S n =8S n+1+S n ﹣1． （1）求a 4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n }为等比数列； （3）求数列{a n }的通项公式．【分析】（1）直接在数列递推式中取n=2，求得；（2）由4S n+2+5S n =8S n+1+S n ﹣1（n ≥2），变形得到4a n+2+a n =4a n+1（n ≥2），进一步得到，由此可得数列{}是以为首项，公比为的等比数列；（3）由{}是以为首项，公比为的等比数列，可得．进一步得到，说明{}是以为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{a n }的通项公式．【解答】（1）解：当n=2时，4S 4+5S 2=8S 3+S 1，即，解得：；（2）证明：∵4S n+2+5S n =8S n+1+S n ﹣1（n ≥2），∴4S n+2﹣4S n+1+S n ﹣S n ﹣1=4S n+1﹣4S n （n ≥2），即4a n+2+a n =4a n+1（n ≥2）， ∵，∴4a n+2+a n =4a n+1．∵=．∴数列{}是以=1为首项，公比为的等比数列； （3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，∴． 即，∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，∴，即，∴数列{a n }的通项公式是．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题．20．（14分）已知过原点的动直线l 与圆C 1：2+y 2﹣6+5=0相交于不同的两点A ，B ．（1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（3）是否存在实数 ，使得直线L ：y=（﹣4）与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．【分析】（1）通过将圆C 1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l 的方程为y=，通过联立直线l 与圆C 1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L 与圆C 1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C 的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论． 【解答】解：（1）∵圆C 1：2+y 2﹣6+5=0， 整理，得其标准方程为：（﹣3）2+y 2=4， ∴圆C 1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l 的方程为y=、A （1，y 1）、B （2，y 2）， 联立方程组，消去y 可得：（1+2）2﹣6+5=0， 由△=36﹣4（1+2）×5＞0，可得2＜ 由韦达定理，可得1+2=，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的参数方程为，其中﹣＜＜，∴线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为：（﹣）2+y 2=，其中＜≤3；（3）结论：当∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L ：y=（﹣4）与曲线C 只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+2）2﹣（3+82）+162=0，令△=（3+82）2﹣4（1+2）•162=0，解得=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=（﹣4）与曲线C只有一个交点时，的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）设a为实数，函数f（）=（﹣a）2+|﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（）+在区间（0，+∞）内的零点个数．【分析】（1）利用f（0）≤1，得到|a|+a﹣1≤0，对a分类讨论求解不等式的解集即可．（2）化简函数f（）的解析式，通过当＜a时，当≥a时，利用二次函数f（）的对称轴求解函数的单调区间即可．（3）化简F（）=f（）+，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过a的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数．【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a2+|a|﹣a（a﹣1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0，当a≥0时，a，可得a∈[0，]．当a＜0时，|a|+a﹣1≤0，恒成立．综上a．∴a的取值范围：；（2）函数f（）==，当＜a时，函数f（）的对称轴为：==a+＞a，y=f（）在（﹣∞，a）时是减函数，当≥a时，函数f（）的对称轴为：==a﹣＜a，y=f（）在（a，+∞）时是增函数，（3）F（）=f（）+=，，当＜a时，=，所以，函数F（）在（0，a）上是减函数．当≥a时，因为a≥2，所以，F′（）=═，所以，函数F（）在（a，+∞）上是增函数．F（a）=a﹣a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，F′（a）=1﹣2a==．所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，所以F（a）＜，即F（a）＜0，当＞0且→0时，F（）→+∞；当→+∞时，F（）→+∞，所以函数F（）有两个零点．综上所述，当a=2时，F（）有一个零点，a＞2时F（）有两个零点．【点评】本题考查的知识点比较多，包括绝对值不等式的解法，函数的零点，函数的导数以及导数与函数的单调性的关系，考查分类讨论思想的应用，函数与方程的思想，转化思想的应用，也考查化归思想的应用．。
2015广东高考文科数学试题及答案
绝密★启用前 试卷类型：B2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则M N =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1- 2、已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122x x y =+D ．sin 2y x x =+ 4、若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 5、设C ∆AB 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2a =，c =，cos 2A =且b c <，则b =（ ）AB ．2 C． D ．36、若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交B ．l 与1l ，2l 都相交C ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交D ．l 与1l ，2l 都不相交 7、已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A ．0.4B ．0.6C ．0.8D ．18、已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ） A ．9 B ．4 C ．3 D ．2 9、在平面直角坐标系x y O 中，已知四边形CD AB 是平行四边形，()1,2AB =-，()D 2,1A =，则D C A ⋅A =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 10、若集合(){},,,04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r sE =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,04,04,,,t u v w t u v w t u v w =≤<≤≤<≤∈N 且，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=（ ）A ．50B ．100C ．150D ．200二、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．） （一）必做题（11~13题）11、不等式2340x x --+>的解集为 ．（用区间表示）12、已知样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的均值5x =，则样本数据121x +，221x +，⋅⋅⋅，21n x +的均值为 ．13、若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选作一题）14、（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为222x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为 ．15、（几何证明选讲选做题）如图1，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C 23E =，则D A = ．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．） 16、（本小题满分12分）已知tan 2α=．()1求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；()2求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值． 17、（本小题满分12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图2．()1求直方图中x 的值；()2求月平均用电量的众数和中位数；()3在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？18、（本小题满分14分）如图3，三角形DC P 所在的平面与长方形CD AB 所在的平面垂直，D C 4P =P =，6AB =，C 3B =． ()1证明：C//B 平面D P A ；()2证明：C D B ⊥P ；()3求点C 到平面D P A 的距离．19、（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．20、（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B ．()1求圆1C 的圆心坐标；()2求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；()3是否存在实数k ，使得直线L:()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．21、（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---．()1若()01f ≤，求a 的取值范围； ()2讨论()f x 的单调性； ()3当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数．。
2015年广东省高考文科数学真题及详细解析(解析版,学生版,精校版)
2015年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A．{0．﹣1}B．{0}C．{1}D．{﹣1，1} 2．（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2D．﹣23．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+D．y=x2+sinx4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2B．5C．8D．105．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．B．2C．2D．36．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4B．0.6C．0.8D．18．（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2B．3C．4D．99．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5B．4C．3D．210．（5分）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A．200B．150C．100D．50二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为．（用区间表示）12．（5分）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为．13．（5分）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=．坐标系与参数方程选做题14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为．几何证明选讲选做题15．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．17．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？18．（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且+5S n=8S n+1+S n﹣1．当n≥2时，4S n+2（1）求a4的值；﹣a n}为等比数列；（2）证明：{a n+1（3）求数列{a n}的通项公式．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（14分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．2015年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）1．（5分）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）A．{0．﹣1}B．{0}C．{1}D．{﹣1，1}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．故选：C．【点评】考查列举法表示集合，交集的概念及运算．2．（5分）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．2i B．﹣2i C．2D．﹣2【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】利用完全平方式展开化简即可．【解答】解：（1+i）2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；故选：A．【点评】本题考查了复数的运算；注意i2=﹣1．3．（5分）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y=x+sin2x B．y=x2﹣cosx C．y=2x+D．y=x2+sinx【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】利用函数奇偶性的判断方法对选项分别分析选择．【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R，对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；对于B，（﹣x）2﹣cos（﹣x）=x2﹣cosx；是偶函数；对于C，，是偶函数；对于D，（﹣x）2+sin（﹣x）=x2﹣sinx≠x2+sinx，x2﹣sinx≠﹣（x2+sinx）；所以是非奇非偶的函数；故选：D．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断，在定义域关于原点对称的前提下，判断f（﹣x）与f（x）的关系，相等就是偶函数，相反就是奇函数．4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）A．2B．5C．8D．10【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（4，﹣1）．此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．5．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．B．2C．2D．3【考点】HR：余弦定理．【专题】11：计算题；58：解三角形．【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccosA，即有4=b2+12﹣4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：B．【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．6．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】可以画出图形来说明l与l1，l2的位置关系，从而可判断出A，B，C是错误的，而对于D，可假设不正确，这样l便和l1，l2都不相交，这样可推出和l1，l2异面矛盾，这样便说明D正确．【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选：D．【点评】考查异面直线的概念，在直接说明一个命题正确困难的时候，可说明它的反面不正确．7．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4B．0.6C．0.8D．1【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】首先判断这是一个古典概型，而基本事件总数就是从5件产品任取2件的取法，取到恰有一件次品的取法可利用分步计数原理求解，最后带入古典概型的概率公式即可．【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．【点评】考查古典概型的概念，以及古典概型的概率求法，明白基本事件和基本事件总数的概念，掌握组合数公式，分步计数原理．8．（5分）已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2B．3C．4D．9【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），可得25﹣m2=16，即可求出m．【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），∴25﹣m2=16，∵m＞0，∴m=3，故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=（2，1）则•=（）A．5B．4C．3D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．【分析】由向量加法的平行四边形法则可求=的坐标，然后代入向量数量积的坐标表示可求【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，==（3，﹣1）．∴=3×2+（﹣1）×1=5．故选：A．【点评】本题主要考查了向量加法的平行四边形法则及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．10．（5分）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card（F）=（）A．200B．150C．100D．50【考点】1I：子集与交集、并集运算的转换；1J：Venn图表达集合的关系及运算；D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】26：开放型；5J：集合；5O：排列组合．【分析】对于集合E，s=4时，p，q，r从0，1，2，3任取一数都有4种取法，从而构成的元素（p，q，r，s）有4×4×4=64个，再讨论s=3，2，1的情况，求法一样，把每种情况下元素个数相加即可得到集合E的元素个数，而对于集合F，需讨论两个数：u，w，方法类似，最后把求得的集合E，F元素个数相加即可．【解答】解：（1）s=4时，p，q，r的取值的排列情况有4×4×4=64种；s=3时，p，q，r的取值的排列情况有3×3×3=27种；s=2时，有2×2×2=8种；s=1时，有1×1×1=1种；∴card（E）=64+27+8+1=100；（2）u=4时：若w=4，t，v的取值的排列情况有4×4=16种；若w=3，t，v的取值的排列情况有4×3=12种；若w=2，有4×2=8种；若w=1，有4×1=4种；u=3时：若w=4，t，v的取值的排列情况有3×4=12种；若w=3，t，v的取值的排列情况有3×3=9种；若w=2，有3×2=6种；若w=1，有3×1=3种；u=2时：若w=4，t，v的取值的排列情况有2×4=8种；若w=3，有2×3=6种；若w=2，有2×2=4种；若w=1，有2×1=2种；u=1时：若w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种；若w=3，有1×3=3种；若w=2，有1×2=2种；若w=1，有1×1=1种；∴card（F）=100；∴card（E）+card（F）=200．故选：A．【点评】考查描述法表示集合，分布计数原理的应用，注意要弄清讨论谁，做到不重不漏．二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）11．（5分）不等式﹣x2﹣3x+4＞0的解集为（﹣4，1）．（用区间表示）【考点】73：一元二次不等式及其应用．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】首先将二次项系数化为正数，然后利用因式分解法解之．【解答】解：原不等式等价于x2+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1；所以不等式的解集为（﹣4，1）；故答案为：（﹣4，1）．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法；一般的首先将二次项系数化为正数，然后选择适当的方法解之；属于基础题．12．（5分）已知样本数据x1，x2，…，x n的均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为11．【考点】BB：众数、中位数、平均数．【专题】5I：概率与统计．【分析】利用平均数计算公式求解【解答】解：∵数据x1，x2，…，x n的平均数为均值=5，则样本数据2x1+1，2x2+1，…，2x n+1 的均值为：=5×2+1=11；故答案为：11．【点评】本题考查数据的平均数的求法，是基础题．13．（5分）若三个正数a，b，c 成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b= 1．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知可得，b2=ac，代入已知条件即可求解b【解答】解：∵三个正数a，b，c 成等比数列，∴b2=ac，∵a=5+2，c=5﹣2，∴=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查了等比数列的性质，属于基础试题坐标系与参数方程选做题14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C2的参数方程为（t为参数），则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，把代入可得直角坐标方程．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立解出即可．【解答】解：曲线C1的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0．曲线C2的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．联立，解得，则C1与C2交点的直角坐标为（2，﹣4）．故答案为：（2，﹣4）．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．几何证明选讲选做题15．如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=3．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；26：开放型；5M：推理和证明．【分析】连接OC，则OC⊥DE，可得，由切割线定理可得CE2=BE•AE，求出BE，即可得出结论．【解答】解：连接OC，则OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴由切割线定理可得CE2=BE•AE，∴12=BE•（BE+4），∴BE=2，∴OE=4，∴，∴AD=3故答案为：3．【点评】本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．三、解答题（共6小题，满分80分）16．（12分）已知tanα=2．（1）求tan（α+）的值；（2）求的值．【考点】GF：三角函数的恒等变换及化简求值；GP：两角和与差的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．（2）利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解：tanα=2．（1）tan（α+）===﹣3；（2）====1．【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力．17．（12分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095++0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；（2）月平均用电量的众数是=230，∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，∴月平均用电量的中位数为224；（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，∴抽取比例为=，∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．【点评】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数以及分层抽样，属基础题．18．（14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C 到平面PDA的距离．【考点】LS：直线与平面平行；LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）利用四边形ABCD是长方形，可得BC∥AD，根据线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）利用平面与平面垂直的性质定理得出BC⊥平面PDC，即可证明BC⊥PD；（3）利用等体积法，求点C到平面PDA的距离．【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA；（2）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，所以BC⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD；（3）解：取CD的中点E，连接AE和PE，因为PD=PC，所以PE⊥CD，在Rt△PED中，PE===．因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD．由（2）知：BC⊥平面PDC，由（1）知：BC∥AD，所以AD⊥平面PDC，因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．设点C到平面PDA的距离为h．=V P﹣ACD，因为V C﹣PDA所以，所以h==，所以点C到平面PDA的距离是．【点评】本题考查平面与平面垂直的性质，线面垂直与线线垂直的判定，考查三棱锥体积等知识，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（14分）设数列{a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且+5S n=8S n+1+S n﹣1．当n≥2时，4S n+2（1）求a4的值；（2）证明：{a n﹣a n}为等比数列；+1（3）求数列{a n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（1）直接在数列递推式中取n=2，求得；+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），变形得到4a n+2+a n=4a n+1（n≥2），进一步得（2）由4S n+2到，由此可得数列{}是以为首项，公比为的等比数列；（3）由{}是以为首项，公比为的等比数列，可得．进一步得到，说明{}是以为首项，4为公差的等差数列，由此可得数列{a n}的通项公式．【解答】（1）解：当n=2时，4S4+5S2=8S3+S1，即，解得：；（2）证明：∵4S n+5S n=8S n+1+S n﹣1（n≥2），∴4S n+2﹣4S n+1+S n﹣S n﹣1=4S n+1﹣4S n+2（n≥2），+a n=4a n+1（n≥2），即4a n+2∵，∴4a n+a n=4a n+1．+2∵=．∴数列{}是以=1为首项，公比为的等比数列；（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，∴．即，∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，∴，即，∴数列{a n}的通项公式是．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，关键是灵活变形能力，是中档题．20．（14分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【考点】J3：轨迹方程；J9：直线与圆的位置关系．【专题】2：创新题型；26：开放型；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线l的方程为y=kx，通过联立直线l与圆C1的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线L与圆C1的方程，利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．【点评】本题考查求轨迹方程、直线与曲线的位置关系问题，注意解题方法的积累，属于难题．21．（14分）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a≥2 时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；53：函数的零点与方程根的关系；6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】26：开放型；51：函数的性质及应用；53：导数的综合应用．【分析】（1）利用f（0）≤1，得到|a|+a﹣1≤0，对a分类讨论求解不等式的解集即可．（2）化简函数f（x）的解析式，通过当x＜a时，当x≥a时，利用二次函数f （x）的对称轴求解函数的单调区间即可．（3）化简F（x）=f（x）+，求出函数的导数，利用导函数的符号，通过a的讨论判断函数的单调性，然后讨论函数的零点的个数．【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a2+|a|﹣a（a﹣1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0，当a≥0时，a，可得a∈[0，]．当a＜0时，|a|+a﹣1≤0，恒成立．综上a．∴a的取值范围：；（2）函数f（x）==，当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x==a+＞a，y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，（3）F（x）=f（x）+=，，当x＜a时，=，所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=═，所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．F（a）=a﹣a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，F′（a）=1﹣2a==．所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，所以F（a）＜，即F（a）＜0，当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．【点评】本题考查的知识点比较多，包括绝对值不等式的解法，函数的零点，函数的导数以及导数与函数的单调性的关系，考查分类讨论思想的应用，函数与方程的思想，转化思想的应用，也考查化归思想的应用．。
(原创)2015广东高考文数解析版
绝密★启用前 试卷类型：B2015年高考真题—文科数学（广东卷）解析版一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、若集合{}1,1M =-，{}2,1,0N =-，则MN =（ ）A ．{}0,1-B ．{}0C ．{}1D ．{}1,1-1.解析：本题考查集合的基本运算，属于基础题. {}1=N M ，故选C. 2、已知i 是虚数单位，则复数()21i +=（ ）A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i 2.解析：本题考查复数的乘法运算，属于基础题.i i i i 221)1(22=++=+，故选D 3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A ．2sin y x x =+ B ．2cos y x x =- C ．122x xy =+D ．sin 2y x x =+ 3、解析：本题考查函数的奇偶性.对于A ，()()()x x x x x x sin sin sin 222+±≠-=-+-，所以非奇非偶，对于B ，函数定义域为R ，关于原点对称.()x x x x cos )cos(22-=---，故为偶函数；对于C, 函数定义域为R ，关于原点对称，因为x x x xx f -+=+=22212)(，所以)(22)(x f x f x x=+=--，故为偶函数； D 中函数的定义域为R ，关于原点对称，且)2sin ()(2sin x x x x +-=-+-，故为奇函数. 故答案为A 。
4、若变量x ，y 满足约束条件2204x y x y x +≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =+的最大值为（ ）A ．10B ．8C ．5D ．2 4、解析：本题考查线性规划问题。
在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由（-2，2），（4，-4），（4，-1）组成的三角形。
由于该区域是封闭的，可以通过分别代这三个个边界点进行检验，易知当x=4，y=-1时，z=2x+y 取得最大值5。
2015年高考文科数学广东卷
15.（几何证明选讲） 如图, AB 为圆 O 的直径, E 为 AB 的延长线上一点,过 E 作 圆 O 的切线,切点为 C ,过 A 作直线 EC 的垂线,垂足为 D . 若 AB 4 , CE 2 3 ,则 AD .
2 x t , 线 C1 的极坐标方程为 (cos sin ) 2 ,曲线 C2 的参数方程为 （t 为 y 2 2t , 参数）,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为 . 数学试卷 第 2 页（共 4 页）
2.已知 i 是虚数单位,则复数 (1 i)2 A. 2i B. 2i
6.若直线 l1 和 l2 是异面直线, l1 在平面 内, l2 在平面 内, l 是平面 与平面 的交线, 则下列命题正确的是 A. l 与 l1 , l2 都不相交 C. l 至多与 l1 , l2 中的一条相交 品的概率为 A. 0.4 8.已知椭圆 A. 2 B. 0.6 C. 0.8 D. 1 ( ) B. l 与 l1 , l2 都相交 D. l 至少与 l1 , l2 中的一条相交 ( ) ( )
10. 若 集 合 E {( p, q, r , s ) | 0≤p＜s≤4,0≤q＜s≤4, 0≤r＜s≤4 且 p, q, r , s Ν} , F {
姓名________________
(t , u , v, w) | 0≤t＜u≤4,0≤v＜w≤4 且 t , u , v, w Ν} ,用 card( X ) 表示集合 X 中的元素 个数,则 card( E ) card( F ) ( )
绝密★启用前
5.设 △ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .若 a 2 , c 2 3 , cos A
2015年广东高考数学文科试卷带详解
2015年高考数学 广东卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合{1,1}M =-,{2,1,0}N =-,则M N = ( )A. {0，－1}B. {0}C. {1}D. {－1，1} 【参考答案】 C【测量目标】集合交集及其运算 【试题分析】{1}M N = ,故选C.2.已知i 是虚数单位，则复数2(1i)+=（ ） A. －2 B. 2 C.－2i D. 2i 【参考答案】 D【测量目标】复数的乘法运算.【试题分析】22(1i)12i i 12i 1+=++=+-=2i ,故选D.3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ） A. 2sin y x x =+ B. 2cos y x x =-C. 122xxy =+D. sin 2y x x =+ 【参考答案】 A【测量目标】函数奇偶性的判断【试题分析】函数2()sin f x x x =+的定义域为R ,因为(1)1sin1,(1)1sin1f f =+-=- ,所以函数2()sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数2cos y x x =-的定义域为R ,关于y 轴对称,因为22()()cos()cos ()f x x x x x f x -=---=-=, 所以函数2cos y x x =-是偶函数；函数122x xy =+的定义域为R , 关于y 轴对称，因为11()22(),22x x x x f x f x ---=+=+=所以函数122x x y =+是偶函数；函数sin 2y x x=+的定义域为R , 关于原点对称，因为()sin(2)sin 2(),f x x x x x f x -=-+-=--=-所以函数sin 2y x x =+是奇函数.故选A.4 . 若变量,x y 满足约束条件2204x y x y x +⎧⎪+⎨⎪⎩≤≥≤, 则23z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 5D. 2 【参考答案】 C 【测量目标】线性规划.【试题分析】作出可行域如图所示：第4题图作直线0:230,l x y +=再作一组平行于0l 的直线l 经过点A 时,23z x y =+取得最大值，由224x y x +=⎧⎨=⎩得41x y =⎧⎨=-⎩, 所以点A 的坐标为（4 ,－1），所以max z =243(1)5⨯+⨯-=, 故选C.5.设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c若2,a c A ===且,b c <则b =（ ）A.B. 2C. D. 3【参考答案】 B【测量目标】余弦定理【试题分析】由余弦定理得：2222cos ,a b c bc A =+-所以2222b =+2b -⨯⨯2, 即2680b b -+=, 解得：2b =或4,b =因为,b c <所以2b =,故选 B. 6. 若直线1l 和2l 是异面直线, 1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ）A. l 至少与1l ,2l 中的一条相交B. l 与1l ,2l 都相交C. l 至多与1l ,2l 中的一条相交D. l 与1l ,2l 都不相交 【参考答案】 A【测量目标】空间点、线、面的位置关系.【试题分析】直线1l 和2l 是异面直线, 1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，若l 与1l ,2l 都不相交，即1l //l ,2l //l ,即1l //2l ,1l 与2l 在同一平面，与题意不符，则l 至少与1l ,2l 中的一条相交, 故选A.7. 已知5件产品中有2件次品，其余为合格品.现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（ ）A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1 【参考答案】 B 【测量目标】古典概型【试题分析】5件产品中有2件次品，记为,a b , 有3件合格品，记为,,,c d e 从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(,)a b ,(,),(,),(,),(,),a c a d a e b c (,),(,),(,),(,),b d b e c d c e(,),d e 恰有一件次品，有6种，分别是(,),(,),(,),(,),(,),(,),a c a d a e b c b d b e 设事件A =“恰有一件次品”，则)P A （=610=0.6，故选B. 8. 已知椭圆222125x y m+=（m >0）的左焦点为1(4,0),F -则m =( ) A. 9 B. 4 C. 3 D. 2 【参考答案】 C【测量目标】椭圆的简单几何性质.【试题分析】由题意得：222549,m =-=因为0,m >所以3,m =故选C.9. 在平面直角坐标系xOy 中,已知四边形ABCD 是平行四边形, (1,2),AB =-(2,1),AD =则AD AC ⋅= ( )A. 2B. 3C. 4D. 5 【参考答案】 D【测量目标】平面向量的加减运算和坐标运算.【试题分析】因为四边形ABCD 是平行四边形, 所以(1,2)(2,1)AC AB AD =+=-+=(3,1),-所以AD AC ⋅=231(1)5,⨯+⨯-=故选D.10. 若集合{(,,,)|04,04,04E p q r s p s q s r s =<<<≤≤≤≤≤≤且,,,p q r s ∈N},{(,,,)|04,04F t u v w t u v w =<<≤≤≤≤且,,,t u v w ∈N },用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card E card F +=( ) A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 【参考答案】D【测量目标】推理与证明.【试题分析】当4s =时，,,p q r 都是取0,1,2,3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，,,p q r 都是取0,1,2中的一个,有33327⨯⨯=种,当2s =时,,,p q r 都是取0,1中的一个,有2228⨯⨯=种,当1s =时,,,p q r 都取0,有1种,所以()card E =64+27+8+1=100，当0t =时，u 取1,2,3,4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2,3,4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3,4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有1+2+3+4=10种，同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F =10⨯10=100，所以()()c a r d Ec a rd F +=100+100=200，故选D.一、填空题（本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.） (一)必做题（11~13题）11.不等式2340x x --+>的解集为_________. 【参考答案】 （－4,1） 【测量目标】一元二次不等式.【试题分析】由2340x x +-<得：41,x -<<所以不等式2340x x --+>的解集为 （－4,1），所以答案应填（－4,1）.12. 已知样本数据12,,...,n x x x 的均值x =5，则样本数据1221,21,...,21n x x x +++的均值为__________. 【参考答案】 11 【测量目标】均值的性质.【试题分析】因为样本数据12,,...,n x x x 的均值x =5，所以样本数据1221,21,...,21n x x x +++的均值为2125111,x +=⨯+=所以答案应填：11.13. 若三个正数,,a b c 成等比数列，其中55a c =+=-则b =__________. 【参考答案】1【测量目标】等比中项.【试题分析】因为三个正数,,a b c成等比数列，所以2(51b ac ==+-=，因为0,b >所以1,b =所以答案应填：1.（二）选作题（14、15题，考生只能从中选作一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xoy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线1C 的极坐标方程为(cos sin )2,ρθθ+=-曲线2C 的参数方程为2x t y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），则1C 与2C 交点的直角坐标为__________. 【参考答案】 （2，－4）【测量目标】1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点.【试题分析】曲线1C 的直角坐标方程为2x y +=-，曲线2C 的普通方程为28,y x =由228x y y x+=-⎧⎨=⎩得：24x y =⎧⎨=-⎩，所以1C 与2C 交点的直角坐标为(2,－4),所以答案应填：（2，－4）. 15. （几何证明选讲选做题）如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ,过A 作直线EC 的垂线，垂足为D .若AB =4，CE=则AD =____________.第15题图【参考答案】 3【测量目标】切线的性质、平行线分线段成比例定理、切割线定理.【试题分析】连接OC ,则OC ⊥DE ，所以OC //,AD 所以,OC OEAD AE=由切割线定理得：2,CE BE AE =⋅所以(4)12,BE BE +=即24120,BE BE +-=解得：2BE =或6BE =-（舍去），所以263,4OC AE AD OE ⋅⨯===所以答案应填：3.三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答题写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 16. (本小题满分12分)已知tan 2.α= (1)求πtan()4α+的值. （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值. 【测量目标】(1)两角和的正切公式；(2)二倍角的正、余弦公式,同角三角函数的基本关系.【试题分析】（1）tan tantan 1214tan()341tan 121tan tan4παπααπαα++++====----（2）2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--=222sin cos sin sin cos (2cos 1)1αααααα+---=222sin cos sin sin cos 2cos αααααα+- =22tan tan tan 2ααα+- =222222⨯+-=117. (本小题满分12分)某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180)，[180，200),[200，220),[220，240),[240，260),[260,280),[280.300]分组的频率分布直方图如图.第17题图(1)求直方图中x的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？【测量目标】(1)频率分布直方图；(2)样本的数字特征（众数、中位数）；(3)分层抽样.【试题分析】（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）⨯20=1得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075（2）月平均用电量的众数是2202402302+=因为（0.002+0.0095+0.011）⨯20=0.45<0.5,所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）⨯20+0.0125⨯（a－220）=0.5得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224.（3）月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125⨯20⨯100=25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075⨯20⨯100=15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0.005⨯20⨯100=10户，月平均用电量为[280,300)的用户有0.0025⨯20⨯100=5户，抽取比例=111 25151055=+++，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取12555⨯=户18.（本小题满分14分）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，4,6, 3.PD PC AB BC====第18题图（1）证明：//BC 平面PDA ; （2）证明：BC ⊥PD ; （3）求点C 到平面PDA 的距离.【测量目标】(1)线面平行；(2)线线垂直；(3)点到平面的距离.【试题分析】（1）因为四边形ABCD 是长方形，所以//BC AD ，因为BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以//BC 平面PDA（2）因为四边形ABCD 是长方形，所以BC ⊥CD ，因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面,ABCD CD =BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面PDC ,因为PD ⊂平面,PDC 平面PDC 平面,ABCD CD =所以BC ⊥PD（3）取CD 的中点E ，连结AE 和PE ,因为,PD PC =所以PE ⊥CD ，在Rt △PED中，PE因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面,ABCD CD =PE ⊂平面PDC ，所以PE ⊥平面ABCD ，由（2）知：BC ⊥平面PDC ,由（1）知：//BC AD ，所以AD 垂直平面PDC ，因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD ,设点C 到平面PDA 的距离为h ，因为C PDA P ACD V V --=三棱锥三棱锥,所以1133PDA ACD S h S PE ⋅=⋅△△,即ACD PDA S PE h S ⋅=△△=1362342⨯⨯=⨯⨯,所以点C 到平面PDA19.（本小题满分14分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，n ∈*N .已知1a =1，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+.（1）求4a 的值；（2）证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式.【测量目标】(1)等比数列的定义；(2)等比数列的通项公式；(3)等差数列的通项公式. 【试题分析】（1）当n =2时，4231458S S S S +=+,即43534(1)5(1)242a +++++= 358(1)124+++，解得：478a =（2）因为211458n n n n S S S S ++-+=+（2n ≥），所以21114444n n n n n n S S S S S S ++-+-+-=-(2)n ≥，即214(2),n n n a a a n +++=≥因为312544164,4a a a +=⨯+==所以24n n a a ++=14n a +，因为2121111111114242212142422(2)22n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++-----====----，所以数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列.（3）由（2）知：数列112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以21112a a -=为首项，公比为12的等比数列，所以1111()22n n n a a -+-=，即114,11()()22n n n n a a ++-=所以数列1()2n na ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是以1212a =为首项，公差为4的等差数列，所以2(1)442,1()2n n an n =+-⨯=-即1(42)()2n n a n =-⨯，所以数列{}n a 的通项公式是11(21)()2n n a n -=-⨯.20．（本小题满分14分）已知过原点的动直线l 与圆1C :22650x y x +-+=相交于不同的两点A ，B .（1）求圆1C 的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程； （3）是否存在实数k ，使得直线L :()4y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【测量目标】(1)圆的标准方程；(2)直线与圆的位置关系；(3)圆锥曲线与圆的位置关系.【试题分析】 将圆1C ：22650x y x +-+=化为()2234x y -+=，所以圆1C 的圆心坐标为()3,0.（2）设线段AB 的中点()00,M x y ，由圆的性质可得1C M 垂直于直线l ，设直线l 的方程为y mx =（易知直线l 的斜率存在），所以11C M k m ⋅=-，00y mx =，所以000013y y x x ⋅=--，所以200030x x y -+=即22003924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，因为动直线l 与圆1C 相交，所以2<，所以245m <，所以222200045y m x x =<，所以22000435x x x -<，解得053x >或00x <，又因为003x <≤，所以0533x <≤.所以()00,M x y 满足220003953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即M 的轨迹C 的方程为223924x y ⎛⎫-+=⎪⎝⎭533x ⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭. （3）由题意知直线L 表示过定点()4,0T ，斜率为k 的直线结合图形，220003953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示的是一段关于x轴对称，起点为5,3⎛ ⎝⎭按逆时针方向运动到5,33⎛ ⎝⎭的圆弧.根据对称性，只需讨论在x 轴对称下方的圆弧.设P 5,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则3543PT k ==-，而当直线L 与轨迹C32=，解得34k =±.在这里暂取34k =，因为34<，所以PT k k <，第20题图结合图形，可得对于x 轴对称下方的圆弧，当0k ≤≤或43k =时，直线L 与x 轴对称下方的圆弧有且只有一个交点，根据对称性可知77k -≤≤或43k =±.综上所述：当77k -≤≤43k =±时，直线L ：()4y k x =-与曲线C 只有一个交点.21．（本小题满分14分）设a 为实数，函数()()()21f x x a x a a a =-+---． （1）若()01f ≤，求a 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性； （3）当2a ≥时，讨论()4f x x+在区间()0,+∞内的零点个数． 【测量目标】(1)绝对值不等式；(2)函数的单调性；(3)函数的最值和函数的零点. 【试题分析】 （1）()220f a a a a a a =+-+=+，因为()01f ≤，所以1a a +≤，当0≤a 时，01≤，显然成立；当0a >时，则有21a ≤，所以12a ≤，所以102a <≤.综上所述，a 的取值范围是12a ≤. (2)()()()2221,212,x a x x a f x x a x a x a⎧--≥⎪=⎨-++<⎪⎩，对于()2121u x a x =--，其对称轴为21122a x a a -==-<，开口向上，所以()f x 在(),a +∞上单调递增；对于()21212u x a x a =-++，其对称轴21122a x a a +==+> ，开口向上，所以()f x 在(),a -∞上单调递减.综上所述：()f x 在 (),a +∞上单调递增，在(),a -∞上单调递减.（3）由（2）得()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减，所以()()2min f x f a a a ==-.（i ）当2a =时，()()min 22,f x f ==-()223,254,2x x x f x x x x ⎧-≥=⎨-+<⎩令()40f x x +=，即()4f x x =-()0x >，因为()f x 在()0,2上单调递减，所以()()22f x f >=-而4y x=-在()0,2上单调递增，()22y f <=-，所以()y f x =与4y x=-在()0,2上无交点.当2x ≥时，()243f x x x x=-=-，即32340x x -+=，所以322240x x x --+=，所以()()2210x x -+=，因为2x ≥，所以2x =，即当2a =时()4f x x +有一个零点2x =.（ii ）当2a >时，()()2m i n fx f a a a ==-，当()0,x a ∈时，()024f a =>，()2f a a a =-，而4y x =-在()0,x a ∈上单调递增，当x a =时，4y a=-.下面比较()2f a a a =-与4a -因为0)2)(2()4()4(2232<++--=---=---aa a a a a a a a a 所以aa a a f 4)(2-<-=第21题图结合图象不难得当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个交点. 综上，当2=a 时，()4f x x +有一个零点2x =；当2>a ，)(x f y =与xy 4-=有两个零点.。