第一章三角函数复习
三角函数复习讲义(含答案)
一.任意角、弧度制正角：射线按逆时针方向旋转形成的角1.任意角的概念负角：射线按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不作旋转形成的角2.象限角：角的顶点于原点，始边重合于X轴的正半轴，终边落在第几象限就是第几象限。
如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同3.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|β=α+k·360°，k∈Z}例题：1.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360°≤α＜720°的元素写出来.解析：S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}.－315°，-135°，45°，225°，405°，585°.2.把下列各角化成弧度,并且判断角在哪个象限。
(1) 120 °(2) 75 °(3) 135 °(4) 300 °(5) - 210°二.任意角的三角函数常见角的三角函数：角α30º45º60°120°135°150°角α的弧度数sinαcosαtanα三角函数的诱导公式sin（2kπ+α）=sinα k∈z sin（π+α）=－sinα k∈z sin（－α）=－sinαcos（2kπ+α）=cosα k∈z cos（π+α）=－c osα k∈z cos（－α）=cosαtan（2kπ+α）=tanα k∈z tan（π+α）=tanα k∈z tan（－α）=－tanαcot（2kπ+α）=cotα k∈z cot（π+α）=cotα k∈z cot（－α）=－cotαsin （π－α）=sinα sin （π/2+α）=cosα sin （π/2－α）=cosα cos （π－α）=－cosα cos （π/2+α）=－sinα cos （π/2－α）=sinα tan （π－α）=－tanα tan （π/2+α）=－cotα tan （π/2－α）=cotα cot （π－α）=－cotα cot （π/2+α）=－tanα cot （π/2－α）=tanα tanα ·cotα=1 sin 2(α)+cos 2(α)=1 三.三角函数的图像和性质1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx练习1..求三角函数值（1）sin30osin120o sin780o cos60o cos225o2. 已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是 ( )解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为2,1,2T a T aππ=>∴< ，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π． 答案：D2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
三角函数复习课件[免费课件]
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例2、已知sin
+cos
=
1， 5
0, ,求cot的值
注：在应用三角公式进行开方运算时，要 根据角的范围，确定正负号的取舍。
练习：
1、已知sin
+cos
=
2 3
，
0,
,
求sin cos及sin 3 + cos 3 的值。
小结：sin cos, sin cos, sin cos 三个式子中，已知其中一个式子的值， 可以求出其余两个式子的值。
r
r
x
csc r ,sec r , cot x
y
x
y
y P(x,y) 的终边 ● r
o
x
r x2 y2
三角函数值的符号：“一全正，二正弦，三两切，四余弦”
4、同角三角函数的基本关系式
倒数关系：
商数关系：
tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1
tan sin c os
专题 三：三角函数求值
一、已知三角函数值求三角函数值
例1、设tan
=5,tan
-
4
=4，
求tan
+
4
.
练习1、已知cos
-
=-
4 5
,cos
=
4 5
,
90< - <180, 270< <360,求cos2
2、设cos
-
2
=-
1 9
,sin
2
=
2 3
,
且
2
<
<
,0<
<
2
,求cos
y=sinx
第一章--三角函数(北师大新版)
第一章 直角三角形的边角关系1.1 锐角三角函数1、锐角三角函数的定义 在Rt △ABC 中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ．即sinA=斜边边的对A ∠=ca．（2）余弦：锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ．即cosA=斜边邻边的A ∠=c b．（3）正切：锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA ．即tanA=边对边的邻A ∠的A ∠=ba．（4）三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数．锐角三角函数的定义1．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝，BE=2，则tan ∠DBE 的值（ ） A 、 B 、2 C 、D 、第1题 第2题 第3题2．如图，点A 为∠α边上的任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示cos α的值，错误的是（ ）A ．BD BCB ．BC ABC ．ADAC D ．CD AC3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则cos α的值是 ．4．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是 ．第4题 第5题 第6题 第7题 5．如图，将∠AOB 放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan ∠AOB=_______________. 6．如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sin A 的值为 ． 7．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为 ．8．如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于23，则sin ∠CAB= ．9．如图，已知直线l 1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sinα= ．2.2 30°、45°、60°角的三角函数值1、同角三角函数的关系（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=1；（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=AAcos sin 或sinA=tanA•cosA ．2、互余两角的三角函数的关系 在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=cos （90°-∠A ）； ②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin （90°-∠A ）； 也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB 或sinB=cosA ． 3、特殊角的三角函数值特殊角的三角函数值1．把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin ∠1=22，则∠2的度数为 ．2．若2cos （α+15°）=1，则α= 度． 3．在△ABC 中，若，∠A ，∠B 都是锐角，则∠C的度数是 ．2.4 解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°； ②三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； ③边角之间的关系：sin A=c a ，cos A=c b ，tan A=ba ． 基础训练1．如图，在△ABC 中，cosB=22，sinC=53，AC=10，则△ABC 的面积为 ．第1题 第2题 第3题 2．如图，在 Rt △ABO 中，斜边 AB=1，若 OC ∥BA ，∠AOC=36°，则下面四个结论： ①点B 到AO 的距离为sin54°； ②点B 到AO 的距离为tan36°；③点A 到OC 的距离为sin36°•sin54°； ④点A 到OC 的距离为cos36°•sin54°． 其中正确的是 （填序号）．3．如图，两条宽度都为1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为 ．4．如图，在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点D 为BC 的中点，DE ⊥AB 于点E ，则tan ∠BDE 的值等于 ．第4题 第5题 第6题5．如图，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=3，cos B=53，则AC 的长为 ．6．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，若AB=6，AD=8，sin ∠OEA= ．7．如图，△ABC 中，∠A=30°，tan B ＝23，AC=23，则AB 的长为 ．8．如图，已知AC=4，求AB 和BC 的长．9．如图，已知在△ABC 中，∠ABC=30°，BC=8，sin ∠A=55，BD 是AC 边上的中线．求： （1）△ABC 的面积； （2）∠ABD 的正切值．拓展提升1．如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，CE ⊥AB 于E ，且BE=2AE ，已知AD=33，tan ∠BCE=33，那么CE 等于 ．第1题 第2题 第3题2．如图，已知点A （53，0），直线y=x+b （b ＞0）与y 轴交于点B ，连接AB ，∠α=75°，则b= ． 3．在Rt △ACB 中，∠C=90°，点D 是AC 的中点，cos ∠CBD=415，则sin ∠ABD= ． 4．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点D 为边AC 的中点，DE ⊥BC 于点E ，连接BD ，则tan ∠DBC 的值为 。
2020高中数学 第一章 三角函数 阶段复习课 第1课 任意角的三角函数及诱导公式学案 4
第一课 任意角的三角函数及诱导公式[核心速填]1．与角α终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }．2．角度制与弧度制的换算3．弧度制下扇形的弧长和面积公式 (1)弧长公式：l ＝|α|r . (2)面积公式：S ＝12lr ＝12|α|r 2.4．任意角的三角函数(1)定义1：设任意角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)． (2)定义2：设任意角α的终边上任意一点P 的坐标为(x ，y )，r ＝|OP |＝x 2＋y 2，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)．5．同角三角函数基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1；sin αcos α＝tan α.6．诱导公式记忆口诀 奇变偶不变，符号看象限．[体系构建][题型探究]象限角及终边相同的角已知α(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. [解] (1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π.∵α与角14π9终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴－π2＜2k π＋14π9＜π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.[规律方法] 1.灵活应用角度制或弧度制表示角 (1)注意同一表达式中角度与弧度不能混用． (2)角度制与弧度制的换算设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则αrad ＝⎝⎛⎭⎪⎫α·180π°，n °＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ·π180rad. 2．象限角的判定方法(1)根据图象判定．利用图象实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的． [跟踪训练]1．若α角与8π5角终边相同，则在[0,2π]内终边与α4角终边相同的角是________.【导学号：84352139】2π5，9π10，7π5，19π10 [由题意，得α＝8π5＋2k π(k ∈Z )，α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )． 又α4∈[0,2π]，所以k ＝0,1,2,3，α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.]弧度制下扇形弧长及面积公式的计算(1)如图11，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧、弧、弧的圆心依次是A 、B 、C ，如果AB ＝1，那么曲线CDEF 的长是________．图11(2)一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为c ，面积为S ，则c －1S的最大值为________． (1)4π (2)4 [(1)弧的长是120π×1180＝2π3，弧的长是：120π×2180＝4π3，弧的长是：120π×3180＝2π，则曲线CDEF 的长是：2π3＋4π3＋2π＝4π.(2)设扇形的弧长为l ，半径为r ，圆心角大小为2弧度， 则l ＝2r ，可求：c ＝l ＋2r ＝2r ＋2r ＝4r ， 扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2×2＝r 2，所以c －1S ＝4r －1r 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r 2＋4r＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r－22＋4≤4.r ＝12时等号成立，所以c －1S的最大值为4.] [规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略1明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角；2涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程组求解.[跟踪训练]2．如图12，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积.【导学号：84352140】图12[解] ∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，作OD ⊥AB ，有S △OAB ＝12×AB ×OD ＝12×2×6cos 30°×3＝9 3.∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.任意角三角函数的定义(1)若一个角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝3，则a 的值为( ) A ．4 3 B ．±4 3 C ．－43或－433D. 3(2)已知角α的终边经过点P (12m ，－5m )(m ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值.【导学号：84352141】(1)C [(1)因为α角的终边上有一点P (－4，a )，所以tan α＝－a4，所以sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－a4⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 42＋1＝34， 整理得3a 2＋16a ＋163＝0，(a ＋43)(3a ＋4)＝0，所以a ＝－43或－433.](2)r ＝12m2＋－5m2＝13|m |，若m ＞0，则r ＝13m ，α为第四象限角， sin α＝y r ＝－5m 13m ＝－513，cos α＝x r ＝12m 13m ＝1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.若m ＜0，则r ＝－13m ，α为第二象限角， sin α＝y r ＝－5m －13m ＝513，cos α＝x r ＝12m －13m ＝－1213，tan α＝y x ＝－5m 12m ＝－512.[规律方法] 利用定义求三角函数值的两种方法1先由直线与单位圆相交求出交点坐标，再利用正弦、余弦、正切函数的定义，求出相应的三角函数值. 2取角α的终边上任意一点P a ，b 原点除外，则对应的角α的正弦值sin α＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝aa 2＋b2，正切值tan α＝ba.当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.[跟踪训练]3．如果点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，试判断角θ所在的象限.【导学号：84352142】[解] 因为点P (sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限， 所以sin θ·cos θ＜0,2cos θ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＞0，cos θ＜0，所以角θ在第二象限.同角三角函数基本关系和诱导公式的应用(1)已知sin(－π＋θ)＋2cos(3π－θ)＝0，则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝________.(2)已知f (α)＝sin2π－α·cos 2π－α·tan －π＋αsin －π＋α·tan －α＋3π.①化简f (α)；②若f (α)＝18，且π4＜α＜π2，求cos α－sin α的值；③若α＝－47π4，求f (α)的值. 【导学号：84352143】[思路探究] 先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值． (1)13 [(1)由已知得－sin θ－2cos θ＝0，故tan θ＝－2， 则sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝tan θ＋1tan θ－1＝－2＋1－2－1＝13.] (2)①f (α)＝sin 2α·cos α·tan α－sin α－tan α＝sin α·cos α.②由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α ＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34，又∵π4＜α＜π2，∴cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0， ∴cos α－sin α＝－32. ③∵α＝－474π＝－6×2π＋π4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－474π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12.母题探究：1.将本例(2)中“18”改为“－8”“π4＜α＜π2”改为“－π4＜α＜0”求cos α＋sin α.[解] 因为－π4＜α＜0，所以cos α＞0，sin α＜0且|cos α|＞|sin α|，所以cos α＋sin α＞0，又(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＝34，所以cos α＋sin α＝32. 2．将本例(2)中的用tan α表示1fα＋cos 2α.[解]1f α＋cos 2α＝1sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋1tan α＋1. [规律方法] 1.牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：已知sin α±cos α的值，可求cos αsinα.注意应用(cos α±sin α)2＝1±2sin αcos α.2．诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．。
第一章 三角函数复习
4 记 cos(－80°)＝k，那么 tan100°＝______
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7π sin2π－αcosα－ 2 tan3π－α 5 化简： ＋ 3π 3π －α sin ＋αcos2π＋α sinπ－αsin 2 2
6 命题方向：作出三角函数图象 命题方向： π 例 6 作出函数 y＝3sin2x＋ ，x∈R 的简图，说明它与 y＝sinx 图像之间的关系． 3
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.命题方向 命题方向： 例 7 .命题方向：求三角函数 y＝Asin(ωx＋φ) 的解析式 例7 下图为 y＝Asin(ωx＋φ)的图像的一段，求其解析式．
教学目的
第一章三角函数复习 一、知识结构： 知识结构：
任意角与 弧度制： 弧度制： 单位圆 任意角 的三角 函数 三角函数 线；三角 函数的图 象和性质 三角函 数线模 型的简 单应用
同角三角 函数的基 本关系式
诱导 公式
二、知识要点： 知识要点： 1. 角的概念的推广： (1) 正角、负角、零角的概念： (2) 终边相同的角： 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，可构成一个集合： ① 象限角的集合： 第一象限角集合为： 第二象限角集合为： 第三象限角集合为： 第四象限角集合为： ② 轴线角的集合： 终边在 x 轴非负半轴角的集合为： 终边在 x 轴非正半轴角的集合为： 故终边在 x 轴上角的集合为： 终边在 y 轴非负半轴角的集合为： 终边在 y 轴非正半轴角的集合为： 故终边在 y 轴上角的集合为：
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第一章三角函数知识点复习
第一章三角函数知识点复习
一、三角函数的定义及性质
三角函数是圆周率π的重要函数，是以一定的圆半径（称为单位圆半径），将圆上点到圆心的弦长和圆心夹角之间的函数关系表示出来的函数，包括正弦函数（sinx）、余弦函数（cosx）、正切函数（tanx），反正切函数（cotx）、反余弦函数（acosx）和反正弦函数（asinx）。
三角函数的性质有：
1、正弦函数sin x的定义域是[-π,π]，而它的值域是[-1,1]，正弦函数的函数图像是一个周期为2π的奇函数；
2、余弦函数cos x的定义域也是[-π,π]，余弦函数的函数图像也是一个周期为2π的奇函数，但值域是[-1,1]；
3、正切函数tan x的定义域是(-π/2,π/2)，而它的值域是(-
∞,∞)，因此正切函数不是一个奇函数；
4、反正切函数cot x定义域是(-π/2,π/2)，其值域为(-∞,∞)，cot x也不是一个奇函数；
5、反余弦函数acos x定义域是[-1,1]，而它的值域是[0,π]，反余弦函数的函数图像也是一个周期为2π的奇函数；
6、反正弦函数asin x的定义域是[-1,1]，其值域为[-π/2,π/2]，因此反正弦函数也是一个周期为2π的奇函数。
二、三角函数的几何意义
三角函数的几何意义主要有两个：
1、坐标变换：将极坐标系中的点(r,θ)变换到直角坐标系中的点(x，y)；
2、三角形属性：计算三角形的面积、角度、边长等属性。
必修四第一章三角函数知识点、例题、练习
在 2 k , 2 k k 上是增函数；在
在 k , k
2 2
调 k 上是增函 性 数；在
2 k , 2 k
k 上是减函数．
k 上是增函
数．
9
3 2 k , 2 k 2 2
10、三角函数线： sin ， cos ， tan A ． 11、同角三角函数的基本关系式：
1 sin 2 cos 2 1 sin 2 1 cos 2 , cos 2 1 sin 2 ； 2
sin sin tan cos , cos ． tan
180 o 6、弧度制与角度制的换算公式： 2 360 ， 1 ，1 5
o
． 7、若扇形的圆心角为 为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 l r ， C 2r l ， S lr r 2 ． 例 2、 已知扇形的圆心角是 ，所在圆的半径是 R . （1）若 60 , R 10cm, 求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面 积。 （2）若扇形的周长是一定值 C (C 0), 当 为多少弧度时，该扇形 有最大面积？
ymax 1 ；当 x 2k
R
时， ymax 1 ；当
x 2 k
2
k 时， ymin 1 ．
既无最大值也无最 小值
k 时， ymin 1
．
周 期 奇 偶 单
2
2
奇函数
偶函数
奇函数
在 2 k , 2 k
第一部分三角函数复习教学ppt课件
问:怎 题样 ysix 由 的 n 图y 象 A si 得 n x ()到 (其A 中 0,0)的图 ? 象
答 :(1)先画y出 six函 的 n 数 图 ; 象
(2)再把正弦 (右 曲 )平线 移 个 向 单 左 位 , 长度 得到y函 si数 n x()的图 ; 象
(3)然后使曲线上 坐各 标点 变的 为 1横 原 倍, 来的 (纵坐标)得 不到 变函 ys数 inx()的图; 象
,
0
)
(
,
1)
(
3 2
, 0 ) (2 ,1)
余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左
平移 各单位长度而得到． 2
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3
2 5 x
2
2
xR
y[1,1]
x x
2222k k(时k 时，Z，y)ymmaxin
1 1
xx [[-2222kk,,32222kk(k ]]
——可求 2
A12(ymax ymin) T b12(ymax ymin)
纵坐标不变
3
(3 )纵 坐 标 伸 长 到 原 来 的 2 倍 y2sin(2x)的 图 象
横坐标不变
3
8、振幅、周期、频率、相位、初相 书P54页
9、应用：根据图象求解析式。
yA sin (x ) b
四个参数： A, , , b. y 2
1
-1
x
图像最高点与相邻最低点间x值相差周期的一半
R {|k,kZ}
2
值域 [-1,1] [-1,1]
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BD=20tan56o ，BC=20tan50o
≈5.82m
升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼。当 国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为42°（如图 所示），若小明双眼离地面1.60m，你能帮助小明求出旗 A 杆AB的高度吗？
解：由已知得DC EB 20m， AC tanADC tan 42 , DC
对于锐角A的每 一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它 对应，所以sinA是A的 函数。
同样地， cosA， tanA也是A的函数。
锐角A的正弦、余弦、正切都叫做
∠A的锐角三角函数.
A
B 斜边c 对边a C
邻边b
正切通常也用来描述山坡的坡度.
B
坡面与水平面夹角称为坡角。
B
60米
A i=tan A=
数学活动小组要在湖面上测量建在地面上某 塔AB的高度．如图，在湖面上点C测得塔顶A的仰 角为45°，沿直线CD向塔AB方向前进18米到达点D， 测得塔顶A的仰角为60度．已知湖面低于地平面1米， 则塔AB的高度为 多少米．（结果保留根号）
B E
2.大楼AD的高为100米,远处有一塔BC,某人 在楼底A处测得塔顶B处的仰角为60°,爬到 楼顶D测得塔顶B点仰角为30°,求塔BC的 高度. B
D
F
A
C
BC=150米
解：过点 A 作 AD⊥BC 交 BC 延长线于点 D. 由题意，BC＝600×5.5＝3300(米)． 在直角△ACD 中， ∵∠DCA＝45° ， ∴∠CAD＝∠DCA＝45° ， ∴AD＝CD. AD 设 AD＝x 米，在直角△ABD 中，tanB＝ ， BD ∴(3300＋x)· tan15° ＝x， 解得 x≈1208.2 答：飞机距地面的飞行高度约为 1208.2 米．
第一章
解直角三角形
锐角三角函数
B
A
C
B
A的 对 边 BC a s in A 斜边 AB c
斜边c
∠A的对边a
A的 邻 边 AC b c os A 斜边 AB c A的对边 BC a tanA 邻边 AC b
rldmm8989889
A
∠A的邻边b
C
A的对边 a sin A 斜边 c A的邻边 b cos A 斜边 c A的对边 a tan A A的邻边 b
a b sin A , cos A , tan A c c b a sin B , cos B , tan B c c a b b a
B
c
a
A
b
C
总结：
解直角三角形，至少要知道几个元素？
在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素， 如果再知道一条边和第三个元素，那么这个 三角形的所有元素就都可以确定下来
解：(1)由题意得∠ACB＝45° ，∠A＝90° ， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AC＝AB＝610(米)． (2)DE＝AC＝610，在 Rt△BDE 中， BE tan∠BDE＝ ， DE ∴BE＝DE· tan39° . ∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE· tan39° ＝610－610×tan39° ≈116(米)． 答：大楼的高度 CD 约为 116 米．
100米
60 100
C
A
C
D
= 0.6
即坡度等于坡角的正切 坡度越大，坡面越陡。
跟踪评价二
1、如下图，某人从山脚A处走了1000米爬到了山顶B处，该山顶到达的高度h为 600米，则该山坡的坡度是 0.6
B
B
A
┌ C
C
A
2、（湖州中考）河堤横断面如上图所示，堤高BC＝5
米，迎水坡AB的坡度是 1: 3 ，则AC 的长是（
A．5 米 B．10米 C．15米 D．10
）
米
C
3
3
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正 切值如下表：
锐角a 三角函数
sin a
1 2
2 2
cos a
3 2 2 2
tan a
3 3
30° 45° 60°
1
3
3 2
1 2
求下列各式的值：
（ 1 ） 1 2 sin 30 cos 30；
（2） 3 tan 30 tan 45 2 sin 60；
cos 60 1 （3） ； 1 sin 60 tan 30
1 2005 0 （4） 2 sin 45 cos 60 （ 1 ） （ 1 2）. 2
例1.求图中避雷针的长度(结果精确 到0.01m).
已知 （1）一条边和一个锐角 （2）两条边
B
4m
35°场准备改善原有楼梯的安 全性能,把倾角由原来的40°减至35°, 已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会 加长多少?楼梯多占多长一段地面? (结果精确到0.01m).
D
30º
A 50m B
60º ┌
C
如图,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望 塔顶,测得仰角为30º,再往塔的方向前进 50m至B处,测得仰角为60º,那么该塔有多高 ?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m).
AC DC tan42,
42° C 20 m
D 1.6m
AB AC CB 20 tan 42 1.6.
这里的tan42°是多少呢？
rldmm8989889
E
B
B
解直角三角形的定义
c
a
A
b
C
在直角三角形中,由已知元素求出所有未知元 素的过程,叫 解直角三角形
解直角三角形的依据 (1)三边之间的关系:a2＋b2＝c2（勾股定理） (2)锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系:
如图，海中有一个小 岛 A ，该岛四周 10 海 里内有暗礁。
北
A
55° 25°
东
B
20
C
D
一货轮由西向东航行 ，开始在 A 岛南偏西 55º 的 B 处 , 往东行驶 20海里后到达该岛的 南偏西 25º 的 C 处。之 后，客轮继续向东航 行。你认为客轮继续 向东航行途中会有触 礁的危险吗？
目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电 视塔高AB为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C处测得塔顶 B的仰角为45°，在楼顶D处测得塔顶B的仰角为39°. (1)求大楼与电视塔之间的距离AC； (2)求大楼的高度CD(精确到1米)．