2.1.2 直线的方程2
必修2：2.1.2直线的方程(二)
2.1.2直线的方程——两点式、截距式陆邦军2009-12-20教学目标：1、让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程，并能运用这两种形式求出直线的方程；2、通过这节课的学习，让学生学会较灵活的求直线方程的方法，能够一题多法，一题妙法；3、培养学生的数形结合的数学思想，为今后的学习打下良好的基础． 教学重点：两点式的推导教学难点：斜率k 不存在或斜率k=0时对两点式方程的讨论及变形 教学方法：二先二后 教学课时：1节 教学工具：常规教学过程： 一、复习回顾：直线的点斜式和斜截式： 1、 点斜式：()11x x k y y -=- 2、 斜截式：b kx y +=二、新课引入：请同学们阅读课本P73-P74，回答以下问题：不同两点可确定一条直线，那么直线l 经过两点),(111y x P ，),(222y x P ()21x x ≠，怎样求得直线l 的方程？由此我们可得到直线的两点式方程： 。
说明：（1）这个方程是由直线上两点确定，叫两点式.（2）当直线没斜率或斜率为0时，不能用两点式来表示； 思考：（1）方程12111x x y y x x y y --=--的左、右两边各具有怎样的几何意义？它表示什么图形？（2）方程12111x x y y x x y y --=--和方程121121x x x x y y y y --=--表示同一图形吗？例1（课本例题1）： 已知直线l 都经过点()0,a A ，()b B ,0，其中0≠ab ，求直线l 的方程（如图）这样我们得到直线的截距式方程：，其中a，b分别称为直线在x轴，y轴的截距，即横截距和纵截距。
它是两点式中特殊两点的情况。
说明：（1）这一直线方程是由直线的纵截距和横截距所确定；叫直线方程的截距式.（2）截距式适用于纵，横截距都存在且都不为0的直线；随堂练习：1、求经过下列两点的直线的两点式方程，再化斜截式方程.(1)P(2，1)，Q(0，-3)(2)A(0，5)，B(5，0)(3)C(-4，-5)，D(0，0)2、书本第74页练习题4，回答问题：例2（课本例题2）：已知三角形的顶点是A（-5，0）B（3，-3）C（0，2）,求这个三角形三边所在的直线方程？解：变式训练：△ABC的顶点是A(0,5) 、B(1,-2) 、C(-7,4),求BC边上的中线所在直线的方程。
直线方程的四种形式
y − y1 x − x1 = , ( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 ) y2 − y1 x2 − x1
§2.2.2.1直线的点斜式方程和两点式方程 直线的点斜式方程和两点式方程
1.已知直线在 轴上的截距是 ，在y轴 已知直线在x轴上的截距是 已知直线在 轴上的截距是a， 轴 上的截距是b， 上的截距是 ，且a≠0，b≠0， ， ， 求证直线的方程可写为 (这种形式的直线方程， 这种形式的直线方程， 这种形式的直线方程 叫做直线的截距式方程 叫做直线的截距式方程)
点评： 点评
根据所给条件选择合适直线的方程，直接代入 根据所给条件选择合适直线的方程， 即可. 即可
§2.2.2.1直线的点斜式方程和两点式方程 直线的点斜式方程和两点式方程 根据下列直线方程， 例二 根据下列直线方程，分别写出各直线经过的 一点和直线斜率
(1) y − 2 = x + 1
( 3) y = −4 x + 3
y − y0 即： k = 所以，y − y 0 = k ( x − x 0 ) x − x0
§2.2.2.1直线的点斜式方程和两点式方程 直线的点斜式方程和两点式方程 例一 求下列直线的方程
﹙1﹚.直线 1:过点 直线l 过点（2，1）,k=-1； ﹚ 直线 过点
1 直线l ﹙2﹚.直线 2:过点 ( 0,1) , k = − ﹚ 直线 Nhomakorabea过点 2
点评： 点评
( 2) y + 4 =
3 ( x − 2) ;
2 ( 4) y = x − 3 5
逆用直线方程， 逆用直线方程，即由方程可看出经过的点和 直线的斜率. 直线的斜率
§2.2.2.1直线的点斜式方程和两点式方程 直线的点斜式方程和两点式方程
2.1.2 直线的方程-点斜式
重 点
两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方 程和两点式方程上。 1.直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
难 点
2.在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的 方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个 方程的解为坐标的点在直线上。
中 心 发 言 人
张文静
教 具
课 型
y y0 x x0
，可化为：
教 学 过 程
y y0 k ( x x0 )
„„„„„„ ①
【探究】思考下面的问题： （不必严格地证明，只要求验证） （1）过点 P0 ( x 0 , y 0 ) ，斜率为 k 的直线 l 上的点，其坐 标都满足方程①吗？ （2） 坐标满足方程①的点都在过点 P0 ( x 0 , y 0 ) ， 斜率为 k 的直线 l 上吗？ 生：经过探究和验证，上述的两条都成立。所以方程① 就是过点 P0 ( x 0 , y 0 ) ，斜率为 k 的直线 l 的方程。 因此得到： 一 直线的点斜式方程：
经过分析，同学们的猜想是正确的。 师：已知直线的斜率为 k，与 y 轴的交点是 P（0，b） ， 求直线 l 的方程。 生： 因为直线 l 的斜率为 k ， y 轴的交点是 P（0，b） 与 ， 代入直线方程的点斜式，得直线 l 的方程为：
y b k ( x 0 ) 即： y kx b
二
直线斜截式方程：
y kx b
„„„„„„„ ②
我们把直线 l 与 y 轴交点（0， b ）的纵坐标 b 叫做直 线 l 在 y 轴上的截距(即纵截距)。方程②是由直线 l 的斜率
k 和它在 y 轴上的截距 b 确定的，所以叫做直线斜截式方
程，简称为斜截式。 师：截距是距离吗？ 生：不是，b 为直线 l 在
2016_2017学年高中数学第二章解析几何初步2.1.2直线的方程第二课时直线方程的两点式和一般式
[边听边记]
y－3 x＋2 (1)由两点式得－1－3＝4＋2，化简得 2x＋3y－5＝0.
x y (2)由截距式得4＋－5＝1，化简为 5x－4y－20＝0. (3)当直线过原点时，所求直线方程为 3x－2y＝0； x y 当直线不过原点时，设直线方程为a＋a＝1. 2＋3 因为直线过点 P(2,3)，所以 a ＝1，即 a＝5. 直线方程为 y＝－x＋5. 所以所求直线方程为 3x－2y＝0 或 x＋y－5＝0.
解析：
(1)由点斜式可得直线方程为
3 y－3＝－5(x＋2)． 化为一般式为 3x＋5y－9＝0. x y (2)由直线方程的截距式可得－3＋4＝1， 化为一般式得 4x－3y＋12＝0.
合作探究· 课堂互动
直线方程的两点式方程和截距式 求满足下列条件的直线方程： (1)过点 A(－2,3)，B(4，－1)； (2)在 x 轴、y 轴上的截距分别为 4，－5； (3)过点 P(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等．
(4)特别地，当 A、B 两点为直线与坐标轴的交点(非原点)时，两点式可化为 截距式，所以截距式是两点式的特殊情况． (5)截距式方程的适用条件是 a≠0，b≠0，即截距式方程不能表示过原点的直 线，也不能表示与坐标轴平行的直线．
直线方程的一般式
不同时为0 表示的是 关于 x ， y 的二元一次方程 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0(A ， B__________) 一条直线 ，我们把它叫作直线方程的一般式． __________
[自主练习] 1．下面四个说法中正确的是( )
A．经过定点 P0(x0，y0)的直线都可以用方程 y－y0＝k(x－x0)表示 y1)， P2(x2， y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2 B． 经过任意两个不同的点 P1(x1， －x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 x y C．不经过原点的直线都可以用方程a＋b＝1 表示 D．经过定点 A(0，b)的直线都可以用方程 y＝kx＋b 表示
【2020苏教版】江苏省西亭高级中学2019-2020学年度高二数学教案必修二2.1.2直线的方程
2．1．2 直线的方程一、双基诊断1．过点（2，-3），且与y 轴平行的直线的方程是 。
2．已知直线y=kx+b 经过第二、三、四象限，则 （ ）A ．k ＞0，b ＜0B ．k ＞0，b ＞0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜0 3．已知两点A(a,b),B(b,a),其中a ≠b ，则直线AB 的方程为 （ ）A ．x +y-a -b=0B ．x +y+a -b=0C ．x -y-a -b=0D ．x -y+a -b=0 4．直线y=k(x+1)+2经过的定点是 （ ） A ．（1，2）B ．（1，-2）C ．（-1，2）D ．（-1，-2）5．若不管t 取怎样的实数，点（-1+4t ，2+3t ）均在同一条直线上，这条直线的方程是1． 基本内容直线方程有5种不同的形式（1）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)，点斜式方程表示经过点(x 0，y 0)且不垂直于x 轴的直线。
用点斜式表示直线方程的前提条件是直线的斜率必须存在。
（2）斜截式：y=kx+b ，斜截式方程是点斜式方程的特例，即该点必须取在y 轴上。
用斜截式表示直线方程的条件也是直线的斜率必须存在。
关于直线在y 轴上的截距b ，就是直线与y 轴交点的纵坐标，因此b 的取值范围为R ，它可以取正，取负，也可取0。
截距不是距离，因距离是非负的，而截距的取值是任意的。
相对于直线在y 轴上的截距，也有直线在x 轴上的截距a ，同样的直线方程可写为x=my+a ，它回避一类垂直于x 轴的直线，但不能表示重合或平行于y 轴的直线，它具有同直线斜截式一样的优越性。
（3）两点式：y -y 1y 2-y 1 = x -x 1x 2-x 1 ，由于x 1≠x 2，y 1≠y 2，故两点式方程不能表示垂直于坐标轴（含x 轴与y 轴）的直线。
当x 1=x 2时，直线方程为x= x 1（= x 2）；当y 1=y 2时，直线方程为y= y 1（= y 2）。
陕西省西安市高新第一中学北师大版高中数学必修二2.1.2 直线的方程教案
【教学案例】直线的方程（一）（西安高新一中）（一）教学分析1．学生起点分析：（1）学生已经具备的知识：点的坐标，直线的y截距，直线的倾斜角，直线的斜率，两点确定一条直线，（2）学生活动的经验基础：学生在初中甚至是在小学就基本掌握了过两点作一条直线，如何过直线外一点作一条直线的的平行线，其中最重要的体验就是要确定过该点的直线的倾斜方向，意识到确定直线需要的2个要素。
2．教学任务分析：（1）通过本节的学习，学生要明确确定直线的因素——经过的一个点和直线的方向。
（2）有了直线的点斜式方程，就可逐一探求出直线方程的其他形式。
探求过程本身并没有多少难度，但过程中体现出的思想方法却很有必要挖掘。
从点斜式到斜截式，是从一般到特殊的思维过程，用到了演绎思想；从点斜式到两点式，是从一般到一般的逻辑推理，依靠直线的斜率来过渡，体现了转化思想；从两点式到截距式，又是从一般到特殊的思维过程，再一次用到演绎思想。
（3）两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率．因而在教学中要突出点斜式方程。
（二）教学过程1．问题提出：方案一：我们知道，点的代数表示形式是坐标，那么点动成线，直线的代数表示形式会有吗？如果有，应该是什么？我们来探究。
方案二：一次函数的一般形式为y = kx + b，其图像为一条直线。
当一次项系数k> 0时，函数单调递增，图像呈上升趋势，是一条逐渐上升的直线；当一次项系数k< 0时，函数单调递减，图像呈下降趋势，是一条逐渐下降的直线；当一次项系数k = 0时，函数为常数函数，图像是一条与y轴垂直的直线。
问题提出：①从集合的角度看，直线可以看成什么？②在平面直角坐标系中，点的代数形式是什么？③一次函数的图像是怎么描绘出来的？④一次函数的解析式可以看成什么？⑤在平面直角坐标系中，直线的代数形式是什么？⑥从直线的代数形式上看，确定直线的因素是什么？⑦这些因素的几何意义你知道吗？是什么？⑧在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何因素是什么？⑨从对上面问题的解答中，你能抽象出与直线有着直接关系的数学概念吗？分别有哪些？你能对它们进行叙述或定义吗？⑩在平面直角坐标系中，所有直线都可以写成一次函数的解析式吗？问题解答：①可以看成点的集合。
直线的平面束方程
直线的平面束方程 在几何学中，直线是最基本的图形之一。
而关于直线的性质和表达方式有很多不同的方法。
本文将会重点介绍直线的平面束方程，通过一步步的思考来详细描述该方程的定义、性质和应用。
一、直线和平面束的基本概念1.1 直线： 直线是由无穷多个点组成的无限延伸的线段。
直线可以通过其上的两个不同点来确定。
1.2 平面束： 平面束由一系列的平面构成，其中每个平面都通过一个共同的直线。
二、直线的方程2.1 直线方程的一般形式： 一条直线可以用一个一次方程来表示，其一般形式为y = kx + b ，其中k为斜率，b为截距。
2.2 直线的斜截式方程： 直线的斜截式方程为y = kx + b，斜率k代表直线的倾斜程度，截距b代表直线与y轴的交点。
2.3 直线的截距式方程： 直线的截距式方程为x/a + y/b = 1，其中a和b分别代表直线与x轴和y轴的截距。
三、平面束方程的定义3.1 平面束方程的基本形式： 平面束方程是一个包含两个自变量（x和y）和一个参数（λ）的方程，形式为Ax + By + λ = 0，其中A、B和λ为实数。
3.2 平面束方程的性质： - 当λ取不同的值时，方程代表了不同的平面，这些平面都通过同一条直线。
- 平面束方程中的A和B与直线的斜率有关。
- 平面束方程中的λ表示平面的位置或倾斜程度。
四、平面束方程的应用4.1 平面束方程在计算机图形学中的应用： 平面束方程在计算机图形学中被广泛应用于建模和渲染等方面。
通过定义一个平面束方程，可以描述出一个空间内的多个平面，并以此构建三维场景。
4.2 平面束方程在建筑中的应用： 在建筑设计中，平面束方程可以用来描述建筑物的立面，通过改变方程中的参数λ，可以调整立面的倾斜程度和形状。
4.3 平面束方程在光学中的应用： 在光学领域中，平面束方程可以用来描述光线的传播路径。
通过调整方程中的参数λ，可以模拟出不同的光线传播效果。
通过本文的介绍，我们了解了直线和平面束的基本概念，并深入探讨了直线的方程和平面束方程的定义、性质及应用。
【优化方案】2012高中数学 第2章2.1.2直线的方程课件 苏教版必修2
【解】
名师点评】 【 名师点评 】
(1)已知直线上的两点坐标时 ， 通 已知直线上的两点坐标时， 已知直线上的两点坐标时
常用两点式求直线方程． 常用两点式求直线方程． (2)由于减法运算的顺序性 ， 一般用两点式求直线 由于减法运算的顺序性， 由于减法运算的顺序性 方程时常会将字母或数字的顺序错位而致错， 错 方程时常会将字母或数字的顺序错位而致错 ， 误的原因是没有将实际解题中的数与公式中的字 母对应起来造成的， 只有深刻理解公式， 母对应起来造成的 ， 只有深刻理解公式 ， 才能避 免类似“低级”错误． 免类似“低级”错误．
y－y1 y2－y1 － 提示：不能． 提示：不能．因为方程 ＝ 所表示的图形 x－x1 x2－x1 － 不含点(x 不含点 1，y1)，故不能代表整条直线，故不能用其 ，故不能代表整条直线， 代替两点式方程． 代替两点式方程．
x y a＋b＝1 ， 它 表 示 经 过 点 4 ． 截 距 式 方 程 ： _________
【名师点评】 名师点评】
(1)求直线的点斜式方程． 求直线的点斜式方程． 求直线的点斜式方程
(2)将直线的方程求出后，为了统一答案的形式，如 将直线的方程求出后，为了统一答案的形式， 将直线的方程求出后 果没有特别要求，一般都将直线的方程化为 ＋ 果没有特别要求，一般都将直线的方程化为Ax＋By 不全为0)的形式 ＋C＝0(A、B不全为 的形式． ＝ 、 不全为 的形式．
x y ∴直线 l 的方程为 ＋ ＝1，即 x＋4y－8＝0. ， ＋ － ＝ 8 2
直线的一般式方程 直线方程的四种特殊形式， 直线方程的四种特殊形式 ， 都可以化为直线的一 般式， 但一般式不一定都能化为四种特殊形式， 般式 ， 但一般式不一定都能化为四种特殊形式 ， 这要看A、 、 是否为零才能确定 是否为零才能确定． 这要看 、B、C是否为零才能确定．
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直线的方程（2）
班级 姓名 小组 学习目标
1. 掌握直线方程的两点式和截距式；
2．会把直线方程转化成0=++c by ax 的形式．
重难点 导学提纲
（一）了解感知
1.直线的两点式方程：
一般地，设直线l 经过点()()222111,,,y x P y x P ，其中2121,y y x x ≠≠则方程可以表示为 ，称其为直线的两点式方程．
当21x x =时，直线l 与 轴垂直，斜率 ，它的方程是 ．
当21y y =时，直线l 与 轴垂直，斜率 ，它的方程是 ．
当 时，不能用两点式。
2.直线的截距式方程
已知直线l 经过两点()()b P a P ,0,0,21,其中0,0≠≠b a ，则直线l 的方程为 ．
当直线与x 轴 、或与y 轴 、或过 的时候，不能用截距式.
（二）深入学习
1.回答下列问题：
(1)任一条直线都有x 轴上的截距和y 轴上的截距吗？
(2)如果两条直线有相同斜率，但在x 轴上的截距不同，那么它们在y 轴上的截距可能相同吗？
(3)如果两条直线在y 轴上的截距相同，但是斜率不同，那么它们在x 轴上的截距可能相同吗？
(4)任一条直线都可以用截距式方程表示吗？
2.已知直线l 过点()25，P 且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．
变式1：已知直线l 过点()25，P ，且l 在x ，y 轴上的截距互为相反数，求直线l 的方程．
变式2：已知直线l 过点()25，P ，且l 在x 轴上截距是y 轴上截距的2倍，求直线l 的方程．
变式3：直线l 过点()25，，且与两坐标轴围成等腰三角形，求直线l 的方程．
变式4：直线l 过点()25，，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．
变式5：直线l 点B ()20，且与x 轴交于A 点，若4=AB ，求直线l 的方程.
（三）展示设计
1.分别写出经过下列两点的直线的方程：
（1）()()21-31，，，
（2）()()4333，，，
（3）()()3332-，，，
2.已知两点()()12,8,23B A ，.
(1)求直线AB 的方程；
(2)若点()a C ，2-在直线AB 上，求实数a 的值.。