模型19：离散模型
第8章_离散模型(投影版)
A的秩为1，A的惟一非零特征根为n
由成对比较阵求 A的任一列向量都是对应于特征根n的特征向量
A的归一化特征向量可作为权向量
权向量的特征根 法
对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征 根λ的特征向量作为权向量w ，即A w = A λ 层次分析模型
数学建模
一致性检验 对A确定不一致的允许范围 n阶一致阵A的惟一非零特征根为n
aij · ajk=(wi / wj) · (wj / wk)= wi / wk= aik
所以当aij离一致性的要求不远时， 表示诸因素 n阶一致阵A有下列性质 C1 ，…，Cn对上 A的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。
如果一个正互反阵A满足aij · ajk = aik , i，j，k = 1，2，…，n 因为矩阵A的特征根和特征向量连续地依赖于矩阵的元素aij， 则A称为一致性矩阵，简称一致阵。
随机一致性指标RI的数值 4 0.90 5 6 7 n RI 1 0 2 0 3 0.58 8 9 10 11
计算A'的一致性指标 CI 1，2阶的正互反 是因为
表中n = 1，2时RI = 0，
随机一致性指标RI之比称为一致性比率CR。 CI A的不一致程度在容许范围之内，可用其 CR 0.1 RI 特征向量作为权向量：通过一致性检验 层次分析模型
1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 0.1的选取是带有 一定主观信度的 对于n≥3的成对比较阵A，将它的一致性指标 CI与同阶(指n相同)的
数学建模
第八章 离散模型
―选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验
3 1 1/ 2 4 3 2 1 7 5 5 A 1 / 4 1 / 7 1 1 / 2 1 / 3 1 / 3 1 / 5 2 1 1 当检验不通过时， 1 1 / 3 1 / 5 3 1 要重新进行成对比较， 或对已有的A进行修正。
数学建模简明教程课件：离散模型
5
②中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环 节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则 ，因此也称为准则层.
③最低层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措 施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层.
16
⑤若A的最大特征值λmax对应的特征向量为W＝(w1，…，
wn)T，则
aij
wi wj
， i, j 1,2,, n ，即
w1 w1
w1
w1 w2
wn
w2 w2
w2
A w1 w2
wn
wn wn
wn
w1 w2
wn
17
定理6.3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特
征根λmax＝n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax>n. 根据定理6.3，我们可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A
当CR<0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性
并接受该分析结果.
26
6.1.2 层次分析法的应用
在应用层次分析法研究问题时，遇到的主要困难有两个： (1)如何根据实际情况抽象出较为贴切的层次结构； (2)如何将某些定性的量作比较，接近实际以定量化处理. 层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一 套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力 的依据.但层次分析法也有其局限性，主要表现在： (1)它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很 大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除 决策者个人可能存在的严重片面性.
3
6.1.1 层次分析法的基本原理与步骤
离散系统的数学模型
2326.4 离散系统的数学模型为研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。
线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。
本节主要介绍差分方程及其解法，脉冲传递函数的定义，以及求开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的方法。
有关离散状态空表达式及其求解，将在第8章介绍。
6.4.1 线性常系数差分方程及其解法对于线性定常离散系统，k 时刻的输出)(k c ，不但与k 时刻的输入)(k r 有关，而且与k 时刻以前的输入 ),2(),1(--k r k r 有关，同时还与k 时刻以前的输出 ),2(),1(--k c k c 有关。
这种关系一般可以用n 阶后向差分方程来描述，即∑∑==-+--=mj jni i j k r bi k c a k c 01)()()( (6-34)式中，i a ，i =1，2，…，n 和j b ，j ＝0，1，…，m 为常系数，n m ≤。
式(6-34)称为n 阶线性常系数差分方程。
线性定常离散系统也可以用n 阶前向差分方程来描述,即∑∑==-++-+-=+mj jni i j m k r bi n k c a n k c 01)()()( (6-35)工程上求解常系数差分方程通常采用迭代法和z 变换法。
1. 迭代法若已知差分方程式(6-34)或式(6-35)，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，在计算机上通过迭代一步一步地算出输出序列。
例6-10 已知二阶差分方程)2(6)1(5)()(---+=k c k c k r k c输入序列1)(=k r ，初始条件为1)1(,0)0(==c c ，试用迭代法求输出序列)(k c ， ,5,4,3,2,1,0=k 。
解 根据初始条件及递推关系，得0)0(=c 1)1(=c6)0(6)1(5)2()2(=-+=c c r c 25)1(6)2(5)3()3(=-+=c c r c 90)2(6)3(5)4()4(=-+=c c r c301)3(6)4(5)5()5(=-+=c c r c2. z 变换法233设差分方程如式(6-34)所示，对差分方程两端取z 变换，并利用z 变换的实数位移定理，得到以z 为变量的代数方程，然后对代数方程的解)(z C 取z 反变换，可求得输出序列)(k c 。
数学建模常用算法模型
按模型的数学方法分：几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模型、马氏链模型等按模型的特征分：静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线性模型和非线性模型等按模型的应用领域分：人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
按建模的目的分：预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往往也和建模的目的对应按对模型结构的了解程度分：有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
按比赛命题方向分：国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016美赛六个题目（离散、连续、运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）数学建模十大算法1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）算法简介1、灰色预测模型（必掌握）解决预测类型题目。
离散模型例题及解析
当涉及离散模型时，下面是一个例题及其解析，涉及图论中的最短路径问题：例题：假设有一个城市网络，由以下的道路和距离组成：A城市与B城市之间的距离为5B城市与C城市之间的距离为3C城市与D城市之间的距离为4A城市与D城市之间的距离为8现在要找到A城市到D城市的最短路径。
使用Dijkstra算法来计算。
解析：Dijkstra算法是一种常用的图论算法，用于解决最短路径问题。
下面是使用Dijkstra算法解决该例题的步骤：创建一个集合S来存储已经找到最短路径的城市，初始时S为空。
创建一个距离列表dist[]来存储从A城市到其他城市的距离，初始时将dist[A]设置为0，其他城市的距离设置为无穷大。
选择dist[]中距离最小的城市，将其加入集合S，并更新与该城市相邻的城市的距离。
在这个例子中，初始时A城市的距离最小。
更新与A城市相邻的城市的距离。
由于A城市与B城市的距离为5，将dist[B]更新为5。
继续选择dist[]中距离最小的城市，将其加入集合S，并更新与该城市相邻的城市的距离。
在这个例子中，B城市的距离最小。
更新与B城市相邻的城市的距离。
由于B城市与C城市的距离为3，将dist[C]更新为8（5+3）。
继续选择dist[]中距离最小的城市，将其加入集合S，并更新与该城市相邻的城市的距离。
在这个例子中，C城市的距离最小。
更新与C城市相邻的城市的距离。
由于C城市与D城市的距离为4，将dist[D]更新为12（8+4）。
最后，A城市到D城市的最短路径为A->B->C->D，总距离为12。
通过Dijkstra算法，我们找到了A城市到D城市的最短路径，并计算出了总距离为12。
这个算法通过不断更新距离列表dist[]来逐步找到最短路径。
在实际应用中，Dijkstra算法可以用于解决各种最短路径问题，例如路由优化、地图导航等。
2010-7-22离散数学模型分析覆盖问题 清晰版
离散数学模型分析——覆盖问题ylyang@youlongy@Email 2010年7月22日时间杨有龙教授报告人2008年国家一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国家二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国家二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2008年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2008年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年陕西省一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国际数模ICM 一等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2009年国际数模ICM 二等奖西安电子科技大学理学院数学系杨有龙西安电子科技大学理学院数学系杨有龙近年赛事成绩33(1)2010年321717(2)5(2)13(1)42009年220812(2)33(1)532008年国家三等奖国家二等奖国家一等奖陕西省二等奖陕西省一等奖国家二等奖国家一等奖国际二等奖国际一等奖奖项全国研究生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛国际大学生数学建模竞赛赛事内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题1某城市的城建部门计划在每条街的拐角处或另一个尽头装一个消防水龙头，需要水龙头的个数是多少？请建立模型并给出解决的方案。
西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题2根据菜单和对应的营养表，怎么点菜使得营养全、费用少？西安电子科技大学理学院数学系杨有龙问题2A西班牙煎蛋B炒鸡丁C色拉D牛排E土豆F 洋葱炒肝菜单101516261224欢迎用餐西安电子科技大学理学院数学系杨有龙西安电子科技大学理学院数学系杨有龙1001F 0110E 0001D 1100C 0011B 1101A 矿物质维生素碳水化合物蛋白质营养成分列表内容提要背景问题覆盖问题覆盖问题的求解西安电子科技大学理学院数学系杨有龙2 /30西安电子科技大学理学院数学系杨有龙背景知识——图的表示一个图是由“顶点”集合和“边”集合所构成，边被看成图的不同顶点的无序对.v 5v 1v 4v 2v 3e 2e 7e 3e 4e 6e 5e 1(,)G V E =(,)v w E ∈V E西安电子科技大学理学院数学系杨有龙12345{,,,,}V v v v v v =五个顶点1234567{,,,,,,}E e e e e e e e =七条边西安电子科技大学理学院数学系杨有龙V 1 V 2V 3V 4 V 501001*0110**011***01****0⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠V 1V 2V 3V 4V 5图的表示矩阵用一个上三角形矩阵表示图的顶点之间是否有边相连，若有边则矩阵元素为1，否则为0，此矩阵称为图的表示矩阵。
离散传染病模型公式
离散传染病模型公式摘要：一、离散传染病模型简介二、离散传染病模型公式及其含义1.SIR模型2.SI模型3.SIRS模型4.SEIR模型三、模型参数解释与应用场景四、实例分析五、总结与展望正文：一、离散传染病模型简介离散传染病模型是研究传染病传播过程的一种数学模型，它通过建立感染者、易感者和康复者之间的关系，描述疾病在人群中的传播规律。
离散传染病模型主要包括SIR模型、SI模型、SIRS模型和SEIR模型。
这些模型在传染病防控、预测和研究等方面具有重要的理论和实际意义。
二、离散传染病模型公式及其含义1.SIR模型SIR模型是离散传染病模型中最基本的模型，它包括易感者（Susceptible）、感染者（Infected）和康复者（Recovered）三个群体。
SIR模型的微分方程如下：dS/dt = -βSIdI/dt = βSI - γIdR/dt = γI其中，β表示感染者与易感者之间的接触率，γ表示康复率。
2.SI模型SI模型仅包含易感者和感染者两个群体。
它的微分方程如下：dS/dt = -βSIdI/dt = βSI该模型主要用于研究短期传染病，如流感等。
3.SIRS模型SIRS模型在SIR模型的基础上增加了感染者的康复率。
它的微分方程如下：dS/dt = -βSI + γIdI/dt = βSI - γIdR/dt = γI该模型适用于具有康复可能的传染病，如新冠病毒等。
4.SEIR模型SEIR模型在SIR模型的基础上增加了潜伏期，它的微分方程如下：dS/dt = -βSI + γEdE/dt = βSI - γE - λEdI/dt = λEdR/dt = γE其中，λ表示感染者在潜伏期内变为感染者的速率，E表示潜伏者。
三、模型参数解释与应用场景离散传染病模型中的参数具有实际意义，如接触率、康复率、潜伏期等，这些参数可以根据实际传染病数据进行拟合和估计。
不同的模型适用于不同类型的传染病，如SIR模型适用于长期传染病，SI模型适用于短期传染病，SIRS 模型适用于具有康复可能的传染病，SEIR模型适用于具有潜伏期的传染病。
离散选择模型
Yi 0 1GPAi 2 INCOMEi ui
其中：
1 Yi 0
第i个学生拿到学士学位后三年内去读研 该生三年内未去读研
GPA=第i个学生本科平均成绩 INCOME=第i个学生家庭年收入（单位：千美元）
设回归结果如下（所有系数值均在10%水平统计上显著）：
ˆ Yi 0.7 0.4GPAi 0.002 INCOMEi
yi 0 yi 1
函数可以简化为：
L (1 F ( X ))1 yi F ( X ) yi
yi 1
对方程左右取对数我们便得到：
ln L [ yi ln F ( X ) (1 yi ) ln(1 F ( X ))]
i 1
n
似然函数为
fi ln L n yi fi [ (1 yi ) ]xi 0 Fi 1 Fi i 1
Pr ob(Y 1 X ) X F ( X ) f ( X ) X
因此我们在遇到二元响应模型时，估计出参数我们不能盲目的 将其解释为：解释变量变动一个单位，相对应的因变量变化参 数个单位。
为了解决偏效应的问题我们引入调整因子的概念。 在上式中的 f ( X ) 我们 便称为比例因子或调整因子，它与全部 的解释变量有关，为了方便起见，我们要找一个适用于模型所有 斜率的调整因子。有两种方法可以解决： （1）用解释变量的观测值计算偏效应的表达式，调整因子为：
四、二元选择模型的估计
1.除了LPM模型以外，二元选择模型的估计都是以极大似然法为基础 的 。由前面的讨论我们知道：
P(Y 1 X ) F ( X )
由此我们可以得到模型的似然函数为：
P(Y1 y1 ,Yn yn X ) (1 F ( X )) F ( X )
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主讲人：孙云龙
离散模型
离散数：可数个
有限数、自然数……
概率统计：离散型、连续型 模型：差分方程、整数规划、图论、… 知识：离散数学
…
集合、代数、图论、逻辑
数学建模课件
主讲人：孙云龙
一、层次分析法
背景
日常工作、生活中的决策问题：多种方案进行选择
多个旅游点的选择；毕业生工作选择；产品发展方向 的选择；选择科研课题……
w1
计算权向量方法
数学建模课件
主讲人：孙云龙
计算权向量方法
特征根法 求 A 的最大正特征根
求 A 的对应于 的特征向量 ( w1, w2, ……, wn )
Matlab命令: [V,D]=eig（A）
sum
2 3 1 1 5 2 1 1
模型一
Matlab得: λ=4.2137 W=[0.4969 景色
3 1 1 / 3 1 A 1 / 2 1 / 3 1 / 5 1 / 2
l01.m 0.2513 吃住 0.1386 0.1132] 费用 交通
数学建模课件
主讲人：孙云龙
比较判断时：人的主观选择起相当大的作用
各因素的重要性难以量化
美国数学家T.L.Saaty
于1970年代提出层次分析法
AHP (Analytic Hierarchy Process) 定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法
数学建模课件
主讲人：孙云龙
1、模型一：旅游地选择
“五· 一”出游：三个旅游点的资料
C1, C2,……, Cn对 O 的重要性量化比较→权重
( w1, w2, ……, wn )
比较矩阵为
反过来？
由判断矩阵
计算被比较元素对于该准则的相对权重 进行判断矩阵的一致性检验
A=(aij)n:
aij×ajk≈aik
( w1, w2, ……, wn )
数学建模课件
当A=(aij)n
2 3 1 1
5 2 1 1
aij ×
ajk
≈
aik
数学建模课件
主讲人：孙云龙 O
（3）计算权重向量
若元素
令其为 则:
C1
1 w2 A w1 wn w1
Ci
w1 w2 1 wn w2
Cj
Cn
w1 wn w2 wn 1
2 3 1 1
5 2 1 1
数学建模课件
主讲人：孙云龙
理论分析 A=(aij)n×n :
aij
i与j比较
×
ajk
j与k比较
=
aik
i与j比较
一致性矩阵
否 一致性指标 -------允许范围
3 1 1 / 3 1 A 1 / 2 1 / 3 1 / 5 1 / 2
P1 景色优美；但：旅游热点，住宿条件较差, 费用高 P2 交通方便，住宿条件好，价钱不贵；但景点一般 P3 景点不错，住宿、花费都挺好，但：交通不方便
选择哪一个方案?
分析 目标
标准 方案
旅游地选择
景点、交通、费 用、条件…… 拉萨、九寨、海 南、澳洲……
景点
旅游
吃住
费用
交通
P1
P2
P3
数学建模课件
7
8
9
0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
一致性比率
当
CR=CI/RI
CR< 0.1 时, 通过一致性检验
数学建模课件
主讲人：孙云龙
模型一
3 1 1 / 3 1 A 1 / 2 1 / 3 1 / 5 1 / 2
2、基本原理
旅游地选择
景点 P1
旅游 吃住 费用 P2
主讲人：孙云龙
目标层
交通 P3
准则层 方案层
将决策问题分为3个层次：
目标层O，准则层C，方案层P；
每层有若干元素， 各层元素用直线相连
重要性：用权重表示
两两比较 确定各准则对目标的权重——重要性百分比 各方案对每一准则的权重
综合各组权重：确定各方案对目标的权重
另有
近似算法：和法
将 A 的每一列向量归一化 c
b ij
a ij
a
i 1
n
ij
将 bij 按行求和得
ci
b
j 1
n
ij
将 ci 归一化得
wi
n
ci
W = ( w1, w2, ……, wn )
c
i 1
n
i
最大特征值
( Aw) i wi i 1
数学建模课件
A=(aij)n×n
旅游
也称为正互反矩阵。
如模型1 建立层次分析模型：
景点
吃住
费用
交通
第二层对第一层进行 C52=10 次比较
例: P1:P2=3 P2:P4=2
P1
P2
P3
另: 可推得:
但:
P1:P4=6
P1:P4=5
说明什么? 这一点称为比较判断矩阵的不一致性
3 1 1 / 3 1 A 1 / 2 1 / 3 1 / 5 1 / 2
主讲人：孙云龙
：一致
权重向量： W=( w1, w2, ……, wn )T
则：近似有
特点:
1、R(A) = 1 , = n
w1 1 w1 w2 A w1 wn w1
于是得:
w1 w2 1 wn w2
w1 wn w2 wn 1
上层元素
某层 n 个元素 C1
Cj
Cn
比较下层元素对 上层元素的影响
取元素 Ci, Cj 比较 → 量化 aij → Ci, Cj 对 O 的权重
比较尺度: aij 3 稍强 5 强 且 7 很强 aji=1/aji 9 绝对强
1 同等
中间值 2 4 6 8
数学建模课件
主讲人：孙云龙
两两比较矩阵
数学建模课件
主讲人：孙云龙
基本步骤
（1）确定层次
→ 递节层次结构 最上层 —— 目标层
决策目标 准则1
中间层 —— 准则层
最下层 —— 方案层
准则2
子准则层
例：
景点
旅游
方案1
吃住 费用 交通
方案2
P1
P2
P3
数学建模课件
主讲人：孙云龙
（2）构造两两比较矩阵
定性
→ 量化: 两两比较
O Ci
主讲人：孙云龙
（4）一致性检验
当
记
A’ 不一致时, >n
A’=A + ,则由 A’W = W 或 AW + W = nW+( -n)W
即:
当( -n)很小时, A’与A 的不一致误差很小
一致性指标 CI= ( -n)/(n-1)
于是有:
随机一致性指标 RI 表
N
RI
3
4
5
6