高三数学总复习 (回顾 突破 巩固 提升作业) 第三章 第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例课件 文

sin A
方法二：在△ABC中，由 cosA2cosC 可得2c，a
cos B
b
bcos A-2bcos C=2ccos B-acos B，
由余弦定理可得 b 2 c 2 a 2 a 2 b 2 c 2 a 2 c 2 b 2 a 2 c 2 b 2 ，
2 c
a
a
2 c
整理可得c=2a.由正弦定理可得 sin C c 2.
tan15 23
在Rt△AEC中，
C E ＝ A E ta n 3 0 1 2 0 6 033 6 0 4 03 , 3
所以塔高为 6 0 4 03 6 0 ( 米1 2 .0 4 03 ) 答案：12040 3
考向 1 与三角形面积有关的问题
【典例1】（1）（2013·中山模拟）已知O为△ABC内一点，满
【解析】选B.由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°， 又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°， ∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.
4.已知A，B两地的距离为10 km,B，C两地的距离为20 km,现测 得∠ABC=120°，则A，C两地的距离为______km. 【解析】如图所示， 由余弦定理可得： AC2=100+400-2×10×20 ×cos 120°=700，
பைடு நூலகம்
sinB
即cos Asin B-2cos Csin B=2sin Ccos B-sin Acos B，
则cos Asin B+sin Acos B=2sin Ccos B+2cos Csin B，
sin(A+B)=2sin(C+B)，而A+B+C=π，则sin C=2sin A， 即 sin C 2.
（3）正确.方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位
置关系的.
（4）正确.方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平
角，故大小的范围为［0,2π)，而方向角大小的范围由定义可 知为［ 0 , ）.
2
(5)正确.由仰角、俯角、方位角的定义知，仰角、俯角是相对 于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的. 答案：(1)√ （2）× (3)√ (4)√ (5)√
【规范解答】（1）选B.由 O A O B O 可C 知 O0 ， 为△ABC的重
心，故
S
OBC
1S 3
ABC,
由 A BA C 得c2 ·bcos ∠BAC=2,
又 cos BAC 1,
2
故bc=4,
SA B C1 2b c sin B A C 1 2 4 2 33 ,
故
SOBC
1S 3
2
②由余弦定理得，
7=a2=b2+c2-2bccos 60°=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc，
代入b+c=4，得bc=3.
故△ABC的面积为 S1bcsinA3 3.
2
4
【互动探究】若将本例题(1)中“ O A O B O C 0 ”改为“O 为△ABC中线AD的中点”，其他条件不变，则△OBC的面积又 该如何求解?
A
B
C
D
6
4
3
2
（3）（2013·龙溪模拟）△ABC中，角A，B，C的对边分别为
a，b，c，且2bcos A=acos C+ccos A.
①求角A的大小;
②若 a 7,bc4,求△ABC的面积.
【思路点拨】（1）先确定O点的位置，可知O为△ABC的重心， 再利用向量关系求得△ABC面积即可求得S△OBC. （2）由余弦定理及面积公式可得tan A的范围，再求最大值. （3）利用正弦定理得角A，再利用余弦定理得bc，从而可求 面积.
第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例
1.三角形的面积公式
（1） S 1 a h （h表示边a上的高）.
2
（2）S 1bcsin A1 ab sin C 1 acsin B .
2
2
2
（3）S 1r(a bc)(r为三角形的内切圆半径).
2
2.实际问题中的有关概念 (1)仰角和俯角: 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_上__方__的角叫仰 角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）.
AC107km.
答案：1 0 7
5.某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得 塔顶C的仰角为30°,塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视 塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为_______米.
【解析】如图，用AD表示楼高，AE与水平面
平行，E在线段BC上，
设塔高为h,
因为∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60, 则 A E ＝ B E60 120603,
即 A B 2 ＝ (3 ) 2 ＋ (6 ＋ 2 ) 2 － 23 6 ＋ 2 c o s7 5 ＝ 5 ，
【规范解答】(1)选A.由∠ACB=45°，∠CAB=105°,
得∠ABC=30°, 由正弦定理得 AB ＝ AC ，
sinACB sinABC
AB＝AsCinsi n AB AC CB50122＝50 2m.
2
(2)选A.如图，设经过t h甲船航行到C处， 乙船航行到D处.在△ACD中，AC=10-4t, AD=6t,由余弦定理得CD2=(10-4t)2+(6t)22·(10-4t)·6t·cos 120°=28t2-20t+100. 故当 t 20 时5,C(Dh)2有最小值，
228 14
即两船之间的距离最短.
(3)由∠CAB=75°,∠CBA=60°,
得∠ACB=180°-75°-60°=45°.
由正弦定理得 AB AC ,
sinACB sinCBA
即 ACABsinCBA（2千米23）. 6
sinACB
2
2
答案： 6
【互动探究】若将本例（1）中A，B两点放到河岸的同侧，但 不能到达，在对岸的岸边选取相距 3 km的C，D两点，同时， 测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝ 45°(A，B，C，D在同一平面内)，则A，B两点之间的距离又 如何求解?
14
7
(3)在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB=75°，
∠CBA=60°,则A，C两点之间的距离为______千米.
【思路点拨】（1）先求得∠ABC，再利用正弦定理可解. （2）画出图形，利用余弦定理求出两船间的距离，再用二次 函数知识求最值即可. （3）利用已知条件求得∠ACB，再利用正弦定理求解.
ABC
3. 3
（2）选B.由 S1(b2 c得2 a2)
4
1bcsinA12bccosA,
2
4
∴tan A≤1,
又 0A,0A,
4
∴角A的最大值为 .
4
（3）①从已知条件得
2cos Asin B=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sin B.
∵sin B≠0,
cos A 又 10，°＜A＜180°,∴A=60°.
(2)方位角: 从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角 为α(如图②).
(3)方向角: 相对于某一正方向的水平角(如图③) (i)北偏东α°即由指北方向顺时针 旋转α°到达目标方向； (ii)北偏西α°即由指北方向逆时针 旋转α°到达目标方向； (iii)南偏西等其他方向角类似.
已知 cosA2cosC2ca.
cos B
b
(1)求 s i n C 的值.
sin A
(2)若 cos B1，b2, 求△ABC的面积S.
4
【解析】(1)方法一:在△ABC中，由 cosA2cosC2ca
cos B
b
及正弦定理可得
co sA 2 co sC 2 sinC sinA ，
co s B
1.在△ABC中, A,AB1,AC2,则S△ABC的值为( )
3
A 1
2
B 1
C
【解析】选C.由已知得
3
D 3
A 2,A Bc1,A Cb2,
3
SA B C1 2b csinA 1 2 2 1 2 32 3.
2.在△ABC中, A C5,A B 2,SA BC22，则cos A等于( )
A 5
（1）已知一边和这边上的高:
S1 2aha1 2bhb1 2chc.
（2）已知两边及其夹角：
S 1 a b sinC 1 a c sinB 1 b c sinA .
2
2
2
（3）已知三边：
Sppap 其b中pc,
p abc. 2
（4）已知三边和外接圆半径R，则S a b c .
4R
【变式备选】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.
【解析】由 A B A C 得 c2 bcos A=2.
又 BAC ,
3 cos BAC1,
2
∴bc=4,
SA B C ＝ 1 2bcsin B A C3.
又∵O为△ABC中线AD的中点,
故
SOBC
1S 2
ABC
3. 2
【拓展提升】三角形的面积公式
已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c，ha,hb,hc分别 为边a,b,c上的高.
足 O A O B O C 0 ， A B A C 2 ， 且 BAC 3，则△OBC的面积为 ()
A 1
2
B 3
3
C 3
2
D 2
3
（2）（2013·黄山模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分
别为a,b,c，设S为△ABC的面积，满足 S1 b2c2a2 , 则角A 4