2019年中考数学一轮复习第四章三角形第4节图形的相似练习
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》4.5 相似三角形判定定理的证明同步练习及答案(含解析) (4)
4.5相似三角形同步练习一、选择题1．如图4-33，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，则图中与△ADC相似的三角形共有（）A．1个B．2个C．3个D．多于3个2．某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图4-34在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下宽为1cm的矩形a、2a、3a…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能纸条1裁成的矩形纸条的总数是（）A．24 B．25 C．26 D．27图4-33 图4-34二、填空题3．如图4-35，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，则AD∶_______＝_______∶BC＝_____∶AB．图4-35 图4-364．如图4-36，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则图中与△ABC相似的三角形共有________个，它们是_______________．5．阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7m 宽的亮区，已知亮区到窗下的墙脚最远距离是8.7m ，窗口高1.8m ，那么窗口底边离地面的高等于________． 三、解答题6．如图4-37，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF ∥AB ，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：PF PE BP ⋅=2．图4-37 图4-387．已知：如图4-38，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，AE 是△ABC 的外角平分线，BF 是∠ABC 的平分线，BF 的延长线交AE 于E ．求证：(1)AF ＝BF ＝BC ；(2)EF ∶BF ＝BC ∶FC ．8．四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，∠ECA ＝∠D ． 求证：AC ·BE ＝AD ·CE ．参考答案1．C 2．C3．AC ，ED ，AE 4．4，△ADF 、△DBE 、△FEC 、△EFD 5.4m 6．连结PC ，先证明△ABP ≌△ACP ，∴PB ＝PC ，再证明△PCF ∽△PEC ，∴PC ∶PE ＝PF ∶PC ．∴PF PE PC ⋅=2，∴PF PE PB ⋅=27．(1)由已知可求得∠ABF ＝∠BAC ＝36°，∠C ＝∠BFC ＝72°，∴BC ＝BF ＝AF (2)∵△EAF 、△BCF 都是底角为72°的等腰三角形， ∴△EAF ∽△BCF ，∴EF ∶BF ＝AF ∶CF ， 又AF ＝BC ，∴EF ∶BF ＝BC ∶FC8．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，∠D ＝∠B ，∵∠ECA ＝∠D ， ∴∠ECA ＝∠B ，又∵∠E ＝∠E ，∴△ECA ∽△EBC ， ∴AC ∶BC ＝CE ∶BE ，∴AC ∶AD ＝CE ∶BE ， ∴AC ·BE ＝AD ·CE4.5 相似三角形 同步练习课内练习理解相似三角形的意义，会找相似三角形的对应边及对应角；能进行简单的有关相似三角形对应边及对应角的计算. 一、选择题1.△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果∠A =55°，∠B =100°，则∠C ′的度数等于( )A.55°B.100°C.25°D.30°2.如图1，△ADE ∽△ACB ，∠AED =∠B ，那么下列比例式成立的是( )A.BC DE AB AE AC AD== B.BC DEAC AE AB AD == C.BC DE AB AC AEAD== D.BCDEEC AE AB AD ==图1 图23.如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，BC =3，B ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为( ) A.5∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶54.若△ABC ∽△A ′B ′C ′，AB =2，BC =3，A ′B ′=1，则B ′C ′等于( )A.1.5B.3C.2D.15.△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A ′B ′C ′的两边长分别为1和5，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，那么△A ′B ′C ′的第三边的长应等于( ) A.22B.2C.2D.22二、填空题6.如图2，已知△ADE ∽△ABC ，且∠ADE =∠B ，则对应角为________，对应边为________.7.如图3，已知DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC ，则ABAD=________=________.图38. 如果△ABC 和△A ′B ′C ′的相似比等于1，则这两个三角形________. 9. 已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，A 和A ′，B 和B ′分别是对应点，若AB =5 cm ，A ′B ′=8 cm ，AC =4 cm ，B ′C ′=6 cm ，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为________，A ′C ′=________，BC =________.10.如果Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，AB=3，BC=2，A′B′=12，则A′C′=________.三、解答题11.判断下列两组三角形是否相似，并说明理由.(1)△ABC和△A′B′C′都是等边三角形.(2)△ABC中，∠C=90°，AC=BC；△A′B′C′中，∠C′=90°，A′C′=B′C′.12.已知△ABC中，AB=15 cm，BC=20 cm，AC=30 cm，另一个与它相似的△A′B′C′的最长边为40 cm，求△A′B′C′的其余两边的长.13.已知：△ABC三边的比为1∶2∶3，△A′B′C′∽△ABC，且△A′B′C′的最大边长为15 cm，求△A′B′C′的周长.*14.如图4，正方形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 在BC 上，且CF ∶BC =1∶4，你能说明ECADEF AE吗？图4参考答案一、1.C 2.A 3.D 4.A 5.C二、6.∠A 与∠A ∠AED 与∠C AD 与AB ，AE 与AC ，DE 与BC 7.AC AE BCDE8.全等 9.586.4 cm 3.75 cm 10.45 三、11.(1)相似 (2)相似12.A ′B ′=20 cm ，B ′C ′=2632cm 13.30 cm 14.略课外练习一、请你填一填（1）如果两个三角形的相似比为1，那么这两个三角形________.（2）若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB=3 cm，A′B′=4 cm，那么△A′B′C′与△ABC的相似比是________.（3）若△ABC的三条边长的比为3∶5∶6,与其相似的另一个△A′B′C′的最小边长为12 cm，那么△A′B′C′的最大边长是________.（4）已知△ABC的三条边长分别为3 cm,4 cm,5 cm,△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的形状是______，又知△A′B′C′的最大边长为20 cm，那么△A′B′C′的面积为________.二、认真选一选（1）下列命题错误的是（）A.两个全等的三角形一定相似B.两个直角三角形一定相似C.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例D.相似的两个三角形不一定全等（2）若△ABC∽△DEF,它们的周长分别为6 cm和8 cm，那么下式中一定成立的是（）A.3AB=4DEB.4AC=3DEC.3∠A=4∠DD.4（AB+BC+AC）=3（DE+EF+DF）（3）若△ABC与△A′B′C′相似，∠A=55°,∠B=100°，那么∠C′的度数是（）A.55°B.100°C.25°D.不能确定（4）把△ABC的各边分别扩大为原来的3倍，得到△A′B′C′，下列结论不能成立的是（）A.△ABC∽△A′B′C′B.△ABC与△A′B′C′的各对应角相等1C.△ABC与△A′B′C′的相似比为41D.△ABC与△A′B′C′的相似比为3三、△ABC中，AB=12 cm，BC=18 cm，AC=24 cm，若△A′B′C′∽△ABC，△A′B′C′的周长为81 cm，求△A′B′C′各边的长.四、好好想一想如图4—5—1：分别取等边三角形ABC各边的中点D、E、F，得△DEF.若△ABC的边长为a.（1）△DEF与△ABC相似吗？如果相似，相似比是多少？（2）分别求出这两个三角形的面积.（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？图4—5—1参考答案 一、（1）全等 （2）3∶４ （3）24cm （4）直角三角形 96cm 2 二、（1）B （2）D （3）C （4）C 三、解法1：设△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为x ，根据题意得：BCC B AC C A AB B A ''=''='' =x 将AB =12，BC =18，AC =24代入上式可得： A ′B ′=12x ,B ′C ′=18x ,A ′C ′=24x ∵△A ′B ′C ′的周长为81 cm ∴12x +18x +24x =81,解得：x =23∴A ′B ′=12x =18（cm ）,B ′C ′=18x =27（cm ） A ′C ′=24x =36（cm ）解法2：由已知得△ABC 的周长为12+18+24=54（cm ） 所以△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比等于81∶54即3∶2 则23=''=''=''AC C A BC C B AB B A ， ∴23241812=''=''=''C A C B B A ∴A ′B ′=18（cm ）,B ′C ′=27（cm ）,A ′C ′=36（cm ） 四、（1）根据三角形中位线定理得DE =21a ,EF =DF =21a 所以△DEF 是等边三角形，△DEF 与△ABC 相似，相似比为21 （2）△ABC 的面积为21AB ·A E =21a ·22243)21(a a a =- △DEF 的面积为21·21a ·163)41()21(22=-a a a 2 （3）S △DEF ∶S △ABC =163a 2∶43a 2=41∶1=1∶4 这两个三角形的面积比等于边长之比的平方.。
2019九年级数学上册 第4章 相似三角形 4.3 相似三角形练习 (新版)浙教版
4.3 相似三角形(见B 本37页)A 练就好基础 基础达标1．已知△ABC∽△A′B′C′，∠A ＝45°，∠B ＝105°，则∠C′的度数是( A ) A ．30° B ．45° C ．30°或45° D ．75° 2．下列说法中不一定正确的是( D ) A ．两个全等的三角形是相似三角形 B ．两个等边三角形是相似三角形 C ．两个等腰直角三角形是相似三角形 D ．两个直角三角形是相似三角形第3题图3．2017·杭州中考如图所示，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( B ) A.AD AB ＝12B.AE EC ＝12C.AD EC ＝12D.DE BC ＝124．如果△ABC∽△A′B′C′，且△ABC 与△A′B′C′的相似比为k 1，△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比为k 2，则k 1与k 2的关系是( D )A ．k 2＝k 1B ．k 1＋k 2＝0C ．k 1· k 2＝－1D ．k 1· k 2＝15．如图所示，△DEF ∽△DGH ，则图中DE 的对应边是__DG__，∠F 的对应角是__∠H __．5题图6．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为13.若A ′B ′＝2，则AB ＝__23__．7．在△ABC 中，BC ＝54，CA ＝45，AB ＝63.另一个和它相似的三角形的最短边是15，则它的最长边一定是__21__．第8题图8．如图所示，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，点D 与点B 是对应点. △ADE∽△ABC.已知AD ∶DB＝1∶2，BC ＝9 cm.则DE 的长为__3_cm__．9．如图所示，△ABC ∽△ACD ，若∠A＝35°，∠B ＝65°，求∠ADC，∠BCD 的大小． 【答案】 ∠ADC＝80°，∠BCD ＝15°第10题图10．如图所示，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使EF ＝DE ，连结CF.求证：△CFE∽△ABC. 证明：∵DE 为△ABC 的中位线， ∴DE ＝12BC ，又∵EF＝DE ，∴DF ＝BC ，∴四边形BCFD 为平行四边形．∴△CFE 与△ABC 三个内角对应相等．又由△ADE≌△CFE，可得△CFE 与△ABC 三条对应边的比均为1∶2， ∴△CFE ∽△ABC.B 更上一层楼 能力提升11．本溪中考如图所示，在△ABC 中，AC ＝6，AB ＝4，点D 与点A 在直线BC 的同侧，且∠ACD＝∠ABC，CD ＝2，点E 是线段BC 延长线上的动点，当△DCE 和△ABC 相似时，线段CE 的长为__3或43__．【解析】 ∵△DCE 和△ABC 相似，∠ACD ＝∠ABC，AC ＝6，AB ＝4，CD ＝2， ∴∠A ＝∠DCE， ∴AB CD ＝AC CE 或AB CE ＝AC CD， 即42＝6CE 或4CE ＝62， 解得，CE ＝3或CE ＝43.11题图第12题图12．如图所示，在直角坐标系上的4×4的正方形方格纸中，△ABC 是格点三角形(三角形的三个顶点都是小正方形的顶点)，若以格点P ，A ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似(点C 除外)，则格点P 的坐标是 (1，4)或(3，4)或(3，1) ．13．2017·齐齐哈尔中考经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图所示，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和△ABC 相似，∠A ＝46°，求∠ACB 的度数．解：∵△BCD∽△BAC， ∴∠BCD ＝∠A＝46°，∵△ACD 是等腰三角形，∠ADC>∠BCD ， ∴∠ADC>∠A ，即AC≠CD ，①当AC ＝AD 时，∠ACD ＝∠AD C ＝12×(180°－46°)＝67°，∴∠ACB ＝67°＋46°＝113°，②当DA ＝DC 时，∠ACD ＝∠A＝46°， ∴∠ACB ＝46°＋46°＝92°. C 开拓新思路 拓展创新第14题图14．2017·无棣二模如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是边BC 上一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，△AEF ∽△ABC.求证：△AED≌△AFD. 证明：∵△AEF∽△ABC，∴AE AB ＝AFAC，∵AB ＝AC ，∴AE ＝AF ， ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠AED ＝∠AFD＝90°， 在Rt △AED 和Rt △AFD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，AD ＝AD ，∴Rt △AED ≌Rt △AFD. 15．广州中考如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53，点D 的坐标为(0，1)．(1)求直线AD 的解析式；(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．解：(1)设直线AD 的解析式为y ＝kx ＋b ，将A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，53，D(0，1)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧43k ＋b ＝53，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1，故直线AD 的解析式为y ＝12x ＋1.第15题答图(2)∵直线AD 与x 轴的交点为(－2，0)， ∴OB ＝2，∵点D 的坐标为(0，1)，∴OD ＝1， ∵y ＝－x ＋3与x 轴交于点C(3，0)， ∴OC ＝3，∴BC ＝5. ∵△BOD 与△BEC 相似， ∴BD BC ＝BO BE ＝OD CE 或OB BC ＝OD CE ， ∴55＝2BE ＝1CE 或25＝1CE， ∴BE ＝25，CE ＝5或CE ＝52，∵BC ·EF ＝BE·CE，∴EF ＝2，CF ＝CE 2－EF 2＝1，∴E(2，2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52.。
2019中考数学一轮系列复习图形的相似基础训练B(含答案)
2019中考数学一轮系列复习图形的相似基础训练B （含答案）1．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD⊥BC 于点D ，且AC ＝5，CD ＝3，AB ＝，则⊙O 的直径等于( )A ．52B ．C ．D ．7 2．若250y x -=，则x y ：等于（ ）A ．2：5B ．4：25C ．5：2D ．25：43．如图所示，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件：①∠APB＝∠EPC；②∠APE＝∠APB；③P 是BC 的中点；④BP∶BC＝2∶3.其中能推出△ABP∽△ECP 的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4．已知()230x y xy =≠，则下列比例式成立的是A ．32x y =B ．32x y =C ．32x y =D ．23x y = 5．在Rt△ABC 中，如果边长都扩大5倍，则锐角A 的正弦值、余弦值和正切值 ( )A ．没有变化B ．都扩大5倍C ．都缩小5倍D ．不能确定6．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ⊥BC ，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，∠ACD=2∠ACB ．若DG=3，EC=1，则DE的长为（ ）A ．B ．C ．D ．7．在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上．下列各比例式中，能够判定DE ∥BC 的是（ ）A ．AD DE AB BC = B ．CE AD AE BD = C ．AB DE BD BC = D ．AE AC AD AB= 8．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB 的高为0.3米，踏板DE 的长为1米，支撑点A 到踏脚D 的距离为0.6米，原来捣头点E 着地，现在踏脚D 着地，则捣头点E 上升了( )A ．0.5米B ．0.6米C ．0.3米D ．0.9米9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对10．如图，DE ∥BC ，分别交△ABC 的边AB 、AC 于点D 、E ，AB AD =31，若AE=1，则EC=（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．611．点G是△ABC的重心，GD∥AB，交边BC于点D，如果BC=6，那么CD 的长是．12．如图，已知△ABC，将△ABC绕点A顺时针旋转，使点C落在边AB上的点E处，点B落在点D处，连接BD，如果∠DAC=∠DBA，那么BDAB的值是．13．如图，在直角坐标系中，点A(2，0)，点B (0，1)，过点A的直线l垂直于线段AB，点P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折，使点C落在点D处，若以A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标为___________________________．14．如图，等腰三角形OBA和等腰三角形ACD是位似图形，则这两个等腰三角形位似中心的坐标是________．15．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB 于点F，若AF=2，BF=3，则CE的长度为．16．如图，△ABC的面积为S，点P1，P2，P3，．.．，P n-1是边BC的n等分点（n≥3，且n为整数），点M、N分别在边AB，AC上，且1AM ANAB AC n==，连接MP1，MP2，MP3，．.．，MP n-1，连接NB，NP1，NP2，．.．，NP n-1，线段MP1与NB相交于点D1，线段MP2与NP1相交于点D2，线段MP3与NP2相交于点D3，．.．，线段MP n-1与NP n-2相交于点D n-1，则△ND1P1，△ND2P2，△ND3P3，．.．，△ND n-1P n-1的面积和是______．（用含S与n的式子表示）17．若两个等边三角形的边长分别为与3 ，则它们的面积之比为_________.18．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与坐标轴交于A、B两点，坐标平面内有一点P（m，3），若以P、B、O三点为顶点的三角形与△AOB相似，则m=____．19．若23xy=，则为x yy+=______．20．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，若DE ∥BC ， AD AB =13，则AD DE AE AB BC AC++++=______．21．如图，已知AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于C 点，AC 平分∠DAB ．（1）求证：AD ⊥CD ；（2）若AD=2， AC O 的半径R 的长．22．已知Rt△AEC 中，∠E＝90°，请按如下要求进行操作和判断：（1）尺规作图：作△AEC 的外接圆⊙O，并标出圆心O （不写画法）；（2）延长CE ，在CE 的延长线上取点B ，使EB ＝EC ，连结AB ，设AB 与⊙O 的交点为D （标出字母B 、D ），判断：图中DE 与EC 相等吗？请说明理由.23．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，连接DE ．点P 从点D 出发，沿DE 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，点Q 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动，速度为2cm/s ，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．连接PQ ，设运动时间为t （0＜t ＜4）s ．解答下列问题：（1）当t 为何值时，以点E 、P 、Q 为顶点的三角形与△ADE 相似？（2）当t 为何值时，△EPQ 为等腰三角形？（直接写出答案即可）；24．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，连结AC 并延长至D ，使CD=AC ，连结BD ，作CE ⊥BD ，垂足为E 。
2019年人教版中考数学一轮复习《相似三角形》同步练习(有答案)
2019年中考数学一轮复习相似三角形一、选择题1.下列叙述正确的是（）A．任意两个正方形一定是相似的B．任意两个矩形一定是相似的C．任意两个菱形一定是相似的D．任意两个等腰梯形一定是相似的2.Rt△ABC的两条直角边分别为3cm、4cm,与它相似的Rt△A/B/C/的斜边为20cm,那么Rt△A/B/C/的周长为（）A．48cm B．28cm C．12cm D．10cm3.如图,已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC，EF∥AB,且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：54.如图,已知直线a∥b∥c,直线m,n与a,b,c分别交于点A,C,E,B,D,F,若AC=4,CE=6,BD=3,则DF的值是（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.55.下列说法中正确的是（）①在两个边数相同的多边形中，如果对应边成比例，那么这两个多边形相似；②如果两个矩形有一组邻边对应成比例，那么这两个矩形相似；③有一个角对应相等的平行四边形都相似；④有一个角对应相等的菱形都相似.A．①②B．②③C．③④D．②④6.如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相．．似．的是 ( )7.如图，在▱ABCD中，F是AD延长线上一点，连接BF交DC于点E，则图中相似三角形共有（）对.A．2对B．3对C．4对D．5对8.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A． =B．C．D．9.下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是（）A．②B．①②C．③④D．②③④10.如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）A．2cm2B．4cm2C．8cm2D．16cm211.如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图)，她先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下树高是( )A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m12.将一副三角尺（在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,在Rt△EDF中，∠EDF=90°,∠E=45°)如图摆放，点D 为AB的中点，DE交AC于点P，DF经过点C，将△EDF绕点D顺时针方向旋转α（0°<α<60°），DE′交AC于点M，DF′交BC于点N，则PM：CN的值为（）A．B．C．D．13.在一张比例尺为1：50000的地图上，如果一块多边形地的面积是100cm2，那么这块地的实际面积是________m2（用科学记数法表示）．14.如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= .15.如图278，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：，则这两个四边形每组对应顶点到位似中心的距离之比是__________．16.如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB，若NF=NM=2，ME=3，则AN的长度为 .17.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.Rt△MPN中，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=________.18.如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1， A3A4=4OA1，…．那么A2B2=________，A n B n=________．（n为正整数）三、解答题19.如图，已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E．(1)求证：BC=CE；(2)求证：AD:BD=AC:BC;20.如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，若∠APB=120°.求证：△ACP∽△PDB．21.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B.点E在AD边上，CD=CE.（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若AB=6，AC=4.5，BD=2，求AE的长.22.如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD边的延长线上，且满足∠MAN=90°，联结MN、AC，N与边AD交于点E．（1）求证；AM=AN；（2）如果∠CAD=2∠NAD，求证：AM2=AC•AE．23.如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PF:PC=1:2，AF=5，求CP的长.24.如图，矩形OABC的顶点A．C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y=错误！未找到引用源。
近年届中考数学复习第四章三角形4.4相似三角形练习(2021年整理)
2019届中考数学复习第四章三角形4.4 相似三角形练习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届中考数学复习第四章三角形4.4 相似三角形练习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019届中考数学复习第四章三角形4.4 相似三角形练习的全部内容。
相似三角形命题点1 相似三角形的性质（8年1考)1。
（2012·陕西中考)如图，在△ABC中，AD,BE是两条中线，则S△EDC∶S△ABC=（）A.1∶2 B。
2∶3 C.1∶3 D.1∶42.如图，△ACB∽△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为(）A。
20° B.30° C.35° D.40°拓展变式1。
（2017·西安雁塔区模拟）若两个相似三角形的最短边长分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为14 cm，则小三角形的周长为（）A.15 cmB.17 cm C。
19 cm D.21 c m命题点2 相似三角形的判定(8年1考）命题解读：题型为选择题，分值为3分。
主要考查判定几何图形中相似三角形的对数。
3.（2011·陕西中考）如图，在ABCD中,E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，AF，它们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有（ )A.2对B。
3对C。
4对 D.5对4。
如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC上的点,AC=3AD，AB=3AE，F为BC边上一点，添加一个条件:________，可以使△FDB与△ADE相似.(只需写出一个）命题点3 位似图形的性质与判定（8年2考）5.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13,点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12,则点C的坐标为（）A。
人教版2019年中考数学总复习第四单元《相似三角形》同步练及答案
第四单元 三角形6、相似三角形基础达标训练1. 已知a b ＝13，那么a a ＋b的值为( ) A. 13 B.23 C. 14 D.342. (2017张家界)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的中点，如果△ADE 的周长是6，则△ABC的周长是( )A. 6B.12C. 18D.24第2题图3. (2018重庆A 卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm ，6 cm 和9 cm ，另一个三角形的最短边长为2.5 cm ，则它的最长边为( )A. 3 cmB.4 cmC. 4.5 cmD.5 cm4. (2018长春)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺．立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为( )A. 五丈B.四丈五尺C. 一丈D.五尺第4题图5. (2018随州) 如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则BD AD 的值为( )A. 1B.22C. 2－1D.2＋1第5题图6. (2018永州)如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( )A. 2B.4C. 6D.8第6题图7. (2018绍兴)学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B ，D ，AO ＝4 m ，AB ＝1.6 m ，CO ＝1 m ，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为( )A. 0.2 mB.0.3 mC. 0.4 mD.0.5 m第7题图8. (2018舟山)如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F .已知AB AC ＝13，则EF DE ＝________．第8题图9. (2018成都)已知a 6＝b 5＝c 4，且a ＋b －2c ＝6，则a 的值为________．10. (2018邵阳)如图所示，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接AE ，交CD 于点F ，连接BF .写出图中任意一对相似三角形：__________．第10题图11. (2018北京)如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为________．第11题图12. (2018桂林模拟)如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶16，则S△BDE∶S△CDE等于________．第12题图13. (2018南充)如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝________．第13题图14. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，BA交EC于点F.已知AD＝4，DE＝1，求EF的长．第14题图15. (2018杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.(1)求证：△BDE∽△CAD；(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．第15题图能力提升拓展1. (2017枣庄)如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是()2. (2018哈尔滨)如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A. ABAE＝AGAD B.DFCF＝DGAD C.FGAC＝EGBD D.AEBE＝CFDF第2题图3. (2018贵州三州联考)如图，已知在△ABC中，BC边上的高AD与AC边上的高BE交于点F，且∠BAC＝45°，BD＝6，CD＝4，则△ABC的面积为________．第3题图4. (2018资阳)已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点M 是斜边AB 的中点，MD ∥BC ，且MD ＝CM ，DE ⊥AB 于点E ，连接AD 、CD .(1)求证：△MED ∽△BCA ；(2)求证：△AMD ≌△CMD ；(3)设△MDE 的面积为S 1，四边形BCMD 的面积为S 2，当S 2＝175S 1时，求cos ∠ABC 的值．第4题图基础达标训练1. C2. B3. C4. B5. C6. B7. C8. 29. 12 10. △ADF ∽△ECF(答案不唯一)11. 103 12. 1∶3 13. 23 14. EF 的长为37. 15. (1)证明略；(2)线段DE 的长为6013. 能力提升拓展1. C2. D3. 604. (1)证明略；(2)证明略； (3)cos ∠ABC ＝57.。
北师大版2019学年度九年级数学第四章图形的相似单元练习题六(附答案)
北师大版2019学年度九年级数学第四章图形的相似单元练习题六（附答案）1．已知△ABC 与△DEF 是关于点P 的位似图形，它们的对应点到P 点的距离分别为3cm 和4cm ，则△ABC 与△DEF 的面积比为（ ）A ． 3：4B ． 3：7C ． 9：16D ． 9：492．下面四组线段中，成比例的是（ ）A ． a = 2, b = 3, c = 4, d = 5B ． a = 1, b = 2, c = 2, d = 4C ． a = 4, b = 6, c = 5 d = 10D ． c = 3, 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （-3，6）、B （-9，-3），以原点O 为位似中心，相似比为13，把△ABO 缩小，则点A 的对应点A′的坐标是( )A ． （-1，2）B ． （-1，2）或（1，-2）C ． （-9，18）或（9，-18）D ． （1，-2）4．相似三角形的最短边分别是5cm 和3cm ，它们的面积之差为232cm ，那么小三角形的面积为（ ）A ． 210cmB ． 214cmC ． 216cmD ． 218cm5．如图，点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），下列结论错误的是（ ）A ． AC BC AB AC = B ． 2·BC AB BC = C ． 12AC AB = D ． 0.618BC AC ≈ 6．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为D ，DC 与AB 的延长线交于点C ，∠A=30°，给出下面3个结论：∠BDC=∠A ；AB=2BC ；AD 2=3BC 2；其中正确结论的个数是（ ）A．0B．1C．2D．37．如图，三个矩形中相似的是( )A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．没有相似矩形8．若，则k的值为（）A．2 B．-1 C．2或-1 D．-2或19．如图，点M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1，△2，△3（图中的阴影部分）的面积是4,9,49，则△ABC的面积是（）.A．62 B．186 C．132 D．14410．如图，点A、B在反比例函数y=kx（k＞0，x＞0）的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，S△BNC=2，则k的值为（）A．4B．6C．8D．1211．如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是（）A ． ．．．9212．已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，且∠A ＝55°，∠B 1＝95°，则∠C 等于（ ）A ． 30°B ． 55°C ． 95°D ． 40°13．13．如图，点A 、B 、 C 、D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能．．．是( )A ． （4，2）B ． （6，0）C ． （6，3）D ． （6，5）14．如图，在ABC 中，点D E ，分别是边AB ， AC 上的点，且DE ∥BC ，若12AD DB =， 3DE =，则BC 的长度是( )A ． 6B ． 8C ． 9D ． 1015．一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（ ）A ． 17B ． 19C ． 21D ． 2416．若△ABC ∽△DEF ， 若∠A=50°，∠B=60°，则∠F 的度数是（ ）A ． 50°B ． 60°C ． 70°D ． 80°17．如图的△ABC 中有一正方形DEFG ，其中D 在AC 上，E 、F 在AB 上，直线AG 分别交DE 、BC 于M 、N 两点．若∠B=90°，AB=4，BC=3，EF=1，则BN 的长度为何？（ ）A．43B．32C．85D．12718．如图，△ABC中，DE∥AB，则下列式子中错误的是（）A．CD CEAD BE=B．CD CEAC BC=C．DE CDAB AD=D．DE CEAB BC=19．若2a＝3b＝4c，且abc≠0，则的值是（）A．2 B．－2 C．3 D．－320．已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，若△ABC与△A1B1C1是位似图形，且顶点都在小正方形顶点上，则它们的位似中心的坐标是_______________.21．小东在网上搜索到泉州地图，其比例尺为1：250000，如果小东量得甲、乙两地的距离为6厘米，那么这两地的实际距离为______公里.22．如图所示，点D是△ABC的边AC的上一点，且∠ABD＝∠C；如果ADCD＝13，那么BDBC＝_______.23．两地的实际距离是2000m，在绘制的地图上量得这两地的距离是2cm，那么这幅地图的比例尺为 ．24．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线l 1，l 2与三条平行线分别交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ．若AC=3，BC=2，DE=1.5，则DF 的长为 ．25．如图，四边形ABCD 和四边形BEFD 都是矩形，且点C 恰好在EF 上．若AB=1，AD=2，则矩形BEFD 的面积为__________.26．如图，正方形ABCD 的边长为3，延长CB 到点M ，使BM=1，连接AM ，过点B 作BN ⊥AM ，垂足为N ，O 是对角线AC 、BD 的交点，连接ON ，则ON 的长为_____．27．已知0345a b c ==≠，则a b c a b c++-+=________． 28．顺次连接三角形三边上的中点所构成的三角形的高与原三角形对应高的比为 ．29．在△ABC 与△DEF 中，若23AB BC AC DE EF DF ===，且△DEF 的面积为4，则△ABC 的面积为___________．30．若两个相似三角形的周长比是4：9，则对应角平分线的比是______．31．下图是测量玻璃管内径的示意图，点D 正对“10mm”刻度线，点A 正对“30mm”刻度线，DE∥AB．若量得AB的长为6mm，则内径DE的长为__________mm．32．若179x yy+=，则xy=________________．33．如图，已知AD、BC相交于点O，AB∥CD∥EF，如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝________．34．如图所示，已知第一个三角形周长为1，依次取三角形三边中点画三角形，在第n个图形中，最小三角形的周长是_______________．35．如图，在Rt△ABC中，有三个正方形，DF=9cm，GK=6cm，则第三个正方形的边长PQ=_____.36．如图，正方形ABCD中，P，Q是BC边上的三等分点，连接AQ、DP交于点R．若正方形ABCD的面积为144cm2，则△PQR的面积为__________cm2．37．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为_____________38．高4 m的旗杆在水平地面上的影子长6 m，此时测得附近一个建筑物的影长24 m，则该建筑物的高是_________m.39．已知a=4，b=9，c是a，b的比例中项，则c= ．40．直角三角形的铁片ABC的两条直角边BC，AC的长分别为3cm和4cm，如图所示分别采用⑴，⑵两种方法，剪去一块正方形铁片，为了使剪去正方形铁片后剩下的边角料较少，试比较哪一种剪法较为合理，并说明理由．43．如图，网格的每一个小正方形的边长都为1，试说明：△ABC∽△A′B′C′．45．小明在一块玻璃上画上了一幅画，然后用手电筒照着这块玻璃，将画映到雪白的墙上，这时我们认为玻璃上的画和墙上的画是位似图形.请你再举出一些生活中的位似图形来？并说明一对对应线段的位置关系.46．如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．48．（1）如图，直径是50cm圆柱形油槽装入油后，油深CD为15cm，求油面宽度AB的长.（2）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F，连接CD．①求证：四边形BCFE是菱形；②在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与△BEC面积相等的所有三角形（不包括△BEC）．49．某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC，截面如图所示，一楼和二楼地面平行（即AB所在的直线与CD平行），层高AD为8米，∠ACD=20°，为使得顾客乘坐自动扶梯时不至于碰头，A、B之间必须达到一定的距离．（1）要使身高2.26米的姚明乘坐自动扶梯时不碰头，那么A、B之间的距离至少要多少米？（精确到0.1米）（2）如果自动扶梯改为由AE、EF、FC三段组成（如图中虚线所示），中间段EF为平台（即EF∥DC），AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）51．阅读下面材料．小明遇到下面一个问题：如图1所示， AD 是ABC 的角平分线， AB m =， AC n =，求BD DC的值．小明发现，分别过B ， C 作直线AD 的垂线，垂足分别为E ， F ．通过推理计算，可以解决问题（如图2）． （1）请回答，BD DC =__________． 参考小明思考问题的方法，解决问题．如图3，四边形ABCD 中， 2AB =， 6BC =， 60ABC ∠=︒， BD 平分ABC ∠， CD BD ⊥． AC 与BD 相交于点O ．（2）AO OC=__________（3）tan DCO ∠=__________．52．深圳市民中心广场上有旗杆如图①所示，某学校兴趣小组测量了该旗杆的高度，如图②，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC 为16米，落在斜坡上的影长CD 为8米，AB⊥BC；同一时刻，太阳光线与水平面的夹角为45°.1米的标杆EF 竖立在斜坡上的影长FG 为2米，求旗杆的高度．53．如图，ABCD是平行四边形，点E在边BC延长线上，连AE交CD于点F，如果∠EAC=∠D，试问：AC•BE与AE•CD是否相等？54．如图，已知在△ABC中，AD是∠BAC平分线，点E在AC边上，且∠AED=∠ADB。
[精品]2019届中考数学一轮复习第四章几何初步第4节等腰三角形试题7
![[精品]2019届中考数学一轮复习第四章几何初步第4节等腰三角形试题7](https://img.taocdn.com/s3/m/f8194334c281e53a5802ff77.png)
第四节等腰三角形课标呈现指引方向1．了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上的高线、中线及顶角平分线重合。
探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
2．探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于60°，及等边三角形的判定定理：三个角都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
3．探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
4．理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
考点梳理夯实基础1．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两底角，简称为“等边对”【答案】相等等角（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边的中线、底边上的高线；【答案】三线合一（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是．【答案】底边的垂直平分线2．等腰三角形的判定（1）有两边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有相等，那么这个三角形是等腰三角形，简称为“等角对”．【答案】两角等边3．等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都，且都等于．【答案】相等 60°（2）等边三角形的每条边上都有；【答案】三线合一（3）等边三角形是轴对称图形，它的对称轴有条．【答案】34．等边三角形的判定（1）相等的三角形是等边三角形；【答案】三边（2）有两个角是的三角形是等边三角形；【答案】60°（3）有一个角为的等腰三角形是等边三角形．【答案】60°5．角平分线的性质和判定（1）性质：角平分线上的点到角两边的．【答案】距离相等（2）判定：到角两边距离相等的点在这个角的．【答案】角平分线上6．线段的垂直平分线的性质和判定定理（1）性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离．【答案】相等（2）判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 考点精析 专项突破考点一 等腰三角形的性质和判定 【例1】（1）（2016泰安）如图，在△PAB 中，PA ＝PB ，M 、N 、K 分别是边PA 、PB 、AB 上的点，且AM ＝BK ，BN ＝AK ，若∠MKN ＝44°，则∠P 的度数为（ ）A ．44°B ．66°C ．88°D ．92° 【答案】D解题点拨：通过题中所给的条件AM ＝BK ，BN ＝AK ，以及由PA ＝PB ，可证∠A ＝∠B 所以△AKM ≌△BNK ，得到对应角相等，再利用外角等于不相邻的两个内角和，便可求出∠A 与∠MKN 相等，最后由三角形的内角和求出∠P 的度数． （2）（2015巴中）如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD 、AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，则线段DH 的长为 ． 【答案】1解题点拨：由全等三角形的知识可证得△AFC 是等腰三角形，所以H 为FC 中点，再由已知条件可得DH 为△CBF 的中位线，利用中位线的性质即可求出线段DH 的长．考点二 等边三角形的性质与判定 【例2】如图，D 是等边△ABC 的边AB 上一点，E 是BC 延长线上一点，CE ＝DA ，连接DE 交AC 于F ，过D 点作DG ⊥AC 于G 点． （1）证明：AG ＝21AD ; （2）证明：GF ＝FC ＋AG ．解题点拨：本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质．全等三角形是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 解：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝60°， ∵DG ⊥AC ，∴∠AGD ＝90°，∵∠ADG ＝30°，∴AG ＝21AD ；（2）过点D 作DH ∥BC 交AC 于点H ，∴∠ADH ＝∠B ，∠AHD ＝∠ACB ，∠FDH ＝∠E ， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠B ＝∠ACB ＝∠A ＝60°， ∴∠A ＝∠ADH ＝∠AHD ＝60°， ∴△ADH 是等边三角形， ∴DH ＝AD ， ∵AD ＝CE ∴DH ＝CE在△DHF 和△ECF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CE DH EFC DFH E FDH ，∴△DHF ≌△ECF （AAS ）， ∴HF ＝FC ， 又∵AG ＝GH∴GF ＝GH ＋HF ＝AG ＋FC ．课堂训练 当堂检测1．（2016安顺）已知实数x 、y满足|4|0x -=，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A ．20或16 B ．20 C ．16 D ．以上答案均不对 【答案】B2．（2016武汉）平面直角坐标系中，已知A (2，2)、B (4，0)．若在坐标轴上取点C ，使△ABC 为等腰三角形，则满足条件的点C 的个数是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】A3．（2016达州）如图，P 是等边三角形ABC 内一点，将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ，连接BQ ．若PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则四边形APBQ 的面积为 ．【答案】24＋9 34．（2016菏泽）如图，△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ． （1）如图1，若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°， ① 求证：AD ＝BE ；② 求∠AEB 的度数．（2）如图2，若∠ACB ＝∠DCE ＝120°，CM 为△DCE 中DE 边上的高，BN 为△ABE 中AE 边上的高，试证明：AE ＝23CM ＋332BN ．解：（1）①证明：∵△ACB 和△DCE 均为等腰三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ．∵∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ，∴∠ACB ＝∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS )，∴AD ＝BE ． ②解：由①得△ACD ≌△BCE ，∴∠CAD ＝∠CBE ．在△ABE 中，∠AEB ＝180°―∠EAB ―∠ABE ＝180°―∠EAB ―∠ABC －∠CBE ＝180°―∠EAB ―∠ABC －∠CAD ＝180°―∠CAB －∠ABC ＝180°－50°－50°＝80°．（2）证明：在等腰△DCE 中，∵CD ＝CE ，∠DCE ＝120°，CM ⊥DE ，∴∠DCM ＝21∠DCE ＝60°，DM ＝EM ． 在Rt △CDM 中，DM ＝CM ·tan ∠DCM ＝ CM ·tan 60°＝3CM ，∴DE ＝23CM ．由（1）中②，得∠AEB ＝180°―∠CAB －∠ABC ＝180°―(180°－120°)＝120°，∴∠BEN ＝60°． 在Rt △BEN 中，sin ∠BEN ＝BEBN，∴BE ＝BN ÷sin 60°＝332BN ．由（1）中①知AD ＝BE ，∴AD ＝332BN ． ∴AE ＝DE ＋AD ＝23CM ＋332BN ，即AE ＝23CM ＋332BN ． 中考达标 模拟自测A 组 基础训练一、选择题1．（2016荆门）)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．10【答案】C 2．（2016黄石）如图所示，线段AC 的垂直平分线交线段AB 于点D ，∠A ＝50°，则∠BDC ＝（ ）DCBA第1题图ABCDE图1ACDMEN图2A ．50°B ．100°C ．120°D ．130°【答案】B ．3．（2016荆门）已知3是关于x 的方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为( )A ．7B ．10C ．11D ．10或11 【答案】D 4．（2016扬州）如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是 ( )A ．6B ．3C ．2.5D ．2(第8题)BC【答案】C 二、填空题 5．（2016资阳）如图，在3×3的方格中，A 、B 、C 、D 、E 、F 分别位于格点上，从C 、D 、E 、F 四点中任取一点，与点A 、B 为顶点作三角形，则所作三角形为等腰三角形的概率是．【答案】436．（2016乐山）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE ＝40°，则∠DBC ＝ ． 【答案】15° 7．（2015南通）如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝102°，则∠ADC ＝ ． 【答案】52°三、解答题CDA8．（2016贺州）如图，在△ABC 中，分别以AC 、BC 为边作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，连接AE 、BD 交于点O ，求∠AOB 的度数．解：如图：AC 与BD 交于点H ． ∵△ACD ，△BCE 都是等边三角形， ∴CD ＝CA ，CB ＝CE ，∠ACD ＝∠BCE ＝60°， ∴∠DCB ＝∠ACE ，在△DCB 和△ACE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CB ACE DCB CACD ，∴△DCB ≌△ACE ， ∴∠CAE ＝∠CDB ，∵∠DCH ＋∠CHD ＋∠BDC ＝180°，∠AOH ＋∠AHO ＋∠CAE ＝180°，∠DHC ＝∠OHA ， ∴∠AOH ＝∠DCH ＝60°， ∴∠AOB ＝180°﹣∠AOH ＝120°．9．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，求证：BE ＝CF ．解：（1）连接DB 、DC ， ∵DG ⊥BC 且平分BC ， ∴DB ＝DC ．∵AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ．∠AED ＝∠BED ＝∠ACD ＝∠DCF ＝90° 在Rt △DBE 和Rt △DCF 中⎩⎨⎧==DFDE DCDB ， Rt △DBE ≌Rt △DCF （HL ），GD BC ∴BE ＝CF ．B 组 提高练习10．（2016内江）已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（ ）A ．2 B ． 2 C ． 32D．不能确定 【答案】B ．．【提示】解：如图，过点A 作AG ⊥BC 于G ，连接PA ，PB ，PC ， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°， BC ＝AC ＝AB ． ∴AG ＝AB ·sin 60°＝3×2＝2∵S △ABC ＝12BC ·PD ＋12AC ·PE ＋12AB ·PF ＝12BC ·AG ∴PD ＋PE ＋PF ＝AG＝2， 11．（2016江西）如图是一张长方形纸片ABCD ，已知AB ＝8，AD ＝7，E 为AB 上一点，AE ＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP ），使点P 落在长方形ABCD 的某一条边上，则等腰三角形AEP 的底边长是 ．【答案】52或45或5． 解：如图所示： ①当AP ＝AE ＝5时， ∵∠BAD ＝90°，∴△AEP 是等腰直角三角形， ∴底边PE ＝2AE ＝52； ②当PE ＝AE ＝5时，∵BE ＝AB ﹣AE ＝8﹣5＝3，∠B ＝90°，∴PB ＝422=-BE PE ，∴底边AP ＝54482222=+=+PB AB ；③当PA ＝PE 时，底边AE ＝5；综上所述：等腰三角形AEP 的对边长为52或45或5；12．（2016沈阳）在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝BC ＝5，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转，得到△ADE ，旋转角为()0180αα<<，点B 的对应点为D ，点C 的对应点为E ，连接BD ，BE ．（1）如图，当60α=时，延长BE 交AD 于点F ． ①求证：△ABD 是等边三角形； ②求证：BF ⊥AD ，AF ＝DF ； ③请直接．．写出BE 的长； （2）在旋转过程中，过点D 作DG 垂直于直线AB ，垂足为点G ，连接CE ，当∠DAG ＝∠ACB ，且线段DG 与线段AE 无公共点时，请直接．．写出BE ＋CE 的值． 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．解：（1）①证明：∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60° ∴△ABD 是等边三角形．②证明：由①得△ABD 是等边三角形 ∴AB ＝BD∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ∴AC ＝AE ，BC ＝DE 又∵AC ＝BC ∴EA ＝ED∴点B ，E 在AD 的中垂线上 ∴BE 是AD 的中垂线∵点F在BE的延长线上∴BF⊥AD，AF＝DF．③4由②知BF⊥AD，AF＝DF．∴AF＝DF＝3，∵AE＝AC＝5，∴EF＝4，∵在等边三角形ABD中，BF＝AB·sin∠BAF＝6，∴BE＝BF－EF＝－4;（2）13如图所示，∵∠DAG＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，∴∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝∠DAG＋∠DAE＋∠ABC＝180°，又∠DAG＋∠DAE＋∠BAE＝180°，∴∠BAE＝∠ABC，∵AC＝BC＝AE，∴∠BAC＝∠ABC，∴∠BAE＝∠BAC，∴AB⊥CE，且CH＝HE＝12 CE，∵AC＝BC，∴AH＝BH＝12AB＝3，则DE＝2CH＝8，BE＝5，。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第4节图形的相似
(必考，每年1道，4分)
玩转重庆10年中考真题(2008～2018年)
命题点相似三角形的性质(必考，多在选填中考查)
类型一求比值
1.(2018重庆A卷8题4分)若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为()
A.3∶2
B.3∶5
C.9∶4
D.4∶9
2.(2018重庆A卷8题4分)△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为()
A.1∶2
B.1∶3
C.1∶4
D.1∶16
3.(2018重庆B卷8题4分)已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为()
A.1∶4
B.4∶1
C.1∶2
D.2∶1
4.(2015重庆B卷14题4分)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2∶3，则△ABC与△DEF对应边上中线的比为________．
5.(2010重庆13题4分)已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为2∶3，则△ABC与△DEF的周长比为________．
6.(2012重庆12题4分)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为________．
7.(2011重庆12题4分)如图，△ABC中，DE∥BC，DE分
别交边AB、AC于D、E两点，若AD∶AB＝1∶3，则△ADE与△ABC的面积比为________．
第7题图
类型二求线段长度
8.(2014重庆B卷3题4分)如图，△ABC∽△DEF，相似比为1∶2，若BC＝1，则EF的长是()
A.1
B.2
C.3
D.4
第8题图
9.(2013重庆A 卷9题4分)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接CE 并延长与BA 的延长线交于点F ，若AE ＝2ED ，CD ＝3cm ，则AF 的长为()
A .5cm
B .6cm
C .7cm
D .8cm
第9题图
答案
1.A
2.C
3.A
4.2∶3
5.2∶3
6.9∶1【解析】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．由△ABC 周长为3，△DEF 周长为1，得相似比为3∶1，故S △ABC ∶S △DEF ＝9∶1.
7.1∶9
【解析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方．S △ADE ∶S △ABC ＝(1∶3)2＝1∶9.8.B
【解析】∵△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，∴BC ∶EF ＝1∶2，又∵BC ＝1，∴EF ＝2.9.B 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△CDE ∽△FAE ，∴CD AF ＝DE AE ＝12
，∵CD ＝3cm ，∴AF ＝2CD ＝6cm .。