黑龙江省哈尔滨市2018届高三数学上学期期末考试试题 理
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三(上)期末数学试卷(理科)解析版
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A. P⊆QB. Q⊆PC. P⊆∁R QD. Q⊆∁R P【答案】B【解析】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．此题只要求出x2＜4的解集{x|-2＜x＜2}，画数轴即可求出．此题需要学生熟练掌握子集、真子集和补集的概念，主要考查了集合的基本运算，属容易题．2.已知向量=（-3，2），=（-1，λ），且∥，则实数λ的值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】C【解析】解：∵向量=（-3，2），=（-1，λ），且∥，∴，解得λ=．∴实数λ的值为．故选：C．利用向量平行的性质能求出实数λ．本题考查实数值的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.“α=+2kπ（k∈Z）”是“cos2α=”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，cos2a=cos（4kπ+）=cos=反之，当cos2a=时，有2a =2k π+⇒a =k π+（k ∈Z ）， 或2a =2k π-⇒a =k π-（k ∈Z ），故选：A ．本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a =+2k π代入cos2a 易得cos2a =成立，但cos2a =时，a =+2k π（k ∈Z ）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．4. 已知数列{a n }为等差数列，且a 5+a 9=，则t a na 7等于（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】解：数列{a n }为等差数列，且a 5+a 9=， 则：，解得：，所以：tan．故选：B ．直接利用等差数列的通项公式的应用和特殊角的三角函数的值求出结果．1本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的应用，三角函数的特殊值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5. 已知变量x 、y 满足的约束条件，则z =3x +2y 的最大值为（ ）A. -3B.C. 4D. -5【答案】C【解析】解：作出不等式组对于的平面区域如图： 由z =3x +2y ，则y =，平移直线y =，由图象可知当直线y =，经过点A 时，直线y =的截距最大，此时z 最大，由，解得，即A（2，-1），此时z max=3×2-2=4，故选：C．作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．6.阅读如图的程序框图，输出结果s的值为（其中i为虚数单位，i2=-1）（）A. 1B. -1C. iD. -i【答案】D【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=i2019的值．S=i2019=（i4）504•i3=-i．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了程序框图的应用问题，考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，则异面直线AD1与BO所成角为（）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°【答案】D【解析】解：∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，∴AD1∥BC1，∴∠C1BO是异面直线AD1与BO所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则B1O=C1O==，BC1==2，BO==，∴cos∠C1BO===．∴∠C1BO=30°．∴异面直线AD1与BO所成角为30°．故选：D．推导出AD1∥BC1，从而∠C1BO是异面直线AD1与BO所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线AD1与BO所成角．本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.如果双曲线的两个焦点分别为F1（-3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为y=x，那么经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为（）A. 4B. 2C. 2D. 1【答案】A【解析】解：如果双曲线的两个焦点分别为F1（-3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为y=x，∴，解得，b=．所以经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为：==4故选：A．依题意可求得c，根据c=和渐线方程，联立求得a和b，进而根据通径求得答案．本题主要考查了双曲线的简单性质．双曲线的性质和公式较多，且复杂平时应加强记忆和训练．9.若某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）A.B.C. 2D.【答案】A【解析】解：几何体为不规则放置的四棱锥P=ABCD，是正方体的一部分，如图：也可以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体，∴几何体的体积：=．故选：A．作出几何体的直观图，将四棱锥分解成棱柱与两个小三棱锥计算体积．本题考查了棱锥的结构特征，三视图与体积计算，属于中档题．10.已知椭圆+x2=l（a＞1）的离心率e=，P为椭圆上的一个动点，则P与定点B（-1，0）连线距离的最大值为（）A. B. 2 C. D. 3【答案】C【解析】解：椭圆+x2=l（a＞1）的离心率e=，可得：，解得a=，椭圆方程为：+x2=l，设p（cosθ，sinα），则P与定点B（-1，0）连线距离：==，当cosθ=时，取得最大值：．故选：C．利用椭圆的离心率求出a，然后设出P，然后利用两点间距离公式，转化求解最值即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．11.已知点M，N、P，Q在同一个球面上，且MN=3，NP=4，MP=5，若四面体MNPQ体积的最大值为10，则该球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由题意，作图，易知∠PNM=90°，则球心O在过PM中点O′与面MNP垂直的直线上，由四面体Q-MNP的最大体积为10，可得O′Q=5，在△OO′P中，OP2=OO′2+O′P2，∴R2=（5-R）2+，得R=，∴该球的表面积为：=，故选：B．由三个边长可知MN，NP垂直，可知球心O的位置在过PM中点O′与面MNP垂直的直线上，作出图形，利用直角三角形得到关于半径的方程，即可得解．此题考查了球内接三棱锥问题，难度不大．12.已知函数f（x）=，则函数y=f（f（x））的零点个数为（）A. 6B. 7C. 9D. 10【答案】B【解析】解：x≤5时，f（x）=x3-x2-3x+2，f′（x）=x2-2x-3=（x-3）（x+1），令f′（x）=0，解得：x＞3或x＜-1，故f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，3）递减，在（3，5]递增，故f（x）极大值=f（-1）=，f（x）极小值=f（3）=-7，f（5）=，而f（-3）=-7，f（-2）=，f（0）=2，f（1）=-＜0，f（4）=-4，f（5）=，故存在x1∈（-3，-2），x2∈（0，1），x3∈（4，5）使得f（x）=0，x＞5时，f（x）在（5，+∞）递减，x→5时，f（x）→-2，画出函数f（x）的图象，如图示：，函数y=f（f（x））的零点个数即y=f（x）和y=x1，y=x2和y=x3的交点个数，结合图象f（x）和y=x1有4个交点，f（x）和y=x2的图象有3个交点，f（x）和y=x3的图象没有交点，故函数y=f（f（x））的零点个数为7个，故选：B．根据函数的单调性画出函数f（x）的图象，结合图象求出y=f（f（x）））的零点个数即可．本题考查了函数和方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查数形结合思想，转化思想，是一道综合题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知椭圆=1与双曲线=1有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为______．【答案】【解析】解：椭圆=1与双曲线=1有共同的焦点，可得a2+b2=4，即c=2，双曲线的离心率为2，所以a=1，则b=，所以双曲线=1的方程为：．故答案为：．求出焦点坐标，得到a，b的关系式，利用双曲线的离心率，求解a，b，即可得到双曲线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.已知函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且为偶函数，则满足f（x2-2）＜f（1）的x的取值范围是______．【答案】（-∞，-）∪（-1，1）∪（，+∞）【解析】解：根据题意，函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且为偶函数，则f（x2-2）＜f（1）⇒f（|x2-2|）＜f（1）⇒|x2-2|＞1，解可得：x＜-或-1＜x＜1或x＞，即x的取值范围为（-∞，-）∪（-1，1）∪（，+∞）；故答案为：（-∞，-）∪（-1，1）∪（，+∞）．根据题意，由函数的单调性以及奇偶性可得f（x2-2）＜f（1），解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的单调性以及奇偶性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．15.过点（-4，0）作直线L与圆x2+y2+2x-4y-20=0交于A、B两点，如果|AB|=8，则L的方程为______．【答案】x=-4或5x+12y+20=0【解析】解：圆x2+y2+2x-4y-20=0 即（x+1）2+（y-2）2=25，∴圆心（-1，2），半径等于5，设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得8=2∴d=3．当直线L的斜率不存在时，方程为x=-4，满足条件．当直线L的斜率存在时，设斜率等于k，直线L的方程为y-0=k（x+4），即kx-y+4k=0，由圆心到直线的距离等于3得=3，∴k=-，直线L的方程为5x+12y+20=0．综上，满足条件的直线L的方程为x =-4或5x+12y+20=0，故答案为：x=-4或5x+12y+20=0．先求出圆心和半径，由弦长公式求出圆心到直线的距离为d的值，检验直线ι的斜率不存在时，满足条件；当直线ι的斜率存在时，设出直线ι的方程，由圆心到直线的距离等于3解方程求得斜率k，进而得到直线ι的方程．本题考查利用直线和圆的位置关系求直线方程的方法，体现了分类讨论的数学思想．16.设数列{a n}的前n项和为S n，a n+1+a n=2n+1，且S n=2019，若a2＜2，则n的最大值为______．【答案】62【解析】解：由数列{a n}的前n项和为S n，a n+1+a n=2n+1，可得a1+a2=3，a3+a4=7，a5+a6=11，…，a29+a30=59，a31+a32=63，{a2k-1+a2k}的等差数列，首项为3，公差为4，数列{b k}的前k项和为T k，b k=a2k-1+a2k可得，T k==2k（k+1）＜2019，k∈N*，k＜32，T32=2112＞2019．由S n=2019，若a2＜2，则n的最大值为62，故答案为：62．a n+1+a n=2n+1，可得a1+a2=3，a3+a4=7，a5+a6=11，…，a29+a30=59，a31+a32=63，利用等差数列的求和公式即可可得S62，S63，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分组求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（c-2a）cos B+b cos C=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若=12，b=2，求a，c的值．（其中a＜c）【答案】解：（Ⅰ）已知等式（c-2a）cos B+b cos C=0，利用正弦定理化简得：（sin C-2sin A）cos B+sin B cos C=0，整理得：sin C cos B+sin B cos C=2sin A cos B，即sin（B+C）=sin A=2sin A cos B，∵sin A≠0，∴cos B=，则B=60°；（II）由=12，得：ac cos B=12，①又由（I）知B=60°，∴ac=24，②由余弦定理得：b2=a2+c2-2ac cos B，将b=2及①代入得：a2+c2=52，∴（a+c）2=a2+c2+2ac═52+2×24=100，∴a+c=10，③由②③知a、c是一元二次方程t2-10t+24=0的两个根，解此方程，并由c＞a得：a=4，c=6．【解析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cos B的值，即可确定出B的度数；（II）根据平面向量数量积的运算法则计算得到一个等式ac cos B=12，记作①，把B的度数代入求出ac的值，记作②，然后利用余弦定理表示出b2，把b，ac及cos B的值代入求出a2+c2的值，利用完全平方公式表示出（a+c）2，把相应的值代入，开方求出a+c 的值，由②③可知a与c为一个一元二次方程的两个解，求出方程的解，根据c大于a，可得出a与c的值．此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．同时注意完全平方公式的灵活运用．18.数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，a n+1=S n（neN*）（Ⅰ）证明：数列{S n}为等比数列，并求S n；（Ⅱ）若b n=1ga2n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）证明：a1=2，a n+1=S n（neN*），a n+1=S n+1-S n=S n，即为S n+1=2S n，可得数列{S n}为首项为2，公比为2的等比数列，则S n=2n；（Ⅱ）a n+1=S n=2n，即a n=2n-1，n≥2，b n=1ga2n=lg22n-1=（2n-1）lg2，则前n项和T n=lg2•（1+3+…+2n-1）=n2lg2．【解析】（Ⅰ）运用数列的递推式：a n+1=S n+1-S n=S n，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求；（Ⅱ）由对数的运算性质和等差数列的求和公式，计算可得所求和．本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式和等差数列的求和公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（I）若PA=PD，求证：AD⊥PB；（II）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M-BQ-C大小为60°，并求出的值．【答案】（I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵PB⊂平面PQB，∴AD⊥PB；（Ⅱ）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（-2，，0），设=λ（0＜λ＜1），则M（-2λ，λ，（1-λ）），平面CBQ的一个法向量是=（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为=（x，y，z），则，取z=，则，∵二面角M-BQ-C大小为60°，∴=，解得λ=，此时=．【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明AD⊥PB；（Ⅱ）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查平面与平面垂直的证明，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．20.在圆O：x2+y2=4上取一点P，过点P作x轴的线段PD，D为垂足，当点P在圆O上运动时，设线段PD中点M的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试问在E上是否存在两点M，N关于直线l：y=kx+对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．【答案】解：（Ⅰ）设M（x，y），则点P（x，2y），将M（x，2y）代入圆O：x2+y2=4，得x2+4y2=4．所以E的方程为=1．（Ⅱ）显然，直线MN存在斜率，设直线MN的方程为：y=-x+m．联立，消去y并整理得：（k2+4）x2-8mkx+4k2（m2-1）=0，△=（-8mk）2-16（k2+4）k2（m2-1）＞0，化为：k2+4＞k2m2．设M（x1，y1），N（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=，依题意OM⊥ON，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，又y1y2=（-x1+m）（-x2+m）=x1x2-（x1+x2）+m2∴x1x2+y1y2=（1+）x1x2-（x1+x2）+m2=0，（1+）-•+m2=0，解得：k2=．由MN的中点（，）在直线y=kx+上，∴=k•+，=k•+，化为：+=0，把k2=代入上式化为：10m2+m-6=0，解得m=（舍去），或-．∴k2==2，解得k=．满足k2+4＞k2m2．即满足△＞0．∴在E上存在两点M，N关于直线l：y=kx+对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点．直线MN的方程为：y=x-．【解析】（Ⅰ）设M（x，y），则点P（x，2y），将M（x，2y）代入圆O：x2+y2=4，可得E的方程．（Ⅱ）显然，直线MN存在斜率，设直线MN的方程为：y=-x+m．联立，消去y并整理得：（k2+4）x2-8mkx+4k2（m2-1）=0，△＞0，设M（x1，y1），N（x2，y2）．利用根与系数可得x1+x2，x1x2，依题意OM⊥ON，可得•=0，即x1x2+y1y2=0，化为k2=．由MN的中点（，）在直线y=kx+上，可得=k•+，代入化简解出即可得出．本小题考查椭圆的标准方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系、向量垂直与数量积的关系，考查推理论证能力、运算求解能力、化归与转化思想方法，属于难题．21.已知函数f（x）=ln x+（x-1）（ax-a-1）．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若对∀x＞1，都有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n对任意正整数n 均成立，其中e为自然对数的底数．【答案】（1）解：当a=0时，f（x）=ln x+1-x，（x＞0），．可得∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴f（x）的最大值为f（1）=0；（2）解：f′（x）=（ax-a-1）+（x-1）•a=．．∵x＞1∴x-1＞0故：①当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在（1，+∞）单调递减，而f（1）=0，∴f（x）＜0，不符合题意，②当a0时，，f（x）在（1，+∞）单调递增，在（而f（1）=0，∴f（x）＞0，不符合题意，③当0＜a0时，时，f′（x）≤0，f（x）在（1，）单调递减，而f（1）=0，∴此时f（x）＜0，不符合题意，综上所述：a的取值范围[，+∞）（3）证明：要证明（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．等价于证明，等价于证明ln+ln+…+ln+…ln．由（2）可得ln x＞（x-1）[1-（x-1）]在（1，+∞）恒成立．令x=1+，k=1，2，3，…n．则∴ln（1+）．∴ln+ln+…+ln+…ln=．∴．ln+ln+…+ln+…ln．成立．∴（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．成立．【解析】（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的导数，利用单调性求最大值；（Ⅱ）求得f′（x）=．分：当a≤0时，当a0时，当0＜a0时，讨论即可．（Ⅲ）要证明（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．等价于证明ln+ln+…+ln+…ln．由（2）可得ln x＞（x-1）[1-（x-1）]在（1，+∞）恒成立．令x=1+，k=1，2，3，…n．利用，即可证明本题考查利用导数研究函数的最值及单调性，解题过程中用到了分类讨论的思想，分类讨论的思想也是高考的一个重要思想，要注意体会其在解题中的运用，第3问难度比较大，是一道综合题．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x-2|，（k∈R），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2-2ρcosθ-6ρsinθ+8=0．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C1与C2有四个公共点，求k的取值范围．【答案】解：（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入曲线C2的极坐标方程可得x2+y2-2x-6y+8=0，因此，曲线C2的普通方程为（x-1）2+（y-3）2=2；（2）曲线C1的方程可化为，由于曲线C1与曲线C2有四个公共点，则k＞0且：直线kx-y-2k=0与曲线C2相交，则有，化简得k2-6k-7≥0，解得k≥7．直线kx+y-2k=0与曲线C2相交，则有，化简得k2+6k-7≥0，解得k≥1．综上所述，实数k的取值范围是[7，+∞）．【解析】（1）由ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，代入曲线C2的极坐标方程可求出曲线C2的直角坐标方程；（2）将曲线C1的方程表示为分段函数的形式，由题意得直线kx-y-2k=0与直线kx+y-2k=0与曲线C2都相交，然后列不等式即可求出k的取值范围．本题考查曲线的极坐标方程，考查极坐标方程与普通方程之间的转化，同时考查了计算能力，属于中等题．23.已知关于x的不等式|x-a2|+|x+2a-5|＜5．（Ⅰ）当a=时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有实数解，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）a=时，|x-|+|x-2|＜5，故或或，解得：-＜x＜，故不等式的解集是{x|-＜x＜}；（2）若不等式有实数解，则|x-a2|+|x+2a-5|≤|x-a2-x-2a+5|=|a2+2a-5|＜5．解得：0＜a＜2，即a的范围是（0，2）．【解析】（1）代入a的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。
【数学】黑龙江哈尔滨市第三十二中学2018届高三上学期期末考试数学(理)试题含解析
哈尔滨市第三十二中学校2017-2018学年度高三上学期期末试题一．选择题（共12小题）1. 设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为（）A. 2B. 3C. 5D. 7【答案】B故选B.考点：集合的运算.视频）A. 1+2iB. 1﹣2iC. 2+iD. 2﹣i【答案】D选C3. 设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A. ∀n∈N，n2＞2nB. ∃n∈N，n2≤2nC. ∀n∈N，n2≤2nD. ∃n∈N，n2=2n【答案】C4. 设θcosθ=（）C. D.【答案】D为锐角，故选5. 某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（）A. 30种B. 35种C. 42种D. 48种【答案】A6. 执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B，不满足7. 若x，y z=x+2y的最大值为（）A. 0B. 1C.D. 2【答案】D，令，此时直线的截距最大，取得最小值2，故选D.考点：本题考点为线性规划的基本方法视频8. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A. 1盏B. 3盏C. 5盏D. 9盏【答案】B2的等比数列，结3盏，故选B．点睛:用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．9. 若双曲线C：（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）D.【答案】A所以，，可得10. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则（）A. A1E⊥DC1B. A1E⊥BDC. A1E⊥BC1D. A1E⊥AC【答案】C【解析】连B1C,由题意得BC1⊥B1C，.....................∴A1B1⊥BC1，∵A1B1∩B1C=B1，∴BC1⊥平面A1ECB1，∵A1E⊂平面A1ECB1，∴A1E⊥BC1.本题选择C选项.11. sin2α=（）B. C.【答案】A所以选A.【名师点睛】应用三角公式解决问题的三个变换角度：（1）变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.（2）变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.（3）变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用或变用公式”、“通分或约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.12. 若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（）A. ﹣1B. ﹣2e﹣3C. 5e﹣3D. 1【答案】A，解得，代入求得二．填空题（共4小题）13. 若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=_____．【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x）在点x0处的导数f ′（x0）的几何意义是曲线y＝f （x）在点P （x0，y0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y0＝f ′（x0）（x−x0）．注意：求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的不同．视频14. 的解集为_____．故不等式的解集为15. 已知向量，若向量m=_____．【答案】7解得m=7,故填7.16. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA，则B=_____．【解析】由正弦定理可得：点睛：这是一道关于解三角形的题，主要考查了正弦定理边角互化和二倍角公式。
黑龙江哈尔滨市第三十二中学2018届高三上学期期末考试数学(理)试题
黑龙江哈尔滨市第三十二中学2018届高三上学期期末考试数学（理）试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M N中元素的个数为( )A．2 B．3 C．5 D．72. 复数等于（）A．B．C．D．3. 设命题，则为（）A．B．C．D．4. 设θ为锐角，，则cosθ=（）A．B．C．D．5. 某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有A．30种B．35种C．42种D．48种6. 执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的A．2 B．3 C．4 D．57. 若，满足则的最大值为（）D．2A．0 B．1C．8. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏9. 若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A．2 B．C．D．10. 在正方体中，为棱的中点，则（）．A．B．C．D．11. 已知，则（）．A．B．C．D．12. 若是函数的极值点，则的极小值为（）．A．B．C．D．二、填空题13. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_______．14. 不等式的解集为________15. 已知向量=（﹣1，2）， =（m，1），若，则m=_________．16. 的内角的对边分别为，若，则________．三、解答题17. 在中，，求的值；若，求的面积．18. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.19. 如图，在长方体中，，，、分别是、的中点．证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.20. 已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k （k > 0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA.（Ⅰ）当t=4，时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当时，求k的取值范围.21. 已知函数且.（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.22. 解不等式x+|2x+3|≥2．。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届高三上学期期末考试数学(文)试卷(含答案)
哈尔滨市第六中学2017-2018学年度上学期期末考试高三文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 集合}6|{≤∈=x N x A ，}03|{2>-∈=x x R x B ，则A B =I （ ）A.{3,4,5}B.{4,5,6}C.}63|{≤<x xD.}63|{<≤x x2. 已知复数i z 21+=，则=⋅z z （ ）A.5B. i 45+C. 3-D. i 43-3. 将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，则出现正面的次数多于反面次数的概率为（ ）A.14 B. 38 C. 12 D.5164. 函数)2cos(ϕ+=x y 的图像向右平移2π个单位后，与函数)32sin(π+=x y 的图像重合，则ϕ的值为（ ） A.65π B. 65π- C. 6π D. 6π-5. 已知直线22+=x y 和圆r y x =+22交于A,B 两点，O 为原点，若23=⋅，则实数=r （ ）A.4B.2C.1D.216. 某店出售一种饼干，共有草莓味、巧克力味、香蕉味、香芋味四种口味，一位顾客在该店购买了两袋这种饼干，口味选择“随机派送”，则这位顾客买到的两袋饼干是同一口味的概率是（ ） A.161 B. 41 C. 52 D. 327. 32，则圆锥与球的体 积比为（ ）A. 1:6B. 1:4C. 9:32D. 1:28. 已知实数x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥++001053a x y x y x ，若y x z 2+=的最小值为4-，则实数a 的值为（ ）A.1B.2C.4D.8 9. 下列函数中，既是偶函数，又在区间)2,1（上是减函数的是（ ）A. 21x y = B. 222x x y -+= C. ||log 21x y = D. x x y +-=22lg10. 已知a b >，则（ ）A. ab a b a +>+2B. 2222()a b a b ++<+C. ba b a 3443> D. ||||a a b b >11. 已知以F 为焦点的抛物线x y 42=上的两点A ，B 满足3=，则弦AB 的中点到准线的距离为（ ） A.38 B. 2 C. 34 D. 35 12. 已知函数311()()24f x x =-+，则20161()2017k k f =∑的值为（ ） A.0 B.504 C.1008 D.2016 二、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 椭圆14222=+ay x 与双曲线2212y x a -=有相同的焦点，则=a .14. 已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 15. 甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠4小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，则这两艘船中至少有 一艘在停靠泊位时必须等待的概率为 16. 设}{n a 是由正数组成的等比数列，n S 是}{n a 的前n 项和，正视图 侧视图A 1已知24316,28a a S ==，则使123n a a a a L 最大时的n 的值为三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知在数列}{n a 中，*114,2()n n a a a n N +==+∈ （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n b n a n 3)2(2-=-，求12310||||||||b b b b ++++L18. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且A B b a +===2,4,3π（1）求B cos 的值； （2）求C A sin 2sin +的值.19. （本小题满分12分）如图，在直棱柱111C B A ABC -中，32,2221====C A AC BC AB ，,N M ,分别是AC 和1BB 的中点.（1）求证：//MN 平面C B A 11；（2）在BC 上求一点P ，使得三棱锥APB N -与三棱锥NMC B -1的体积相等，试确定点P 的位置20. （本小题满分12分）设直线)2(p x k y l +=：与抛物线)0(22>=p px y C ：交于不同的两点M,N ，且当21=k 时，弦MN 的长为154（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 过点)11(-，B ，求证：直线NQ 过定点.21. （本小题满分12分）设函数2()ln (),f x x m x x m R =+-∈ （1）当1m =-时，求函数()f x 的最值；（2）若函数()f x 有极值点，求m 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22. [选修4−4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为)0(sin 2cos πϕϕϕ<≤⎩⎨⎧+-==为参数，t t y t x ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1=ρ，l 与C 交于不同的两点21,P P（1）求ϕ的取值范围；（2）以ϕ为参数，求线段21P P 中点M 的轨迹的参数方程.23. [选修4−5：不等式选讲]（10分） 已知函数|2||4|)(-+-=x x x f （1）求不等式2)(>x f 的解集；（2）设)(x f 的最小值为M , 若M a x≥+2的解集包含]10[，，求a 的取值范围.高三文科数学答案一、选择题：BADA CBCB CDAB二、填空题：13. 3 14. 32 15.16. 5三、解答题：17. （1）（2）188918.（1）（2）19.（1）证明略；（2）P为BC的中点（2）直线NQ过定点20.（1）21.（1）（2）时，有一个极值点；时，函数有两个极值点22.（1）（2）23.（1）（2）。
黑龙江省哈尔滨市2018届高三数学上学期(10月)第二次验收考试试题理
黑龙江省哈尔滨市2018届高三数学上学期（10月）第二次验收考试试题 理考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分, 满分150分,考试时间为120分钟．（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.38sinπ的值等于 A.23 B. 23- C. 21 D. 21-2. 下列函数中，既是偶函数又在()+∞,0上单调递增的是A.3x y =B.1+=x yC.12+-=x y D.xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=213. 设5.021⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ，5.03=b ，2.0log 3=c ，则c b a ,,的大小关系是 A.b a c << B.c b a << C.c a b << D.b c a <<4. 为了得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上所有的点 A.向左平行移动3π个单位长度 B.向右平行移动3π个单位长度 C.向左平行移动6π个单位长度 D.向右平行移动6π个单位长度5. 已知314tan ,21)tan(=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+πββα，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα A.51 B.61 C.71 D. 766. 函数⎪⎭⎫⎝⎛+=3sin )(πωx x f ()0>ω的最小正周期为π，则函数)(x f 的一个单调 递减区间为 A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,2ππ D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,12ππ 7.ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若()3,622π=+-=C b a c ,则ABC ∆的面积为 A.3 B.239 C.233 D. 33 8．已知函数)sin(2)(ϕω+=x x f ()0>ω的图象的一部分如图所示，则下列结论不正确的是A ．3=ωB ．1)(-=ϕfC ．4π-=x 是函数的一条对称轴D ．），（012π-是函数的一个对称中心9. 设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且⎩⎨⎧<≥+=0),(0),1(log )(3x x g x x x f ，则[]=-)8(f gA.1-B.2-C.1D.210.已知钝角α终边上一点P 的坐标为()()3cos 2,3sin 2--，则角α的弧度为 A ．23π-B ．3-πC ．323-π D ．311.设函数)(x f y =在区间),(b a 上的导函数为)(x f '，)(x f '在区间),(b a 上的导函数为)(x f ''.若区间),(b a 上0)(>''x f ，则称函数)(x f 在区间),(b a 上为“凹函数”.已知2452121201)(x mx x x f --=在区间()3,1上为“凹函数”，则实数m 的取值范围是 A.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-931,B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡5,931 C.(]3,-∞- D.()5,∞- 12.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，满足⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x f x f 2323，当⎪⎭⎫⎝⎛∈23,0x 时， )1ln()(2+-=x x x f ，则函数)(x f 在区间[]6,0上的零点个数是A.3B.5C.7D.9第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、 填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应位置上) 13. 已知3tan =α，则=+-ααααcos 3sin 2cos 4sin 3________14. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x x f 2cos 62cos )(π的最大值为 _______ 15. 已知定义在R 上的函数x x g xx++=-22)(，则满足)3()12(g x g <-的x 的取值范围为_______16. 对于函数[]()⎪⎩⎪⎨⎧+∞∈-∈=,,2),2(21,2,0,sin )(x x f x x x f π 现有下列结论：①任取[)+∞∈,2,21x x ，都有1)()(21≤-x f x f②函数)(x f y =在[]5,4上单调递增 ③函数)1ln()(--=x x f y 有3个零点 ④若关于x 的方程)0()(<=m m x f 恰有3个不同的实根321,x x x ，，则213321=++x x x 其中正确结论的序号为_______（写出所有正确命题的序号）三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.已知锐角α的终边经过点)21(，P ，锐角β的终边过点)31(，Q （1）求)cos(βα-的值； （2）求βα+的值．18. 在ABC ∆中，C A B C A sin sin sin sin sin 222-=+ （1）求B 的大小；（2）设BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ,132==BD AD ，，求BAC ∠sin 的值.M B19.已知函数18cos 264sin)(2+--=xx x f πππ）（. （1）求)(x f 的最小正周期； （2）求当40≤≤x 时)(x f 的值域.20. 设()()b x a x x f ++=1log 2log 2222，且21=x 时()x f 有最小值8-. （1） 求a 与b 的值；（2）设(){}|0A x f x =>，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤-=R x t x x B ,21，且φ=B A I ，求实数t 的取值范围.21. 如图，ABC Rt ∆中，2π=B ，3,1==BC AB ．点N M ,分别在边AB 和AC上，将AMN ∆沿MN 翻折，使AMN ∆变为MN A '∆，且顶点A '落在边BC 上. 设θ=∠AMN(1) 用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； (2) 求线段CN 长度的最大值以及此时MN A '∆的面积．22.已知函数）（01)(>--=a ax e e x f xx⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵如果()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k , 那么是否存在a 使0<k ，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.高三学年第二次验收考试数学（理）答案一、选择题二、填空题 13.9514. 5 15. ）（2,1- 16. ①③④ 三、解答题 17. （1）1027； （2）43π18. （1）32π （2）81519. （1）8 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-323， 20. （1）6,2-=-=b a （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-23,8521,21. （1）)24(sin 212πθπθ≤≤=AM ； （2）93,34=≤S CN 22. （1）()∞+∞≤<，时-20a 单调递增 )24ln ,(22---∞>a a a 时单调递增)24ln ,24(ln 22-+--a a a a 单调递减),24(ln 2+∞-+a a 单调递增 （2）不存在。
黑龙江省哈尔滨市第六中学2018届高三上学期期末考试数学(理)试卷(含答案)
哈尔滨市第六中学校2017-2018学年度上学期期末考试高三理科数学考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合，，则（）A．B．C．D．2．函数的最小值是（）A．B．C．D．3．若向量，，，则、的夹角是（）A．B．C．D．4．等比数列的各项均为正数，且，则（）A．5 B．9 C．D．105．椭圆上的一点关于原点的对称点为，为它的右焦点，若，则的面积是（）A． 2 B． 4 C． 1 D．6．函数的值域为（）A．B．C．D．7．等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于，两点，，则的实轴长为（）A．B．C．4 D．88．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．96 B．C．D．9．已知圆方程为，若：；：圆上至多有3个点到直线的距离为1，则是的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．已知数列满足（），则（）A．B．C．D．11．三棱锥中，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．12．设是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在“次不动点”，若函数在区间上存在“次不动点”，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．Ⅱ卷（非选择题共90分）本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．13．若直线与垂直，则实数的值是____________.14．已知为虚数单位，复数（），若，则为____________.15．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离和的最小值是____________.16．如图所示，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，过三点作该正方体的截面，则截面的周长为____________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图所示，在中, 点为边上一点，且。
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三(上)期末数学试卷(理科)
2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．（5分）已知向量＝（﹣3，2），＝（﹣1，λ），且∥，则实数λ的值为（）A．1B．C．D．23．（5分）“α＝+2kπ（k∈Z）”是“cos2α＝”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a5+a9＝，则tan a7等于（）A．B．C．D．5．（5分）已知变量x、y满足的约束条件，则z＝3x+2y的最大值为（）A．﹣3B．C．4D．﹣56．（5分）阅读如图的程序框图，输出结果s的值为（其中i为虚数单位，i2＝﹣1）（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i7．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，则异面直线AD1与BO所成角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．（5分）如果双曲线的两个焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为y＝x，那么经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为（）A．4B．2C．2D．19．（5分）若某几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是边长为2的正方形，则该几何体的体积是（）A．B．C．2D．10．（5分）已知椭圆+x2＝l（a＞1）的离心率e＝，P为椭圆上的一个动点，则P 与定点B（﹣1，0）连线距离的最大值为（）A．B．2C．D．311．（5分）已知点M，N、P，Q在同一个球面上，且MN＝3，NP＝4，MP＝5，若四面体MNPQ体积的最大值为10，则该球的表面积是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，则函数y＝f（f（x））的零点个数为（）A．6B．7C．9D．10二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上.）13．（5分）已知椭圆＝1与双曲线＝1有共同的焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为．14．（5分）已知函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且为偶函数，则满足f（x2﹣2）＜f（1）的x的取值范围是．15．（5分）过点（﹣4，0）作直线L与圆x2+y2+2x﹣4y﹣20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则L的方程为．16．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，a n+1+a n＝2n+1，且S n＝2019，若a2＜2，则n的最大值为．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足（c﹣2a）cos B+b cos C ＝0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若＝12，b＝2，求a，c的值．（其中a＜c）18．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n+1＝S n（neN*）（Ⅰ）证明：数列{S n}为等比数列，并求S n；（Ⅱ）若b n＝1ga2n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD 的中点．（I）若P A＝PD，求证：AD⊥PB；（II）若平面P AD⊥平面ABCD，且P A＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，试确定点M的位置，使二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，并求出的值．20．（12分）在圆O：x2+y2＝4上取一点P，过点P作x轴的线段PD，D为垂足，当点P 在圆O上运动时，设线段PD中点M的轨迹为E．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试问在E上是否存在两点M，N关于直线l：y＝kx+对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+（x﹣1）（ax﹣a﹣1）．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若对∀x＞1，都有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）证明：（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n对任意正整数n均成立，其中e为自然对数的底数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x﹣2|，（k∈R），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣6ρsinθ+8＝0．（Ⅰ）求C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若C1与C2有四个公共点，求k的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣a2|+|x+2a﹣5|＜5．（Ⅰ）当a＝时，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式有实数解，求实数a的取值范围．2018-2019学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：P＝{x|x＜4}，Q＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．2．【解答】解：∵向量＝（﹣3，2），＝（﹣1，λ），且∥，∴，解得λ＝．∴实数λ的值为．故选：C．3．【解答】解：当a＝+2kπ（k∈Z）时，cos2a＝cos（4kπ+）＝cos＝反之，当cos2a＝时，有2a＝2kπ+⇒a＝kπ+（k∈Z），或2a＝2kπ﹣⇒a＝kπ﹣（k∈Z），故选：A．4．【解答】解：数列{a n}为等差数列，且a5+a9＝，则：，解得：，所以：tan．故选：B．5．【解答】解：作出不等式组对于的平面区域如图：由z＝3x+2y，则y＝，平移直线y＝，由图象可知当直线y＝，经过点A时，直线y＝的截距最大，此时z最大，由，解得，即A（2，﹣1），此时z max＝3×2﹣2＝4，故选：C．6．【解答】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S ＝i2019的值．S＝i2019＝（i4）504•i3＝﹣i．故选：D．7．【解答】解：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，∴AD1∥BC1，∴∠C1BO是异面直线AD1与BO所成角（或所成角的补角），设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则B1O＝C1O＝＝，BC1＝＝2，BO＝＝，∴cos∠C1BO＝＝＝．∴∠C1BO＝30°．∴异面直线AD1与BO所成角为30°．故选：D．8．【解答】解：如果双曲线的两个焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），一条渐近线方程为y＝x，∴，解得，b＝．所以经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为：＝＝4故选：A．9．【解答】解：几何体为不规则放置的四棱锥P＝ABCD，是正方体的一部分，如图：也可以看作是棱柱去掉两个三棱锥的几何体，∴几何体的体积：＝．故选：A．10．【解答】解：椭圆+x2＝l（a＞1）的离心率e＝，可得：，解得a＝，椭圆方程为：+x2＝l，设p（cosθ，sinα），则P与定点B（﹣1，0）连线距离：＝＝，当cosθ＝时，取得最大值：．故选：C．11．【解答】解：由题意，作图，易知∠PNM＝90°，则球心O在过PM中点O′与面MNP垂直的直线上，由四面体Q﹣MNP的最大体积为10，可得O′Q＝5，在△OO′P中，OP2＝OO′2+O′P2，∴R2＝（5﹣R）2+，得R＝，∴该球的表面积为：＝，故选：B．12．【解答】解：x≤5时，f（x）＝x3﹣x2﹣3x+2，f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），令f′（x）＝0，解得：x＞3或x＜﹣1，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，3）递减，在（3，5]递增，故f（x）极大值＝f（﹣1）＝，f（x）极小值＝f（3）＝﹣7，f（5）＝，而f（﹣3）＝﹣7，f（﹣2）＝，f（0）＝2，f（1）＝﹣＜0，f（4）＝﹣4，f（5）＝，故存在x1∈（﹣3，﹣2），x2∈（0，1），x3∈（4，5）使得f（x）＝0，x＞5时，f（x）在（5，+∞）递减，x→5时，f（x）→﹣2，画出函数f（x）的图象，如图示：，函数y＝f（f（x））的零点个数即y＝f（x）和y＝x1，y＝x2和y＝x3的交点个数，结合图象f（x）和y＝x1有4个交点，f（x）和y＝x2的图象有3个交点，f（x）和y＝x3的图象没有交点，故函数y＝f（f（x））的零点个数为7个，故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上.）13．【解答】解：椭圆＝1与双曲线＝1有共同的焦点，可得a2+b2＝4，即c＝2，双曲线的离心率为2，所以a＝1，则b＝，所以双曲线＝1的方程为：．故答案为：．14．【解答】解：根据题意，函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且为偶函数，则f（x2﹣2）＜f（1）⇒f（|x2﹣2|）＜f（1）⇒|x2﹣2|＞1，解可得：x＜﹣或﹣1＜x＜1或x＞，即x的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（﹣1，1）∪（，+∞）；故答案为：（﹣∞，﹣）∪（﹣1，1）∪（，+∞）．15．【解答】解：圆x2+y2+2x﹣4y﹣20＝0 即（x+1）2+（y﹣2）2＝25，∴圆心（﹣1，2），半径等于5，设圆心到直线的距离为d，由弦长公式得8＝2∴d＝3．当直线L的斜率不存在时，方程为x＝﹣4，满足条件．当直线L的斜率存在时，设斜率等于k，直线L的方程为y﹣0＝k（x+4），即kx﹣y+4k＝0，由圆心到直线的距离等于3得＝3，∴k＝﹣，直线L的方程为5x+12y+20＝0．综上，满足条件的直线L的方程为x＝﹣4或5x+12y+20＝0，故答案为：x＝﹣4或5x+12y+20＝0．16．【解答】解：由数列{a n}的前n项和为S n，a n+1+a n＝2n+1，可得a1+a2＝3，a3+a4＝7，a5+a6＝11，…，a29+a30＝59，a31+a32＝63，{a2k﹣1+a2k}的等差数列，首项为3，公差为4，数列{b k}的前k项和为T k，b k＝a2k﹣1+a2k可得，T k＝＝2k（k+1）＜2019，k∈N*，k＜32，T32＝2112＞2019．由S n＝2019，若a2＜2，则n的最大值为62，故答案为：62．三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．【解答】解：（Ⅰ）已知等式（c﹣2a）cos B+b cos C＝0，利用正弦定理化简得：（sin C﹣2sin A）cos B+sin B cos C＝0，整理得：sin C cos B+sin B cos C＝2sin A cos B，即sin（B+C）＝sin A＝2sin A cos B，∵sin A≠0，∴cos B＝，则B＝60°；（II）由＝12，得：ac cos B＝12，①又由（I）知B＝60°，∴ac＝24，②由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2ac cos B，将b＝2及①代入得：a2+c2＝52，∴（a+c）2＝a2+c2+2ac═52+2×24＝100，∴a+c＝10，③由②③知a、c是一元二次方程t2﹣10t+24＝0的两个根，解此方程，并由c＞a得：a＝4，c＝6．18．【解答】解：（Ⅰ）证明：a1＝2，a n+1＝S n（neN*），a n+1＝S n+1﹣S n＝S n，即为S n+1＝2S n，可得数列{S n}为首项为2，公比为2的等比数列，则S n＝2n；（Ⅱ）a n+1＝S n＝2n，即a n＝2n﹣1，n≥2，b n＝1ga2n＝lg22n﹣1＝（2n﹣1）lg2，则前n项和T n＝lg2•（1+3+…+2n﹣1）＝n2lg2．19．【解答】（I）证明：∵P A＝PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，∴BQ⊥AD，又∵PQ∩BQ＝Q，∴AD⊥平面PQB，又∵PB⊂平面PQB，∴AD⊥PB；（Ⅱ）解：∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD．以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系如图．则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0），设＝λ（0＜λ＜1），则M（﹣2λ，λ，（1﹣λ）），平面CBQ的一个法向量是＝（0，0，1），设平面MQB的一个法向量为＝（x，y，z），则，取z＝，则，∵二面角M﹣BQ﹣C大小为60°，∴＝，解得λ＝，此时＝．20．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），则点P（x，2y），将M（x，2y）代入圆O：x2+y2＝4，得x2+4y2＝4．所以E的方程为＝1．（Ⅱ）显然，直线MN存在斜率，设直线MN的方程为：y＝﹣x+m．联立，消去y并整理得：（k2+4）x2﹣8mkx+4k2（m2﹣1）＝0，△＝（﹣8mk）2﹣16（k2+4）k2（m2﹣1）＞0，化为：k2+4＞k2m2．设M（x1，y1），N（x2，y2）．则x1+x2＝，x1x2＝，依题意OM⊥ON，∴•＝0，∴x1x2+y1y2＝0，又y1y2＝（﹣x1+m）（﹣x2+m）＝x1x2﹣（x1+x2）+m2∴x1x2+y1y2＝（1+）x1x2﹣（x1+x2）+m2＝0，（1+）﹣•+m2＝0，解得：k2＝．由MN的中点（，）在直线y＝kx+上，∴＝k•+，＝k•+，化为：+＝0，把k2＝代入上式化为：10m2+m﹣6＝0，解得m＝（舍去），或﹣．∴k2＝＝2，解得k＝．满足k2+4＞k2m2．即满足△＞0．∴在E上存在两点M，N关于直线l：y＝kx+对称，且以MN为直径的圆恰好经过坐标原点．直线MN的方程为：y＝x﹣．21．【解答】（1）解：当a＝0时，f（x）＝lnx+1﹣x，（x＞0），．可得∈（0，1）时，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴f（x）的最大值为f（1）＝0；（2）解：f′（x）＝（ax﹣a﹣1）+（x﹣1）•a＝．．∵x＞1∴x﹣1＞0故：①当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在（1，+∞）单调递减，而f（1）＝0，∴f（x）＜0，不符合题意，②当a0时，，f（x）在（1，+∞）单调递增，在（而f（1）＝0，∴f（x）＞0，不符合题意，③当0＜a0时，时，f′（x）≤0，f（x）在（1，）单调递减，而f（1）＝0，∴此时f（x）＜0，不符合题意，综上所述：a的取值范围[，+∞）（3）证明：要证明（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．等价于证明，等价于证明ln+ln+…+ln+…ln．由（2）可得lnx＞（x﹣1）[1﹣（x﹣1）]在（1，+∞）恒成立．令x＝1+，k＝1，2，3，…n．则∴ln（1+）．∴ln+ln+…+ln+…ln＝．∴．ln+ln+…+ln+…ln．成立．∴（n2+1）•（n2+2）•（n2+3）……（n2+n）＞•n2n．成立．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）由ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，代入曲线C2的极坐标方程可得x2+y2﹣2x﹣6y+8＝0，因此，曲线C2的普通方程为（x﹣1）2+（y﹣3）2＝2；（2）曲线C1的方程可化为，由于曲线C1与曲线C2有四个公共点，则k＞0且：直线kx﹣y﹣2k＝0与曲线C2相交，则有，化简得k2﹣6k﹣7≥0，解得k≥7．直线kx+y﹣2k＝0与曲线C2相交，则有，化简得k2+6k﹣7≥0，解得k≥1．综上所述，实数k的取值范围是[7，+∞）．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）a＝时，|x﹣|+|x﹣2|＜5，故或或，解得：﹣＜x＜，故不等式的解集是{x|﹣＜x＜}；（2）若不等式有实数解，则|x﹣a2|+|x+2a﹣5|≤|x﹣a2﹣x﹣2a+5|＝|a2+2a﹣5|＜5．解得：0＜a＜2，即a的范围是（0，2）．。
黑龙江省哈尔滨市第三十七中学2018年高三数学理上学期期末试卷含解析
黑龙江省哈尔滨市第三十七中学2018年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设则的大小关系是（）A． B． C． D．参考答案：C略2. 已知，，，则（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【详解】,故故选：C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，熟记指对函数的单调性与底的关系是关键，属于基础题．3. 已知，符号表示不超过的最大整数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：C4. 在中，的对边分别为，已知，，，则．A．1 B．2 C． D．参考答案：B5. 已知函数，满足，且在上的导数满足，则不等式的解为（）A. B. C. D.参考答案：C6. 已知sin（α－）=，则cos（α+）=（）A．B．C．D．参考答案：A【分析】利用诱导公式化简要求的式子，可得结果．【解答】解：∵sin（α）=，则cos（α+）=cos[+（α﹣）]=﹣sin（α﹣）=﹣，故选：A．7. 已知i是虚数单位，且复数z满足，若z为实数，则实数a的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：D【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，结合已知条件列出方程，求解即可得答案．【解答】解： =，∵z为实数，∴，即a=1．则实数a的值为：1．故选：D．8. 如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于( )A. B. C. D.参考答案：C略9. 如图,正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A．直线AH和BB1所成角为45°B．AH的延长线经过点C1C．AH垂直平面CB1D1D．点H是的垂心参考答案：A10. 在平面直角坐标系中，A（，1），B点是以原点O为圆心的单位圆上的动点，则|+|的最大值是（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B【考点】向量的模；平行向量与共线向量．【分析】由题意可知向量||=1的模是不变的，当与同向时|+|的最大， =．【解答】解：由题意可知向量||=1的模是不变的，∴当与同向时|+|的最大，∴===3．故选B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为．参考答案：15略12. 某高中共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为______、_______、________.参考答案：15 10 2013. 已知，则参考答案：14. 已知函数则不等式f（x）＞1的解集为．参考答案：（﹣1，）．【分析】根据题意，由f（x）＞1，变形可得①或②，解①②再取并集可得x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数的解析式为，若不等式f（x）＞1，①或②，解①可得：﹣1＜x≤0，解②可得：0＜x＜，综合可得：x的取值范围：﹣1＜x＜，即（x）＞1的解集为（﹣1，）；故答案为：（﹣1，）．15. 如右图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .参考答案：255016. 已知一个三角形的三边长分别是5,5,6,一只蚂蚁在其内部爬行,若不考虑蚂蚁的大小,则某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过2的概率是☆．参考答案：17. 设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为．参考答案：4+2【考点】7F：基本不等式．【分析】=（）（a+b﹣1）=3+++1=4+【解答】解： =（）（a+b﹣1）=3+++1=4+当时，取等号．故答案为：4+2三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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哈尔滨市第六中学2017-2018学年上学期期末考试
高三理科数学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：每小题5分，共12小题 1.集合{}
24,031x y x Q x x x
P -==⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧>+-=,则=⋂Q P （ ）
A. (12]，
B. [12]，
C. ),1()3,(+∞⋃--∞
D. [12)， 2.已知复数531i
z i
+=
-，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4i B. z 的共轭复数为14i -
C ．5z = D. z 在复平面内对应的点在第二象限
3.下列命题中正确命题的个数是（ ） （1）cos 0α≠是2()2
k k Z π
απ≠+
∈的充分必要条件
（2）()sin cos f x x x =+则()f x 最小正周期是π
（3）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后， 则样本的方差不变 （4）设随机变量ζ服从正态分布(0,1)N ,若(1)P p ζ>=，则1
(10)2
P p ζ-<<=- A.4 B.3 C.2 D.1
4. 某几何体三视图如下，图中三个等腰三角形的直角边长 都是2，该几何体的体积为 ( )
A ．43
B. 83
C.4
D. 16
3
5.函数12
log (sin 2cos
cos 2sin )44
y x x π
π
=-的单调递减区间为（ ） A.5(,)88k k π
πππ+
+
k Z ∈ B. 3(,)88k k ππ
ππ++ k Z ∈
C. 3(,)88k k ππππ-+ k Z ∈
D. 35(,)88k k ππ
ππ++
k Z ∈
6．执行如图程序框图其输出结果是 （ ） A ．29 B ．31
正视图
俯视图
侧视图
C．33 D．35
7.变量,x y满足条件
10
1
1
x y
y
x
-+≤
⎧
⎪
≤
⎨
⎪>-
⎩
，则22
(2)
x y
-+的最小值为（）
9
2
D. 5
8．哈六中高一学习雷锋志愿小组共有16人，其中一班、二班、
三班、四班各4人，现在从中任选3人，要求这三人不能是同一
个班级的学生，且在三班至多选1人，不同的选取法的种数为
( )
A.484
B. 472
C.252
D.232
9.设不等式组03
01
x
y
≤≤
⎧
⎨
≤≤
⎩
表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点，则此点到坐标原点的距离小于2的概率是（）
B.
3
6
π-
D.
4
π
10.若抛物线22(0)
y px p
=>的焦点为F，其准线经过双曲线
22
22
1(0,0)
x y
a b
a b
-=>>的左焦点，点M为这两条曲线的一个交点，且MF p
=，则双曲线的离心率为（）
A
2
1
11.在平行四边形ABCD中，0
AC CB
⋅=
,
22
240
BC AC
+-=
,若将其沿AC折成直二面角D AC B
--,则三棱锥D AC B
--的外接球的表面积为（）
A．16π B.8π C. 4π D. 2π
12.已知函数()ln
f x x x k
=-+，在区间
1
[,]e
e
上任取三个数,,
a b c均存在以()
f a，()
f b，()
f c为边长的三角形，则k的取值范围是（）
A．(1)
-+∞
， B.(,1)
-∞-
C. (,3)
e
-∞- D. (3)
e-+∞
，
二、填空题：每小题5分，共20分
13.
在*
3)()
n n N
∈的展开式中，所有项的系数和为32
-，则
1
x
的系数等于
14. AOB ∆为等腰直角三角形，1OA =,OC 为斜边AB 的高，点P 在射线OC 上，则
AP OP ⋅
的最小值为
15.椭圆22
221(0,0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，(,0),(0,),(0,)A a B b C b --分别为其三个
顶点. 直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率1
2
e =
，则tan BDC ∠= 16. 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，且2,c b ==，则ABC ∆的面积最大值为
三、解答题：共70分
17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()
*∈+=N n S a n n 12
1
. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若n n a b 2log =,1
1
+=
n n n b b c ,且数列{}n c 的前n 项和为n T ,求n T 的取值范围.
18.为了增强环保意识，我校从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示： （Ⅰ）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关； （Ⅱ）为参加市里举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为
3
2
，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望.
附:2
K ＝2
()
n ad bc -
19.ABC ∆为等腰直角三角形，4==BC AC ，
90=∠ACB ，D 、E 分别是边AC 和AB
的中点，现将ADE ∆沿DE 折起，使面ADE ⊥面DEBC ，H 、F 分别是边AD 和BE 的
A
H
I
G
中点，平面BCH 与AE 、AF 分别交于I 、G 两点． （Ⅰ）求证：IH //BC ；
（Ⅱ）求二面角C GI A --的余弦值；
20.已知椭圆14
:22
=+y x E 的左，右顶点分别为B A ,，圆422=+y x 上有一动点P ,点P 在x 轴的上方，()0,1C ，直线PA 交椭圆E 于点D ，连接PB DC ,. (1)若︒=∠90ADC ,求△ADC 的面积S ;
(2)设直线DC PB ,的斜率存在且分别为21,k k ,若21k k λ=, 求λ的取值范围.
21.设函数2
1()ln .2
f x x ax bx =-- (1)当1
2
a b ==
时，求函数)(x f 的最大值； (2)令21()()2a
F x f x ax bx x
=+++，（03x <≤）。