(01) 第一章 量子力学基础3
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
(01) 第一章 量子力学基础
玻尔频率规则
Bohr的轨道角动量量子化
E h E E2 E1
h h
运用玻尔模型，结合经典物理学知识，玻尔计算了氢原子定态 的轨道半径及能量，圆满的解释了氢原子光谱。 1922年, Bohr
获诺贝尔物理学奖.
mv 2 e2 r 4 0 r 2
消去v，
2
r
h M mvr n 2
34
Js
这些不同能量的谐振子出现的几率之比为：
1： h / kT ：2 hv / kT ：…： nhv / kT e e e
的平均能量为
h e h / kT 1
因此频率为ν的振子的振动
，由此可得单位时间，单位表面积上辐
射的能量。公式计算值与实验结果非常吻合。
E 2h c
)
E总
me 4 1 R 2 2 2 2 8 0 r 8 0 h n n
e2
1 13.6 2 eV ( n 1,2,3 ) n
E总 E K 1 EV 2
当n=1,E=-R=-13.6eV，即为氢原子基态。
当电子从定态n1跃迁到n2时放出或吸收辐射。其频率满足于：
这样实物微粒若以大小为p=mv的动量运动时，伴随有 的波
h p h mv
例子：以1.0×106m.s-1 的速度运动的电子，求其de.Broglie波
长：
6.6 1034 J . s 7.0 1010 m (9.1 10 31 Kg) (1.0 106 m .s 1 )
在十九世纪末，人们利用传统的经典物理学对几个问题始终不能给予
解释, 这其中包括著名的黑体辐射、 光电效应、氢原子光谱和原子
结构等问题.
第一章 量子力学基础知识
《结构化学基础》讲稿第一章孟祥军第一章 量子力学基础知识 （第一讲）1.1 微观粒子的运动特征☆ 经典物理学遇到了难题：19世纪末，物理学理论（经典物理学）已相当完善： ◆ Newton 力学 ◆ Maxwell 电磁场理论 ◆ Gibbs 热力学 ◆ Boltzmann 统计物理学上述理论可解释当时常见物理现象，但也发现了解释不了的新现象。
1.1.1 黑体辐射与能量量子化黑体：能全部吸收外来电磁波的物体。
黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。
黑体辐射：加热时，黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。
★经典理论与实验事实间的矛盾：经典电磁理论假定：黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。
按经典热力学和统计力学理论，计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线，与实验所得曲线明显不符。
按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线：Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上，按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。
Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似，计算结果在短波处与实验较接近。
经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。
• 1900年，Planck （普朗克）假定：黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动，只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能，即振动频率为 ν 的振子，发射的能量只能是 0h ν，1h ν，2h ν，……，nh ν（n 为整数）。
• h 称为Planck 常数，h ＝6.626×10－34J •S•按 Planck 假定，算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合：●能量量子化：黑体只能辐射频率为 ν ，数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。
能量波长黑体辐射能量分布曲线 ()1/8133--=kt h c h eE ννπν1.1.2 光电效应和光子学说光电效应：光照射在金属表面，使金属发射出电子的现象。
-第1章-量子力学基础详细讲解汇总
第1章、 量子力学基础1.1 量子力学和量子光学发展简史1900，Planck （普朗克），黑体辐射，能量量子化：h εν=1905，Einstein （爱因斯坦）, 光电效应，光量子–光子：E h ν=， h p λ= （h h E p c c νλ===）1913，Bohr （玻尔）, 原子光谱和原子结构，定态、量子跃迁及跃迁频率：()/mn m n E E h ν=-1923， de Broglie （德布罗意）, 物质粒子的波动性，物质波：E h ν=，h p λ=1925， Heisenberg （海森堡）， 矩阵力学1926, Schrödinger （薛定谔）, 波函数(),r t ψ，波动方程- Schrödinger 方程，波动力学:()(),,ir t H r t tψψ∂=∂ 1926， Born （波恩）, 波函数的统计诠释：()2,r t ψ为概率密度，()2,1dr r t ψ=⎰1926， Dirac （狄拉克），狄拉克符号、态矢量ψ、量子力学的表象理论1927， Dirac ，电磁场的量子化 1928， Dirac ，相对论性波动方程至此，量子力学的基本架构已建立，起初主要用其处理原子、分子、固体等实物粒子问题。
尽管量子力学在处理实际问题中获得了巨大成功，但是关于量子力学的基本解释和适用范围一直存在争论，最著名的有： 1935， Schrödinger 猫态 1935， EPR 佯谬1960 前后，量子理论用于电磁场：量子光学 1956， Hanbury Brown 和Twiss ，强度关联实验 1963， Glauber （2005年诺奖得主），光的量子相干性1963， Jaynes & Cummings, J-C 模型：量子单模电磁场与二能级原子的相互作用 1962-1964， 激光理论（Lamb, Haken, Lax 三个主要学派） 1970’s, 光学瞬态、共振荧光、超荧光、超辐射 1980’s ，光学双稳态1990’s ，光场的非经典性质（反群聚效应、亚泊松分布、压缩态）、量子光学新发展：量子信息科学：量子通信、量子计算等。
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第一章 量子力学基础知识1.1 微观粒子的运动特征基本内容一、微观子的能量量子化1. 黑体辐射黑体:是理想的吸收体和发射体.Plank 假设:黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动,它只能发射或吸收频率为ν,数值为ε=hν整数倍的电磁波,及频率为ν的振子发射的能量可以等于:0hν,1 hν,2 hν,3 hν,…..,n hν.由此可见，黑体辐射的频率为ν的能量，其数值是不连续的，只能为hν的倍数，称为能量量子化。
2. 光电效应和光子光电效应:是光照射在金属样品表面上,使金属发射出电子的现象。
金属中的电子从光获得足够的能量而逸出金属，称为光电子。
光电效应的实验结果:(1) 只有当照射光的频率超过某个最小频率ν时金属才能发射光电子，不同金属的ν值也不同。
(2) 随着光强的增加，发射的电子数也增加，但不影响光电子的动能。
(3) 增加光的频率，光电子的动能也随之增加。
光子学说的内容如下：(1) 光是一束光子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位称为光子，光子的能量与光子的频率成正比即：νεh =0(2) 光子不但有能量，还有质量（m ），但光子的静止质量为零。
按相对论质能联系定律，20mc =ε,光子的质量为:c h c m νε==2，所以不同频率的光子有不同的质量。
(3) 光子具有一定的动量(p) p=mc=c h ν=λh(4) 光子的强度取决于单位体积内光子的数目即光子密度:ττρτd dNN =∆∆=→∆0lim将频率为ν的光照射到金属上,当金属中的一个电子受到一个光子撞击时,产生光电效应,并把能量hν转移给电子。
电子吸收的能量，一部分用于克服金属对它的束缚力，其余部分则表现为光电子动能。
2021mv h E w h k +=+=νν 当νh <w 时,光子没有足够的能量,使电子逸出金属,不发生光电效应,当νh =w 时,这时的频率时产生光电效应的临阈频率0ν,当νh >w 时从金属中发射的电子具有一定的动能,它随ν的增加而增加,阈光强无关。
第一章量子力学基础
RH 1 1 ～ 1 1 ＝ 2 ＝ RH 2 2 2 hc n1 n2 n n 2 1
～
实物微粒的波粒二象性
德布罗意假说： ε＝ hν＝hu/λ p = h/λ ρ= K|Ψ|2 or ρ∝|Ψ|2
h/ p
h 2meT 1.226nm T / eV
ν/1014s-1
黑体辐射实验曲线
黑体辐射的解释
瑞利· 金斯公式 （麦克斯韦理论） ： 8 2 kT E ( , T )d d 3
c
普朗克· 金斯公式：
左
8h 3 d E ( , T )d c 3 e h / kT 1
维恩公式
（统计热力学理论） ：
第一章 量子力学基础
量子力学产生的背景 经典物理学的困难与旧量子论的诞生；实 物微粒的波粒二象性；不确定关系。 量子力学基本原理 波函数与微观粒子的状态；力学量和算符； 量子力学的基本方程；态叠加原理；电子自旋。 量子力学基本原理的简单应用 势箱中运动的粒子；线性谐振子；量子力 学处理微观体系的一般步骤与量子效应。
黑体辐射
黑体辐射模型
5 4
m-2 E (vT)/10-9J·
λБайду номын сангаас
2000K
3
维恩位移定律
T定，辐射频率：v v+dv 辐射能量：E(v,T)dv。辐射最强的 频率λmax随温度升高而发生位移： λmaxT=2.9×10－3 m· K
2
1500K
1
1000K
0 0 1 2 3
斯忒蕃公式
总辐射能量：E=σT4
爱因斯坦光子学说（1905年）
光是一束光子流。每一种频率的光能量都有一最小单位， 即为光子的能量ε： ε＝ hν 光的能量是量子化的，不连续的。 一束光的能量是hν的N微粒形式出现的集合体。 即: E = Nhν 光子密度： ρ= LinΔΝ/Δτ=dN/dτ Δτ→0 光子的能量和动量： 相对质能联系定律： εo = mc2，m = hν/c2 ＝h/cλ， 动量： p = mc = hν/c , p = h/λ 光子与电子相碰时服从能量守恒和动量守恒定律 hν＝W + T = hνo + ½ mv2，T = ½ mv2 = hν- hνo 光波强度与光子密度的关系：I = ρhν, ρ= dN/dτ I = Eo2/8π＋Ho2/8π＝Ψ2/4π (麦克斯韦方程） ρhν= Ψ2/4π ρ= K|Ψ|2
01第一章量子力学基础
2
sin
n
x
a
(
x)
均所 值以
， 只 能 求 位 置 的 平
x
* ( x )x ( x )dx
0
2
0
x
sin
2
n
xdx
2
0
x
1
cos
2n
2
x dx
1
(
0
x
x
cos
2n
x )dx
1
[
x2 2
0
2n
0
xd
sin
2n
x]
1
[
2 2
2n
1
2n
( x sin 2
x
1 2n
cos 4
x) ]
E h
E E2 E1
h
h
实物粒子的波粒二象性
de Broglie关系式为: ν= E / h λ= h / p λ= h / mv
λ h/ 2mT
不确定原理
量子力学公设
公设1
微观体系的状态可用一个状态函数或波函 数Ψ（q, t）描述，Ψ（q, t）决定了体系的全部 可测物理量.
波函数应具有品优性: 单值性、 连续性、 平方可积性.
n=4
n=3 n=2 n=1
波函数
概率密度
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
1.3.2 三维无限深势阱中的粒子
能量本征方程为：
本 征 函 数 与 本 征 值
三维无限深正方体势阱中粒子的简并态
三维无限深正方体势阱中粒子的波函数
定理：
简并本征函数的任意线性组合仍是原算符的具有同样 本征值的本征函数.
(01) 第一章 量子力学基础
( 1 1 ), n n R 2 2 1 2 n1 n2 n1 1, Lyman 系 n1 2, Balmer 系 n1 3, Paschen 系 n1 4, Brackett系 n1 5, Pfund 系
原子光谱是原子结构的信使. 那么, 在此之前, 人们对 原子结构认识如何呢?
1903年，J．J．汤姆逊提出“葡萄布丁”原子模型.
1911年, 卢瑟福在α粒子散射实验基础上提出原子的
有核模型. 但问题是: 原子是一个电力系统, 电子如果像行
星绕太阳那样绕核运转, 就会在这种加速运动中发射电磁 波而损失能量, 从而沿螺旋线坠落到核上并发射连续光谱, 与原子稳定性和光谱分立性相矛盾:
结成经验公式（后被J.R.Rydberg表示成如下的波数形式）,
并正确地推断该式可推广之(式中n1、n2均为正整数):
20 世 纪 初 ， F.Paschen(1908 年 ) 、 F.S.Brackett (1922 年) 、H.A.Pfund (1924年)等在红外区, Lyman (1916年)在 远紫外区发现的几组谱线，都可用下列一般公式表示:
直认为是实物粒子的电子等物质, 也看作是波.
de Broglie关系式为:
ν= E / h
λ= h / p
尽管Einstein的光量子理论对de Broglie有重要影响, 但 实物微粒的波粒二象性并不能从光的波粒二象性经演绎推理 得出. de Broglie波的传播速度为相速度u, 不等于粒子运动速 度v; 它可以在真空中传播，因而不是机械波；它产生于所
匀速直线运动, 决不可能作圆周运动!
事实上, 按照经典物理学, Bohr模型中的电子只受一种向心力 mv2/r 作 用 , 才 产 生 了 圆 周 运 动 , 而 这 向 心 力 本 身 就 是 库 仑 引 力 e2/(4πε0r2) . 至于离心力和向心力, 它们是分别作用于原子核和电子的, 而不是 共同作用于电子.
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+
n=2
n=1
+
-
E2 E1
n=1
ψ22(x)
ψ12(x)
一维势箱中粒子的波函数、能级和概率率密度
势箱中自由粒子的波函数是正弦函数，基态 时， l长度势箱中只包含正弦函数半个周期，随着能 级升高，第一激发态包含一个周期，第二激发态包 含正弦波一个半周期……。随着能级升高，波函数 的节点越来越多。而概率分布函数告诉我们自由粒 l x 子在势箱中出现的概率大小。例如：基态时，粒子 2 在 处出现概率最大。而第一激发态，粒子在 l x 2 处出现几率为0，在 x l , 3l 处出现几率最大。
l nπ 1 nπ 2
2 l c 2 1 2
c 2
2 l
2 nx 箱中粒子的波函数 n ( x) sin l l
讨论：
ψ4(x)
+
n=4
n=4
-
+
+
E4
ψ42(x)
n=3
ψ32(x)
n=3
ψ3(x)
+
E3
n=2
ψ2(x)
一维无限深势阱中看不到的一种量子现象是隧道效 应. 当势垒为有限高度(V0) 和厚度时，入射到势垒上的粒 子能量E即使小于V0，也仍有一定的概率穿透势垒，似乎 是从隧道中钻出来的:
这种奇妙的量子现象是经典物理无法解释的. 量子力学 隧道效应是许多物理现象和物理器件的核心，如隧道二极 管、超导Josophson结、α衰变现象. 某些质子转移反应也 与隧道效应有关. 对于化学来讲，意义最大的恐怕是基于
ih l
nx nx d sin 0 sin l l
l
2 xl
ih sin (nx / l) 0 l 2 x 0
（3）粒子的动量平方px2值
2 2 2 nx h d 2 ˆ x n 2 2 p sin 4 dx l l h 2 d n 2 nx 2 cos 4 dx l l l 4 4ຫໍສະໝຸດ CC4/9E1
花菁燃料的吸收光谱
[R2N¨－(CH＝CH－)r CH＝N+R2] l l 定域键 l
1/9E1
3l 离域键
•势箱总长l＝248r+565pm，共有2r＋2＋2个电子，基态时需占r+2个分子轨 道，当电子由第（r+2）个轨道跃迁到第（r+3）个轨道时，需吸收光的频率为 =△E/h=(h/8ml2)[(r+3)2-(r+2)2]=(h/8ml2)(2r+5), 由=c/，=8ml2c/(2r+5)h
隧道效应发明的扫描隧道显微镜（STM），放大倍数3千
万倍， 分辩率达0.01nm，它使人类第一次真实地“看见” 了单个原子！这是20世纪80年代世界重大科技成就之一.
第一章 作业
• P32 1.1 • P33 1.7，1.17，1.26，1.28，1.29，1.30， 1.31，1.33 • 1.35选择题写在书上
讨 论
(5) 体系的全部合理解构成正交归一完全集 .即：任何
一个波函数都是归一化的，任何两个不同波函数的乘积对 于坐标的积分都等于零；用这一本征函数系的线性组合可 以表示任一个具有相同自变量、定义域、边界条件的连续 函数.
(6) 能级差与粒子质量成反比，与粒子运动范围的平 方成反比.这表明量子化是微观世界的特征.
r 1 2 3 计算 311.6 412.8 514.0 实验 309.0 409.0 511.0 说明此体系可近似看做一维势箱。
(8) 基态能量 E1=h2/ （ 8ml2 ） , 表明体系有一份
永远不可剥夺的能量，即零点能.这是不确定关系的
必然结果.在分子振动光谱、同位素效应和热化学数 据理论计算等问题中,零点能都有实际意义.
通解为： ψ= c1cos (8π2m E / h2 )1/2 x + c2sin (8π2m E / h2 )1/2 x 根据品优波函数的连续性和单值条件， 当x = 0 和 x = l 时， ψ= 0 即 x = 0 时 ψ（0）= c1cos (0) + c2sin (0)= 0 则：c1 = 0
金属内的自由电子或共轭分子
的 π 电子，无限深势阱中的粒 子模型可以作为一种近似模型.
用量子力学处理微观体系的一般步骤
1. 写出体系势能函数，进而写出Hamilton算符；
2. 写出Schrö dinger 方程；
3. 解方程, 求出满足合格条件的解，得到体系的 波函数及相应的能量； 4. 对求解结果进行讨论，作出适当的结论。
h2 2 2 2 当a b c时，E （ n n n x y z） 2 8ma
三维无限深正方体势阱中粒子的波函数
这种现象就是所谓的“简并性”. 同一能级对应的状 态数为简并度 . 简并通常与对称性有关，对称性降低往往
会使简并度降低甚至完全解除 . 所以，正方体势阱中粒子
的简并现象, 在三维的一般矩形势阱中就被解除了. 过渡金属离子和具有C3轴以上对称性的分子常有简并 轨道，电子在这些简并轨道上按不成对的方式平行排列， 可设计成构建分子铁磁材料的基块；若除去某些基团而降 低分子对称性，轨道简并被解除，则铁磁性消失 . 在学过 第四章的群论基础知识后，对这一点将会有更深刻的理解.
abc a b c
2 2 2 n h nx n y z E n x，n y，n z均为非零整数 2 2 2 8m a b c h2 2 2 2 当a b c时，E （ n n n x y z） 2 8ma 2
三维势箱能级表达式：
简并态：能量相同的各个状态。
h n 2 nx 2 sin 4 l l l
2
2
nh 2 n 4l
2
2
2 2 n h 2 px 4l 2
E T V
1 1 n2h2 2 T px 2m 2m 4l 2 n2h2 8m l2
1.3.2
三维无限深势阱中的粒子
l * n l
粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右 2 两个半边出现的几率各为0.5，即 图形对势箱 n 中心点是对称的。
（2）粒子动量的x轴分量px
ˆ 也无本征值，即 P ˆ a 可以验证， P x x n n
ˆ dx Px P n
0 * n x
l
2 l nx ih d nx sin sin dx l 0 l 2 dx l
其中三个量子数nx、ny、nz是独立变化的.
若a=b=c，势阱成为正方体，能级成为:
h2 2 2 2 E ( n n n 2 x y z ) 8ma
一维无限深势阱中的粒子未曾有过的新现象出现了： 具有不同量子数的态尽管是互不相同的独立的波函数，却 可能具有相同的能量：
三维无限深正方体势阱中粒子的简并态
c
2 2
2 2
sin
0
l
2
(nx / l)dx 1
1 1 2 sin ydy y sin 2 y 2 4
l c n
2 c2
nx 1 2nx 2nx nx 1 sin sin 1 l x l 2l 4 l x 0 2l 4
从这一规律定性地看更复杂的三维体系就不难理解：
普通金属费米能级附近的准连续能级在纳米颗粒中会变为
离散能级，而半导体中本来存在的窄能隙在纳米颗粒中会
变宽. 当这种能级差大于热能、电场能或者磁场能时，就 会呈现出与宏观物体不同的反常特性，即量子尺寸效应 . 例如，金属在超微颗粒时可变成绝缘体，光谱线向短波长 方向移动，等等.
非负的 . 概率密度为零的点或面（边界处除外）称
为节点或节面，一般说来，节点或节面越多的状态
，波长越短，频率越高，能量越高.
(4) 能量（或概率密度）不随时间变化的状态为 定态 . 若借用 de Broglie“ 定态与驻波相联系”的说 法，由de Broglie关系式λ=h/p和驻波条件n(λ/2)=l也 能得到能级公式：
由一维无限深势阱中粒子推广到三维无限深势阱中的 粒子，能量本征方程为：
三维势箱中粒子运动的Schrödinger方程：
2 2 2 h 2 2 2 E 2 8 m x y z 2
三维势箱中粒子运动的波函数： 1/ 2 n yy nxx nzz 8 sin sin sin
x = l 时 Ψ（l）= c2 sin (8π2m E / h2 )1/2 l = 0 c2 不能为 0
故必须是: (8π2m E / h2 )1/2 l = nπ n =1，2，3，… n≠ 0
∴ E= n2 h2 / 8m l2
***
***
Ψ（x）= c2 sin (nπx/ l ）
C2可由归一化条件求出
(7) En=n2h2/（8ml2）表明：对于给定的 n， En与l2成反
比 , 即粒子运动范围增大，能量降低 . 这正是化学中大 π 键
离域能的来源(下图分别是苯和丁二烯大π 轨道中能量最低 的轨道,它们都有离域化特征):
一维势箱模型应用示例
C
C
C
C E1
C
C
丁二烯的离域效应： E定=22h28ml2=4E1 E离=2h2/8m(3l)2+222h2/8m(3l)2 =(10/9)E1 势箱长度的增加，使分子能量降低， 更稳定。
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讨 论
（ 1 ）受束缚微观粒子的能量是量子化的，由量子数表征 . 最低能量状态为基态. n 称为量子数，只可能取正整数。