75中高二数学竞赛训练试卷(4)

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高二文科数学竞赛试题及答案

高二文科数学竞赛试题2008.12.12一、选择题（50分） 1、不等式11112-≥-x x 的解集为（） A ．),1(+∞ B ．),0[+∞ C ．),1()1,0[+∞ D ．),1(]0,1(+∞- 2、当x ＞1时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(－∞，2] B ．[2，+∞﹞ C ．[3，+∞﹞ D ．(－∞，3]3、若直线10ax y +-=与直线4(3)40x a y +-+=平行，则实数a 的值等于（） A ．4 B ．4或1- C ．35D ．32-4、下列命题在空间中正确的个数是（） ○1三点确定一个平面； ○2一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； ○3两组对边相等的四边形是平行四边形； ○4有三个直角的四边形是矩形. A ．0 B ．1 C ．2 D ．35、曲线422=+y x 与曲线))2,0[(sin 22cos 22πθθθ∈⎩⎨⎧+=+-=参数y x 关于直线l 对称，则直线l 的方程为（）A ．02=+-y xB ．0=-y xC ．02=-+y xD ．2-=x y6、椭圆192522=+y x 上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于（） A ．2 B ．4 C ．6 D ．237、若双曲线1922=-m y x 的渐近线l 方程为x y 35±=，则双曲线焦点F 到渐近线l 的距离为（）A ．2B ．14C ．5D ．258、已知A (1,0)-、B (1,0)，以AB 为一腰作使∠DAB=90直角梯形ABCD ，且3A D B C =，CD 中点的纵坐标为1．若椭圆以A 、B 为焦点且经过点D ，则此椭圆的方程为（）A ．22132x y +=B ．22134x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=9、设圆222(3)(5)x y r +++=上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围是（） A ．615r <<B ．45r > C ．4655r << D ．1r > 10、设双曲线的左、右焦点为F 1，F 2，左、右顶点为M ，N ，若12PF F ∆的顶点P 在双曲线上，则12PF F ∆的内切圆在边F 1F 2上的切点是（）A ．点M 或NB ．线段MN 上的任意点C ．线段F 1M 或NF 2上的任意点D ．不能确定二、填空题（25分）11、函数254()2x x f x x-+=-在(,2)-∞上的最小值是____________.12、函数f(x)=842222+-++-x x x x 的最小值是____________.13、已知动圆P 与定圆C ：22)2(y x ++=1相外切，又与定值线L ：1=x 相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是____________.14、如果双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且||4||21PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为____________. 15、右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中，①ED BM 与平行; ②CN 与BE 是异面直线;③CN 与BM 成︒60角; ④DM 与BN 垂直;以上四个命题中，正确命题的序号是____________. 三、解答题（75分）16、（12分）已知：R y x b a b a ∈=+,1,，且满足正数.求证：222)(by ax by ax +≥+. 17、（12分）在平面直角坐标系xOy 中，点P 到两点（0，－3）、（0，3）的距离之和等于4.设点P 的轨迹为C . (1)求轨迹C 的方程；(2)设直线y =kx +1与C 交于A 、B 两点，k 为何值时?⊥此时||的值是多少？18、（12分）如图，在棱长为4的正方体AC 1中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是CC 1，AD 的中点，求异面直线OE 与FD 1所成的角的大小.19、（12分）有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD ，按图示方法进行折叠，使每次折叠后点B 都落在AD 边上，此时将B 记为B '（注：图中EF 为折痕，点F 也可落在边CD 上）；过B '作B T CD '//交EF 于T 点，求T 点的轨迹方程.A B ' DE20、（13分）设实数x ，y 满足不等式组{41912422≤+≤+-≥+y x x x y （1）求点（x ，y ）所在的平面区域的面积；CE1A 1 EA FB CMN D（2）设a ＞-1，求函数f(x ，y)=y-ax 的最大值和最小值，并指出取最值时的x ，y 的值.21、（14分）已知：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率e ，过点(0,)A b -和(,0)B a（1）求双曲线方程；（2）若直线(0,0)y kx m k m =+≠≠与双曲线交于不同的两点,C D ，且,C D 两点都在以A 为圆心的同一个圆上，求m 的取值范围.高二文科数学竞赛试题答案一、选择题：1-5、DDABA ； 6-10、B CCCA. 二、填空题：11、2 ；12、10 ；13、x y 82-= ；14、35；15、③④. 三、解答题： 16、略.17、(1)1422=+x y ；(2)1765421=±=k . 18、arccos515. 19、解：以边AB 的中点O 为原点，AB 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则B （02，-），（2分）因为|||'|'BT B T B T AD =⊥，，根据抛物线的定义，T 点的轨迹是以点B 为焦点、AD 为准线的抛物线的一部分（6分）设T x y (),，||AB =4，即定点B 到定直线AD 的距离为4，∴抛物线方程为x y 28=-. （9分）在折叠中，线段AB '长度|'|AB 在区间[]04，内变化，而x AB ='， ∴≤≤04x ，故T 点的轨迹方程为x y x 2804=-≤≤()（12分）另解：以BC 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，4），B （0，0）设T 点坐标为()x y ，，||()BE t t =≤≤24，则|'|||B E t AE t ==-，4，从而B '的坐标为()2244t -，，∴直线B T '的方程为x t =-224， ①又EF 是BB '的垂直平分线，直线BB '斜率k t BB '=-224，线段BB '的中点为()242t -，（6分）于是直线EF的方程y t x t -=----224224()，②联立①、②消去t 得：x y 282=--()，（9分）244≤≤∴0≤≤t x ，，故T 点的轨迹方程为x y x 28204=--≤≤()()（12分）.20、(1)12；(2){21,122,13min max ),(;73),(≤<--->+-=+=a a a a y x f a y x f .21、解：（1）设c =:1x yAB a b-=. 整理得AB ：bx -ay -ab =0与原点距离ab d c ===，又c e a ==，联立上式解得b =1，∴c =2，a =∴双曲线方程为2213x y -=.（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）设CD 中点M （x 0，y 0），∴12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，∴|AC|=|AD|，∴AM ⊥CD. 联立直线l 与双曲线的方程得22()13x kx m -+=，整理得（1-3k 2）x 2-6km x -3m 2-3=0，且22013()m k ∆>⇒+>*.∴12023213x x kmx k +==- ， 12120()222y y k x x m y -++==， ∴202232(13)2(13)13k m m k my k k ⋅+-==--.∴223(,)1313km mM k k--，∴AM ⊥CD. ∴221113313AM mk k km k k +-==--，整理得2314k m -=，则2413m k +=且k 2>0，，代入()*中得(4)0m m ->.∴1(,0)(4,)4m ∈-+∞.。

高二数学竞赛试卷

高二数学竞赛试卷命题人：张胜生一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将答案填在答题表中．．．．．．．．．．！．) 1、空间四个点，如果其中任意三点不共线，则过其中任意三点的平面的个数为：( )A 、2或3个B 、3或1个C 、4或3个D 、4或1个 2、或a 、b 为异面直线，b 、c 是异面直线，则a 与c ：A 、平行B 、异面C 、相交D 、以上都有可能 3、设a 、b 是两条不相交的直线，则过b 具平行于a 的平面：( ) A 、有且仅有一个 B 、至少一个 C 、至多一个 D 、无数个4、设直线l 和平面α、β，且直线l ⊄α，l ⊄β，给出下列论断：①l ⊥α ②α⊥β③l ∥β，从中取两个作为条件，其余的一个作为结论，在构成的诸命题中，正确命题的个数是（）． A 、0 B 、 1 C 、2 D 、 35、已知三棱锥D —ABC 三个侧面与底在全等，且AB=AC=3，BC=2，则以BC 为棱以面BDC 与面BCA 为面的二面角大小是：( ) A 、4π B 、3π C 、2π D 、π326、在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1是，A 1B 1与BC 1的距离是：( ) A 、2 B 、22C 、3D 、6 7、正四棱柱一个侧面的面积为S ，则它的对角面面积为：( ) A 、S 2 B 、2S 2 C 、S D 、2S8、在()nx 21-的展开式中，各项系数的和是（）A 、1B 、n2 C 、－1 D 、1或－19、把长和宽分别是8和6的长方形ABCD 沿对角线AC 折成二面角B —AC —D ，使A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则此球的表面积为：( )A 、100πB 、400πC 、π3400D 、200π 10、设平面α⊥平面β，在α内一条直线m 垂直于β内的一条直线n ，则：( ) A 、m 必垂直于平面β B 、n 必垂直于平面αC 、m 不一定垂直于平面βD 、过m 的平面与过n 的平面垂直11、从6个中任选4人排成一排，其中甲、乙必入选，且甲必须排在乙的左边（可以不相邻），则所有不同排法种数是（）A 、36B 、72C 、144D 、288 12、已知：a 、b 是直线，α、β、γ是平面，给出下列命题： ①a ∥b ，a ⊥α,b ∥β，则α⊥β; ②a ⊥β, α⊥β, 则a ∥α; ③α⊥γ,β⊥γ，则α∥β; ④a ∥b ，a ∥α,b ∥β，则α∥β; ⑤a ∥α，a ∥β,α∩β=b ，则a ∥b.其中正确命题的个数是（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分满分共25分；将正确答案填入答卷的相应横线上）14、半径为R 的球面上有A 、B 两点，它们的球面距离是2πR ，则线段AB 的长为。

2019年高二数学竞赛试题-推荐word版 (24页)

本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==高二数学竞赛试题篇一：高二数学竞赛试题高二理科数学竞赛试题考试时间：120分钟满分：150分（请将试题答案做在答题纸上）第Ⅰ卷（选择题 50分）选择题（每小题5分，共10题）1.在等差数列?an?中，a1?3,且a1,a4,a10成等比数列，则an的通项公式为（） A. an?2n?1 B. an?n?2C.an?2n?1或an?3 D. an?n?2或an?32.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a2?b2?，sinC?B，则A= ( )（A）300 （B）600（C）1200 （D）15003、设?an?是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X,Y,Z，则下列等式中恒成立的是( )A、X?Z?2Y B、Y?Y?X??Z?Z?X?C、Y2?XZ D、Y?Y?X??X?Z?X?4.已知{a5n}为等比数列，Sn是它的前n项和。

若a2?a3?2a1，且a4与2a7的等差中项为4，则S5= A．35B.33C.31 D.295、在?ABC，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosC?csinBcosA?12b, 且a?b,则?B? A．??26 B．3C．?5?3D．66、0?b?1?a,若关于x 的不等式(x?b)2＞(ax)2的解集中的整数恰有3个，则（）（A）?1?a?0（B）0?a?1（C）1?a?3（D）3?a?6 7．已知不等式(x+y)(1ax + y)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.88.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，a，则 A.a＞bB.a＜bC. a＝bD.a与b的大小关系不能确定?3x?y?6?09. 设x，y满足约束条件??x?y?2?0 ，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为12，??x?0,y?0则2a?3b的最小值为 ( ). A.256 B.83 C. 113D. 4 （10）设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0.则当取得最大值时，+--的最大值为（A）0 （B）1（C）（D）3第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 将答案直接填写在答题纸给定的横线上.11、在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a，b，c，若a?b?2，sinB?cosB?，则角A的大小为．12、若对任意x＞0，xx2?3x?1?a恒成立，则a的取值范围是．13.在锐角?ABC中，BC?1,B?2A,则ACcosA的值等于，AC的取值范围为14、设a1,d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列?an?的前n项和为Sn，满足S5S6?15?0，则d的取值范围是__________________ .??x?2y?5≥0?15．设m为实数，若??(x，y)??3?x≥0????(x，y)x2?y2≤25?，????mx?y≥0??则m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，务必在答题纸指定的位置作答。

上海高二数学竞赛试题

上海高二数学竞赛试题上海高二数学竞赛是一项旨在提高学生数学素养和解决问题能力的重要赛事。

本次竞赛试题涵盖了高中数学的多个领域，包括代数、几何、概率统计等，题目设计旨在考察学生的逻辑推理、抽象思维和创新能力。

一、选择题（每题3分，共15分）1. 若\( a \), \( b \)为正整数，且\( a^2 + b^2 = 100 \)，求\( a + b \)的可能值。

A. 10B. 12C. 14D. 162. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. -8B. -7C. -6D. -53. 某班有30名学生，其中男生和女生的比例为3:2。

若随机抽取一名学生，求抽到女生的概率。

A. 0.4B. 0.5C. 0.6D. 0.74. 已知圆的方程为\( (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \)，求圆心到直线\( 2x + 3y - 7 = 0 \)的距离。

A. 2B. 3C. 4D. 55. 若\( \sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2} \)，求\( \sin\theta \cdot \cos\theta \)的值。

A. \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. 0二、填空题（每题4分，共20分）6. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\) 的值。

7. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

8. 求椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > b > 0\)）与直线 \(y = mx + c\) 相切的条件。

9. 若复数 \(z = 1 - i\)，求 \(|z|^2\) 的值。

10. 已知向量 \(\vec{a} = (2, -1)\) 和 \(\vec{b} = (-3, 4)\)，求向量 \(\vec{a} \times \vec{b}\) 的值。

2021-2022年高二数学竞赛试卷含答案

13．（本小题满分 20 分）
已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点（不
同于点）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当时，求直线 PQ 的方程；
（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由．
13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a>b>0) ，
由已知
∴
-----------------------------------------2 分
)(
x0
2
x1
)
x02
x1
( x02
1)2 4
x02
∵，∴ ．解得．
∴直线 PQ 方程为，即或． ----------12 分
解法二：椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意．
设直线方程为，
--------------------------------------5 分
由得 3 4k 2 x2 8k 2x 4k 2 12 0 ． ①
.
3．定义两种运算：，，则函数为（）
（A）奇函数（C）奇函数且为偶函数
（B）偶函数（D）非奇函数且非偶函数
3．A． f (x) 22 x2 22 x2 22 x2 (x [2, 2]) .
(2 x)2 2 | 2 x | 2
x
4．圆周上按顺时针方向标有 1，2，3，4，5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳
∴ 5 x 2 ( y 1) 2 其表示双曲线上一点（x,y)到定点（0,-1)与定直线 x-2y+3=0 之比为常数 e=, m | x2y3| 5
又由 e>1,可得 0<m<5.
7．直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0),与圆 x2+y2=50 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，

高二数学竞赛试题及答案

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。

______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。

______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。

______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。

______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。

《精编》陕西省西安市第七十五中高二数学5月月考试题文新人教A版.doc

西安市第七十五中高二数学(文)5月月考试题参考公式: 《选修4-4》抛物线)0(22>=p px y 的参数方程为⎩⎨⎧==pt y pt x 222(t 为参数)空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ, z)之间的变换关系为 ⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos空间点P 的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r, ϕ,θ)之间的变换关系为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++ϕθϕθϕcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x一、选择题：本大题共12小题，每题4分，共48分. 在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 1. 极坐标,5(-M),3π 以下所给出的不能表示点的坐标的是A ．,5( )3π-B ．,5()34π C ．,5( )32π- D ．,5(- )35π-2．点,1(P ),3- 那么它的极坐标是 A ．,2()3π B ．,2( )34π C ．,2( )3π- D ．,2( )34π- 3. 把点M 的直角坐标(-1, 1, 1)化为柱坐标是 A. ,2( ,43π )1 B. ,2( ,34π )1C. ,2(,4π )1 D. ,2(- ,4π )14. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+-=++-=λλλλ11132y x (λ为参数)与y 坐标轴的交点是 A ．,0( )52 B ．,0( )51 C ．,0( )4- D ．,0( )955．假设直线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=t y tx 3221 (t 为参数)，那么直线的斜率为A ．32 B ．32- C ．23 D ．23-6. 直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x (θ为参数)的位置关系是A. 相切B. 相离且过圆心7.《11年陕西高考题(改编)》设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，那么抛物线的的参数方程是A. ⎩⎨⎧-=-=t y t x 442B. ⎩⎨⎧==t y t x 442C. ⎩⎨⎧-=-=t y t x 882D. ⎩⎨⎧==t y t x 8828. 极坐标方程1cos =θρ和θρcos =所表示的图形分别是A ．圆、圆B ．直线、直线C ．圆、直线D ．直线、圆 9．以下在曲线⎩⎨⎧+==θθθcos sin 2sin y x (θ为参数)上的点是A ．,43(-)21 B ．,21( )2- C ．,1( )3 D ．,2( )3 10. 圆)sin (cos 2θθρ+=的圆心坐标是A ．,1()4π B ．,21( )4π C ．,2( )4π D ．,2( )4π11．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为A ．cos 2ρθ=B ．sin 2ρθ=C ．4sin()3πρθ=+D ．4sin()3πρθ=- 12. 参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2211t t y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 A. 抛物线 B. 一条直线 C. 两条射线曲线二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13. 把点M 的球坐标,8( ,3π )6π化为直角坐标为__________ 14.《12年陕西高考题》直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 _______15. 两直线,2012)4sin(=+πθρ 2013)4cos(=-πθρ的位置关系是________16. 设t y x =+(t 为参数), 那么双曲线 422=-y x 的参数方程为_________ 三、解答题：本大题共4小题，共32分，解答写出文字说明或演算步骤 17.〔本小题总分值8分〕直线l 过点P(1，0)，倾斜角为,3π(1) 求直线l 的参数方程 (2) 求直线l 被双曲线122=-y x 截得的弦长 18.〔本小题总分值8分〕x 、y 满足圆C 的极坐标方程 θθρsin 4cos 2-= (1) 求圆C 的参数方程 (2) 求x y S 34-=的最大值 19.〔本小题总分值8分〕直线1l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=t y tx 2223223 (t 是参数), 直线2l 的极坐标方程为06)cos sin 2(=++θθρ(1) 求直线1l 与直线2l 的交点P 的坐标 (2) 假设直线l 过点P , 且与圆:C ⎩⎨⎧==θθsin 5cos 5y x (θ为参数)相交于A 、B 两点,,8||=AB 求直线l 的方程20.〔本小题总分值8分〕 12年陕西高考题(改编)椭圆:1C ⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x (θ为参数), 椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率〔1〕求椭圆2C 的普通方程〔2〕设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，,2OA OB = 求直线AB 的方程. 《用参数方程的知识求解》数学试题参考答案一、选择题(本大题共12题．每题4分，共48分)1. D2. C3. A4. B5. D6. C7.D8. D9. A 10. A 11. A 12. D二、填空题(本大题共4小题．每题5分．共20分)13. (6, ,32 4) 14. 3 15. 平行 16. ⎪⎩⎪⎨⎧-=+=)4(21)4(21t t y t t x 三、解答题 (本大题共4小题．共32分) 17．〔本小题8分〕(1)直线l 的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=3sin 3cos 1ππt y t x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=∴t y t x 23211 (2)1)23()211(22=-+t t 022=-∴t t 2,021==∴t t )3,2(),0,1(B A ∴ 2||=∴AB18.〔本小题总分值8分〕(1) θθρsin 4cos 2-= 5)2()1(22=++-∴y x 参数方程⎩⎨⎧+-=+=θθsin 52cos 51y x(2) )sin(5511cos 53sin 541134ϕθθθ-+-=-+-=-=∴x y S )53sin 54cos (⎪⎩⎪⎨⎧==ϕϕ1155max -=∴S19.〔本小题总分值8分〕(1) 直线2l 的普通方程为062=++x y直线1l 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=ty t x 2223223 06)223()23(=++-++-∴t t 0=∴t ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=∴233y x )23,3(--∴P (2) 由圆C 的参数方程225cos 255sin x x y y θθ=⎧⇒+=⎨=⎩，设直线l 的参数方程为①3cos ()3sin 2x t t y t αα=-+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数，①代入圆的方程2225x y += 得2412(2cos sin )550t t αα-+-=，∴△216[9(2cos sin )55]0αα=++>，所以方程有两相异实数根1t 、2t，∴12||||8AB t t =-==，化简有23cos 4sin cos 0ααα+=，解之cos 0α=或3tan 4α=-，从而求出直线l 的方程为30x +=或34150x y ++= 20.〔本小题总分值8分〕(1)椭圆:1C ⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x (θ为参数) 的普通方程为1422=+y x由椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，设椭圆2C 的普通方程为14222=+x ay 4144222-=-=aa e 162=∴a 椭圆2C 的普通方程为141622=+x y(2) 椭圆,1C 2C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x , ⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 2y x)sin 4,cos 2(),sin ,cos 2(ϕϕθθB A ∴,2OA OB = )sin ,cos 2(2)sin 4,cos 2(θθϕϕ=∴ ⎩⎨⎧==∴θϕθϕsin sin 4cos 4cos 2 1)sin 4()2cos (22=+∴ϕϕ 51sin 2=∴ϕ 21tan ±=∴ϕ直线AB 的方程为 x x y ±==ϕϕcos 2sin 4。

遵义数学竞赛高二试题及答案

遵义数学竞赛高二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(1) \)的值。

A. 1B. -1C. 3D. 52. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形的三边长，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，该三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形3. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，则直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 包含4. 若\( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \)，且\( \alpha \)和\( \beta \)均不为0，求\( \beta \)的值。

A. \( \frac{\pi}{2} \)B. \( -\frac{\pi}{2} \)C.\( \frac{\pi}{4} \) D. \( -\frac{\pi}{4} \)二、填空题（每题4分，共16分）5. 若\( \cos(\theta) = \frac{1}{3} \)，求\( \sin(\theta) \)的值（结果保留根号）。

6. 将\( 8^3 \)写成\( 2 \)的幂次形式。

7. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

8. 已知\( \log_{10} 100 = 2 \)，求\( \log_{10} 0.01 \)的值。

三、解答题（每题14分，共40分）9. 证明：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是正数，且\( a + b + c =1 \)，则\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \)。

10. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 4 \)。

11. 已知点A(-1, 2)，B(2, -1)，C(3, 6)，求三角形ABC的面积。

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75中高二数学竞赛训练试卷（4）班级姓名一、选择题1．设函数,86)(2++=x x x f 如果,15164)(2++=+x x c bx f 那么b c 2-的值等于（） A ．3 B ．7 C ．-3 D ．-72．已知P 为四面体S-ABC 的侧面SBC 内的一个动点，且点P 与顶点S 的距离等于点P 到底面ABC 的距离，那么在侧面SBC 内，动点P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（）A ．圆或椭圆B ．椭圆或双曲线C ．双曲线或抛物线D ．抛物线或椭圆 3．给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=nn x x -+313，则∑=20051n nx=（）A ，1B ．-1C ．2+3D ．-2+34．已知=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+]1,21[),1(2)21,0[,21x x x x ，定义)()()),(()(11x f x f x f f x f n n ==-其中，则等于)51(2007f （）A ．51 B ．53 C ．54 D ．525．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且A C ，ABsin sin 都是方程logbx=log b (4x-4)的根，则△ABC （） A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形 C ．是等腰直角三角形 D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形二、填空题6．若log 4(x+2y)+log 4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________. 7．如果：（1）a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} （2）a ≠b, b ≠c, c ≠d, d ≠a （3）a 是a, b, c, d 中的最小数那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是________.8．设,)65()32()21(xxxt ++=则关于x 的方程0)3)(2)(1(=---t t t 的所有实数解之和为 9．若对|x|≤1的一切x ，t+1>(t 2-4)x 恒成立，则t 的取值范围是_______________. 10．边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为。

11．对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。

若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a 的所有整数a=__________.三、解答题（每小题20分，共60分） 12．已知a, b, c ∈R +，且满足cb a kabc++≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k 的最小值。

13．已知半径为1的定圆⊙P 的圆心P 到定直线l 的距离为2，Q 是l 上一动点，⊙Q 与⊙P 相外切，⊙Q 交l 于M 、N 两点，对于任意直径MN ，平面上恒有一定点A ，使得∠MAN 为定值。

求∠MAN 的度数。

14．数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．已知3019n a =，求正整数n ．高二数学竞赛模拟试卷（4）答案一、选择题1．设函数,86)(2++=x x x f 如果,15164)(2++=+x x c bx f 那么b c 2-的值等于（）A ．3B ．7C ．-3D ．-7解：取11521616)2(,2-=+⨯-=--=b c f x 有，而当31862-=-=++x x x 时有，所以32-=-b c ，故选C.2．已知P 为四面体S-ABC 的侧面SBC 内的一个动点，且点P 与顶点S 的距离等于点P 到底面ABC 的距离，那么在侧面SBC 内，动点P 的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是（）A ．圆或椭圆B ．椭圆或双曲线C ．双曲线或抛物线D ．抛物线或椭圆解：把问题转化成动点P 到S 的距离与它到边BC 的距离比值问题，容易的出答案D 3．给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=nn x x -+313，则∑=20051n nx=（）A ，1B ．-1C ．2+3D ．-2+3解：x n+1=nn x x 33133-+，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有∑===2005111n nx x。

故选A 。

4．已知=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈+]1,21[),1(2)21,0[,21x x x x ，定义)()()),(()(11x f x f x f f x f n n ==-其中，则等于)51(2007f （）A ．51 B ．53 C ．54 D ．52解：计算=======)51(,51)51(,109)51(,52)51(,54)51(,53)51(,107)51(7654321f f f f f f f 107 可知)51(n f 是最小正周期为６的函数。

即得)51()51(6n n f f =+，所以)51()51(32007f f =＝54，故选C.5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且A C ，ABsin sin 都是方程log b x=log b (4x-4)的根，则△ABC （） A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形C ．是等腰直角三角形D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形解：由logbx=log b (4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以x 1=x 2=2，故C=2A ，sinB=2sinA ，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A ，∴3sinA-4sin 3A=2sinA ，∵sinA(1-4sin 2A)=0，又sinA ≠0，所以sin 2A=41，而sinA>0，∴sinA=21。

因此A=30°,B=90°,C=60°。

故选B 。

二、填空题6．若log 4(x+2y)+log 4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.答案：3。

⎩⎨⎧=->⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+>->+44||24)2)(2(020222y x y x y x y x y x y x 由对称性只考虑y ≥0，因为x>0，∴只须求x-y 的最小值，令x-y=u ，代入x 2-4y 2=4，有3y 2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y 的二次方程显然有实根，故△=16(u 2-3)≥0。

7．如果：（1）a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} （2）a ≠b, b ≠c, c ≠d, d ≠a （3）a 是a, b, c, d 中的最小数那么，可以组成的不同的四位数abcd 的个数是________. 答案：46个。

abcd 中恰有2个不同数字时，能组成C 24=6个不同的数。

abcd 中恰有3个不同数字时，能组成1212121213C C C C C +=16个不同数。

abcd 中恰有4个不同数字时，能组成A 44=24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。

8．设,)65()32()21(xxxt ++=则关于x 的方程0)3)(2)(1(=---t t t 的所有实数解之和为答案：4解：令,)65()32()21()x x x x f ++=（变形为,)65()64()63()(x x x x f ++=可以发现函数)(x f 是R 上的减函数。

又因为3)0(,2)1(,1)3(===f f f ，从而关于x 的方程0)3)(2)(1(=---t t t 的解分别为0、1、3，9．若对|x|≤1的一切x ，t+1>(t 2-4)x 恒成立，则t 的取值范围是_______________. 答案：2121,2113+-。

解：①若t 2-4>0，即t<-2或t>2，则由412-+t t >x(|x|≤1)恒成立，得1412>-+t t , t+1>t 2-4, t 2-t-s<0解得22112211+<<-t ，从而2211-<t<-2或2<t<2211+。

②若t 2-4=0，则t=2符合题意。

③若t 2-4<0，即-2<t<2，则由412-+t t <x(|x|≤1)恒成立，得1412-<-+t t ，t+1>-t 2+4; t 2+t-3>0，解得：t<2131--或t>2131+-，从而2131+-<t<2。

综上所述，t 的取值范围是：2113-<t<2121+。

10．边长为整数且面积（的数值）等于周长的直角三角形的个数为。

解：设直角三角形的三边为a,b,22a b +,则有ab 21=a+b+22a b +,=∴b -a -ab 2122a b +,两边平方并整理有ab-4a-4b+8=0, ∴(a-4)(b-4)=8, a,b 都是正整数，∴a=5时b=12;a=6时b=8，所以满足题意的三角形有2个。