高考立体几何专题复习[1]

第一章立体几何
第二章点线面位置关系
一、考点分析
1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

①
⎧
⎪
⎧−−−−−→
⎨⎪
−−−−−→⎨
⎪
⎪⎩
⎩L
底面是正多形
棱垂直于底面
斜棱柱
棱柱正棱柱
直棱柱
其他棱柱
★
底面为矩形底面为正方形
侧棱与底面边长相等
2. 棱锥
棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。

3．球
球的性质：
①球心与截面圆心的连线垂直于截面；
★②r（其中，球心到截面的距离为
d、球的半径为R、截面的半径为r）
★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长
方体，球与正方体等的内接与外切.
注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2
3
44,3
S R V R ππ==球球（其中R 为球的半径）
1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈︒︒：
解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移 另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。

常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。

常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；
2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈︒︒：关键找“两足”：垂足与斜足
解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。

注：1体积表面积 异面直线所成角 线面角
1 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为___________.
2．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为5，那么它的体积为_______________.
3．如图7，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是11A D ，11C D 中点，求异面直线1AB 与EF 所成角的角______________.
4 如图8所示，已知正四棱锥S —ABCD 侧棱长为2，底面边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 与SC 所成角的大小为_____________.
第8题 第7题
图13
5. 如图9-1-4，在空间四边形ABCD 中，AC BD ⊥ AC BD =,,E F 分别是AB 、CD 的中点，则EF 与AC 所成角的大小为_____________.
6．如图13在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB AA =，则直线1CB 与平面11AA B B 所成角的正弦值为_______________.
7. 一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_________.
1. 正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥； (Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．
2.已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；
(2)1
AC ⊥面11AB D ．
3．如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 和PC 的中点.
（Ⅰ）求证：MN ∥平面PAD ；
（Ⅱ）求证：MN CD ⊥；
（Ⅲ）若45PDA ∠=o
，求证：MN ⊥平面PCD .
N
M P
D
C
A A
D 1
1
A E C
D 1
O
D
B
A
C
1
B 1
A 1
C
4. 如图（1），ABCD 为非直角梯形，点E ，F 分别为上下底AB ，CD 上的动点，且EF CD ⊥。

现将梯形AEFD 沿EF 折起，得到图（2）
（1）若折起后形成的空间图形满足DF BC ⊥，求证：AD CF ⊥；
（2）若折起后形成的空间图形满足,,,A B C D 四点共面，求证：//AB 平面DEC ；
5．如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD, AD//BC//FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点， N 为AE 的中点，AF=AB=BC=FE=
12
AD (I) 证明平面AMD ⊥平面CDE ； (II) 证明//BN 平面CDE ；
6．在四棱锥P －ABCD 中,侧面PCD 是正三角形,
且与底面ABCD 垂直,已知菱形ABCD 中∠ADC ＝60°, M 是P A 的中点，O 是DC 中点. （1）求证：OM // 平面PCB ； （2）求证:P A ⊥CD ；
（3）求证:平面P AB ⊥平面COM .
A B C D E F 图（1） E
B
C
F D
A 图（2）
A F
E
B
C D
M
N P
D
A
B
C
O
M
7．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD =DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F .
（1）证明P A //平面EDB ；（2）证明PB ⊥平面EFD
考点异面直线所成的角，线面角 二面角
1．【2008年江苏】16．如图，在四面体ABCD 中，CB CD AD BD =⊥，，点E F ，分别是AB BD ，的中点．求证： （1）直线//EF 平面ACD ； （2）平面EFC ⊥平面BCD ． 2．【2011年】 （18）（本小题满分12分） 如图，已知点P 在正方体ABCD -A B C D ''''的对角线BD '上，60PDA ∠=︒. （Ⅰ）求DP 与CC '所成角的大小；
（Ⅱ）求DP 与平面AA D D ''所成角的大小.
A
B
C
D
P
E
F
3．【2009年山东】 20．（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ︒∠=，,E F 分别是,BC PC 的中点。

（I ）证明：AE PD ⊥；
（II ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为
6
2
，求二面角E AF C --的余弦值。

4．（本小题满分12分）
如图，在三棱锥S ABC -中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，90BAC ∠=°，O 为BC 中点．
（Ⅰ）证明：SO ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角A SC B --的余弦值．
5【2011年安徽】如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4
ABC π
∠=
,
OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；
（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离．
6．【2011年北京】如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=o ，
AP BP AB ==，PC AC ⊥．
（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面APB 的距离．
O
S
B
A
C
1．已知直线l、m、平面α、β，且l⊥α，m⊂β，给出下列四个命题：（1）α∥β，则l⊥m （2）若l⊥m，则α∥β
（3）若α⊥β，则l∥m （4）若l∥m，则α⊥β
其中正确的是__________________.
2. m、n是空间两条不同直线，αβ
、是空间两条不同平面，下面有四个命题：
①
,;
m n m n
αβαβ
⊥⇒⊥
P P
,　
②
,,;
m n m n
αβαβ
⊥⊥⇒
P P　
③
,,;
m n m n
αβαβ
⊥⇒⊥
P P　
④
,,;
m m n n
ααββ
⊥⇒⊥
P P　
其中真命题的编号是________（写出所有真命题的编号）。

3. l为一条直线，αβγ
，，为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①αγβγαβ
⊥⊥⇒⊥
，；②αγβγαβ
⊥⇒⊥
，∥；③l l
αβαβ
⊥⇒⊥
，
∥．
其中正确的命题有_________________.。