实验六、拟合与插值问题
插值与拟合
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
Lagrange插值法的缺点
• 多数情况下，Lagrange插值法效果是不错的， 但随着节点数n的增大，Lagrange多项式的次 （Runge）现象。
• 例：在[-5,5]上用n+1个等距节点作插值多项 式Ln(x),使得它在节点处的值与函数y = 1/(1+25x2)在对应节点的值相等，当n增大时， 插值多项式在区间的中间部分趋于y(x)，但 对于满足条件0.728<|x|<1的x， Ln(x)并不趋 于y(x)在对应点的值，而是发生突变，产生 剧烈震荡，即Runge现象。
总结
• 拉格朗日插值：其插值函数在整个区间 上是一个解析表达式；曲线光滑；收敛 性不能保证，用于理论分析，实际意义 不大。
• 分段线性插值和三次样条插值：曲线不 光滑（三次样条已有很大改进）；收敛 性有保证；简单实用，应用广泛。
1.2 二维插值
• 二维插值是基于一维插值同样的思想， 但是它是对两个变量的函数Z=f(x,y)进 行插值。
• n=5; • x0=-1:1/(n-1):1;y0=1./(1+25*x0.^2);y1=lagr(x0,y0,x); • subplot(2,2,2), • plot(x,z,'r-',x,y,'m-'),hold on %原曲线 • plot(x,y1,'b'),gtext('L8(x)','FontSize',12),pause %Lagrange曲线
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
l1(x)
线性插值函数为
插值法和拟合实验报告
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过实验了解插值法和拟合法在数值计算中的应用；2.掌握拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法的原理和使用方法；3.学会使用最小二乘法进行数据拟合。
二、实验仪器和材料1.一台计算机；2. Matlab或其他适合的计算软件。
三、实验原理1.插值法插值法是一种在给定的数据点之间“插值”的方法，即根据已知的数据点，求一些点的函数值。
常用的插值法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和分段线性插值法。
-拉格朗日插值法：通过一个n次多项式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-牛顿插值法：通过递推公式，将给定的n+1个数据点连起来，构造出一个插值函数。
-分段线性插值法：通过将给定的n+1个数据点的连线延长，将整个区间分为多个小区间，在每个小区间上进行线性插值，构造出一个插值函数。
2.拟合法拟合法是一种通过一个函数，逼近已知的数据点的方法。
常用的拟合法有最小二乘法。
-最小二乘法：通过最小化实际观测值与拟合函数的差距，找到最优的参数，使得拟合函数与数据点尽可能接近。
四、实验步骤1.插值法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用拉格朗日插值法、牛顿插值法、分段线性插值法，分别求出要插值的点的函数值；-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
2.拟合法的实验步骤：-根据实验提供的数据点，利用最小二乘法，拟合出一个合适的函数；-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
五、实验结果与分析1.插值法的结果分析：-比较三种插值法的插值结果，评价其精度和适用性。
根据实验数据和插值函数的图形，可以判断插值函数是否能较好地逼近实际的曲线。
-比较不同插值方法的计算时间和计算复杂度，评价其使用的效率和适用范围。
2.拟合法的结果分析：-比较拟合函数与实际数据点的差距，评价拟合效果。
可以使用均方根误差（RMSE）等指标来进行评价。
-根据实际数据点和拟合函数的图形，可以判断拟合函数是否能较好地描述实际的数据趋势。
插值与拟合问题
插值与拟合问题插值与拟合是数学和计算机科学领域中常见的问题，涉及到通过已知数据点来估计未知点的值或者通过一组数据点来逼近一个函数的过程。
在现实生活中，这两个问题经常用于数据分析、图像处理、物理模拟等领域。
本文将介绍插值与拟合的基本概念、方法和应用。
一、插值问题插值是通过已知的数据点来推断出未知点的值。
在插值问题中，我们假设已知数据点是来自于一个未知函数的取值，在这个函数的定义域内，我们需要找到一个函数或者曲线，使得它经过已知的数据点，并且可以通过这个函数或者曲线来估计未知点的值。
常见的插值方法包括线性插值、拉格朗日插值和牛顿插值。
线性插值是通过已知的两个数据点之间的直线来估计未知点的值，它简单而直观。
拉格朗日插值则通过构造一个关于已知数据点的多项式来估计未知点的值，这个多项式经过每一个已知数据点。
牛顿插值和拉格朗日插值类似，也是通过构造一个多项式来估计未知点的值，但是它使用了差商的概念，能够更高效地处理数据点的添加和删除。
不仅仅局限于一维数据点的插值问题，对于二维或者更高维的数据点，我们也可以使用类似的插值方法。
例如，对于二维数据点，我们可以使用双线性插值来估计未知点的值，它利用了四个已知数据点之间的线性关系。
插值问题在实际应用中非常常见。
一个例子是天气预报中的气温插值问题，根据已知的气温观测站的数据点，我们可以估计出其他地点的气温。
另一个例子是图像处理中的像素插值问题，当我们对图像进行放大或者缩小操作时，需要通过已知像素点来估计未知像素点的值。
二、拟合问题拟合是通过一组数据点来逼近一个函数的过程。
在拟合问题中，我们假设已知的数据点是来自于一个未知函数的取值，我们需要找到一个函数或者曲线，使得它能够与已知的数据点尽可能地接近。
常见的拟合方法包括多项式拟合、最小二乘拟合和样条拟合。
多项式拟合是通过一个多项式函数来逼近已知的数据点，它的优点是简单易用，但是对于复杂的函数形态拟合效果可能不好。
最小二乘拟合则是寻找一个函数，使得它与已知数据点之间的误差最小，这个方法在实际应用中非常广泛。
插值法和拟合实验报告(数值计算)
插值法和拟合实验报告一、实验目的1.通过进行不同类型的插值，比较各种插值的效果，明确各种插值的优越性；2.通过比较不同次数的多项式拟合效果，了解多项式拟合的原理；3.利用matlab 编程，学会matlab 命令；4.掌握拉格朗日插值法；5.掌握多项式拟合的特点和方法。
二、实验题目1.、插值法实验将区间[-5,5]10等分，对下列函数分别计算插值节点kx 的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与)(x f y =的图形进行比较：;11)(2x x f += ;arctan )(x x f = .1)(42x x x f +=(1) 做拉格朗日插值； (2) 做分段线性插值； (3) 做三次样条插值.2、拟合实验给定数据点如下表所示：分别对上述数据作三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数),(i i y x 和拟合函数的图形。
三、实验原理1.、插值法实验∏∑∏∏∏∑∑≠==≠=≠=≠=+-==--==-===-=-=----==++==ji j ji i i i i ni i n nji j jnji j ji i nji j jn i i i ni i n nn o i ni i n x x x x x y x l x L x x c ni x x c x x x cx x x x x x x x c y x l x L y x l y x l y x l x L ,00,0,0,0110000)(l )()()(1,1,0,1)()(l )()())(()()()()()()()(，故，得再由，设2、拟合实验四、实验内容1.、插值法实验1.1实验步骤：打开matlab软件，新建一个名为chazhi.m的M文件，编写程序（见1.2实验程序），运行程序，记录结果。
1.2实验程序：x=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y1=1./(1+x.^2);L=malagr(x,y1,xx);L1=interp1(x,y1,x,'linear');S=maspline(x,y1,0.0148,-0.0148,xx);hold on;plot(x,y1,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y2=atan(x);L=malagr(x,y2,xx);L1=interp1(x,y2,x,'linear');S=maspline(x,y2,0.0385,0.0385,xx);hold on;plot(x,y2,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');figurex=-5:1:5;xx=-5:0.05:5;y3=x.^2./(1+x.^4);L=malagr(x,y3,xx);L1=interp1(x,y3,x,'linear');S=maspline(x,y3,0.0159,-0.0159,xx);hold on;plot(x,y3,'b*');plot(xx,L,'r');plot(x,L1,'g');plot(xx,S,'k');1.3实验设备：matlab软件。
实验六、拟合与插值问题
2012年8月31日
18
二、插 值
1. 插值的基本原理；三种插值方法：拉格朗日 插值，分段线性插值，三次样条插值。 2. 面 对 一 个 实 际 问 题，应 该 用 插 值，还 是 拟 合。
2012年8月31日 19
（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。 （2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999年 的人口数。
2012年8月31日 9
y a1x a2
线性模型
2012年8月31日
如何确定a1 ,
a2
10
一、曲线拟合
1 曲线拟合问题的提法:
已知一组（二维）数据，即平面上的 n 个点( xi , yi ) ， 使 f (x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合 得最好，如图:
det( X ) 0 , ( 2 ) 有唯一解
2012年8月31日 24
1.拉格朗日(Lagrange)多项式插值
1.2 拉格朗插值多项式
Ln ( x )
li ( x )
i0
n
y i li ( x )
(3)
, i 0 ,1L n
( x x 0 ) L ( x x i 1 )( x x i 1 ) L ( x x n ) ( x i x 0 ) L ( x i x i 1 )( x i x i 1 ) L ( x i x n )
2012年8月31日 16
syms x 人口模型的解 x=1949:5:1994; y=[541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1034.75 1106.76 1176.74]; plot(x,y,'r*’) z=polyfit(x,y,1) y1=polyval(z,x) hold on plot(x,y1,'b+-')
插值与拟合实验
（3）三次样条插值 y
比分段线性插值更光滑。
xi-1 xi
b x
a
在数学上，光滑程度的定量描述是：函数(曲线)的k 阶导数存在且连续，则称该曲线具有k阶光滑性。 光滑性的阶次越高，则越光滑。是否存在较低次的分 段多项式达到较高阶光滑性的方法？三次样条插值就是一
x
Matlab程序： ch608.m
4、用MATLAB做二维网格节点数据的插值
z=interp2(x0,y0,z0,x,y,’method’)
被插值点的 函数值 插值 节点 被插值点
插值方法
‘nearest’ 最邻近插值 ‘linear’ 双线性插值 ‘cubic’ 双三次插值 缺省时, 双线性插值 要求x0,y0单调；x，y可取为矩阵，或x取行向量，y取
称为拉格朗日插值基函数。特别的：
两点一次(线性)插值多项式:
x x0 x x1 L1 x y0 y1 x0 x1 x1 x0
三点二次(抛物)插值多项式:
x x1 x x2 y x x0 x x2 y x x0 x x1 y L2 x 0 1 2 x0 x1 x0 x2 x1 x0 x1 x2 x2 x0 x2 x1
其中 a1, a2, …am 为待定系数。 第二步: 确定a1,a2, …am 的准则（最小二乘准则）：
使n个点（xi, yi) 与曲线y=f (x)的距离i 的平方和最小 。 记 J (a1 , a2 , am )
实验六、拟合与插值问题
2020/12/12
6
实验问题
2020/12/12
7
模型（一） 模型（二）
Matlab---微分方程的求解
今天我们研究问 题4的方法
2020/12/12
已解决
拟合 插值
8
拟合问题实例1
据人口统计年鉴，知我国从1949年至1994年 人口数据资料如下： (人口数单位为：百万)
年份 人口数 年份 人口数
数学实验 六
数学模型
一、实验项目名称
传染病模型 ——插值与拟合
2020/12/12
1
二、实验目的
1. 进一步巩固、加强Matlab的应用能力、 2. 学会用MATLAB软件进行数据拟合
3. 了解在最小二乘意义下数据拟合的理 论和方法.
4. 通过对实际问题的分析和研究，初步 掌握建立数据拟合数学模型的方法
2020/12/12
4
1.1问题重述
问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望 建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进 行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命 财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行 一定的比较分析和评价展望。
双曲线（一支):
ea2x
2020/12/12
12
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x),…,rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …,n 作图，通过直观判断确定 f(x)：
2020/12/12
17
syms x
传染病模型3的解
matlab 软件拟合与插值运算实验报告
实验6 数据拟合&插值一．实验目的学会MATLAB软件中软件拟合与插值运算的方法。
二．实验内容与要求在生产和科学实验中，自变量x与因变量y=f(x)的关系式有时不能直接写出表达式，而只能得到函数在若干个点的函数值或导数值。
当要求知道观测点之外的函数值时，需要估计函数值在该点的值。
要根据观测点的值，构造一个比较简单的函数y=t (x),使函数在观测点的值等于已知的数值或导数值，寻找这样的函数t(x),办法是很多的。
根据测量数据的类型有如下两种处理观测数据的方法。
（1）测量值是准确的，没有误差，一般用插值。
（2）测量值与真实值有误差，一般用曲线拟合。
MATLAB中提供了众多的数据处理命令，有插值命令，拟合命令。
1.曲线拟合>> x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];>> y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];>> p=polyfit (x,y,2);>> x1=0.5:0.05:3.0;>> y1=polyval(p,x1 );>> plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')2.一维插值>> year=[1900,1910,1920,1930,1940,1990,2000,2010];>> product = [75.995,91.972,105.711,123.203,131.669,249.633,256.344,267.893 ]; >> p2005=interp1(year,product,2005)p2005 =262.1185>> y= interp1(year,product,x, 'cubic');>> plot(year,product,'o',x,y)3.二维插值>> years=1950:10:1990;>> service=10:10:30;>>wage=[150.697,199.592,187.625;179.323,195.072,250.287;203.212,179.092,322.767;226.505,15 3.706,426.730;249.636,120.281,598.243];>> w=interp2(service,years,wage,15,1975)w =190.6288[例1.98]x=1:6;y=1:4;t=[12,10,11,11,13,15;16,22,28,35,27,20;18,21,26,32,28,25;20,25,30,33,32,30];subplot(1,2,1)mesh(x,y,t)x1=1:0.1:6;y1=1:0.1:4;[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);t1=interp2(x,y,t,x2,y2,'cubic');subplot(1,2,2)mesh(x1,y1,t1)三,练习与思考1）已知x=[1.2,1.8,2.1,2.4,2.6,3.0,3.3],y=[4.85,5.2,5.6,6.2,6.5,7.0,7.5],求对x和y进行6阶多项式拟合的系数.x=[1.2,1.8,2.1,2.4,2.6,3.0,3.3];y=[4.85,5.2,5.6,6.2,6.5,7.0,7.5];>> p=polyfit(x,y,6)p =-2.0107 29.0005 -170.6763 523.2180 -878.3092 763.9307 -263.4667x1=0.5:0.05:3.0;>> y1=polyval(p,x1);>> plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')2）分别用2,3,4,5阶多项式来逼近[0,3]上的正弦函数sin x,并做出拟合曲线及sin x函数曲线图,了解多项式的逼近程度和有效拟合区间随多项式的阶数有何变化.（2）2阶：>> x=0:0.01:3;>> y=sin(x);>> p=polyfit(x,y,2);>> x1=0:0.01:3;>> y1=polyval(p,x1);>> plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')>>3阶：>> p=polyfit(x,y,3); >> x1=0:0.01:3;>> y1=polyval(p,x1); >> plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') >>4阶：>> p=polyfit(x,y,4); >> x1=0:0.01:3;>> y1=polyval(p,x1); >> plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') >>5阶：>> p=polyfit(x,y,5); >> x1=0:0.01:3;>> y1=polyval(p,x1); >> plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b') >>3）已知x=[0.1,0.8,1.3,1.9,2.5,3.1],y=[1.2,1.6,2.7,2.0,1.3,0.5],用不同的方法求x=2点的插值,并分析所得结果有何不同.>> x=[0.1,0.8,1.3,1.9,2.5,3.1];y=[1.2,1.6,2.7,2.0,1.3,0.5];>> p=interp1(x,y,2)p =1.8833>> x=[0.1,0.8,1.3,1.9,2.5,3.1];y=[1.2,1.6,2.7,2.0,1.3,0.5];>> z=interp1(x,y,2,'cubic')z =1.8844四,提高内容1.三维数据插值[x,y,z,v]=flow(20);[xx,yy,zz]=meshgrid(0.1:0.25:10,-3:0.25:3,-3:0.25:3); vv=interp3(x,y,z,v,xx,yy,zz);slice(xx,yy,zz,vv,[6,9.5],[1,2],[-2,0.2]);shading interpcolormap cool3.三次样条数据插值x=[0 2 4 5 6 12 12.8 17.2 19.9 20];y=exp(x).*sin(x);xx=0:.25:20;yy=spline(x,y,xx);plot(x,y,'o',xx,yy)。
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2020年11月23日
16
syms x x=1949:5:1994;
人口模型的解
y=[541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59
975.42 1034.75 1106.76 1176.74];
plot(x,y,'r*’)
1200
z=polyfit(x,y,1) 1100
数学实验 六
数学模型
一、实验项目名称
传染病模型 ——插值与拟合
2020年11月23日
1
二、实验目的
1. 进一步巩固、加强Matlab的应用能力、 2. 学会用MATLAB软件进行数据拟合
3. 了解在最小二乘意义下数据拟合的理 论和方法.
4. 通过对实际问题的分析和研究，初步 掌握建立数据拟合数学模型的方法
2020年11月23日
15
人口预测线性模型
对于开始提出的实验问题, 代如数据，计算得
a1 15,a2 27754
从而得到人口数与年份的函数关系为
y 15x 27754 线性预测模型
把x=1999代如，估算出1999年的人口数为 y=1252.1（百万）＝12.52亿
1999年实际人口数量为１２.６亿。
得最好，如图:
y
确定f(x)使得
+
i
( xi
,
yi
)
n
n
2 i
[ f ( xi ) yi ]2
++
+ y f (x)
i 1
i 1
达到最小
+
+
+
+
0
最小二乘准则
2020年11月23日
x
11
２. 用什么样的曲线拟合已知数据?
１．画图观察； ２．理论分析
常用的曲线函数系类型：
直线： y a1x a2
多项式： y a1 xm L am x am1
双曲线（一支):
y
a1 x
a2
指数曲线： y a1ea2x
2020年11月23日
12
线性最小二乘拟合 f(x)=a1r1(x)+ …+amrm(x)中 函数{r1(x),…,rm(x)}的选取 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 f(x)；
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …,n 作图，通过直观判断确定 f(x)：
n
n
J (a1,a2 )
2 i
[a1 xi a2 ) yi ]2达到最小。
i 1
i 1
为此，只需利用极值的必要条件 J 0(k 1,2)得到关 ak
于 a1 , a2的线性方程组，
n
i 1 n
2[a1 xi
a2 )
yi ]xi
0
i1
2[a1 xi
a2 )
y#43;a2x +
++
++
f=a1+a2x+a3x2 +
+
+ +
+
f=a1+a2x+a3x2
++ +
+ +
f=a1+a2/x +
+++ +
2020年11月23日
f=aebx
+
+
++ +
+ f=ae-bx + + ++
13
３ 拟合函数组中系数的确定
以f ( x) a1 x a2为例, 即确定a1，a2使得
1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数， 建立模型求t时刻的感染人数。
x 2染、人假数设的环增境长条率件是下感所染允人许数的的最线大性可函感数染，人最数大为感染m时。的单增位长时率间为内零感。
建立模型求t时刻的感染人数。
2020年11月23日
5
•3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一 定时间内一定间隔区间的感染人数数据 （见下表），利用该数据确定上述两个模 型中的相关参数，并将它们的预测值与实 际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并 对两个模型进行适当的评价。（注：该问 题中，设最大可感染人数为2000人）
2020年11月23日
9
2020年11月23日
y a1x a2
线性模型
如何确定a1 , a2 10
一、曲线拟合
1 曲线拟合问题的提法:
已知一组（二维）数据，即平面上的 n 个点(xi , yi )， i 1,2, L,n, xi 互不相同，寻求一个函数（曲线）y f (x)，
使 f (x) 在某种准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合
5. 插值的基本原理
2020年11月23日
2
三、实验内容与步 骤
1、建模实例：传染 病模型 2、MATLAB求函 数的拟合与插值
2020年11月23日
3
1、传染病模型
• 描述传染病的传播过程
目
• 分析受感染人数的变化规律
的
• 预报传染病高潮到来的时刻
• 预防传染病蔓延的手段
• 按照传播过程的一般规律， 用机理分析方法建立模型
2020年11月23日
4
1.1问题重述
问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望 建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进 行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命 财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行 一定的比较分析和评价展望。
1949 541.67 1974 908.59
1954 1959 602.66 672.09
1979 1984 975.42 1034.75
1964 1969 704.99 806.71
1989 1994 1106.76 1176.74
（1）在直角坐标系上作出人口数的图象。
（2）建立人口数与年份的函数关系，并估算1999 年的人口数。
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用MATLAB作线性最小二乘拟合 1. 作多项式f(x)=a1xm+ …+amx+am+1拟合,可利用已有程序:
a=polyfit(x,y,m)
输出拟合多项式系数 a=[a1, …,am , am+1] (数组）
输入同长度 的数组x，y
拟合多项 式次数
2.多项式在x处的值y可用以下命令计算： y=polyval（a，x）
y1=polyval(z,x) 1000
hold on
900
plot(x,y1,'b+-')
800
700
600
500 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995
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实验问题
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模型（一） 模型（二）
Matlab---微分方程的求解
今天我们研究问 题4的方法
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已解决
拟合 插值
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拟合问题实例1
据人口统计年鉴，知我国从1949年至1994年 人口数据资料如下： (人口数单位为：百万)
年份 人口数 年份 人口数