计量经济学虚拟解释变量模型

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而在1979年以后, 物资逐渐丰富, 商 品的买卖也取消了票证的限制, 消费者 储蓄的主要目的之一是购买高档耐用 消费品，储蓄不再具有“被迫”的性 质。
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(2)对没有截距的情况，我们如果设两个虚 拟变量，
Yi 1D1i 2D2i 3 Xi ui （8.10）
显然模型(8.10)中，解释变量D1,D2和X之间 无完全的多重共线性。可以使用普通最小二乘 法估计式（8.10）的参数。
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（二）斜率变动模型 在实际问题中，斜率单独变动出现的
情形一般比较少，它指的是改变了变动的 速率也就是弹性。 例如城镇居民家庭与农 村居民家庭的消费函数， 在边际消费倾 向（斜率）上可能会有所不同，假设它们 的消费函数在截距项没有区别。
影响被解释变量，它有个m特征，我们 就要引入m-1个虚拟变量；
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如果回归方程没有截距项，那么这个质 的因素有多少个特征就要设多少个虚拟 变量，这就是虚拟变量的使用原则。如 果虚拟变量设定不当，会使最小二乘法 无解，称这种情况为虚拟变量陷阱。
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下面就用线性代数中的知识来说明这一 点。同样用例8.1，引入两个虚拟变量对有 截距项和没有截距项的情况分别讨论。
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例如，我们用季度资料研究各种商品消 费额在季节上有没有什么区别？可以建立 模型如下：
Yt 0 1D1t 2 D2t 3 D3t 4 X t ut
（8.14） 其中，Yt=季度的消费，Xt=季度的收入， 对于四个季度，我们引入了三个虚拟变量：
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1 第一季度
D1t 0
其他
1 第二季度
如果我们绘制图形，得到的结果仍然
是一样的。此时，β1＜０，非正常年份的
线低于正常年份的线，代表非正常年份的 消费水平低于正常年份的消费水平。
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２．虚拟变量D=0所代表的特性或 状态通常称为基础类型。和其它特征或状 态比较的意义上说，基础类型为对比的基 础，在式（8.２）和式（8.３）中，非正 常年份就是基础类型，而在式（8.5）和 式（8.6）中，正常年份就是基础类型。
在经济计量分析中， 经常会碰到 所建模型的被解释变量不仅受诸如收 入、产量、价格、 成本、需求、投资 等数量变量的影响，而且也受到诸如 战争、自然灾害、国际环境、季节变 动以及政府经济政策变动等质量变量 的影响。建立经济计量模型若不考虑 这些质量变量的影响作用，显然是不 适宜的。
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所以，在建立经济计量模型时，即要 考虑数量变量，也要考虑质量变量。但 是，质量变量和数量变量不同，数量变 量可以在事前规定好的尺度上，用不同 的数值表现出来，质量变量却只能以属 性、种类的不同具体形式表现出来。
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式（8.2）和式（8.3）分别为正常年 份和非正常年份的居民消费水平。二者 具有相同的斜率，但是截距不同。
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利用最小二乘法对式（8.1）进行估计，可得到
Yˆi ˆ 0 ˆ1D ˆ 2 Xi （8.4）
对 β1 作t 检验，若 β1 显著地不为0，
我们就认为正常年份和非正常年份居民在 消费行为上的差异是明显的。若 β1 >0，则 正常年份的居民消费水平高于非正常年份 的居民消费水平。
0 0 0 0
1 4Xt 2 4Xt 3 4Xt 4Xt ut
ut ut ut
（8.15） （8.16） （8.17） （8.18）
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（四）截距和斜率同时变动模型 在多数情况下，质的因素不但对回归
模型的截距有影响，而且还会改变模型 的斜率。例如城镇居民和农村居民的消 费函数不但在斜率上有差异，在截距上 也是有可能不一致的，将两个问题同时 考虑进来，我们可以得到回归方程
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【例8.1】假设有一个包括正常年份和 非正常年份（亚洲金融危机或SARS的影 响）居民消费的样本，并打算用这些数据 估计消费函数。由于在正常年份和非正常 年份居民在消费水平上存在明显差异，所 以一些外界的影响是一个重要的解释变量 。
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用一个虚拟变量来表示这个质的因素， 消费函数为
Yi 0 1D 2 X i ui （8.1）
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第二节 虚拟解释变量的设定
虚拟解释变量模型的设定因为质的 因素的多少和这些因素特征的多少而引 入的虚拟变量也会不同。
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以一个最简单的虚拟变量模型为例，如 果只包含一个质的因素，而且这个因素 仅有两个特征，则回归模型中只需引入 一个虚拟变量。如果是含有多个质的因 素， 自然要引入多个虚拟变量。
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模型中的系数β0 为基础类型的截距项， 称为公共截距项；系数β1 称为差别截距
系数，指的是D取1时截距系数和基础类 型的截距系数的差异。
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３．如果一个回归模型有截距项，而 且这个质的因素又有两种特征，也就是 将其分两类，则我们只需要引入一个虚 拟变量。如我们的例8.1所示。如果一个 回归方程有截距项，只有一个质的因素
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1979年以后，我国居民的收入水平大 幅度提高，同时，居民储蓄也在大幅 度增长。从这些可以看出来，1979年 前后两个时期，我国居民的边际储蓄 倾向有显著性差异。
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在改革开放前的大多数年份, 我国 的消费市场常常是供不应求, 许多商品 要国家下达计划指标, 居民凭票证购买, 经常出现的问题是顾客即使有钱也难 买到需要的商品, 就不得不把钱存起来。 这时候的储蓄就带有非自愿的性质。
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那么回归模型可记为
Yi 0 1 X i 2 (DX i ) ui （8.11）
其中，Yi=第个家庭的消费水平，Xi= 第个家庭的收入水平，
D
1 0
城镇居民家庭 农村居民家庭
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式（8.11）可以表示为
D 1， Yi 0 (1 2)Xi ui D 0， Yi 0 1Xi ui
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例如，性别可表现为男或女；人种可表 现为白种人和非白种人；宗教信仰可表 现为教徒和非教徒；政府的经济政策可 表现为改革开放前和改革开放后，如此 等等。
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显然，这种不同的具体形式是无法直接引 入经济计量模型中去的。但由于这类变量 通常表现为品质、属性、种类的出现或者 未出现，所以我们可以根据质量变量的这 一特征将其数量化。给定某一质量变量某 属性的出现为1，未出现为0，称这样的变 量为虚拟变量。
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当然，把哪种情况取0，哪种情况取1要视研 究情况而定。0和1只是一个符号而已，不代 表他们有高低的意义。我们可以把男性设为 1，也可以设为0，得到的结果是一致的。 这样就可以把量化的质量变量引入经济计量 模型中，以便进一步进行数学处理。
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需要指出的是，虚拟变量主要是用来 代表质的因素，但是有些情况下也可以 用来代表数量因素。例如在建立储蓄函 数时，“收入”显然是一个重要解释变 量，虽然是“数量”因素，但是为了方 便也可以用虚拟变量表示。
（8.21）
β1和 β3 分别表示城镇居民家庭和
农村居民家庭的消费函数在截距
和斜率上的差异。
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我们一般通过t 检验来判定它们之间是否有
差异。 1. 若β1≠0 ，β3≠0，则为截距和斜率同时
变动模型； 2. 若 β1≠0,β3=0，则为截距变动模型； 3. 若 β1=0，β3=0, 则表示城镇居民家庭和
Sˆt 33.4 0.17Xt （8.22）
R2 =0.833， DW=0.398
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模型（8.23）包含了这样一个假定，那 就是在1955到1985年期间我国城镇居民家 庭的储蓄行为大体保持不变。 这一假定 实际上是行不通的，因为在十一届三中全 会召开之后，居民的收入大大增加，而且 与居民储蓄有关的许多重要因素在1979年 以后发生了明显变化。在改革开放之前， 我国居民的收入水平仅仅能够维持温饱水 平，根本不可能有多少储蓄；
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通过例8.1，我们可以找出虚拟变量模型的 一些特征。
１．用“1”来代表质的因素的哪个特征 是可以任意设定的。我们一般认为，“1” 代表具有某些特征，但没有具体规定。在上 例中，也可以指定D=1时为非正常年份，而 D=0就必然为正常年份。在这种情况下，正 常年份和非正常年份的消费函数分别为
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D 0 时 正常年份 E（Y） i 0 2Xi D 1 时 非正常年份 E（YI ) 0 1 2Xi
式中，Yi=第个居民的消费水平，Xi=第个 居民的收入水平，D为虚拟变量。我们用 D=1表示正常年份这一特征，用D=0来表 示非正常年份
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假设E（u i）=0，式（8.1 ) 0 1 2 X i
D0
（8.2）
非正常年份
E(Yi ) 0 2 X i
（8.3）
农村居 民家庭有着完全相同的消费模式； 4. 若 β1=0，β3≠0,则为斜率变动模型，这
种情况在现实中出现得不是很多。
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下面，以我国的农村和城市的消费样本 为例，实际体会虚拟变量模型从建模到检 验再到估计参数最后下结论的全过程。
【例8.2】已有数据资料为我国城镇居民 家庭1955年至1985年人均收入和人均储蓄。 根据经验，也就是先验信息，再通过某些 检验，我们发现储蓄和收入有很强的相关 关系而且收入的变化会引起储蓄的变化。
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Yi 0 1D 2 X i 3 (DX i ) ui
（8.19）
式中，Yi=第个家庭的消费水平，Xi=第个 家庭的收入水平，
D
1 0
城镇居民家庭 农村居民家庭
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式（8.19）可以表示为
D 1 Yi 0 1 (2 3 )X i ui （8.20）
D 0 Yi 0 2 X i ui
(1)对有截距项的情况，我们如果设两个 虚拟变量，则回归模型为
Yi 0 1D1i 2 D2i 3 X i ui （8.7）
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1 D1i 0
正常年份 非正常年份
式(8.7)也可表示为
1 非正常年份 D2i 0 正常年份
Yi 0 X1i 1 X 2i 2 X 3i 3 X i ui （8.8）