高考数学一轮复习：第6章 不等式、推理与证明 第1讲

第六章 第一讲A 组 基础巩固一、选择题1．若a ＞b ，则下列不等式中成立的是 ( ) A.1a ＜1b B.a 3＞b 3 C ．a 2＞b 2 D ．a ＞|b |[答案] B[解析] 若a ＝1，b ＝－3，则1a ＞1b ，a 2＜b 2，a ＜|b |，所以A ，C ，D 错误；设函数f (x )＝x 3，则f ′(x )＝3x 2≥0，所以函数f (x )＝x 3为增函数，若a ＞b ，则a 3＞b 3.2．设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] D[解析] 若a ＋b ＞0，取a ＝3，b ＝－2，则ab ＞0不成立；反之，若a ＝－2，b ＝－3，则a ＋b ＞0也不成立，因此“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．3．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0，对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是 ( ) A ．(－∞，2] B.(－2,2] C ．(－2,2) D ．(－∞，2)[答案] B[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，∴－2<a <2，另a ＝2时，原式化为－4<0，恒成立，∴－2<a ≤2.故选B.4．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是[－12，－13]，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)C ．(13，12)D ．(－∞，13)∪(12，＋∞)[答案] A[解析] 依题意，－12与－13是方程ax 2－bx －1＝0的两个根，且a ＜0，则⎩⎨⎧b a ＝－12－13，－1a ＝－12× －13 ，即⎩⎨⎧b a ＝－56，1a ＝－16.不等式x 2－bx －a ＜0可化为1a x 2－ba x －1＞0，∴－16x 2＋56x －1＞0，解得2＜x ＜3.5．若不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x 恒成立，则关于t 的不等式at 2＋2t －3＜1的解集为 ( )A ．(－3,1) B.(－∞，－3)∪(1，＋∞) C ．∅ D ．(0,1)[答案] B[解析] 不等式x 2－2ax ＋a ＞0对一切实数x 恒成立，则Δ＝(－2a )2－4a ＜0，解得0＜a ＜1，所以不等式at 2＋2t －3＜1转化为t 2＋2t －3＞0，解得t ＜－3或t ＞1.6．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x ＜y ＜z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a ＜b ＜c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是 ( )A ．ax ＋by ＋cz B.az ＋by ＋cx C ．ay ＋bz ＋cx D ．ay ＋bx ＋cz[答案] B[解析] 采用特值法进行求解验证即可，若x ＝1，y ＝2，z ＝3，a ＝1，b ＝2，c ＝3，则ax ＋by ＋cz ＝14，az ＋by ＋cx ＝10，ay ＋bz ＋cx ＝11，ay ＋bx ＋cz ＝13.由此可知最低的总费用是az ＋by ＋cx .二、填空题7．若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤a y ＞bx这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________. [答案] ②④[解析] 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x ＞y ，a ＞b .∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y .因此①不恒成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by .因此③也不恒成立．又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝b x .因此⑤不恒成立．由不等式的性质可推出②④恒成立．8．已知－π2≤α＜β≤π2，则α＋β2的取值范围是________，α－β2的取值范围是________.[答案] (－π2，π2) [－π2，0)[解析] ∵－π2≤α＜π2，－π2＜β≤π2，∴－π＜α＋β＜π，∴－π2＜α＋β2＜π2.∵－π2≤－β＜π2，∴－π≤α－β＜π，∴－π2≤α－β2＜π2.又∵α－β＜0，∴－π2≤α－β2＜0.9．已知a ＋b ＞0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________.[答案]a b 2＋b a 2≥1a ＋1b[解析] a b 2＋b a 2－(1a ＋1b )＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )(1b 2－1a 2)＝ a ＋ba －b 2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0，∴ a ＋b a －b 2a 2b 2≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b. 10．若不等式mx 2＋2mx －4＜2x 2＋4x 对任意x ∈R 均成立，则实数m 的取值范围是________.[答案] (－2,2][解析] 原不等式等价于(m －2)x 2＋2(m －2)x －4＜0， 当m ＝2时，对x ∈R ，不等式恒成立；当m ≠2时，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －2＜0，Δ＝4 m －2 2＋16 m －2 ＜0， 解得－2＜m ＜2，综上可知－2＜m ≤2.三、解答题11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0. [答案] (1)[0,1] (2)(－12，32)[解析] (1)∵函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ， ∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝ 2a 2－4a ≤0， 解得0＜a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]．(2)∵f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a x ＋1 2＋1－a ， ∵a ＞0，∴当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ， 由题意得，1－a ＝22，∴a ＝12， ∴不等式x 2－x －a 2－a ＜0可化为 x 2－x －34＜0.解得－12＜x ＜32，所以不等式的解集为(－12，32)．12．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n ). (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，比较f (x )与m 的大小．[答案] (1){x |－1＜x ＜2} (2)f (x )<m[解析] (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0.那么当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}．(2)由函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n ，得f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1a ，∴x －m ＜0,1－an ＋ax ＞0.∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m .B 组 能力提升1．已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是 ( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1 B.ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin y D ．x 3＞y 3[答案] D[解析] 根据指数函数的性质得x ＞y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A 、B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．2．若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为 ( ) A ．(－235，＋∞)B.[－235，1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)[答案] A[解析] 方法一：令f (x )＝x 2＋ax －2，关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1,5]上有解，则f (1)＞0或f (5)＞0，即1＋a －2＞0或25＋5a －2＞0，所以a ＞－235.方法二：本题也可用分离参数法a >2x －x ，当x ＝5时，2x －x 最小为－235，∴a >－235.3．已知1≤lg xy ≤4，－1≤lg x y ≤2，则lg x 2y 的取值范围是________.[答案] [－1,5][解析] 由1≤lg xy ≤4，－1≤lg x y ≤2得1≤lg x ＋lg y ≤4，－1≤lg x －lg y ≤2，而lg x 2y ＝2lg x －lg y＝12(lg x ＋lg y )＋32(lg x －lg y )，所以－1≤lg x 2y≤5. 4．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，求不等式f (x )＞1的解集.[答案] (－1,0)[解析] ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点． 因此f (－2)f (－1)＜0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0.∴－32＜a ＜－56.又a ∈Z ，∴a ＝－1.不等式f (x )＞1即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0. 5．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． [答案] (1)－4<m ≤0 (2){m |m <67}[解析] (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立， 若m ＝0，显然－1＜0；若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0. 所以－4＜m ≤0.(2)要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m (x －12)2＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m (x －12)2＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0， 所以m ＜67，所以0＜m ＜67；当m ＝0时，－6＜0恒成立； 当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0，所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m ＜67}．方法二 因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6 x －12 2＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．所以，m 的取值范围是{m |m ＜67}．[点拨] (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．。