2008届江苏省南京高三数学综合训练题(考前

2008届江苏省南京高三数学综合训练题（考前押题）1．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是___________cm 3．2．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，抽取容量为1000的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图可知这批样本中电子元件的寿命在300~500小时的数量是________个．3．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心、2为半径的圆，与过点A (－1，3)的直线l 相切，则直线l 的方程是______________________．4．已知P 为抛物线x 2＝14y 上的点，点P 到x 轴的距离比它到y 轴的距离大3，则点P 的坐标是____________．5．如图，点A 是椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b2 ＝1(a ＞b ＞0)过A 作斜率为1的直线交椭圆于另一点P ，点B 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →²AP →＝9，若B 点坐标为（0，1），则椭圆方程是 __________ ．6．已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－(2m （1）若A ∩B ＝[2，4]，求实数m 的值；（2）设全集为R ，若A ⊂∁R B ，求实数m 的取值范围．7．在锐角△ABC 中，sin A ＝35，tan(A －B )＝－ 12．求tan B 及cos C 的值．8．A ，B ，C 是直线l 上的三点，P 是直线l 外一点，已知AB ＝BC ＝a ，∠APB ＝90︒，∠BPC ＝45︒ ，∠PBA ＝θ．求：（1）tan θ ；（2）P A →²PC →．9．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos B cos C ＝－ b2a ＋c ． （1）求角B 的度数；（2）若b ＝19，a ＋c ＝5，求a 和c 的值．10．在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为CC 1的中点．求证：（1）AC 1∥平面BDE ；（2）A 1E ⊥平面BDE ．P A B C EA 1B 1C 1D 1 A PM主视图 左视图（第1题图） 寿命（h ）（第2题图）11．如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，PB ＝AB ＝2MA ．求证：（1）平面AMD ∥平面BPC ；（2）平面PMD ⊥平面PBD ．12．已知点A (－3，1)在椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左准线上．过A 点、斜率为－ 52的光线，经直线y ＝－2反射后经过椭圆的左焦点F ． （1）求椭圆的方程；（2）点P 是直线y ＝－2上的一个动点，求以AP 为直径且经过点F 的圆的方程．13．已知B 2，B 1分别是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 的上、下顶点，F 是C 的右焦点，FB 1＝2，F 到C的左准线的距离是733．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是C 上与B 1，B 2不重合的动点，直线B 1P ，B 2P 与x 轴分别交于点M ，N ．求证：→OM ·→ON 是定值．14．如图，F 是中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C直线l ：x ＝4是椭圆C 的右准线，F 到直线l 的距离等于3（1）求椭圆C 的方程； （2）点P 是椭圆C 上动点，PM ⊥l ，垂足为Ｍ．是否存在点P ，使得△FPM 为等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．15．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x 艘的产值函数为R (x )＝3700 x ＋45x 2－10x 3(单位：万元)，成本函数为C (x )＝460x ＋5000（单位：万元）．在经济学中，函数f (x )的边际函数Mf (x )定义为Mf (x )＝f (x ＋1)－f (x )． （1）求利润函数P (x )及边际利润函数MP (x )；（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP (x )的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?16．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查投入广告费t （百万元），可增加销售额约为－t 2＋5t （百万元）（0≤t ≤5）． （1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？ （2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x （百万元），可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x （百万元）．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大？（注：收益＝销售额－投放）．17．要设计一容积为V 的下端为圆柱形、上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积的造价的一半，问储油罐的下部圆柱的底面半径R 为何值时造价最低？18．已知函数f (x )＝x 3－3ax (a ∈R )．（1）如果a ＝l ，求f (x )的极小值；（2）如果a ≥l ，g (x )＝|f (x )|，x ∈[－l ，1]，求g (x )的最大值F (a )的解析式．19．设函数f (x )＝2ln x －x 2．（1）求函数f (x )的单调递增区间；（2）设a ∈R ，讨论关于x 的方程f (x )＋2x 2－5x －a ＝0的解的个数．20．已知函数f (x )＝1＋x ＋1－x ． （1）求函数f (x )的值域；（2）设F (x )＝m 1－x 2＋f (x )，记F (x )的最大值为g (m )，求g (m )的表达式．21．定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，且a n ＋1＝2a n 2＋2 a n ，其中n 为正整数．（1）设b n ＝2a n ＋1，证明：数列{b n }是“平方递推数列”，且数列{lg b n }为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”{b n }的前n 项之积为T n ，即T n ＝（2a 1＋1）（2a 2＋1）…（2a n ＋1），求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式； （3）记c n ＝log 2a n ＋1T n ，求数列{c n }的前n 项之和S n ，并求使S n ＞2008的n 的最小值．22．已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点（n ，S n n ）在直线y ＝12 x ＋112上．数列{b n }满足b n +2－2b n +1＋b n ＝0（n ∈N *），且b 3＝11，前9项和为153． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值；（3）设n ∈N *，f （n ）＝ ⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数．问是否存在m ∈N *，使得f （m ＋15）＝5f （m ）成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．23．已知数列{a n }满足：a 1＝a ，a n +1＝⎩⎨⎧a n ―3，(a n ＞3，n ∈N *)，4－a n ，(a n ≤3，n ∈N *)．（1）若a ＝202，求数列{a n }的前30项和S 30的值；（2）求证：对任意的实数a ，总存在正整数m ，使得当n ＞m （n ∈N *）时，a n +4＝a n 成立．2008届南京高三数学综合训练题参考答案1．4．2．650．3．x ＝－1或5x ＋12y －31＝0．4．(1，4)或(－1，4)．5．x 212＋ y 24＝1．6．由已知得A ＝[－2，4]，B ＝[m －3，m ]．（1）∵A ∩B ＝[2，4]，∴⎩⎨⎧m －3＝2，m ≥4．∴m ＝5．（2）∵B ＝[m －3，m ]，∴∁R B ＝(－∞，m －3)∪(m ，＋∞)．∵A ⊂∁R B ，∴m －3＞4或m ＜－2．∴m ＞7或m ＜－2．∴m ∈(－∞，－2)∪(7，＋∞)．7．在锐角△ABC 中，∵sin A ＝35，∴cos A ＝45，tan A ＝34．∴tan B ＝tan[A －(A －B )]＝tan A －tan(A －B )1＋tan A tan(A －B )＝34－(－12)1＋34³(－12)＝2．∵sin Bcos B ＝tan B ＝2，∴sin B ＝2cos B ．又sin 2B ＋cos 2B ＝1，∴cos 2B ＝15．∵B 为锐角，∴cos B ＝55，sin B ＝255．∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B )＝－(45³55－35³255)＝2525．8．（1）设BP ＝x ，∵∠APB ＝90︒ ，AB ＝a ，∠PBA ＝θ，∴x ＝a cos θ ．又△BPC 中，BC ＝a ，∠BPC ＝45°，∠BCP ＝θ－45︒ ，a sin45︒ ＝x sin(θ－45︒ )，∵a sin45︒＝a cos θsin(θ－45︒ )，sin45︒cos θ＝sin(θ－45︒)， sin45︒ cos θ＝sin θcos45︒ －cos θsin45︒ ，sin θ＝2cos θ，∴tan θ＝2．（2）∵tan θ＝2＞0，∴θ为锐角，sin θ＝25．又在Rt △ABP 中，AP ＝AB sin θ＝2 a5．因为P A ⊥PB ，所以P A →²PC →＝P A →²(PB →＋BC →)＝P A →²PB →＋P A →²BC →＝P A →²BC →＝－AP →²BC →＝－|AP →|²|BC →|cos(90︒－θ)＝－ 2 a 5⋅ a ⋅(25)＝－45a 2.(2)另解：∵tan θ＝2＞0，∴sin θ＝25，cos θ＝15．△BPC 中，BC ＝a ，PB ＝AB cos θ＝a 5，∴PC 2＝a 2＋(a 5)2－2a ³a 5³cos(π－θ)＝85a 2，所以PC ＝225a ．则P A →²PC →＝|P A →|²|PC →|²cos(90︒＋45︒)＝2 a 5³225a ³(－ 22)＝－45a 2．9．（1）由题设，可得cos B cos C ＝－ sin B2sin A ＋sin C，则－sin B cos C ＝2cos B sin A ＋cos B sin C ．sin B cos C ＋cos B sin C ＋2cos B sin A ＝0，sin(B ＋C)＋2cos B sin A ＝0，sin A ＋2cos B sin A ＝0．因为sin A ≠0 ，所以cos B ＝－ 12，所以B ＝120o ．(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴19＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos120o ，∴ac ＝6．又a ＋c ＝5，可解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎨⎧a ＝3，c ＝2．10．（1）证明：连接AC ，设AC ∩BD ＝O ．由条件得ABCD 为正方形，故O 为AC 中点．因为E 为CC 1中点，所以OE ∥AC 1．因为OE ⊂平面BDE ，AC 1⊂/平面BDE ．所以AC 1∥平面BDE ． （2）连接B 1E ．设AB ＝a ，则在△BB 1E 中，BE ＝B 1E ＝2a ，BB 1＝2a ．所以BE 2＋B 1E 2＝BB 12．所以B 1E ⊥BE ．由正四棱柱得，A 1B 1⊥平面BB 1C 1C ，所以A 1B 1⊥BE ．所以BE ⊥平面A 1B 1E ．所以A 1E ⊥BE ．同理A 1E ⊥DE ．所以A 1E ⊥平面BDE ．11．（1）证明：因为PB ⊥平面ABCD ，MA ⊥平面ABCD ，所以PB ∥MA ．因PB ⊂平面BPC ，MA ⊂/平面BPC ，所以MA ∥平面BPC ．同理DA ∥平面BPC ，因为MA ⊂平面AMD ，AD ⊂平面AMD ，MA ∩AD ＝A ，所以平面AMD ∥平面BPC ．（2）连接AC ，设AC ∩BD ＝E ，取PD 中点F ，连接EF ，MF ．因ABCD 为正方形，所以E 为BD 中点．因为F为PD 中点，所以EF ∥=12PB ．因为AM ∥=12PB ，所以AM ∥=EF ．所以AEFM 为平行四边形．所以MF ∥AE ．因为PB ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PB ⊥AE ．所以MF ⊥PB ．因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ．所以MF ⊥BD ．所以MF ⊥平面PBD ．又MF ⊂平面PMD ．所以平面PMD ⊥平面PBD ． 12．（1）由题意，得A 关于直线y ＝－2的对称点为A '(－3，－5)．由k AF ＝－ 52，得k A ’F ＝52．∴A 'F 的方程为y ＋5＝52(x ＋3)，即y ＝52x ＋52．∵A 'F 过点F (－c ，0)，∴c ＝1．∵a 2c ＝3，∴a 2＝3，b 2＝2．∴椭圆的方程是x 23＋y 22＝1．EA C D A 1B 1C 1D 1 O A B P M F E（2）设P (m ，－2)．由题意，得→F A ·→FP ＝0，即－2m －2－2＝0．∴m ＝－2．∴P (－2，－2)．∴以AP 为直径的圆的方程是( x ＋ 52 )2＋( y ＋ 12)2＝52．13．（1）设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知得，FB 1＝a ＝2，c ＋a 2c ＝733，所以a ＝2，c ＝3，b ＝1．所以所求的椭圆方程为x 24＋ y 2＝1．（2）设P (x 0，y 0)(x 0≠0)，直线B 1P ：y ＋1y 0＋1＝x x 0．令y ＝0得x ＝x 0y 0＋1，即M (x 0y 0＋1，0)．直线B 2P ：y －1y 0－1＝x x 0，令y ＝0得x ＝－ x 0y 0－1，即N (－ x 0y 0－1，0)∴−→OM ⋅−→ON ＝－ x 02y 02－1．∵x 024＋y 02＝1，∴1－y 02＝x 024，∴−→OM ⋅−→ON ＝－ x 02y 02－1＝4．即−→OM ⋅−→ON 为定值．14．（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知，得⎩⎨⎧a 2c ＝4，a 2c－c ＝3．∴⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1．∴b ＝3．所以椭圆C 的方程为x 24 ＋ y 23＝1．（2）由PF PM ＝e ＝12，得PF ＝12PM ．∴PF ≠PM ．①若PF ＝FM ，则PF ＋FM ＝PM ，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，∴PF 不可能与PM 相等． ②若FM ＝PM ，设P (x ，y )(x ≠±2)，则M (4，y )．∴32＋y 2＝4－x ，∴9＋y 2＝16－8x ＋x 2，又由x 24＋y 23＝1，得y 2＝3－34x 2．∴9＋3－34x 2＝16－8x ＋x 2，∴74x 2－8x ＋4＝0．∴7x 2－32x ＋16＝0．∴x ＝47或x ＝4．∵x ∈(－2，2)，∴x ＝47．∴P (47，±3157)．综上，存在点P (47，±3157)，使得△PFM 为等腰三角形．15．（1）P (x )＝R (x )－C (x )＝－10x 3＋45x 2＋3240x －5000 (x ∈N *，且1≤x ≤20)，MP (x )＝P (x ＋1)－P (x )＝－30x 2＋60x ＋3275 (x ∈N *，且1≤x ≤19)． (2) P ’(x )＝－30x 2＋90x ＋3240＝－30(x －12)(x ＋9)；∴当0＜x ＜12时，P (x )＞0，当x ＞12时，P (x )＜0，∴当x ＝12时，P (x )有最大值． 即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大． （3）∵MP (x )＝－30x 2＋60x ＋3275＝－30(x －1)2＋3305.∴1≤x ≤19时，MP (x )是减函数，其实际意义是随着产量的增加，每艘船的利润与前一艘相比，在减少． 16．（1）设投入t （t 百万元）的广告费后增加的收益为f (t )（百万元），则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t－2)2＋4(0＜t ≤3)，所以当t ＝2百万元时，f (t )取得最大值4百万元．即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大． （2）设用技术改造的资金为x （百万元），则用于广告促销的资金为(3－x )（百万元），则有g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－ 13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，所以g '(x )＝－x 2＋4．令g '(x )＝0，解得x ＝2，或x ＝－2(舍去）．又当0≤x ＜2时，g '(x )＞0，当2＜x ≤3时，g '(x )＜0．故g (x )在[0，2]上是增函数，在[2，3]上是减函数．所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．17．设圆柱的高为h ，下底面单位面积的造价为a ．则V ＝πR 2h ＋23πR 3．所以h ＝V πR 2－23R ．因为h ＞0，所以0＜R ＜33V 2π．设总造价为y ，则y ＝πR 2⋅a ＋2πRh ⋅a 2＋2πR 2⋅a 4＝πa (32R 2＋Rh )＝a (32πR 2＋V R －23πR 2)＝a (56πR 2＋V R )．y '＝a (53πR －V R 2)＝5π aR 3－3a V3R 2，令y '＝0得R ＝33V5π，当R ∈(0，33V5π）时，y '＜0，y 为减函数；当R ∈(33V 5π，33V2π)时，y '＞0，y 为增函数．所以当R ＝33V5π时，y 有最小值． 答：当储油罐的下部圆柱的底面半径R ＝33V5π时，造价最低． 18．（1）∵当a ＝1时，f ′ (x )＝3x 2－3，令f ′ (x )＝0，得x ＝－1或x ＝1．当x ∈(－1，1)时，f ′ (x )＜0，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′ (x )＞0． ∴f (x )在(－∞，－1)单调递增，在(－1，1)上单调递减，在 (1，＋∞)上单调递增． ∴f (x )的极小值为f (1)＝－2．（2）因为g (x )＝|f (x )|＝| x 3－3ax |在[－1，1]上为偶函数，所以只求在[0，1]上最大值．当a ≥1时，f ′ (x )＝3(x ＋a )(x －a )．列表如下：∵a ≥1，∴a ≥1．当x ∈(0，1)时，f ′ (x )＜0．∴f (x )在(0，1)上单调递减，f (x )＜f (0)＝0．∴当x ∈(0，1)时，g (x )＝－f (x )＝－x 3＋3ax ．∴g ′ (x )＝－f ′ (x )＞0．∴g (x )在(0，1)上单调递增．∴当x ∈[0，1]时，F (a )＝g (1)＝3a －1．19．（1）函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．∵f ′ (x )＝2(1x －x )＝2(1＋x )(1－x )x．∵x ＞0，则使f ′ (x )＞0的x 的取值范围为(0，1)，故函数f (x )的单调递增区间为(0，1)． （2）∵f (x )＝2ln x －x 2．∴f (x )＋2x 2－5x －a ＝0⇔a ＝2ln x ＋x 2－5x ．令g (x )＝2ln x ＋x 2－5x ，∴g ′ (x )＝2＋2x －5＝(2x －1)(x －2)．∵x ＞0∴g (x )在(0，12)，(2，＋∞)上单调递增，在(12，2)上单调递减．∵g (12)＝－2ln2－94，g (2)＝2ln2－6，∴x ∈(0，12)时，g (x )∈(－∞，－2ln2－94)；x ∈(12，2)时，g (x )∈(2ln2－6，－2ln2－94)；x ∈(2，＋∞)时，g (x )∈(2ln2－6，＋∞)．∴当a ∈(－2ln2－94，＋∞)∪(－∞，2ln2－6)时，方程有一解；当a ＝－2ln2－94或a ＝2ln2－6时，方程有两解；当a ∈(2ln2－6，－2ln2－94)时，方程有三解．20．（1）要使f (x )有意义，必须1＋x ≥0且1－x ≥0，即－1≤x ≤1．∵[f (x )]2＝2＋21－x 2∈[2，4]，f (x )≥0，∴f (x )的值域是[2，2]．（2）设f (x )＝t ，则1－x 2＝12t 2－1，∴F (x )＝m (12t 2－1)＋t ＝12mt 2＋t －m ，t ∈[2，2]．由题意知g (m )即为函数h (t )＝12mt 2＋t －m ，t ∈[2，2]的最大值，∵直线t ＝－ 1m 是抛物线h (t )＝12mt 2＋t －m 的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：①当m ＞0时，函数y ＝h (t )，t ∈[2，2]的图象是开口向上的抛物线的一段，由t ＝－ 1m＜0知h (t )在[2，2]上单调递增，故g (m )＝h (2)＝m ＋2；②当m ＝0时，h (t )＝t 在[2，2]上单调递增，有g (m )＝h (2)＝m ＋2＝2； ③当m ＜0时，函数y ＝h (t )，t ∈[2，2]的图象是开口向下的抛物线的一段，若t ＝－ 1m ∈(0，2]，即m ≤－ 22时，g (m )＝h (2)＝2；若t ＝－ 1m ∈(2，2]，即m ∈(－ 2 2，－12]时，g (m )＝h (－ 1m )＝－m －12m ；若t ＝－ 1m ∈(2，＋∞)，即m ∈(－12，0)时，g (m )＝h (2)＝m ＋2．综上所述，g (m )＝⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2，m ＞－12，－m －12m ，－22＜m ≤－12，2，m ≤－ 22．21．（1）由条件a n ＋1＝2a n 2＋2a n ， 得2a n ＋1＋1＝4a n 2＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2．∴{b n }是“平方递推数列”．∴lg b n ＋1＝2lg b n ．∵lg(2a 1＋1)＝lg5≠0，∴lg(2a n +1＋1)lg(2a n ＋1)＝2．∴{lg(2a n ＋1)}为等比数列．（2）∵lg(2a 1＋1)＝lg5，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1⋅lg5，∴2a n ＋1＝52n－1，∴a n ＝12(52n －1－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1)＝lg5⋅(1－2n )1－2＝(2n －1)lg5．∴T n ＝52n －1．（3）c n ＝lg T n lg(2a n ＋1)＝(2n －1)lg52n －1lg5＝2n －12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴S n ＝2n －[1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1]＝2n －1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2n －2[1－⎝⎛⎭⎫12n ]＝2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n．由S n ＞2008得2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n＞2008，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＞1005，当n ≤1004时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＜1005，当n ≥1005时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n＞1005，∴n 的最小值为1005．22．(1)∵点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上，∴S n n ＝12n ＋112，即S n ＝12n 2＋112n ，a n ＝n ＋5．∵b n +2－2b n +1＋b n ＝0(n ∈N *)，∴b n +2－b n +1＝ b n +1－b n ＝…＝ b 2－b 1． ∴数列{b n }是等差数列，∵b 3＝11，它的前9项和为153，设公差为d ，则b 1＋2d ＝11，9b 1＋9×82×d ＝153，解得b 1＝5，d ＝3．∴b n ＝3n ＋2．(2)由(1)得，c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)＝ 1(2n ―1)(2n ＋1)＝12(12n ―1－12n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n ―1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)．∵T n ＝12(1－12n ＋1)在n ∈N *上是单调递增的，∴T n 的最小值为T 1＝13． ∵不等式T n ＞k 57对一切n ∈N *都成立，∴k 57＜13．∴k ＜19．∴最大正整数k 的值为18．(3) n ∈N *，f (n )＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数＝⎩⎨⎧n ＋5，n 为奇数，3n ＋2，n 为偶数．当m 为奇数时，m ＋15为偶数；当m 为偶数时，m ＋15为奇数．若f (m ＋15)＝5f (m )成立，则有3（m ＋15）＋2＝5(m ＋5)(m 为奇数)或m ＋15＋5＝5（3m ＋2）(m 为偶数)．解得m ＝11．所以当m ＝11时，f (m ＋15)＝5f (m )．23．(1) ∵a ＝202＝3³9＋(202－27)，当a n ＞3时，a n +1＝a n ―3，∴a 1，a 2，a 3，…，a 10，是首项为202、公差为―3的等差数列． ∵a 10＝202－27∈(1，3)，当a n ≤3时，a n +1＝4－a n ， ∴当n ≥10时，a n ∈(1，3)，且a n +1＋a n ＝4．∴S 30＝( a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10)＋(a 11＋a 12)＋…＋(a 29＋a 30)＝10·202－135＋4³10 ＝2002－95．(2) ∵当a n ＞3时，a n +1＝a n ―3．(Ⅰ)当a ＞3时，不妨设a ＝3k ＋p (k ∈N *，0≤p ＜3)，由a n +1＝a n ―3，得a 1，a 2，a 3，…，a k +1成等差数列，a k +1＝p ∈[0，3)． ①当p ＝0时，则有a k +2＝4，a k +3＝1，a k +4＝3，a k +5＝1，…∴存在正整数m ＝k ＋3，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +2＝ a n 成立，即a n +4＝ a n 成立．②当0＜p ＜1时，则有a k +2＝4－p ∈(3，4)，a k +3＝1－p ∈(0，1)，a k +4＝3＋p ∈(3，4)， a k +5＝p ∈(0，1)，…，∴存在正整数m ＝k ，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +4＝ a n 成立． ③当p ＝1时，则有a k +2＝3，a k +3＝1，…∴存在正整数m ＝k ，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +2＝ a n 成立，即a n +4＝ a n 成立． ④当1＜p ＜3时，则有a k +2＝4－p ∈(1，3)，a k +3＝p ∈(1，3)，…∴存在正整数m ＝k ，当n ＞m (n ∈N *)时，a n +2＝ a n 成立，即a n +4＝a n 成立． (Ⅱ)当a ＝3时，a 2＝1，由(2) (Ⅰ) ③知命题成立． (Ⅲ)当0＜a ＜3时，由(2) (Ⅰ) ②③④知命题成立． (Ⅳ)当a ＝0时，由(2) (Ⅰ) ①知命题成立．(Ⅴ)当a ＜0时，则a 2＝4－a ＞3，由(2) 知命题成立．综上得：对任意的实数a ，总存在正整数m ，使得当n ＞m (n ∈N *)时，a n +4＝a n 成立．。