6.4二次函数的应用(3) 喷泉问题
部编数学九年级上册专题11二次函数的实际应用—喷水问题(解析版)含答案
答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题11 二次函数的实际应用—喷水问题考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021九上·和平期末）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管的长为（ ）A．9m4B．19m8C．39m16D．45m16【答案】A【完整解答】解：由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，∴设这段抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3．∵该抛物线过点（3，0），∴0=a（3-1）2+3，解得：a=-34．∴y=-34（x-1）2+3．∵当x=0时，y=-34（0-1）2+3=-34+3=94，∴水管应长94 m．故答案为：A【分析】由题意可知点（1，3）是抛物线的顶点，可设顶点式为y=a（x-1）2+3，将（3，0）代入解析式中求出a值即得解析式，再求出x=0时的y值即可.2．（2分）（2021九上·长兴月考）学校卫生间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.小丽经过测量发现：洗手液瓶子的截面图下部分是矩形CGHD，洗手液瓶子的底面直径GH＝12cm，D，H与喷嘴位置点B三点共线.当小丽按住顶部A下压至如图②位置时，洗手液从喷口B流出（此时喷嘴位置点B距台面的距离为16cm），路线近似呈抛物线状，小丽在距离台面15cm处接洗手液时，手心Q到直线DH的水平距离为4cm，若小丽不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是16cm.根据小丽测量所得数据，可得洗手液喷出时的抛物线函数解析式的二次项系数是（ ）A．﹣118B．118C．﹣116D．116【答案】C【完整解答】解：根据题意：GH所在直线为x轴，GH的垂直平分线所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B为抛物线顶点，共线的三点B、D、H所在直线为抛物线的对称轴，根据题意，OH＝6，B（6，16），Q（10，15），设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+16，把Q（10，15）代入解析式得：15＝a（10﹣6）2+16，解得：a＝﹣116，故答案为：C.【分析】如图以GH 所在直线为x 轴，GH 的垂直平分线所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，喷口B 为抛物线顶点，共线的三点B 、D 、H 所在直线为抛物线的对称轴，然后写出顶点B 及Q 的坐标，利用顶点式求出抛物线解析式即可.3．（2分）（2021九上·青县月考）如图，水从山坡下的水管的小孔喷出，喷洒在山坡上，已知山坡AB ：OB=1：2，若把小孔处设为原点，喷出的水柱的路线近似地用函数y=−12x 2+4x 来刻画，下列结论错误的是（ ） A ．山坡可以用正比例函数 12y x = 来刻画B ．若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米C ．水柱落到斜面时距O 点的距离为7米D ．水柱距O 点水平距离超过4米呈下降趋势【答案】C【完整解答】解：A.∵山坡AB ：OB=1：2，∴斜坡可以用正比例函数y=12 x 刻画，不符合题意；B.当y=1.875时，即− 12x 2+4x=1.875，解得：x 1=0.5，x 2=7.5，∴若水柱到水平地面的距离为1.875米，则此时距离原点水平距离为0.5米或7.5米，不符合题意；C.解方程组 212142y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ 得， 1100x y =⎧⎨=⎩ ， 22772x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ，∴当小球落在斜坡上时，它离O 点的水平距离是7m ，符合题意；D.∵y=− 12 x 2+4x=- 12（x-4）2+8，则抛物线的对称轴为x=4，∴当x ＞4时，y 随x 的增大而减小，即小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势，不符合题意；故答案为：C ．【分析】根据二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
二次函数应用——喷泉问题
题型一：二次函数应用-喷泉问题例题解析例1.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，安装在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上，抛物线的形状如图（1）和（2）所示，建立直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之，请回答下列问题．间的关系式是y=﹣x2+2x+ 54（1）柱子OA的高度为多少米？（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？习题精练1.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=−x2+2x+3，则下列结论：（1）柱子OA的高度为3m；（2）喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；（3）喷出的水流距水平面的最大高度是4m；（4）水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有。
2 .小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A，出水口B和落水点C恰好在同一直线上，点A至出水管BD的距离为12cm，洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示，现用高10.2cm的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E，则点E到洗手盆内侧的距离EH为________cm．2.两幢大楼的部分截面及相关数据如图，小明在甲楼A处透过窗户E发现乙楼F 处出现火灾，此时A,E,F在同一直线上.跑到一楼时，消防员正在进行喷水灭火，水流路线呈抛物线，在1.2m高的D处喷出，水流正好经过E,F. 若点B和点E、点C和F的离地高度分别相同，现消防员将水流抛物线向上平移0.4m，再向左后退了________m，恰好把水喷到F处进行灭火．4.如图所示，有一建筑工地从10m 高的窗A处用水管向外喷水，喷出的水呈m.抛物线状，如果抛物线的最高点M 离墙1m，离地面403（1）求抛物线的解析式；（2）求水流落地点B离墙的距离OB.5.随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；（2）求出水柱的最大高度的多少？6. 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；（2）王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．。
6.4二次函数的应用3-喷泉问题(原创)
小结与思考
实际问题中的所求 实际问题的数据
数学问题中的所求
数学问题中的数据
用数学中的二次函数解决实际问题
完成作业纸和课时作业
D (x,0) 数学问题中的所求
数学问题中的数据
用数学中的二次函数解决实际问题
问题探究二：在体育测试时,初三一名男生推铅球,已
知铅球所经过的路线是某个二次函数的图象的一部分,如 果这个男生的出手高度为2m,铅球在该男生前6m处达到 最高点，最高点高为5m。求男生的成绩。
y A(0,2) O B(6,5)
C (x,0) x
实际问题中的所求 实际问题的数据
数学问题中的所求 数学问题中的数据
用数学中的二次函数解决实际问题
反馈练习：在要修建一个圆形水池,
在 池中心竖直安装一根水管. 在水管的顶端安 装一个喷水头, 使喷出的抛物线形水柱在与 池中心的水平距离为1 m 处达到最高, 高度 为 3 m , 水柱落地处离池中心3 m , 水管应多 长?
喷头
水管
拓展提高：某跳水运动员进行10m跳
台跳水训练时,身体（看成一点）在空中的 运动路线为下图所示坐标系下经过原点O的 一条抛物线(图中标出的数据为已知条件)最 高处距水面 10 2 m,入水处距池边的距离为4m. 3 在某次跳水时，要求该运动员在距水面高度 为5m或5m以上时，必须完成规定的翻腾动作， 并调整好入水姿势，否则就会出现失误． (Ⅰ)求这条抛物线的解析式； (Ⅱ)该运动员按(Ⅰ)中抛物线运行， 要使此次跳水不至于失误，那么运动 员在空中调整好入水姿势时，距池边 的水平距离至多为多少米？
6.4二次函数的应用(3) ----喷泉问题
问题探究一：如图,某喷灌设备的喷头B高出地面
1.2m, 如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m)之间 的关系为二次函数y=a(x-4)2+3.求水流落地点D与喷头底 部A的距离(精确到0.1m) y
二次函数喷泉拱桥问题
2、根据已知条件建立适当的平面直角坐标 系。
3、选用适当的解析式求解。
4、根据二次函数的解析式解决具体的实际 问题。
拱桥问题
问题2 一个涵洞成抛物线形，它的截面如图．
现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞
顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离
开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？
是否会超过1 m？
l
4
2
变式2:一艘宽2m,长5m，高1.4m的矩形 货船现在卸完货物后，高为2m.等到水 面下降几米才能通过？ 若水面以10cm/h的速度下降，则要等 多长时间才能通过？
l
4
2
谈谈你的学习体会
实际问题 抽象 转化
数学问题 运用 问题的解决 数学知识
解题步骤：
1、分析题意，把实际问题转化为数学问 题，画出图形。
问题1
某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中
央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装
一个喷头向外喷水．连喷头在内，柱高为 0.8 m．水流在各个方向上沿形状相同的抛 物线路径落下，根据设计图纸已知：图中所
示直角坐标系中，水流喷出的高度y（m） 与水平距离x（m）之间的函数关系式是
y最大高x度2 是2多x少？54．如喷果出不的计水其流他距因水素平，面那的么 水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水 流都落在水池内？
探究 下图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时， 拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m. 水面下降 1 m，水面宽度增加多少?
l 4
2
探究３. 下图是抛物线形拱桥，当水面
在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m.
水面下降 1 m，水面宽度增加多少?
变式1:当水面在 l 时，一艘宽2m,长5m，
二次函数的应用(4)喷泉问题
● ●
A (0,1.25)
x
数学化
D(-3.5,0) O
●
C(3.5,0)
设抛物线为y=-(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式 为:y=-(x-11/7)2+729/196.
或设抛物线为y=-x2+bx+c,由待定系数法可求得抛物线表达式 为:y=-x2+22/7X+5/4. 由此可知,如果不计其它因素,那么水流的最大高度应达到约3.72m.
D x
探究一：如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.
在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中 心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各 个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮, 要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度 2.25m. (1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多 少时能使喷出的水流不致落到池外？(2)若水流喷出的抛 物线形状与(1)相同,水池的半径为 3.5m,要使水流不落 到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？
二次函数与实际问题
4.《ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关“喷泉”问题》
100 东部 50 西部 0 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 北部
例1.如图,某喷灌设备的喷头B高出地面1.4m,如果 喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与喷头y(m) 之间的关系为二次函数y=a(x-4)2+3.求水流落地点 D与喷头底部A的距离(精确到0.1m) y 解: 因为水流抛物线对应的
探究二：在要修建一个圆形水
池, 在池中心竖直安装一根水 管. 在水管的顶端安装一个喷 水头, 使喷出的抛物线形水柱 在与池中心的水平距离为1 m 处达到最高, 高度为3 m , 水 喷头 柱落地处离池中心3 m , 水管 水管 应多长?
6.4二次函数的运用(2)喷泉问题
东山莫厘中学2015-2016第一学期九年级教学案学习目标:1、体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，了解数学的应用价值。
2、掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值。
学习重点:应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润。
学习难点:能够正确地应用二次函数最值解决实际问题中的最大利润．特别是把握好自变量的取值范围对最值的影响。
教学过程:一、课前导学1、当x ＝_______时，函数y ＝－2x 2＋4x ＋4有最_______值，为_______．：2、二次函数1232--=x x y 与X 轴的交点坐标 ，与Y 轴的交点坐标3、已知抛物线()8122++-=x y ,抛物线与y 轴的交点坐标是 ;求抛物线与x 轴的两个交点间的距离是 .4、在一块长为30m ，宽为20m 的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm ，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym 2，则y 与x 之间的函数表达式是 ，自变量x 的取值范围是 ．y 有最 值是 。
二、探索研究体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线21212++-=x x y 的一部分，根据关系式回答： （1） 该同学的出手最大高度是多少？（2） 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？（3） 该同学的成绩是多少？三、例题讲解例1、如图，某喷灌设备的喷头B 高出地面1.2m ，如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m)之间的关系式为二次函数y ＝a(x －4)2＋2，求水流落地点D 与喷头底产部A的距离。
(精确到0.1m)例2、如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O 恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A 处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在离OA 距离为1m 处达到距水面最大高度2.25m.(1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才能使喷出的水流不致落到池外？(2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到多少m(精确到0.1m)？四、当堂检测1、一名男生推铅球，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．则他将铅球推出的距离是 m 2、在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y （m ）与飞行时间x （s ）的关系满足y=－51x 2＋10x ．（1）经过多长时间，炮弹达到它的最高点？最高点的高度是多少？ （2）经过多长时间，炮弹落在地上爆炸？3、一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。
二次函数喷泉类问题(带解析及详细答案)
1、（2011•定西）如图，抛物线C 1：y=x 2+2x-3的顶点为M ，与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ；抛物线C 2与抛物线C 1关于y 轴对称，顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点．（1）抛物线C 2的函数关系式是___________；（2）点A 、D 、N 是否在同一条直线上？说明你的理由；（3）点P 是C 1上的动点，点P′是C 2上的动点，若以OD 为一边、PP′为其对边的四边形ODP′P （或ODPP′）是平行四边形，试求所有满足条件的点P 的坐标；（4）在C 1上是否存在点Q ，使△AFQ 是以AF 为斜边且有一个角为30°的直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2、如图所示，公园要建造圆形的喷水池，水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m．（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不能落到池外？（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3.5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？3、公园要建造一个如图1的圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图2所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在与OA水平距离为1米时，达到距水面最大高度2.25米（不计其他因素）．（1）在如图2的直角坐标系中，求y轴两侧抛物线的解析式；（2）请你通过计算回答水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？4、近日，湘湖音乐喷泉落成，吸引大量游客．某小区也计划在中央花园内建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰好在水面中心，0A为1.25m，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示．为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离lm处达到距水面最大高度2.25m．（1）请求出其中一条抛物线的解析式；（2）如果不计其他因素，那么水池的半径至少要为多少m 才能使喷出水流不致落到池上？。
5.5二次函数的应用(3)喷泉问题
o
BLeabharlann x3.体育课上，小明练习推铅球，铅球 7 出手高度为 米,铅球运动的水平距离 4 仍为6米时达到最高,若小明想创15米的 成绩,则铅球最高应为多少米?
y
A
o
B
x
4、一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地
20 面高 米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后 9
水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹
2
内容你能得知哪些信息？
y
A
o
B
x
2.体育课上，小明同学练习推铅球，在 7 A处出手，出手时球离地面 米，铅球 4 运动的水平距离为6米时达到最高点，最 高点离地面距离4米。已知铅球经过的路
线是抛物线，由以上信息你能知道小明
的成绩吗？
y
A
o
B
x
3.体育课上，小明同学在练习推铅球，突然 有一位身高为1.7米的小强误闯入了铅球训 练场，当小强站在小明正前方12米处时，铅 7 球从高 米出手点处抛出，已知铅球的高Y 4 （米）与铅球运动的水平距离X（米）之间 1 2 的函数关系式为 y x 6 4 ,问 16 y 小强是否有危险?
为抛物线，篮圈距离地面3米。(1)问此球能否投中？(2) 若此时,对方一队员甲在他前面1米处跳起盖帽拦截,已知
甲的最大摸高为2.8米,那么甲能否获利成功?
4米
20 9
3米
4米 7米
5、一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地
20 面高 米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后 9
水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹 在出手角度和力度都不变的情况下，小明的出手高度为
为抛物线，篮圈距离地面3米。(1)问此球能否投中？(2)
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∵篮圈中心距离地面3米
∴此球不能投中
y ax 4 4
2
(0≤x≤8)
20 抛物线经过点 0， 9 20 2 a0 4 4 9
若假设出手的角度和力度都不变, 则如何才能使此球命中?
探究
（1）跳得高一点 （2）向前平移一点
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度 为多少时能将篮球投入篮圈?
2.5m O 4m 3.05m
x
P28练习题,P35第12题
谢谢大家，再会!
结束寄语
• 生活是数学的源泉.
y
20 9
（4，4）
1 a 9
1 2 y x 4 4 (0≤x≤8) 9
8
0
4
x
20 当x 8时， y 9
如图，建立平面 直角坐标系， 点（4，4）是图中这段抛物 线的顶点，因此可设这段抛 物线对应的函数为：
2
(７，３） （8，3）
●
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
X
-2
6.如图所示，一单杠高2.2m，两立柱间的距
离为1.6m，将一根绳子的两端拴于立柱与铁 杠的结合处A、B，绳子自然下垂，虽抛物线 状，一个身高0.7m的小孩站在距立柱0.4m处， 其头部刚好触上绳子的D处，求绳子的最低 点O到地面的距离．
当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0);同理,点D的坐标为(-2.5,0).
根据对称性,如果不计其它因素,那么水池的半径至少要2.5m, 才能使喷出的水流不致落到池外.
喷泉与二次函数
解:(2)如图,根据题意得,A点坐标为(0,1.25),点C坐标为(3.5,0). 2 y ●B(1.57,3.72) 11 729
100
建湖县宝塔初级中学
50 0 西部 北部 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
东部
具有二次函数的图象抛物线的特征
例1.如图,某喷灌设备的喷头B高出地面1.4m,如果 喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与喷头y(m) 之间的关系为二次函数y=a(x-4)2+3.求水流落地点 D与喷头底部A的距离(精确到0.1m) y 解: 因为水流抛物线对应的
y x 7 196
● ●
A (0,1.25)
x
数学化
●
D(-3.5,0) O
C(3.5,0)
设抛物线为y=-(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式 为:y=-(x-11/7)2+729/196.
或设抛物线为y=-x2+bx+c,由待定系数法可求得抛物线表达式 为:y=-x2+22/7X+5/4. 由此可知,如果不计其它因素,那么水流的最大高度应达到约3.72m.
OC 4 4 3 10.928 10.9
y
2 A
O
C x
例2.在体育测试时，初三的一名高个子男生推 铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数 的图象的一部分（如图），如果这个男生的出 手处A点坐标为（0，2），铅球路线的最高处 B的坐标为（6，5）。
（1）求这个二次函数的解析式。
y B(6,5)
1 12
故抛物线的解析式为y= 即 y=
1 12
-
1 （x-6）2+5 12
x2+x+2
y
B(6,5)
2 A
O
C x
喷泉与二次函数
如图所示,桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直 于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由 柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相 同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水 流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m. (1)如果不计其它因素,那么水池的半径至少要多少m,才 能使喷出的水流不致落到池外？ (2)若水流喷出的抛物线形状与(1)相同,水池的半径为 3.5m,要使水流不落到池外,此时水流的最大高度应达到 多少m(精确到0.1m)？
二次函数为y=a(x-4)2+3, 且抛物线经过点B(0,1.4), B 所以: 1.4=a(0-4)2+3 解得a=-0.1. o (A) 2+3 所以: y=-0.1(x-4) 把y=0代入得: -0.1(x-4)2+3=0 解得x1≈-1.5(负值舍去),x2≈9.5 答:水流落地点与运动员.根据测试资料分析, 他掷铅球的出手高度(铅球脱手时离地面的高度) 为2m,如果出手后铅球在空中飞行的水平距离x (m)与高度y(m)之间的关系为二次函数 y=a(x-4)2+3,那么小明掷铅球的出手点与铅球 落地点之间的水平距离是多少(精确到0.1m)? 1 抛物线的解析式为y= - 16 （x-4）2+3
喷泉与二次函数
解:(1)如图,建立如图所示的坐标系,根据题意得,A点坐标为 y (0,1.25),顶点B坐标为(1,2.25). ●B(1,2.25) 2
y x 1 2.25
数学化
●
●
A (0,1.25)
x
●
D(-2.5,0)
O
C(2.5,0)
设抛物线为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式 为:y=-(x-1)2+2.25.
实际问题
抽象 数学问题 运用 问题的解 转化 数学知识
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试一试.1.如图,一位运动员在距篮下4m处跳起 投篮,球运行的路线是抛物线,当球运动的水平距 离为2.5米时,达到最大高度3.5m,然后准确落入 篮圈. （1）建立如图所示坐标系,求抛物线的解析式； （2）该运动员的身高1.7m,跳投中,球在头顶上 y 方0.25m处出手,问球出手时,他距地面的高度是 多少? y=-0.2x2+3.5 h=2.25-0.25-1.7=0.3(米)
2 A
O
C x
实际问题 数学问题 实际问题------求铅球所经过的路线。
数学问题:
已知：抛物线的顶点坐标（6，5），并 经过A（0，2）. 求：抛物线的解析式.
y
B(6,5)
2 A
O
C x
解:（1）∵抛物线的顶点为（6，5） ∴可设抛物线的解析式为 y=a（x-6）2+5. ∵抛物线经过点A（0，2） ∴2=a（0-6） 2 +5 ∴a=
6
y
（4，4）
4
（8，3）
20 0, 9
2
20 8, 9
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
x
-2
在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
6
y
（4，4） （5，4）
4
20 0, 9