1.3、线段的垂直平分线2

E
A
M D
C B
E
DE BC 2 AC AE 2 EC 2
H
A
C
法 2：作 MH⊥EC 于 H，易证 DE//MH//BC，由 DM=BM，得 EH=HC，则 MH 是中位线，则
MH
,则Δ EMC 是直角三角形又知 MH 是 EC 的垂直平分线，
则由垂直平分线性质定理可得 ME=MC，则 △ E C M 的形状是等腰直角三角形． 显然法 2 证明比较简单．
三角形三条边的垂直平 分线的性质定理，思考 如何对三线共点的猜想 进行证明。但因为是初 次接触这样抽象的证 明，不知从哪里开始证 明。 两位同学到黑板上证 明，其他同学在练习本
点.在这条线段的垂直平分线上)． ∴AB、BC、AC 的垂直平分线相交于点 P． 进一步设问：“从证明三角形三边的垂直平分线交于一点， 你还能得出什么结论?” （交点 P 到三角形三个顶点的距离相 等．） 定理; 三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三 个顶点的距离相等 练习 1．分别作出直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三边的 垂直平分线，说明交点分；别在什么位置．
课
题
1.3、线段的垂直平分线(二)
课型
新授课
教学目标
1．经历折纸和作图、猜想、证明的过程，能够证明三角形三边垂直平分线交 于一点及其性质。已知底边及底边上的高，能够利用直尺和圆规作出等腰三 角形。知道为什么这样做图，提高熟练地使用直尺和圆规作图的技能。 2．通过探索、猜测、证明的过程，进一步拓展学生的推理证明意识和能力。 作已知线段的垂直平分线。 理解三线共点的证明方法。
A
h B a D C
因为这是刚才所讨论的 问题的一个特例，所以 可以比较容易得到解 答：可以作出两个等腰 三角形，它们分别位于 底边的两侧，是全等的 等腰三角形。 动手画出这两个三角 形，比较熟练地使用直 尺和圆规。 写出作法，说出理由。
A1
A h B a C ( D)
B a C D A
h
A1
A1
从上图我们会发现，先作已知线段 BC=a；然后再作 BC 边 上的高 h， 但垂足不确定,我们可将垂足取在线段 BC 上或其所在 直线上的任意一点 D，过此点作 BC 边的垂线，最后以 D 为端 点在垂线上截取 AD(或 A1D)，使 AD=A1D=h，连接 AB，AC(或 △A1B，AlC)，所得△ABC(或△A1BC)都满足条件，所以这样的 三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等． (2) 如果已知等腰三角形的底边，用尺规作出等腰三角形，这样的
上写出已知求证和证 明。因为已经经过了分 析，绝大多数同学可以 顺利地写出来。 在老师讲解的同时规范 自己的证明，对三线共 点的证明方法有了比较 好的理解和认识。
2．已知：△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边一上的中线， AB 的垂直平分线交 AD 于 O 求证：OA=OB=OC．
A
O
解：1．如图所示：
M A1 C ， ∠ 0 5 D M9 A ． 0
M D
B
2 ∠ M D E ∠
△ E D M △ ≌ C A M ． ∠ D M E ∠ A M C， E M M C ．
又∠ D M E ∠ E M A 90 ， ∠ E M Aห้องสมุดไป่ตู้ ∠ A M C 90 ． C M E ． M 所以 △ E C M 的形状是等腰直角三角形．
活动目的：让学生体验利用尺规作图作出的三角形是否惟 一，即是否确定。 活动过程： (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形 吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (2)已知等腰三角形的底边， 你能用尺规作出等腰三角形吗? 如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗? (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出 等腰三角形吗?能作几个? 由学生思考可得：(1)已知三角形的一条边及这条边上的 高，能作出三角形，并且能作出无数多个，如下图： 已知：三角形的一条边 a 和这边上的高 h 求作：△ABC，使 BC=a，BC 边上的高为 h

Ｍ
Ｄ
Ｅ
Ａ
Ｃ
答案： 法 1： △ E M C 的形状是等腰直角三角形． D E A C， ∠ D A E ∠ B A C 90 ．
∠ D A B 90
证明：连接 A M ，由题意得：
又 D M M B ，
MA 1 D B D M ， ∠ M AD ∠ M AB 45 ．
板书设计： 1． 线段垂直平分线的性质定理 2． 两个作图的问题 3．已知底边及底边上的高，求作 等腰三角形
备选习题 两个全等的含 30 、6 0 角的三角板 A D E 和三角板 A B C 如图所示放置，E ， A ，C 三 点在一条直线上，连接 B D ，取 B D 的中点 M ，连接 M E ， M C ，试判断 △ E M C 的形状， Ｂ 并说明理由．
等腰三角形也有无数多个．根据线段垂直平分线的性质定理可 知，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，因为 只要作已知等腰三角形底边的垂直平分线，取它上面的任意一 点，和底边的两个端点相连接，都可以得到一个等腰三角形． 补充：“不是底边垂直平分线上的任意一点都满足条件， 如底边的中点在底边上，不能构成三角形，应将这一点从底边 的垂直平分线上挖去．” （3）如果底边和底边上的高都一定，这样的等腰三角形应 该只有两个，并且它们是全等的，分 M 别位于已知底边的两侧． [师生共析] A 已知底边及底边上的高，求作等 腰三角形． 已知：线段 a、h 求作： △ABC， AB=AC， 使 BC=a， 高 AD=h 作法：1．作 BC=a； D B C 2．作线段 Bc 的垂直平分线 MN N 交 BC 于 D 点； 3．以 D 为圆心，h 长为半径作弧 交 MN 于 A 点； 4．连接 AB、AC ∴△ABC 就是所求作的三角形(如图所示)． 作业：习题 1．7 第 1、2 题
B
D
C
可以发现，锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上；钝角三角形三边 的垂直平分线交点在三角形外． 2．证明：∵AB=AC， AD 是 BC 的中线， ∴AD 垂直平分 BC(等腰三角形底边上的中线垂直于底边)． 又∵AB 的垂直平分线与交于点 O， ∴OB=OC=OA(三角形三条边的垂直平分线交于一点， 并且 这一点到三个顶点的距离相等)． 议一议 活动内容：借用尺规作图作已知一条边及这条边上的高， 求作出相关的三角形。
教学重点 教学难点 教学方法 教学后记
教 学 内 容 及 过 程 教师活动 引入新课； 剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的垂 直平分线，观察这三条垂直平分线，你发现了什么？当利用尺 规作出三角形三条边的垂直平分线时，你是否也发现了同样的 结论？ 三角形三边的垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个 顶点的距离相等． 多画几种特殊的三角形让学生亲自体验和观察结论的正确 性。这只是用我们的眼睛观察到的，看到的一定是真的吗？我 们还需运用公理和已学过的定理进行推理证明，这样的发现才 更有意义。 讲述新课 引导学生认同：“两直线必交于一点，那么要想证明‘“三 线共点’，只要证第三条直线过这个交点或者说这个点在第三 条直线上即可．” 虽然我们已找到证明“三线共点”的突破口，询问学生如何 知道这个交点在第三边的垂直平分线上呢? 师生共析，完成证明 已知： 在△ABC 中， AB、 设 A BC 的垂直平分线交于点 P， 连接 AP，BP，CP． 求证：P 点在 AC 的垂直平 O 分线上． 证明：∵点 P 在线段 AB 的 垂直平分线上， C B ∴PA=PB(线段垂直平分线 上的点到线段两个端点的距离相 等)． 同理 PB=PC． ∴PA=PC． ∴P 点在 AC 的垂直平分线上(到线段两个端点距离相等的 学生活动 大多数学生都顺利地折 出三角形三条边的垂直 平分线。 认真观察自己所作的三 条垂直平分线，图作的 准确的学生比较容易观 察到三条线交于一点， 再结合折的三条垂直平 分线，又有类似的性质， 因此提出猜想：三线交 于一点。但图画得不太 难确的学生，难以观察 到这个结果。