八年级数学一元一次不等式与一次函数PPT优秀课件
人教版初二数学上册《一次函数与一元一次不等式》课件
y
y=3x-6
2
x
这时 y=3x-6 ＜0 ∴ 此不等式的解集为x ＜2
-6
解法二： 把 5x+4＜2x+10 看做两个 一次函数y=5x+4和y=2x+10,
y 14
画出y=5x+4和y=2x+10的图像. 由图像可知
10
它们的交点的横坐标为2.
当x ＜2时直线y=5x+4 上的 点都在直线y=2x+10的下方.
试一试 ：
1、如图是函数
y x x 2 的图象，则不等式
2
x x 2 0 ，则解是 问：若
2
x x2 0
2
y
x 2或x 1 的解集是___________
x 1或2
-1 0
2
x
，则解集是 问：若
x2 x 2 0
1 x 2
已知函数 y x 2 x 2 的图象与直线 问题2： 7 7 7 9 14 则不等式 y x 交与点（ 3 ， ），（ ， ） 10 10 2 4 5 25
0
2
x
随堂练习 2
1.若y1=－x+3，y2=3x+4，当x取何值时， y1＞y2？ 2.兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然后 自己才开始跑.已知弟弟每秒跑3m，哥哥每 秒跑4m.列出函数关系式，作出函数图象， 观察图象回答下列问题： （1）何时弟弟跑在哥哥前面？ （2）何时哥哥跑在弟弟前面？ （3）谁先跑过20m？谁先跑过100m？
y
y=3x-6 x
0
2
∴ 此不等式的解集为x ＜2
-6
3、如图，利用y=－2.5x+5 的图象， （1）求出－2.5x+5=0 的解； （2）求出－2.5x+5＞0 的解集； （3）求出－2.5x+5≤0的解集； （4）你能求出－2.5x+5＞3的解集吗？ （5）你还能求出哪些不等式的解集呢？
沪科版八年级数学上册课件一次函数第六课时一次函数与一元一次方程和一元一次不等式的关系
-2
直线y=mx+n（如图所示），
则方程mx+n=0的解是 x=－2 .
3、对于y1=2x－1， y2=4x－2，下列说法：
①两直线平行； ②两直线交于y轴于同一点；
③两直线交于x轴于同一点； ④方程2x－1 =0与
4x－2=0的解相同； 其中正确的是 ③ ④
⑤当x=1时，y1=y2=1. （填序号）
2x 20
x 10
两个问题实际上是同一个问题．
（3）画出函数y=2x+20的图象，并确定它 与x轴的交点坐标.
y
从“函数图 象”上看
y=2x+20 20
－10
0x
（思考：直线 y=2x+20与x轴交点坐标为（
___-_1,0____0_），这说明方程2χ＋20＝0的解
是x=_____）
序号 一元一次方程问题 一次函数问题
一次函数与一元一次方程的关系
求ax+b=0(a，b是 常数，a≠0)的解．
从“函数值”看
x为何值时
函数y= ax+b的值 为0．
求ax+b=0(a, b是 常数，a≠0)的解．
从“函数图象”看
求直线y= ax+b
与 x 轴交点的横 坐标．
例1．利用图象解一元一次方程x+3=0
解：作y=x+3图象如下
作出一次函数y=2x-5的图象 x … 0 2.5 …
y=2x-5 … -5 0 …
y
4
y=2x-5
3
2
1
-2 -1-10 1 2 3 4 5 x
-2 -3 -4 -5
视察图象回答下列问题: (1)X取何值时,2x-5=0
一次函数与方程、不等式(共15张PPT)
04 综合练习与提高
综合练习题一
总结词
理解一次函数与方程、不等式之间的 关系
详细描述
通过解决一系列的练习题，理解一次 函数与方程、不等式之间的关系，掌 握将实际问题转化为数学模型的方法 。
综合练习题二
总结词
掌握一次函数的图像和性质
详细描述
通过绘制一次函数的图像，理解函数的增减性、截距等性质，掌握利用图像解决实际问题的技巧。
一次函数与不等式的实际应用
一次函数与不等式在实际生活中有着 广泛的应用。例如，在购物时，我们 可以通过比较商品的价格和折扣率来 选择最划算的购买方案，这需要用到 一元一次不等式的知识。
另外，在生产活动中，我们可以通过 控制生产成本和产量之间的关系来制 定最优的生产计划，这也需要用到一 元一次不等式R。
02 一次函数与方程
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数是形如$y = kx + b$的函数，其中$k$和$b$是常数， 且$k neq 0$。一元一次方程是只含有一个变量的方程，其形式 为$ax + b = 0$，其中$a$和$b$是常数，且$a neq 0$。
一次函数与方程、不等式(共15张 ppt)
目录
• 一次函数的基本概念 • 一次函数与方程 • 一次函数与不等式 • 综合练习与提高 • 总结与回顾
01 一次函数的基本概念
一次函数的定义
一次函数
一般形式为y=kx+b（k≠0），其 中x为自变量，y为因变量，b为截 距，k为斜率。
线性函数
特殊的一次函数，形式为y=kx+b （k≠0，b=0）。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数可以用于解决实际问题，如路程、速度和时间问题、价格和销售问题等。
一元一次不等式与一次函数(第2课时)(课件)八年级数学下册(北师大版)
探究新知
解：设该单位参加这次旅游的人数是 x 人，选择甲旅行 社时，所需的费用为 y 1 元，选择乙旅行社时，所需的费 用为 y 2 元，则 y 1 = 200 × 0.75 x， 即 y 1 = 150 x； y 2 = 200 × 0.8（x - 1），即 y 2 = 160 x - 160.
探究新知
例 3 ： 为绿 化 校园 ， 某校 计 划购 进 A， B两 种 树苗 ， 共 21 棵．已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买B种 树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元． (1)y与x的函数关系式为________； (2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种
千米收取的费用比乙租赁公司多 D．除去月固定租赁费，甲租赁公司平均每
千米收取的费用比乙租赁公司少
随堂练习
4.某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规定 月租费10元，每通话1 min收费0.3元；乙种业务不收月 租费，但每通话1 min收费0.4元.你认为何时选择甲种业 务对顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
情境导入
一次函数与一元一次不等式的关系是什么？ 一次函数与一元一次不等式的关系： 任何一元一次不等式都可以化为ax＋b＞0或ax＋b＜0(a，b为 常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式就可以看成当一次 函数的值大于或小于0时，求相应的自变量的取值范围． 从 图 象 上 看 ， ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 的 解 集 是 使 直 线 y ＝ ax ＋ b(a≠0)位于x轴的上方或下方的部分对应的x的取值范围．
探究新知
核心知识点一： 一元一次不等式与一次函数的综合应用
例1：某电信公司有甲、乙两种手机收费业务.甲种业务规 定月租费10元，每通话1min收费0.3 元；乙种业务不收月租 费，但每通话1min收费0.4 元. 你认为何时选择甲种业务对 顾客更合算？何时选择乙种业务对顾客更合算？
一元一次不等式(公开课优秀课件)
实际应用中的一元一次不等式
一元一次不等式在实际生活中 有着广泛的应用，如购物、投 资、工程等领域的决策问题。
解决实际应用中的一元一次不 等式需要将问题转化为数学模 型，然后运用代数法和图像法 求解。
解决实际应用中的一元一次不 等式需要注意问题的实际情况 和限制条件，以及解的可行性 和最优性。
一元一次不等式(公开课优秀课件)
目 录
• 一元一次不等式的定义与性质 • 一元一次不等式的解法 • 一元一次不等式的应用 • 一元一次不等式的扩展
01 一元一次不等式的定义与 性质
一元一次不等式的定义
总结词
一元一次不等式是数学中一种简单的不等式，它只含有一个变量，且变量的指 数为1。
详细描述
一元一次不等式的一般形式为 ax + b > c 或 ax + b < c，其中 a、b、c 是常 数，a ≠ 0。这个不等式表示一个线性函数在某个区间内大于或小于另一个值。
在人口发展过程中，如何预测未来人 口数量，可以通过一元一次不等式来 建立数学模型。
交通流量问题
在道路交通中，如何合理规划红绿灯 时间，ห้องสมุดไป่ตู้保证交通流畅，可以通过一 元一次不等式来求解。
一元一次不等式与其他数学知识的结合
一元一次不等式与函数
一元一次不等式可以看作是函数的值大于或小于某个常数的情况， 因此可以结合函数的性质进行求解。
代数法解一元一次不等式的步骤 包括：去分母、去括号、移项、
合并同类项、化系数为1等。
代数法解一元一次不等式需要注 意不等式的性质，如不等式的可 加性、可乘性、可除性和同向不
八年级函数ppt课件ppt课件
CATALOGUE
目 录
• 函数基本概念 • 一次函数与正比例函数 • 反比例函数 • 二次函数及其图像和性质 • 函数在实际问题中应用举例 • 总结回顾与拓展延伸
01
CATALOGUE
函数基本概念
函数定义与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数 的概念、定义域、值域等。
实际问题中的综合应用
在某些实际问题中，可能需要同时考虑反比例函数和一次函数的关系。例如，在研究电路中电流、电 压和电阻之间的关系时，可能需要同时考虑欧姆定律和反比例函数来描述这种关系。通过综合应用这 两种函数，可以更全面地理解和解决这类问题。
04
CATALOGUE
二次函数及其图像和性质
二次函数表达式及图像特点
导入
通过实际问题引入最大（ 小）值的概念，如利润最 大化、成本最小化等。
建立函数模型
将实际问题转化为函数模 型，明确目标函数和约束 条件。
求解方法
介绍求解最大（小）值问 题的常用方法，如导数法 、不等式法等，并举例说 明其应用。
方案设计类问题解决方法与策略
导入
通过实际问题引入方案设计类问 题的概念，如产品设计、工程规
03
工程中的速率与时间关系
在工程问题中，有时需要计算某个任务在不同速率下完成所需的时间。
当任务量一定时，速率与时间成反比关系。因此，可以用反比例函数来
描述这种关系。
反比例函数与一次函数综合应用
图像交点问题
当反比例函数与一次函数在同一坐标系中作图时，可能会存在交点。这些交点满足两个函数的方程组 ，因此可以通过解方程组来求解交点的坐标。
函数性质
介绍函数的奇偶性、单调性、周 期性等基本性质，并举例说明。
初二数学ppt课件
方程是含有未知数的等式，通过解方 程可以求出未知数的值。
代数式的化简与求值
代数式的化简
通过合并同类项、提取公因式、分解因式等运算，将代数式化简 为最简形式。
代数式的求值
将已知数值代入代数式中，计算出代数式的值。
代数式的化简与求值的应用
在解决实际问题时，通过化简代数式和求值，可以得出问题的答案 。
一元一次方程与二元一次方程组
04
实数概念与运算
实数的定义与分类
实数的定义
实数包括有理数和无理数。有理数是 可以表示为两个整数的比的数，而无 理数则不能用有限的或无限循环的形 式表示。
实数的分类
实数可以分为正数、负数和零。正数 是大于零的数，负数是小于零的数， 零既不是正数也不是负数。
实数的运算规则
加法运算
实数的加法运算遵循交换律和 结合律，即加法运算满足交换
一次函数与反比例函数的图像与性质
一次函数的图像
一次函数的图像是一条直线，其方程形式为y=kx+b，其中k和b为常数。当k>0时，直线 呈上升趋势；当k<0时，直线呈下降趋势。
反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，其方程形式为y=k/x，其中k为常数。当k>0时，双曲线位 于第一、三象限；当k<0时，双曲线位于第二、四象限。
平方根
一个非负数的平方根是它的两个相反数，即√a = ±√a（a≥0 ）。
05
一元一次不等式与不等 式组
一元一次不等式的概念与解法
定义
一元一次不等式是只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式。
解法
通过移项、合并同类项、系数化为1等步骤，将不等式转化为标准形式，再利用 数轴或口诀法求解。
《一元一次不等式与一元一次方程、一次函数》课件(苏科版八年级下)
1. 下列式子中，哪些是不等式？哪些不是?(1) –2 < 0 ； (2) 2a > 3-a ； (3)3x +5； (4)2(-1)a ≥0；(5) s = vt ； (6)223x x +≠； (7) 3 > 5； (8) 5x ≤4x -1.2. 用“<，>，≤，≥”填空：(1) －0.3___0； (2) 5____8-； (3) 4)6(3___)5(-⨯-⨯；(4)－65___43-； (5) x 20 (6) .0___12+x(7) - x 2 0 （8）x 2 -1 （9）- x 2 23. 用不等式表示：（打星号的可不做，目的是为了现在所学的函数所用）（1）x 小于-6 （2）x +1大于0 （3）x 大于或等于5（4）x 小于或等于-8 （5）x 不大于6 （6）x 不小于-2（7）x 是正数 （8）x 是负数 （9）x 是非负数(10) x 与5的和大于2 （11）x 与a 的差小于2 （12）x 与y 的差是负数（13）x 与y 的和是非负数 （14）x 的2倍与5的和是正数（15）x 与3的差是负数 （16）x 的3倍与y 的2倍的和是非负数*（17）x 大于2且小于5 *（18）x 大于-5且小于-4*（19）x 不小于3且不大于6 *（20）x 不小于-2且不大于0*(21) a 是大于2且不大于9的数 *（22）b 是不小于3且小于5的数（三）用不等式表示下列数量之间的关系（将文字语言转化为不等式）：1. 某种客车坐有x 人，它的最大载客量为40人．2. 小明每天跑步x 分钟，学校规定每位学生每天跑步时间不少于30分钟．3. 某校男子跳高记录是1.75 米，小强在今年的运动会上打破了校纪录．4. 我班一位学生的身高为x 米，我班学生最高是1.70米．5. 快车火车时速不超过150 km/h ，某快车的速度为x km/h ．6. 某品牌奶粉规定每千克奶粉中蛋白质的含量x 不小于2.9 克.7. 冲藕粉时规定水温x 不低于95℃.8. 选身高高于1.75米的学生组成学生跑步方阵，小明被选上了，他的身高为x 米．9. 如图，天平右盘中每个砝码的重量都是5g ，写出图中显示出某药品A 重量x 的范围．（第9题）10. 矩形周长20cm ，宽x cm ，写出宽x 的取值范围．（四）将不等式转化为文字语言：1. 徐州某天某一时刻的气温为t C ︒,且-2≤t ≤6,则这一天的最高气温为_____C ︒,最低气温为________C ︒.2. 等腰三角形的周长为40 cm ，底长为x cm ，则0<x <20，表示底长要．3. 等腰三角形的周长为40 cm ，腰长为x cm ，则10<x <20，表示腰长要．五、当堂检测1. 用不等式表示：（1）a 与b 的和大于3： ；（2）x 的平方是非负数： ；（3）a 不大于b ： ； （4）x 的3倍与－2的差是负数： ；（5）m 是大于－1且不大于2的数：____________________.2. 用不等式表示下列数量之间的关系:(1) 小明某天骑车上学花了x 分钟,他每天骑车上学的时间不少于25分钟：(2) 亮亮每天做作业的时间在2 h 以上，昨天他做作业花了t h ：(3) 设有500个座位的礼堂坐了y 人：（4）长方形的长为x cm ，宽为10cm ，其面积不小于200cm 2： .（5）某商品原来的价格为6元/件，涨价x %后价格不高于9元/件： .3. 如图，天平右盘中每个砝码的重量都是1g ，图中显示出某药品A 重量的范围是（ ）A ．大于2gB ．小于3gC ．大于2g 且小于3g ；D ．大于2g 或小于3g（一）认识不等式的解、不等式的解集1. 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集．x = -1, 0, 1, 2 都是不等式x -3>0的解，不等式x -3>0的解有多少个？2. 一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集．（1）不等式x -1>0解集是 ，不等式x -4<0的解集是 ．（2）x <0时，不等式x < 3 一定成立．能说不等式x < 3的解集是x <0吗？为什么？3. 求不等式解集的过程叫做解不等式．（二）将不等式的解集在数轴上表示出来：x - 4≥0的解集是x ≤4.x -3>0的解集是x >3.x -1≤0的解集是x ≤1.x +2>0的解集是x >-2.5. 在数轴上表示下列不等式的解集：（第3题） -2-1321（1）x >2； （2）x ≤2； （3）x <1.5； （4）x ≥- 2.5．（1） （2）（3） （4）（三） 写出下列各数轴所表示的不等式的解集：（1） （2）注意：数轴上的空心圆圈与实心圆点的意义有什么不同？不等式的解集4x <与4x ≤在数轴上表示时，有什么不同？要注意什么？（四）有条件限制的不等式的解1. 已知x 是整数，x =-2，-3，0，1，2，3，4是不等式x ≤4的解，其中正整数的解有4个，负整数的解有2个，非负整数解有5个．2. 已知a 是整数，请写出不等式3a ≤的6个解： ，其中，正整数的解有 个，负整数解有 个，非负整数解有 个.3. 在数轴上表示不等式30x -<的解集，并写出这个不等式的正整数解．4. 在数轴上表示不等式x +3>0的解集，并写出这个不等式的负整数解．5. 在数轴上表示不等式x +4≥0的解集，并写出这个不等式的非负整数解．五、当堂检测1. 在数轴上表示下列不等式的解集：（1）1x <；（2）3x ≤-；（3）1x >-；（4）2x ≥-．解：（1） （2）（3） （4）2. 写出下列各数轴所表示的不等式的解集：(1) (2)1 1 1 1111 1 0 0 0 0 0 0 0 03. 写出不等式30x +≥的负整数解．4. 写出不等式x -5<0的正整数解．5. 请你根据非负数的意义和不等式的解集的意义，讨论以下问题：（1）不等式x 2 > 0 的解集是 ；不等式| x | > 0 的解集是 ；（2）不等式20x ≥的解集是 ；不等式| x | ≥ 0 的解集是 ．（二）不等式性质的运用1. 已知a >b ，用不等号填空：（1）a +2 b +2； （2）a －2 b －2； （3）2a 2b ； （4）－2a －2b ；（5）－a －b ；（6）3+2a 3+2b ；（7）3a －1 3b －1；（8）1－2a 1－2b ．（9）1－a 1－b ；（10）1+a 1+b ； （11）a －1 b －1；（12）1－a 1－b ．2. 将下列各式化成x > a 或 x < a 的形式，并说明理由.（1）x – 2 < – 5. 解:两边同加2,得x < – 3（不等式两边都加上同一个数，不等号的方向不变）.（2）112x >-. 解：(3) 26x -> 解：(4) 1124x -<. 解：（5）1124x +<-. 解：（6）124x >-. 解：(7) 35x -> 解：(8) 1144x -<. 解：（9）112x +<-. 解：3. 小明步行到6km 远的学校，从早晨6点出发，要在8点前到达，如果他每小时走x km ，可以得到怎样的不等式？根据这个不等式，判断x 的取值范围．五、当堂检测1.用“>”或“<”填空：（1）若a b >，则a c + b c +； （2）若22m n +<+，则4m - 4n -；（3）若1b >-，则1b + 0； （4）若a b <，则3a - 3b -；（5）若44ab>，则a b ； （6）若a b <，则21a -+ 21b -+.2.下列不等式变形正确的是（ ）A ．由412x ->，得41x >B ．由53x >，得53x >C ．由02y>，得2y > D ．由24x -<，得2x >-3. 请在每步的后面写出变形的根据：已知534x x >+，54344x x x x ->+-，（ ）3x > . （ 合并同类项 ）4. 我班有50个座位，现已有46名学生，这学期要转入x 名学生，可以得到怎样的不等式，并判断x 的取值范围.5. 一辆12个座位的汽车上已有4名乘客，到一个站后又上来x 个人，车上仍有空位，可以得到怎样的不等式？并判断x 的取值范围.4. 解下列不等式，并将不等式的解集在数轴上表示出来．（1）14－2x >6 (2) 2+2x >65. 解下列不等式：(1) 5－x <1 (2) 4x ≤2x +3(3) 1--1>22x (4) 1--2<13x6. 下面是解不等式的部分过程，如果错，说明错误原因并改正，如果对，说明理由．（1） 由2x >－4，得x <－2．（2） 由1683224x x ->-，得2143x x ->-．（3） 由－2x >4，得x <－2．7. 求不等式4125x x-<+的正整数解.8. x取何值时，代数式32x+的值不大于代数式43x+的值.五、当堂检测1. 解下列一元一次不等式，并将解集在数轴上表示出来.：（1）236x+>；（2）734 22x x->-.2. x取何值时，代数式32x+的值不小于代数式43x+的值．3. 求不等式235x-<的最大整数解.解一元一次不等式的步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，不等式两边同除以未知数的系数．1. 解不等式：34212-63x xx-+≤．解去分母，3412-2(21)x x x-≤+. 去括号，3－4x≤12x－4x－2.移项，－4x－12x+4x≤－2－3.合并同类项，－12x≤－5.两边同除以－12，512 x≥.原不等式的解集是512x≥．2. 解下列不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：（1） 4 －2（x －3）≥4(x +1) （2）+421-23x x +≥（3） -2>4-32xx （4）214-432x x --+≤体会: 解不等式的过程中,你有什么错误?要注意什么?3. 下面是解一元一次不等式的部分步骤，如果正确，说明理由；如果错误，找出错误原因，并改正．（1）由2x >－2，得x <－1.（2）由－2x >－2，得x >1.（3）由8x +24>32x －16,得 x +3>4x －2．（4）由531132x x +--<，得2(5)3(31)1x x +--<.(5) 由531132x x +--<，得25916x x ++-<.4. 下列不等式的解法是否有错．解不等式：3421263xx x -+≤-．解 去分母，得34122(21)x x x -≤-+ .去括号，得341242x x x -≤--.合并同类项，得3482x x -≤-.移项，得3248x x +≤+.合并同类项，得512x ≤，即125x ≥.系数化为1，得512x ≥.五、当堂检测1. 与不等式2533x-≥-的解集相同的一个不等式是 （ ）A ．259x -≤B ．259x -≤-C ．529x -≤D ．529x -≤-2. 解不等式：21511 32x x-+-≤.3. 求不等式334642x x--<-, 并将解集在数轴上表示出来，再求出这个不等式的最小整数解.4.a取什么值时，解方程32x a-=得到的x的值.（1）是正数；（2）是负数．解：由方程32x a-=，得23ax+ =.(1) 当x 是正数时，23a+>, 解得a > - 2.（2）（自己做）。
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不等式与 函数 、方程 是紧密联系着 的一个整体 。
想一想 用“函数图象法”及“解不等式法”解函数
问题
如果 y=-2x-5 , 那么当 x 取何值时 , y>0 ?
你解答此道题, 可有几种方法 ?
法一: 将函数问题转化为不等式问题.
即 解不等式 -2x- 5 > 0 ;
3
y
2
法二: 图象法。
1
由图易知，
一元一次不等式 与一次函数
由上述讨易知： 函数、(方程) 不等式
“关于一次函数的值的问题” 可变换成 “关于一次不等式的问题” ；
反过来， “关于一次不等式的问题”
可变换成 “关于次函数的值的问题”
。 因此，
我们既可以运用函数图象解不等式 ，
也可以运用解不等式帮助研究函数问题 ，
二者相互渗透 ，互相作用。
当
x<
-2.5时
y>0
-5 .
-4
-3
-2
-1-1
1x
-2
-3 -4 -5 -6
练一练：
已知y1=-x+3，y2=3x-4，当x 取何值时，y1>y2你是怎样做
的？与同伴交流。
当y1＜y2呢?
y=-x+3 1
y
6
y=3x-4
2
5
4
3 2
1
-1 0 1 2 3 4 5 x -1
-2 y
-3 2
y1
-4
做一做：
❖ 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9m，然 后自己才开始跑。已知弟弟每秒跑3m， 哥哥每秒跑4m。列出函数关系式，作出 函数图象，观察图象回答下列问题：
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演讲人: XXX
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