离散被解释变量数据计量经济学模型二元选择模型Models
第1章二元选择模型
后者指用一种限制 不超越逻辑 带域“0—1”的方法去估计 LPM。结 果是，对这样的模型，按惯例算出 的 R2 很可能比1小很多。在大多数
在0到1这个逻辑界限内。
4.二分响应模型中的R2
在二分响应模型(dichotomous
response models)中，习惯计算的 R2 的
价值是有限的。为看出其中道理，考虑以
下图形，对于给定的X，Y 不是0就是1。 因此，所有的Y值必定要么落在X 轴上，要 么落在Y =1的一条直线上。
因此，一般地说，不能期望有任何 LPM能很好地拟合这样的散点；
Yi 1.2456 1 0.1196 X i
但是我们可用先前讨论过的加权最小
二乘(WLS)法以获得这些标准误的更
为有效的估计值。应用WL意，
Yi
由于某些是负的，和Y某i 些
大于1，
对于这Yi 些 来说wi ， 将是负的。
因此，我们在WLS中不能使用这 些观测值(为什么?)，从而在本例中 把观测值的个数从40减少到28。删 去这些观测值的WLS回归将是
假使我们想把成年男子的“劳动力参 与”(即是否就业)当作失业率、平均工资率、 家庭收入和教育等的一个函数。一个人或者 在劳动力行列中或者不在，从而劳动力参与 这个应变量只能取两个值：如果这个人在劳 动力行列中，则取值1；如果他不在其中， 则取值0。
另一个例子。假使我们想把学院教 授的工会会员资格当作若干个定量和定 性变量的一个函数，那么，一位学院教 授或者是工会会员或者不是工会会员。 因此，工会会员资格这个应变量就是一 个取值0或1的虚拟变量：0表示非工会 会员，1表示工会会员。
离散选择模型举例-二元离散选择模型
一．二元离散选择模型1．二元响应模型(Binary response model)我们往往关心响应概率()()()()z G x x G x y x y k k =+++=E ==P βββ...1110，其中x 表示各种影响因素（各种解释变量，包括虚拟变量）。
根据不同的函数形式可以分为下面三类模型：线性概率模型（Linear probability model ，LPM ）、对数单位模型（logit ）、概率单位模型(probit)：三种模型估计的系数大约有以下的关系：L PM probit probit it ββββ5.2,6.1log ==2．偏效应（1）如果解释变量是一个连续型变量，那么他对p(x)=p(y=1|x)的偏效应可以通过求下面的偏导数得出来：()()()()dzz dG z g x g x x p j j =+=∂∂,0βββ，偏效应的符号和该解释变量对应的系数的符号一致；两个解释变量偏效应之比等于它们各自的估计系数之比。
（2）如果解释变量是一个离散性变量，则k x 从k c 变化到k c +1时对概率的影响大小为：()()()k k k k c x G c x G ββββββ+++-++++...1 (110110)上面的其他解释变量的取值往往取其平均值。
3．估计方法与约束检验极大似然估计；三种常见的大样本检验：拉格朗日乘数检验、wald 检验、似然比检验。
4．Stata 程序语法（以Probit 为例）probit depvar [indepvars] [weight] [if exp] [in range] [, level(#) nocoef noconstant robust cluster(varname) score(newvar) asis offset(varname) maximize_options ] predict [type] newvarname [if exp] [in range] [, statistic rules asif nooffset ] where statistic isp predicted probability of a positive outcome; the default xb linear predictionstdp standard error of the prediction二．具体的例子1．数据：美国1988年的CPS 数据2．模型：估计成为工会成员的可能性，模型形式如下：参加工会的概率=F(潜在经验potexp 、经验的平方项potexp2、受教育年限grade 、婚否married 、工会化程度high)；解释变量：Potexp=年龄-受教育年限-5；grade=完成的受教育年限；married ：1表示婚，0未婚；high ：1表示高度工会化的行业，否则为0。
回归分析二元选择模型
• 离散选择模型起源于Fechner于1860年进行的动 物条件二元反射研究。
• 1962年，Warner首次将它应用于经济研究领域， 用以研究公共交通工具和私人交通工具的选择问 题。
• 70、80年代，离散选择模型被普遍应用于经济布 局、企业定点、交通问题、就业问题、购买决策 等经济决策领域的研究。
二、二元离散选择模型
1、原始模型
• 对于二元选择问题，可以建立如下计量经济学模 型。其中Y为观测值为1和0的决策被解释变量；X 为解释变量，包括选择对象所具有的属性和选择
主体所具有的属性。
Y X yi Xi i
E(i ) 0 E(yi ) Xi
pi P( yi 1) 1 pi P( yi 0)
• 模型的估计方法主要发展于80年代初期。
一、二元离散选择模型的经济背景
实际经济生活中的二元选择问题
• 研究选择结果与影响因素之间的关系。 • 影响因素包括两部分：决策者的属性和备选方案
的属性。 • 对于单个方案的取舍。例如，购买者对某种商品
的购买决策问题 ，求职者对某种职业的选择问题， 投票人对某候选人的投票决策，银行对某客户的 贷款决策。由决策者的属性决定。 • 对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的选 择，两种商品的选择。由决策者的属性和备选方 案的属性共同决定。
3、最大似然估计
• 欲使得效用模型可以估计，就必须为随机误差项 选择一种特定的概率分布。
• 两种最常用的分布是标准正态分布和逻辑 （logistic）分布，于是形成了两种最常用的二元 选择模型—Probit模型和Logit模型。
• 最大似然函数及其估计过程如下：
F(t) 1 F(t)
标准正态分布或逻 辑分布的对称性
第六章 二元选择模型
当用线性概率模型进行预测，预测值 X i 落在区间
[0,1]之内时，则没有什么问题；但当预测值 X i 落 在区间 [0,1] 之外时，则会暴露出该模型的严重缺点， 此模型由 James Tobin 1958年提出。 James Tobin 所以此时必须强令预测值（概率值）相应等于 0 或1 。 1981年获诺贝尔经济学奖。 因此，线性概率模型常常写成下面的形式
Yi 和Yi*的关系为：
1 Y i* 0 Yi * 0 Y i 0
Yi* X i ui*
1 Y i* 0 Yi * 0 Y i 0
则
P(Yi 1) P(Yi* 0) P(ui* X i ) 1 F ( X i )
是二元离散选择模型最关键的问题。 我们假设有以Y 轴为对称的概率密度函数f（.），则
P(Yi 1) 1 F ( X i ) F ( X i )
P(Yi 0) F ( X i ) 1 F ( X i )
于是模型的似然函数为
P(Y1，Y2， Yn ) [1 F ( X i )] F ( X i )
分析公司员工的跳槽行为。 员工是否愿意跳槽到另一家公司，取决于薪 资、发展潜力等诸多因素的权衡。员工跳槽的成本 与收益是多少，我们无法知道，但我们可以观察到 员工是否跳槽，即
1 跳槽 Yi 0 不跳槽
对某项建议进行投票。 建议对投票者的利益影响是无法知道的，但可 以观察到投票者的行为只有三种，即
随机干扰项ui非正态且存在异方差性
由于随机干扰项具有异方差性。修正异方差 的一个方法就是使用加权最小二乘估计。但是加 ˆ 在 [0,1] 之间， 权最小二乘法无法保证预测值 Y i 这是线性概率模型的一个严重缺陷。
第八章 (1) 离散和受限被解释变量模型
SC -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -1 0 -2 -1 0 -2 0 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 -1 0
JGF 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.9979 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.9998 0.9999 1.0000 0.4472 0.0000 0.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.0000 0.0000
• 对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的选 择，两种商品的选择。由决策者的属性和备选方 案的属性共同决定。
二、二元离散选择模型
1、原始模型
• 对于二元选择问题，可以建立如下计量经济学模 型。其中Y为观测值为1和0的决策被解释变量；X 为解释变量，包括选择对象所具有的属性和选择 主体所具有的属性。
2、重复观测值不可以得到情况下二元Probit 离散选择模型的参数估计
ln L
fi fi Xi Xi 1 Fi F y 0 y 1 i
i
i
q i f (q i X i ) Xi F (q i X i ) i 1
n i 1
n
n
• 在样本数据的支持下，如果知道概率分布函数 和概率密度函数，求解该方程组，可以得到模 型参数估计量。
三、二元Probit离散选择模型及其参数 估计
1、标准正态分布的概率分布函数
F (t )
t
(2 )
12
exp( x 2 2)dx
f ( x) (2 )
二元选择模型
对y i 取期望，E （y i ） = :- + X i（2）\ P ( y i = 1) = P i wP( y i = 0) = 1 - p i 则E(y i ) = 1 (P i ) + 0 (1 - P i ) = P i由（2）和（3）式有（y i 的样本值是0或1，而预测值是概率。
）以P i = - 0.2 + 0.05 X i 为例，说明X i 每增加一个单位，则采用第一种选择的概率增加 现在分析Tobit 模型误差的分布。
由 Tobit 模型（1）有，⑶⑷0.05。
R1 ―口 - “ , u = y i - a - P X i = *住严-取,y i =1y i =0E(U i ) = (1- : - : X i ) P i + (- : - : X i ) (1 - P i ) = P i - : - ： X i 由(4)式，有二元选择摸型如果回归模型的解释变量中含有定性变量，则可以用虚拟变量处理之。
在实际经济问题中，被解释变量 也可能是 定性变量。
如通过一系列解释变量的观测值观察人们对某项动议的 态度，某件事情的成功和失败等。
当被解释变量为定性变量时怎样建立模型呢？这就是要介 绍的二元选择模型或多元选择模型，统称离散选择模型。
这里主要介绍 Tobit （线性概率）模型，Probit （概率单位）模型和 Logit 模型。
1. Tobit （线性概率）模型 Tobit 模型的形式如下，其中U i 为随机误差项，X i 为定量解释变量。
y i 为二元选择变量。
此模型由 年提出，因此得名。
如利息税、机动车的费改税问题等。
设James Tobin 1958（若是第一种选择）1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -0.2330340350360370380E(U i ) = p i -圧-!：：i X i = 0因为y i 只能取0, 1两个值，所以，E(u i 2) = (1- : - - X i )2 p i + (- : - - X i )2 (1 - p)=(1- :- - X i )2 (: +1：, X i ) + (:- +1「X i )2(1 -:■ - !：:; X i ), (依据 ⑷式)=(1- : -:X i ) ( :- + : X i ) = p i (1 - p i ),(依据⑷式)=E(y i ) [1- E(y i )]上两式说明，误差项的期望为零，方差具有异方差。
第八章 离散因变量模型
第八章离散因变量模型离散（分类）因变量模型（Models with Discrete /Categorical Dependent Variables）分为二元选择模型（Binary Choice Models）和多类别选择（反应）模型（Multicategory Choice /Polytomous Response Models）。
在多类别选择模型中，根据因变量的反应类别（response category）是否排序，又分为无序选择模型（Multinominal Choice Models）和有序选择模型（Ordered Choice Models）（也称有序因变量模型Ordered Dependent Variable Models、有序类别模型Ordered Category Models等）一、二元选择模型设因变量1、线性概率模型（LPM模型）如果采用线性模型，给定，设某事件发生的概率为P i，则有所以称之为线性概率模型。
不足之处：1、不能满足对自变量的任意取值都有。
2、3、所以线性概率模型不是标准线性模型。
给定，为使，可对建立某个分布函数，使的取值在（0，1）。
2、Logit模型（Dichotomous/ Binary Logit Model）Logit模型是离散（分类）因变量模型的常用形式，它采用的是逻辑概率分布函数（Cumulative Logistic Probability Function）（e为自然对数的底），逻辑曲线如图4-1所示。
其中，二元Logit模型是掌握多类别Logit模型的基础。
图4-1 逻辑曲线（Logit Curve）以二元选择问题为例，设因变量有0和1两个选择，由自变量来决定选择的结果。
为了使二元选择问题的研究成为可能，首先建立随机效用模型：令表示个体i选择=1的效用，表示个体i选择=0的效用，显然当时，选择结果为1，反之为0。
将两个效用相减，即得随机效用模型：，记为（4-1）当时，，则个体i选择=1的概率为：若的概率分布为Logistic分布，则有即（4-2）式（4-2）即为最常用的二元选择模型——Logit模型。
第十三章 二元选择模型
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图7.2 二元选择模型估计对话框
15
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例7.1的估计输出结果如下：
16
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参数估计结果的上半部分包含与一般的回归结 果类似的基本信息，标题包含关于估计方法（ML表 示极大似然估计）和估计中所使用的样本的基本信 息，也包括达到收敛要求的迭代次数。和计算系数 协方差矩阵所使用方法的信息。在其下面显示的是 系数的估计、渐近的标准误差、z-统计量和相应的 概率值及各种有关统计量。
3
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1、 线性概率模型及二元选择模型的形式
为了深刻地理解二元选择模型，首先从最简单的线性概率 模型开始讨论。线性概率模型的回归形式为：
yi 1x1i 2 x2i k xki ui （7.1.1）
i 1, 2 ,, N
其中：N是样本容量；k是解释变量个数；xj为第j个个体特征 的取值。例如，x1表示收入；x2表示汽车的价格；x3表示消费 者的偏好等。设 yi 表示取值为0和1的离散型随机变量：
yi 1 F xi β ui
即yi关于它的条件均值的一个回归。
(7.1.10)
9
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分布函数的类型决定了二元选择模型的类型，根据分布函 数F的不同，二元选择模型可以有不同的类型，常用的二元选择 模型如表7.1所示：
表7.1 常用的二元选择模型
ui*对应的分布
标准正态分布 逻辑分布 极值分布
yi 1
即
N
L [F ( xi β)]yi [1 F ( xi β)]1yi i1
对数似然函数为
(7.1.11) (7.1.12)
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P( yi 1) P( yi* 0) P(i* X i ) 1 P(i* X i )
1 F( X i ) F( X i )
P(y1, y2 , , yn ) (1 F(X i )) F(X i )
yi 0
yi 1
n
L
( F ( X i )) yi (1 F ( X i )) 1 yi
•样 本 观 测 值
CC=XY CM=SC
JG
XY
SC
0
125.0 -2
0 599.0 -2
0 100.0 -2
0 160.0 -2
0 46.00 -2
0 80.00 -2
0 133.0 -2
0 350.0 -1
1
23.00
0
0 60.00 -2
0 70.00 -1
1 -8.000
0
0 400.0 -2
i 1
似然函数
n
ln L ( yi ln F ( X i ) (1 yi ) ln(1 F ( X i )))
i 1
ln L
n i 1
yi fi
Fi
(1
yi
)
(1
fi Fi
)
X
i
0
1阶极值条件
• 在样本数据的支持下，如果知道概率分布函数 和概率密度函数，求解该方程组，可以得到模 型参数估计量。
• 模型的估计方法主要发展于80年代初期。
一、二元离散选择模型的经济背景
实际经济生活中的二元选择问题
• 研究选择结果与影响因素之间的关系。 • 影响因素包括两部分：决策者的属性和备选方案
的属性。 • 对于单个方案的取舍。例如，购买者对某种商品
的购买决策问题 ，求职者对某种职业的选择问题， 投票人对某候选人的投票决策，银行对某客户的 贷款决策。由决策者的属性决定。 • 对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的选 择，两种商品的选择。由决策者的属性和备选方 案的属性共同决定。
三、二元Probit离散选择模型及其参数 估计
1、标准正态分布的概率分布函数
t
F(t)
(2
)
1 2
exp( x 2
2)dx
f
(x)Байду номын сангаас
(2
)
1 2
exp(
x2
2)
2、重复观测值不可以得到情况下二元Probit 离散选择模型的参数估计
ln L
fi yi 0 1 Fi
Xi
yi 1
fi Fi
• 本节只介绍二元选择模型。
• 离散选择模型起源于Fechner于1860年进行的动 物条件二元反射研究。
• 1962年，Warner首次将它应用于经济研究领域， 用以研究公共交通工具和私人交通工具的选择问 题。
• 70、80年代，离散选择模型被普遍应用于经济布 局、企业定点、交通问题、就业问题、购买决策 等经济决策领域的研究。
Xi
n i 1
qi
f
(qi
Xi
)
F (qi X i )
Xi
n
i X i
i 1
0
qi 2yi 1
• 关于参数的非线性函数，不能直接求解，需采用 完全信息最大似然法中所采用的迭代方法。
• 应用计量经济学软件。
• 这里所谓“重复观测值不可以得到”，是指对每 个决策者只有一个观测值。如果有多个观测值， 也将其看成为多个不同的决策者。
0
72.00
0
0 120.0 -1
1
40.00
1
1
35.00
1
1
26.00
1
1 15.00 -1
0 69.00 -1
0
107.0
1
1
29.00
1
1
2.000
1
1
37.00
1
0 53.00 -1
0
194.0
0
说明
• 在经典计量经济学模型中，被解释变量通常被假 定为连续变量。
• 离散被解释变量数据计量经济学模型（Models with Discrete Dependent Variables）和离散 选择模型(DCM, Discrete Choice Model)。
• 二元选择模型(Binary Choice Model)和多元选 择模型(Multiple Choice Model)。
二、二元离散选择模型
1、原始模型
• 对于二元选择问题，可以建立如下计量经济学模 型。其中Y为观测值为1和0的决策被解释变量；X 为解释变量，包括选择对象所具有的属性和选择
主体所具有的属性。
Y X yi Xi i
E(i ) 0 E(yi ) Xi
pi P( yi 1) 1 pi P( yi 0)
• 需要将原始模型变换为效用模型。
• 这是离散选择模型的关键。
2、效用模型
U
1 i
X i 1
i1
第i个个体 选择1的效用
U
0 i
X i 0
i0
第i个个体 选择0的效用
U
1 i
U
0 i
Xi
(1
0
)
(i1
i0 )
yi* X i i*
作为研究对象的二元选择模型
P( yi 1) P( yi* 0) P(i* X i )
E( yi ) 1 P( yi 1) 0 P( yi 0) pi
E(yi ) P(yi 1) X i
左右端矛盾
i
1 X
Xi i
当yi 1，其概率为X i 当yi 0，其概率为1 X i
具有异 方差性
• 由于存在这两方面的问题，所以原始模型不能作 为实际研究二元选择问题的模型。
例7.2.2 贷款决策模型
• 分析与建模：某商业银行从历史贷款客户中随机 抽取78个样本，根据设计的指标体系分别计算它 们的“商业信用支持度”（CC）和“市场竞争地 位等级”（CM），对它们贷款的结果（JG）采 用二元离散变量，1表示贷款成功，0表示贷款失 败。目的是研究JG与CC、CM之间的关系，并为 正确贷款决策提供支持。
• 注意，在模型中，效用是不可观测的，人们能够 得到的观测值仍然是选择结果，即1和0。
• 很显然，如果不可观测的U1>U0，即对应于观测 值为1，因为该个体选择公共交通工具的效用大于 选择私人交通工具的效用，他当然要选择公共交 通工具；
• 相反，如果不可观测的U1≤U0，即对应于观测值 为0，因为该个体选择公共交通工具的效用小于选 择私人交通工具的效用，他当然要选择私人交通 工具。
3、最大似然估计
• 欲使得效用模型可以估计，就必须为随机误差项 选择一种特定的概率分布。
• 两种最常用的分布是标准正态分布和逻辑 （logistic）分布，于是形成了两种最常用的二元 选择模型—Probit模型和Logit模型。
• 最大似然函数及其估计过程如下：
F(t) 1 F(t)
标准正态分布或逻 辑分布的对称性