2018年上海市七宝中学高考模拟考试试卷数学

（七宝中学）高考模拟考试试卷（2018．5．10）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，第1—6题每题4分，7—12题每题5分）1． 若log 21x =，则x = ．►22． 已知直线l 垂直于直角坐标系中的y 轴，则l 的倾斜角为 ．►03． 在复平面内，点(2,1)A -对应的复数为z ，则1z += ．4． 若角α的终边经过点(2,2)P -，则arctan(tan )α的值为 ．►4π-5． 若不等式6ax <的解集为(1,)t -，则实数t 等于 ．►16． 由参数方程2csc 3cot x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数，,n n Z θπ≠∈）所表示的曲线的右焦点的坐标为 ．►7． 直角坐标系xOy 内有点(2,1),(2,2),(0,2),(0,1)A B C D ，将四边形ABCD 绕直线1y =旋转一周，所得到的几何体的体积为 ．►2π8． ,A B 二校各推荐两篇课题放在一起评比，则四篇课文在排序中没有A 校命题相邻的概率为 ．►139． 已知平面直角坐标系中的两点1212(,),(,)A a a B b b ，O 原点，有122112AOB S a b a b ∆=-，设：112233(,),(,),(,)x y x y x y 是平面曲线2224x y x y +=-上任意三点，则12213223T x y x y x y x y =-+-的最大值为 ．►10．设点O 在ABC ∆内部，点,D E 分别为,AC BC 的中点，且21OD OE +=，则23OA OB OC ++= ．►2[分析]=-OA OD AD ，=+OB OE EB ，=-=+OC OE CE OD DC ，所以()23224++=+++=+OA OB OC OA OC OB OC OD OE ，232++=OA OB OC ．11．设函数2()1f x x x =-+，数列{}n a 的首项112a ≥，且1(),n n a f a n N *+=∈，若数列{}n a 不是单调递增数列，则1a 的取值范围 ．►{}1[分析]112a ≥；设12k a ≥，则21131()242k k k a f a a +⎛⎫==-+≥ ⎪⎝⎭．若2112a a >≥，则32121()()2a f a f a a =>=≥，由此可证得{}n a 是单调递增数列，这矛盾．所以221111111a a a a a a ≤⇒-+≤⇒=．12．给定曲线22(2sin cos 3)(8sin cos 1)0x y θθθθ-+-++=，θ为参数，则这些曲线在直线2y x =上所截得得弦长的最大值是 ．►[分析]以2y x =代入曲线方程得10x =，28sin cos 12sin cos 3x θθθθ++=-+．令218sin cos 12sin cos 3t x x θθθθ++=-=-+，则31(82)sin (1)cos t t t θθ-=-++⇒|31|82||8t t t -≤-≤≤⇒≤，所以弦长|l t =≤二、选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13．若椭圆C 的方程为221(0,0)x y l m l m+=>>，则l m >是曲线C 的焦点在x 轴上的（ ）►C .A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件14．方程44coscos arcsin 55arc arc x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭的解的个数有（ ）►A .A 0 .B 1 .C 2 .D 3 [分析]444arccos arccos 2arccos 555⎛⎫--=-π ⎪⎝⎭由于4arccos 0,54π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以42arccos 52π-π<-，由此得到方程44arccos arccos arcsin 55x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭无解．15．已知实数,x y 满足：22(2)1,x y w +-==的取值范围是（ ）►B.A2⎤⎦.B []1,2 .C (]0,2 .D ⎤⎥⎝⎦16．实数,a b 满足1,1,a a b ≤+≤，则(1)(1)a b ++的取值范围是（ ）►B.A 90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .B92,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.C []0,2 .D []2,2-三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（本题满分14分，第1小题4分，第2小题10分）已知圆柱的底面半径为r ，上底面圆心为O ，正六边形ABCDEF 内接于下底面圆P ，OA 与母线所成角为30︒，（1）试用r 表示圆柱的表面积S ；（2）若圆柱体积为9π，求点C 到平面OEF 的距离． ► 解:（1）h =, ---2分(22S r π=+---4分（2）339,3V r r h ππ==∴=---6分C OEF O CEF V V --∴=, 1133OEF CEF d Sh S ∆∆∴⋅=⋅, ---10分3d ∴==分18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知向量11,sin 22a x x ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭和向量()()1,,b f x =且a b （1）求函数()f x 的最小正周期和最大值；（2）已知ABC 的三个内角分别为,,A B C，若有()3f A π-=，BC B ==AC 的长度►解:（1）由条件得0)cos 23sin 21()(21=+-x x x f ，……2分 得)3sin(2)(π+=x x f .则函数)(x f 的周期为π2，最大值为2. ．……6分（2）由3)3(=-πA f 得3sin 2=A ，即23sin =A ，．……8分由正弦定理得B AC A BC sin sin =，又7=BC ，721sin=B ，．……10分 则2sin sin =⋅=ABBC AC . ．……14分19．（本题满分14分，第1小题7分，第2小题7分） 业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为A (A 为常数）元，之后每年会投入一笔研发资金，n 年后总投入资金记为()n f ，经计算发现当100≤≤n 时，()n f 近似地满足()n f nqap A +=9，其中q p a ,,232_=为常数，()A f =0．已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍．问（1）研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍； （2）研发启动后第几年的投入资金的最多． ►解：（1）由题意知(0)f A =，(3)3f A =．所以99314AAp q A A p q ⎧=⎪+⎪⎨=⎪⎪+⎩ 解得18p q =⎧⎨=⎩ ． 所以9(n)18n A f a =+⋅．……4分 令()8f n A =，得9818nA A a =+⋅，解得64na =， 即23264n -=，所以9n =． 所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍． ……………7分（2）由（1）知9()18nAf n a=+⋅ 第n 年的投入资金＝()(1)f n f n --1991818n n A Aa a -=-+⋅+⋅． …………9分9972(1)72(1)188(18)(8)8(1)64n n n n n nnA a A Aa a A a a a a a a a a a a a ⋅--=-==+⋅+⋅+⋅+⋅+++≤== ……………………12分 当且仅当64nn a a a =，即2(21)31264n --=等号，此时n ＝5．所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多． ……………………14分平面直角坐标系xOy 中，抛物线()022>=p px y ：τ的焦点为F ，过F 的直线l 交曲线于C B ,两点．（1）若l 垂直于x 轴，且线段BC 的长为1，求曲线方程； （2）若l 的斜率为k ，求BOC ∠tan ；（3）设抛物线上异于C B ,的点A 满足AC AB =．若A B C ∆的重心在x 轴上，求ABC ∆得重心的坐标．►解（1）联立方程22222y pxy p p x ⎧=⎪⇒=⎨=⎪⎩，所以BC 长||21BC p ==，从而Γ的方程为2y x =．……4分（2）设(,)B B B x y ，(,)C C C x y ，l ：2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0k ≠）．由2tan B B B y pBOF x y ∠==、2tan C C Cy p COF x y ∠==-得到 2222()tan tan()2241B C C B B C B Cp p y y p y y BOC BOF COF p p y y p y y --∠=∠+∠==++⋅．．……8分222222202B C B C y px p y y p y y p k p k y k x y y p ⎧=⎧+=⎪⎪⇒--=⇒⎨⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎪=-⎩⎝⎭⎩，所以22()tan 4C B B C p y y BOC y y p -∠==+．．……10分 （3）若l 垂直于x 轴，则由||||(0,0)AB AC A =⇒，此时重心坐标为,03p ⎛⎫⎪⎝⎭． 以下设l ：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（0k ≠），(,)A A A x y ． 20A B C A B C p y y y y y y k ++=⇒=--=-，2222A A y px p k ==．设线段BC 中点(,)D D D x y ，则2BC D y y py k+==， 22221242B C B C D x x y y p x p k ++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭，所以直线AD 的斜率2231272AD pk k k p p k k==-⇒=-，k =……14分此时(7,14)A p p ，从而直线AD：7(7)2y x p =-与x 轴的交点(5,0)p 即为ABC ∆的重心．综合有，ABC ∆的重心为,03p ⎛⎫⎪⎝⎭或者(5,0)p ．．……16分设函数()x f 在[)∞+，1上有定义，实数b a ,满足b a <≤1．若()x f 在区间(]b a ,上不存在最小值，则称()x f 在区间(]b a ,上具有性质p ．（1）当()Cx x x f +=2，且()x f 在区间(]2,1上具有性质p 时，求常数C 的取值范围；（2）已知()()()111≥+=+x x f x f ，且当21<≤x 时，()x x f -=1，判别()x f 在区间[]4,1上是否具有性质p ；（3）若对于满足b a <≤1的任意实数()x f b a ;,在区间(]b a ,上具有性质p ，且对于任意*∈N n ，当()1,+∈n n x 时，有：()()()()()()11+-=+-+-n f n f n f x f x f n f ，证明：当1≥x 时，()()x f x f >2． ►解（1）当(1,2]2C -∈时，2()f x x Cx =+在(1,2]上存在最小值2C f ⎛⎫-⎪⎝⎭；当22C ->时，()f x 在(1,2]上存在最小值(2)f ；当12C-≤时，()f x 在(1,2]上单调递增，所以不存在最小值． 所以2C ≥-．．……4分（2）因为1x ≥时，(1)()1()f x f x f x +=+>，所以()f x 在区间(1,4]上如果有最小值，则最小值必在区间(1,2]上取到……7分另一方面，1,12()1,2x x f x x -<<⎧=⎨=⎩在区间(1,2]上不存在最小值，所以()f x 在区间(1,4]上具有性质P ．……10分（３）首先证明对于任意n *∈N ，()(1)f n f n <+． 当(,1)x n n ∈+时，由|()()||()(1)||()(f n f x f x f n f n f n -+-+=-+可知()f x 介于()f n 和(1)f n +之间．若()(1)f n f n ≥+，则()f x 在区间(,1]n n +上存在最小值(1)f n +，矛盾．利用归纳法和上面结论可得：对于任意,k n *∈N ，当n k <时，()()f n f k <． 其次证明当1n ≥且x n >时，()()f x f n >；当2n ≥且x n <时，()()f x f n ≤． 任取x n >，设正整数k 满足1n k x k ≤<≤+，则()()()(1)f n f k f x f k ≤≤≤≤+．若存在01k x k n +≥>≥使得0()()f x f n ≤，则00()()()()f x f n f k f x ≤≤≤，即0()()f k f x =．由于当(,1)x k k ∈+时，()()f k f x ≤，所以()f x 在区间0(,]k x 有最小值0()f x ，矛盾．类似可证，当2n ≥且x n <时，()()f x f n ≤． 最后证明：当1x ≥时，(2)()f x f x >．当1x =时，(2)(1)f f >成立．当1x >时，由21x x x -=>可知，存在n *∈N 使得2x n x <<，所以()()(2)f x f n f x <≤．．……18分我的过程：（3）当(),1x n n ∈+时，有：()()()()()()11f n f x f x f n f n f n -+-+=-+若()(1)f n f n =+，则()()(1)f x f n f n ==+，所以()f x 在(],1n n +上存在最小值，故不具有性质p ，故不成立．若()(1)f n f n ≠+，则{}{}min (),(1)()max (),(1)f n f n f x f n f n +<<+假设(1)()f n f n +<，则()f x 在(],1n n +上存在最小值，故不具有性质p ，故假设不成立． 所以当(),1x n n ∈+时，()()(1)f n f x f n <<+对于任意n N *∈都成立． 又()(1)f n f n <+，故当*()m n m n N <∈、，所以()(1)(1)()f m f m f n f n <+<<-<，即()()f m f n <．所以当x n <时，则存在正整数m 使得1m x m n -≤<≤，则(1)()()()f m f x f m f n -≤<≤所以当x n <时，()()f x f n <，同理可证得当x n >时，()()f x f n >．所以当1x >时，必然存在正整数n ，使得2x n x << ，所以()()(2)f x f n f x <<； 当1x =时，(2)(1)f f >显然成立；所以综上所述：当1x ≥时，()()2f x f x >．。