2017-2018学年高二人教A版数学选修2-3导学案：1.3二项式定理

13二项式定理
§1.3.1 二项式定理
课前预习学案
一、预习目标
通过分析(a+b)2的展开式，归纳得出二项式定理;掌握二项式定理的公式特征并能简单应用。

二、预习内容
1、（a+b ）2=
（a 1+ b 1）(a 2+b 2) (a 3+ b 3)=______________________________
（a+b ）3=
（a+b ）4=
2、二项式定理的证明过程
3、（a+b ）n =
4、（a+b ）n 的二项展开式中共有______项，其中各项的系数______叫做二项式系数，式中的
____________叫做二项展开式的通项，用T k+1表示，即通项为展开式的第k+1项：
_____________________
5、在二项式定理中，若a=1，b=x ，则有
（1+x ）n =_______________________________________
课内探究学案
一、学习目标
1.用计数原理分析（a+b ）3的展开式，进而探究（a+b ）4的展开式，从而猜想二项式定理。

2.熟悉二项式定理中的公式特征，能够应用它解决简单问题。

3. 培养学生观察、分析、概括的能力。

二、学习重难点：
教学重点：二项式定理的内容及应用
教学难点：二项式定理的推导过程及内涵
三、学习过程
（一）探究（a+b ）3、（a+b ）4的展开式
问题1：（a 1+ b 1）(a 2+b 2) (a 3+ b 3)展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？
问题2：将上式中，若令a 1=a 2=a 3=a, b 1=b 2= b 3=b,则展开式又是什么？
合作探究一：合并同类项后，为什么a 2b 的系数是3？
问题3：（a+b ）4的展开式又是什么呢？
结论：（a+b ）4= C a 4+ C a 3b+ C a 2 b 2+ C a b 3+ C b 4
041424344
4（二）猜想、证明“二项式定理”
问题4：（a+b ）n 的展开式又是什么呢？
合作探究二: (1) 将（a+b ）n 展开有多少项？
（2）每一项中，字母a ，b 的指数有什么特点？
（3）字母“a”、“b”指数的含义是什么？是怎么得到的？
（4）如何确定“a”、“b”的系数？
二项式定理：(a+b)n =a n +a n-1b+…+a n-k b k +…+b n (n ∈N +)
0n C 1n C k n C n n C （三）归纳小结：二项式定理的公式特征
（1）项数：_______;（2）次数：字母a 按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b 按升幂排列，次数由____递增到______；
（3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____；
（4）通项:T k+1=__________；指的是第k+1项，该项的二项式系数为______；
（5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做（a ＋b ）n 的二项展开式。

（四）典型例题
例1 求的展开式 （分析：为了方便，可以先化简后展开。

）
6)1
2(x x -例2 ①的展开式的第4项的系数及第4项的二项式系数。

7
)21(x +②求的展开式中含的系数。

9)1(x
x -3x （五）当堂检测
1.写出（p +q ）7的展开式；
2.求（2a +3b ）6的展开式的第3项；
3.写出的展开式的第r+1项；n x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-33214.（x -1）10的展开式的第6项的系数是（
）（A ） (B) (C) (D) 610C 610C -510C 510
C -
答案：1.（p +q ）7=p 7+7p 6q +21p 5q 2+35p 4q 3+35p 3q 4+21p 2q 5+7pq 6+q 7.
2.T 3= 2160a 4b 2
3. T =（－1）r C ··x ，
4.D
1+r r n r 2132r n -课后练习与提高
1．在的展开式中，的系数为（ ）
()103-x 6x A ． B ． C ． D ．610C 27-410C 27610C 9-410
C 92．已知（的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n 是
（
）n
a a )132+A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
3．展开式中的系数是
9221
(x x -9x 4. 的展开式中常数项为
12
31⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-x x 5. 的展开式中，含项的系数是 .
()()10311x x +-5x 6. 若的展开式中前的系数是9900，求实数的值。

()100a x +98x a
§1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
课前预习学案
一、预习目标
借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性，增减性与最大值。

二、预习内容
1、二项式定理：________________________________________________；
二项式系数：______________________________________________；
2、( 1+x) n =________________________________________________；
练一练：把( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P 37的表格。

想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？
画一画：当n=6时，作出函数f （r ）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。

课内探究学案
一、学习目标
①了解“杨辉三角”的特征，让学生偿试并发现二项式系数规律；
②通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题；
二、学习重难点：
学习重点：二项式系数的性质及其应用；
学习难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。

三、学习过程
（一）、杨辉三角的来历及规律
问题1：根据( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现什么规律？
问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？
对于( a+b) n 展开式的二项式系数，，，…，，从函数角度看，可看0n C 1n C 2n C n n C r
n C 成是以r 为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)= ，定义域为{0，1，2，…，n}r n C 问题3：当n=6时，作出函数f （r ）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。

（2）二项式系数的重要性质
1、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。

即=m n C m n n C -分析：
2、增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大。

提示：（1）讨论与的大小关系。

（2）讨论与1的大小关系。

k
n C 1
-k n C k k n )
1(+-3、各项二项式系数的和：( a+b) n 的展开式中的各个二项式系数的和为2n
分析：赋值法的应用。

四、典型例题（性质4）
试证：在（a+b ）n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。

分析：奇数项的二项式系数的和为+++…，
0n C 2n C 4n C 偶数项的二项式系数的和为+++…，
1n C 3n C 5n C 由于(a+b)n =a n +a n-1b+…+a n-k b k +…+b n 中的a,b 可以取任意实数，因此我们可以通过0n C 1n C k n C n n C 对a,b 适当赋值来得到上述两个系数和。

五、当堂检测
1、已知=a ，=b ，那么=__________；
515C 915C 1016C 2、（a+b ）n 的各二项式系数的最大值是____________；
3、++…+=________；
111C 311C 11
11C 4、__________；=+++++++++++++11211101210n n n n n n n n n n C C C C C C C C 5、证明：+++…+ =2n-1 (n 是偶数) ；0n C 2n C 4n C n
n C 课后练习与提高
1、在（a+b ）20的展开式中，与第五项二项式系数相同的项是（ ）
（A ）第15项 (B) 第16项 (C) 第17项 (D) 第18项
2、（1—x ）13的展开式中系数最小的项是（ ）
（A ）第6项 (B) 第7项 (C) 第8项 (D) 第9项
3若与同时取得最大值，则m=_____________
n C 19m n C 4、已知（1—2x ）7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 7x 7
则a 1+a 2+…+a 7=__________
a 1+a 3+ a 5+a 7=__________ a 0+a 2+ a 4+a 6=__________5、已知(
)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最大的项的系124
x +
数．。