唐山2016高三二模理科数学答案

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（19）解： （Ⅰ） ∵直角三角形 ABC 中， ∠BAC＝60°， AC＝4， 1 ∴AB＝8，AF＝ AB＝2，由余弦定理得 CF＝2 3且 4 CF⊥AB．
z
E
D ∵AD⊥平面 ABC，CF平面 ABC，∴AD⊥CF， C M 又 AD∩AB＝A，∴CF⊥平面 DABE， B y ∴CF⊥DF，CF⊥EF． ∴∠DFE 为二面角 D－CF－E 的平面角． F A 又 AF＝2，AD＝3，BE＝4，BF＝6， x 故 Rt△ADF∽Rt△BFE．∴∠ADF＝∠BFE， ∴∠AFD＋∠BFE＝∠AFD＋∠ADF＝90º ， ∴∠DFE＝90º ，D－CF－E 为直二面角． ∴平面 CDF⊥平面 CEF． …6 分 （Ⅱ）以 C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C－xyz，则 C(0，0，0)， B(0，4 3，0)，E(0，4 3，4)，F(3， 3，0)，M(0，a，0)， （0≤a≤4 3）
唐山市 2015—2016 学年度高三年级第二次模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题 A 卷：BCCAD BACAB DC B 卷：BCBAD BADAB CC 二、填空题 5 （13） （14）14 2
（15）36π
（16）(－∞，2]
三、解答题 （17）解： （Ⅰ）由题设，2Sn＝(n＋1)2an－n2an＋1，2Sn＋1＝(n＋2)2an＋1－(n＋1)2an＋2， 两式相减得(n＋1)2(an＋2＋an)＝2(n＋1)2an＋1， 由于(n＋1)2＞0，所以 an＋2＋an＝2an＋1，即{an}为等差数列． …4 分 由于 2S1＝4a1－a2＝2a1，可得 a2＝2a1＝4，所以{an}的公差为 2， 故 an＝2n． …6 分 a a ＋ （Ⅱ）由题设，bnbn＋1＝λ·2 n，bn＋1bn＋2＝λ·2 n 1， 两式相除可得 bn＋2＝4bn， 即{b2n}和{b2n－1}都是以 4 为公比的等比数列． …8 分 a1 因 b1b2＝λ·2 ＝4λ，b1＝1，所以 b2＝4λ， 1 2 由 b3＝4b1＝4 及 b2 ＝b1b3 得 4λ2＝1，又 λ＞0，所以 λ＝ ． 2 － － － － 所以 b2n＝2·4 n 1＝22n 1，b2n－1＝22n 2，即 bn＝2n 1，则 bn＋1＝2bn． 1 因此存在 λ＝ ，使得数列{bn}为等比数列． …12 分 2 （18）解： （Ⅰ）由已知：x ＝6，y ＝10， ∑ xiyi＝242， ∑ x2 i ＝220，
y
{
}
－1 －2
O
1 3
x
因为 m＜0， 1 所以－ |x＋1|≥|x－1|－2， m 在同一直角坐标系中画出 1 y＝|x－1|－2 及 y＝－ |x＋1|的图像， m 1 根据图像性质可得－ ≥1，即－1≤m＜0， m 故 m 的最小值为－1．
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∴→ CF ＝(3， 3，0)，→ EM ＝(0，a－4 3，－4)， 1 ∵异面直线 CF 与 EM 所成角的余弦值为 ， 4 |→ CF ·→ EM| 3(4 3－a) 1 → → ∴|cos CF , EM | ＝ ＝ ＝ ， 2 4 → → | CF || EM | 2 3· (4 3－a) ＋16 解得 a＝ （20）解： 8 3 8 3 ，故 CM＝ ． 3 3 …12 分
i＝1 i＝1 5 5
^ b＝
i＝1 n
-∑ xiyi－nx y
i＝1
n
∑
-2பைடு நூலகம்x2 i －nx
＝－1.45，a ˆ ＝y －^ bx ＝18.7；
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所以回归直线的方程为^ y ＝－1.45x＋18.7 （Ⅱ）z＝y－w＝－1.45x＋18.7－(0.05x2－1.75x＋17.2) ＝－0.05x2＋0.3x＋1.5 ＝－0.05(x－3)2＋1.95 所以预测当 x＝3 时，销售利润 z 取得最大值．
(
) (
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法二： x2 x2 (x0－x1)2 x0 x0 1 1 直线 BD 的方程为 y＝ (x－x1)＋ ，yM＝ (x0－x1)＋ ，得 yM－y0＝ ． 2 4 2 4 4 3 |x0－x1| 则 S△ABD＝2S△ABM＝ ， 4 设直线 AB：y＝kx＋1，代入 x2＝4y 得 x2－4kx－4＝0， 则|x0－x1|＝4 k2＋1≥4，故 S△ABD≥16（k＝0 时等号成立） ． （21）解： x0ln x0＋a＝x0， （Ⅰ）f (x)＝ln x＋1，设切点为(x0，x0ln x0＋a)，得 ln x0＋1＝1， 解得 x0＝1，a＝1． …4 分 － － （Ⅱ）证明：xex 1[f (x)－2]＋f (x)≥0xex 1(xln x－1)＋(xln x＋1)≥0， － － － － xex 1(xln x＋1)＋(xln x＋1)≥2xex 1(xex 1＋1)(xln x＋1)≥2xex 1 1 － (ln x＋ )(x＋e1 x)≥2． …6 分 x 1 1 1 － － 设 g (x)＝ln x＋ ，h (x)＝x＋e1 x，则 g (x)＝ － 2 ，h (x)＝1－e1 x， x x x 所以 g (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 即 g (x)的最小值为 g (1)＝1； …9 分 h (x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 即 h (x)的最小值为 h (1)＝2， …11 分 1 1－x 所以(ln x＋ )(x＋e )≥2， （x＝1 时等号成立） x 故原不等式成立． …12 分 （22）解： （Ⅰ）因为 AE 与圆 O 相切于点 A，所以∠CAE＝∠CBA； 因为四边形 ABCD 内接于圆 O，所以∠CBA＝∠ADE； 又已知∠ADE＝∠BDC，所以∠BDC＝∠CAE， 故 A，E，D，F 四点共圆． …5 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ADE＝∠AFE＝∠BDC， 又∠BDC＝∠BAC（同弧所对的圆周角相等） ， 所以∠AFE＝∠BAC，故 AB∥EF． …10 分 （23）解： x＝1＋cos φ， （Ⅰ）由 （φ 为参数，0＜φ＜π）得(x－1)2＋y2＝1（0＜y≤1） ， y＝sin φ． π 所以曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ（0＜θ ＜ ） ． …5 分 2 π （Ⅱ）由题意可设 A(ρ1，θ)，C(2，θ)（0＜θ ＜ ） ， 2 则|AC|＝2－ρ1＝2－2cos θ，|BC|＝2＋ρ1＝2＋2cos θ， 所以|AC|·|BC|＝4sin2θ∈(0，4)． …10 分
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（24）解：
1－3x， x＜－1， （Ⅰ）当 m＝2 时，f (x)＝3－x， －1≤x≤1， 3x－1， x＞1． 5 由 f (x)的单调性及 f ( )＝f (－1)＝4， 3 5 得 f (x)＜4 的解集为 x|－1＜x＜ ． 3 …5 分 （Ⅱ）由 f (x)≥2m 得|x＋1|≥m (2－|x－1|)，
2 x2 x2 x2 0 1 （Ⅰ）设 A x0， ，B x1， ，D x2， ． （x0＞0） 4 4 4 x1＋x2 x1＋x2 x x0 x0 x1＋x2 由 y' ＝ 得 kBD＝ ，又 kBD＝ ，所以 ＝ ，即 x0＝ ＝xM． 2 2 4 2 4 2 故 AM 与 y 轴平行． …4 分 （Ⅱ）法一： 由 A，B，F 共线可得 kAF＝kBF，所以(x0x1＋4)(x0－x1)＝0， 4 因 x0－x1≠0，所以 x0x1＝－4，即 x1＝－ ． …6 分 x0 2 2 x1 x0x 4 x0 4 x0 直线 BD 的方程为 y＝ (x－x1)＋ ＝ ＋ 2＋2，所以 yM＝ ＋ 2＋2． …8 分 2 4 2 x0 2 x0 2 x2 x 4 0 0 由（Ⅰ）得 S△ABD＝2S△ABM＝ ＋ 2＋2－ ×|x1－x0| 2 x0 4 x2 4 4 1 4 3 0 ＝ ＋ 2＋2 × x0＋ ＝ x0＋ ≥16， 4 x0 x0 4 x0 4 当且仅当 x0＝ 即 x0＝2 时等号成立，故 S 的最小值为 16． …12 分 x0