7.2.一元一次不等式的解法(2)
一元二次不等式的解法(第二课时)
学科：数学教学内容：一元二次不等式的解法（第二课时）【自学导引】1．如果αb ＜0，则α，b 满足.0000⎩⎨⎧><⎩⎨⎧<>b a b a 或 2．如果ba ＞0，则α，b 满足⎩⎨⎧<<⎩⎨⎧>>0000b a b a 或．【思考导学】1．一元二次不等式怎样转化为一元一次不等式组？答：先把不等式化为(x －α)(x －b )＜0，它的解集是不等式组⎩⎨⎧<-<-⎩⎨⎧<->-000b x a x b x a x 与的解集的并集．2．分式不等式怎样转化为整式不等式来解？答：分式不等式0)()(>g g x f (＜0)的解集是f (x )g (x )＞0(＜0)的解集．【典例剖析】 ［例1］解不等式31-+x x ＜0．解：(1)(方法一)原不等式等价于 (Ⅰ)⎩⎨⎧<->+0301x x 或(Ⅱ)⎩⎨⎧>-<+0301x x由(Ⅰ)得－1＜x ＜3，由(Ⅱ)得x ∈∅综上所述，原不等式的解集是{x |－1＜x ＜3}(方法二)原不等式等价于(x ＋1)·(x －3)＜0即x 2－2x －3＜0 解方程x 2－2x －3＝0，得x 1＝3，x 2＝－1∴原不等式的解集是{x |－1＜x ＜3}．点评：把分式不等式转化为不等式组或一元二次不等式来解是解题的两个基本思路［例2］解不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＞0． 解：原不等式整理得(x －a )(x －1)＞0∴原不等式可转化为下面两个不等式组来解： (Ⅰ)⎩⎨⎧>->-01x 0a x 或(Ⅱ)⎩⎨⎧<-<-01x 0a x即(Ⅰ)⎩⎨⎧>>1x a x 或(Ⅱ)⎩⎨⎧<<1x ax∴当a ＞1时，原不等式的解集为｛x ｜x ＞a 或x ＜1｝ 当a ＜1时，原不等式的解集为｛x ｜x ＞1或x ＜a ｝当a ＝1时，原不等式的解集为｛x ｜x ∈R 且x ≠1｝ 点评：当得出(Ⅰ) ⎩⎨⎧>>1x a x (Ⅱ) ⎩⎨⎧<<1x a x 后，由于a 与1的大小不确定，为了使问题能够顺利解下去，应对a 与1的大小关系进行讨论，讨论时，不要忽略“a ＝1”这种情况．［例3］解不等式xx 211--＞1．解法一：原不等式整理得1223--x x ＜0得原不等式的解集是｛x ｜3221<<x ｝．解法二：原不等式等价于下面两个不等式组 (Ⅰ)⎩⎨⎧->->-xx x 211021 (Ⅱ)⎩⎨⎧-<-<-xx x 211021不等式组(Ⅰ)的解集是∅ 不等式组(Ⅱ)的解集是｛x ｜21＜x ＜32}．∴原不等式的解集为｛x ｜21＜x ＜32｝．点评：关于分式不等式，一般是化为一边为零，另一边进行通分，转化为等价的一元二次不等式或不等式组来解，在明确分母的符号的情况下，也可考虑去分母，转化为整式不等式(组)．【随堂训练】1．与不等式(x －2)(x ＋1)＜0的解集相同的是( )A ．⎩⎨⎧<+>-0102x xB ．⎩⎨⎧>+<-0102x xC ．⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-01020102x x x x 或 D ． ⎩⎨⎧>+<-⎩⎨⎧<+>-01020102x x x x 且 答案： C 2．不等式x1＞1的解集为( )A ．{x |x ＜1}B ．{0|0＜x ＜1}C ．{x |x ＜1且x ≠0}D ．{x |x ＞1}解析： 原不等式可化为xx -1＞0即(x －1)x ＜0，∴0＜x ＜1．答案： B 3．如果x 满足231--x x ＜0，那么化简29124x x +-－122+-x x 的结果是( )A ．2x －1B ．1－2xC ．3－4xD ．4x －3 解析： 由231--x x ＜0得32＜x ＜1∴原式＝=---22)1()23(x x |3x －2|－|x －1|＝3x －2－(1－x )＝4x －3． 答案： D 4．不等式：523322++++x x x x ＜1的解集为( )A ．{x |0＜x ＜2}B ．{x |x ＞2}C ．{x |x ＜2}D ．R解析： 原不等式可化为：5222++-x x x ＜0∵x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4＞0 ∴x －2＜0即x ＜2．答案： C 5．不等式xx 211--＞0的解集是______．解析： 原不等式可化为x x 211--＜0∴原不等式解集为｛x ｜21＜x ＜1}答案： ｛x ｜21＜x ＜1｝6．x1＜11-x 的解集是______．解析： 原不等式整理得)1(1-x x ＞0∴x (x －1)＞0，∴x ＞1或x ＜0． 答案： ｛x ｜x ＜0或x ＞1｝【强化训练】 1．与不等式xx +-11＞0有相同解集的是( )A ．x 2－1＜0B ．x 2－1＞0 C ．⎩⎨⎧<+<-0101x xD ．11+-x x ＞0答案： A 2．不等式23--x x ≤0的解集为A ，不等式(x 2＋1)(x －a )＞0的解集为B ．若A B ，则a的取值范围是( )A ．a ＜2B ．a ≤2C ．a ＞2D ．a ＜3 解析： 由23--x x ≤0得2＜x ≤3，∴A ＝{x |2＜x ≤3}由(x 2＋1)(x －a )＞0得x ＞a ，∴B ＝{x |x ＞a } 若A B ，则a ≤2． 答案： B 3．不等式xx --213≥1的解集是( )A ．{x |43≤x ＜2}B ．{x |43≤x ≤2}C ．{x |x ＞2或x ≤43}D ．{x |x ＞2} 解析：xx --213≥1可化为xx --234≥0，即234--x x ≤0，∴43≤x ＜2．答案： A4．设a ＜－1，则关于x 的不等式a (x －a )(x －a1)＜0的解集是( )A ．｛x ｜x ＜a 或x ＞a 1}B ．｛x ｜x ＞a ｝C ．{x ｜x ＞a 或x ＜a1}D ．{x ｜x ＜a 1}解析： 方程a (x －a )(x －a1)＝0的解为x 1＝a ，x 2＝a1 ∵a ＜－1，∴原不等式等价于(x －a )(x －a1)＞0，且a1＞a∴原不等式的解集为｛x ｜x ＞a1或x ＜a ｝．答案： A 5．不等式｜x x +1｜＞x x +1的解集是______． 解析： 由｜xx +1｜＞xx +1得xx +1＜0．∴原不等式解集为｛x ｜－1＜x ＜0｝． 答案： ｛x ｜－1＜x ＜0｝ 6．不等式2)1()12)(43(-+-x x x ＜0的解集是______．解析： 原不等式等价于⎩⎨⎧≠<+-10)12)(43(x x x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-13421x x 答案： ｛x ｜－21＜x ＜34且x ≠1｝7．解不等式85-+x x ≤0．解：原不等式可化为(x ＋5)(x －8)≤0且x －8≠0∴－5≤x ＜8，解集为{x |－5≤x ＜8}． 8．解不等式122||2---x x x ＜0．解：原不等式可化为⎩⎨⎧<-->-⎩⎨⎧>--<-01202||01202||22x x x x x x 或 由⎩⎨⎧>--<-01202||2x x x 得解集为∅，由⎩⎨⎧<-->-01202||2x x x 得解集为{x |2＜x ＜4或－3＜x ＜－2}∴原不等式的解集为{x |－3＜x ＜－2或2＜x ＜4}． 9．解不等式x1a x --＞0．解：原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0 ∴当a ＞1时，不等式解集为{x |1＜x ＜a } 当a ＜1时，不等式解集为{x |a ＜x ＜1}当a ＝1时，不等式变为(x －1)2＜0，此时不等式无解． 10．k 为何值时，关于x 的不等式3642222++++x x k kx x ＜1的解集是一切实数．解：∵分母4x 2＋6x ＋3的Δ＜0∴4x 2＋6x ＋3＞0对任意实数x 恒成立∴原不等式可化为2x 2＋2kx ＋k ＜4x 2＋6x ＋3 即2x 2＋(6－2k )x ＋3－k ＞0恒成立解得⎩⎨⎧<-⨯--=∆>0)3(42)26(022k k 即1＜k ＜3故当1＜k ＜3时，关于x 的不等式3642222++++x x k kx x ＜1的解集是R ．【学后反思】分式不等式的解法主要依据以下等价变形来求解： 设A 、B 表示关于x 的整式代数式则有： (1)BA ＞0⇔AB ＞0⇔(Ⅰ)⎩⎨⎧>>00B A 或(Ⅱ)⎩⎨⎧<<00B A(2)BA ＜0⇔AB ＜0⇔(Ⅰ) ⎩⎨⎧<>00B A 或(Ⅱ) ⎩⎨⎧><00B A(3)B A ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥00B AB(4) BA ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤00B AB。
七年级下册7、2一元一次不等式第2课时含分母的一元一次不等式的解法习题新版沪科版
第7章 一元一次不等式与不等式组
7．2 一元一次不等式 第2课时 含分母的一元一次
不等式的解法
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5D
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6A
7D
8 0，1，2题
11 见习题
12 见习题
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13 见习题 14 见习题
15 见习题
11．解不等式2x－ 0.51.5－3x－ 0.20.6＞10(01.1.9×－103x). 解：将2x－ 0.51.5－3x－ 0.20.6＞10(01.1.9×－103x) 整理，得 4x－3－15x＋3＞19－30x.
移项，合并同类项，得 19x＞19.
系数化为 1，得 x＞1.
12．【中考·宁德】已知：不等式2－3 x≤2＋x. (1)解该不等式，并把它的解集表示在数轴上； 解：2－x≤3(2＋x)， 2－x≤6＋3x， －4x≤4， x≥－1. 解集表示在数轴上如图所示．
解不等式 3(x－1)＋5＞5x＋2(m＋x)，得 x＜1－2 m.
由题意得1－2 m＞45，解得 m＜－35.
【答案】C
4．【中考·宿迁】不等式x－1≤2的非负整数解有( D ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．【中考·大庆】若3是关于x的不等式2x－a－2<0的一个
解，则a可取的最小正整数为( D )
9．小明解不等式1＋2 x－2x＋ 3 1≤1 的过程如下，请指出他解 答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母，得 3(1＋x)－2(2x＋1)≤1.① 去括号，得 3＋3x－4x＋1≤1.② 移项，得 3x－4x≤1－3－1.③ 合并同类项，得－x≤－3.④ 两边都除以－1，得 x≤3.⑤
一元一次不等式的证明
以下是证明一元一次不等式的基本步骤：
1. 去分母：如果一元一次不等式的两边都有分母，需要找到分母的最小公倍数，然后两边同时乘以这个最小公倍数，以消除分母。
注意在去分母时，也要给等号（如果有等号的话）或者不等号两侧的项乘以这个最小公倍数。
2. 去括号：如果一元一次不等式中含有括号，需要通过乘法分配律来去掉这些括号。
3. 移项：将不等式中的项进行移动，通常是为了将未知数这一项单独位于一边，常数项位于另一边。
4. 合并同类项：将移项后的不等式中相同次数的项进行合并，化简成 ax < b 或 ax > b 的形式。
5. 系数化为1：将含有未知数的项的系数变成1，这样就可以直接读出未知数的值，完成解不等式的过程。
以上步骤与解一元一次方程类似，但是在解不等式时需要额外小心，因为某些操作可能会改变不等式的意义，比如在去分母时，如果忘记给"1"也要乘以分母的最小公倍数，可能会导致错误的结果。
此外，不等式的性质告诉我们，可以对不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，而不等号的方向保持不变。
总的来说，证明一元一次不等式的正确性可以通过构造函数、图形、方程等方法来进行，具体使用哪种方法取决于不等式的具体情况和题目的要求。
(完整版)一元一次不等式知识点总结(最新整理)
符号语言表示为：如果
，那么
。
基本性质 2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果
，并且
，那么
（或
基本性质 3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
）。
符号语言表示为：如果
，并且
，那么
5x 2
1
1≥
2
x 3
1，并把解集在数轴上表示出来． 5 4 3 2 1
0
1
若不成立，则就不是不等式的解。
3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为
或
的形式，
其一般步骤是：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）化未知数的系数为 1。这五个步骤根据具体题
目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为 1 时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，
A
B
C
知识点 6：一元一次不等式的定义
9．下列属于一元一次不等式的是（ ）A．10>8 知识点 7：一元一次不等式的整数解
D
B． 2x 1 3y 2 C． 2(1 y) 1 y 1 D． x2 3 5 2
10．在不等式 3x 2 4 中， x 可取的最大整数值是（ ）A．0 B．1 C．2 11．不等式 2 x －1≥3 x －5 的正整数解的个数为( )A．5 个 B．2 个 C．3
知识点四：一元一次不等式的解法
1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。2.一元一次不等式的解法：与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本
性质，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为 1.
一元一次不等式组(二)
解的个数
解集中的元素个数即为解 的个数，当解集为空时， 称该不等式组无解。
02
一元一次不等式组的解法
消元法解不等式组
总结词
通过消去未知数，将不等式组转化为简单的不等式，从而求解。
详细描述
消元法是解一元一次不等式组的一种常用方法。通过加减消元或代入消元，将 不等式组中的未知数消除，得到一个简单的不等式，从而求解出解集。
握代数方程的解法，并将其与不等式组结合起来解决问题。
02
函数图像
通过函数图像来理解不等式组的解集，可以更直观地了解问题的本质。
03
举例说明
例如，对于不等式组$begin{cases}x - 2 > 0 x - 1 < 0 end{cases}$，
可以将其与代数方程$x - 2 = 0$和$x - 1 = 0$结合，通过函数图像来
根号不等式的性质
根号不等式具有一些重要的性质，如均值不等式、柯西不等式等，这些性质在解题过程中可以起到关键作用。
05
一元一次不等式组的综合题解 析
多个不等式的组合问题
多个不等式的组合
在解决一元一次不等式组时，经 常需要处理多个不等式的组合问 题。这要求我们理解每个不等式 的意义，以及它们之间的相互关
在给定条件下，如何找到一个函数的 最值。
科学中的不等式组问题
生态平衡
在生态系统中，如何确定不同物种的数量比例，以保持生态平衡。
化学反应
在化学反应中，如何确定反应物的浓度和温度等条件，以获得最大 的反应速率或产率。
物理学中的力学问题
在给定力的作用下，如何确定物体的运动状态，使得其能量最小或 最大。
04
时间规划
在有限的时间内，如何安排任务顺 序和时间分配，以达到最佳的工作 效率。
沪科版数学七年级下册 一元一次不等式的概念及解法
5 13
x≤ 143
3. 解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：
（1）4x - 3 < 2x + 7；
（2） x 23≥3x45 .
解： (1) 原不等式的解集为 x < 5，
它在数轴上表示为：
-1 0 1 2 3 4 5 6
(2) 原不等式的解集为 x≤-11，
例4 已知不等式 x＋8＞4x＋m (m 是常数) 的解集是
x＜3，求 m.
解：因为 x＋8＞4x＋m，
所以 x－4x＞m－8，即－3x＞m－8，x 1 (m 8).
因为其解集为 x＜3，
3
所以 1 (m 8) 3，解得 m = －1.
3
方法总结：已知解集求字母系数的值，通常是先解
含有字母的不等式，再利用解集唯一性列方程求字 母的值．解题过程体现了方程思想．
解一元一次不等式
解方程： 4x - 1 = 5x + 15.
解：移项，得 4x - 5x = 15 + 1.
合并同类项，得 -x = 16.
系数化为 1，得 x = -16.
解不等式： 4x - 1 < 5x + 15.
解：移项，得 4x - 5x < 15 + 1.
合并同类项，得 -x < 16.
第7章 一元一次不等式与 不等式组
7.2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
观察与思考 已知一台升降机的最大载重量是
1200 kg，在一名重 75 kg 的工人乘 坐的情况下，它最多能装载多少件 25 kg 重的货物？
一元一次不等式的概念 前面问题中涉及的数量关系是：
工人重 + 货物重 ≤ 最大载重量. 设能载 x 件 25 kg 重的货物，因为升降 机最大载重量是 1200 kg，所以有
一元一次不等式的求解步骤
一元一次不等式的求解步骤
1. 将不等式写成标准形式：将不等式中的项整理到一边，使得不等式左边为0。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，整理后为2x - 2 > 0。
2. 判断不等式的符号：观察不等式中的不等号，确定所求解的未知数应该满足大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）还是小于等于（≤）。
3. 解算不等式：根据不等式的符号，将解算分为两部分。
a. 当不等式符号为大于（>）或大于等于（≥）时，解算为正数部分。
将不等式中的项移至一边，并进行分配律的运算，然后将方程两边同时除以系数，得到未知数的解。
b. 当不等式符号为小于（<）或小于等于（≤）时，解算为负数部分。
将不等式中的项移至一边，并进行分配律的运算，然后将方程两边同时除以系数，得到未知数的解。
4. 结果表示：将解得的不等式表示出来，例如，x > 1 或x ≤ -2。
在求解一元一次不等式时，需要注意以下几点：
- 在整理不等式过程中，需要保证不等式的方向不变。
如果需
要改变不等式方向，需要将不等号反向。
- 对于带有绝对值的一元一次不等式，需要根据绝对值的性质
进行求解，并将绝对值拆分为两个不等式。
- 如果求解过程中需要进行乘法或除法运算，需要考虑系数的
正负性，避免改变不等式的方向。
以上是一元一次不等式的求解步骤，可以帮助我们找到使不等
式成立的未知数的范围。
通过这些步骤，我们可以更好地理解和应
用一元一次不等式的知识。
北师大版八年级数学下册第二章2.4第1课一元一次不等式的解法(2)
合并同类项得：－x＞5
合并同类项得：－x＝5
两边都除以－1得：x＜－5
两边都除以－1得：x＝－5
解不等式 2x 5 3x 2 2，并将其解集表示在数轴上． 64
解：去分母：2(2x－5)≤3(3x+2)－24 去括号：4x－15≤9x＋9－24 移项：4x－9x≤9－24＋10 合并同类项：－5x≤－5 系数化为1：x≥1 解集表示如下：
类型二：已知解集求字母系数的取值范围
若关于x的不等式（m＋1）x＜m＋1的解集是x＜1，
则m满足的条件是__m__＞__－___1
解：不等式两边同除以(m＋1)时，不等号的方向不变， 根据不等式性质知(m＋1)为正数， 即m＋1＞0， 解得m＞－1
类型二：已知解集求字母系数的取值范围
已知不等式 3x-a≤0 的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围
∴最大正整数x＝2
5.
已知方程组3x＋x＋3yy＝＝11＋－3mm
①， ② 的解满足 x＋y＞0，
求 m 的取值范围.
解：由①＋②得：(3x＋y)＋(x＋3y)＝(1＋3m) ＋(1－m)
即4(x＋y)＝2＋2m ∵x＋y＞0 ∴4(x＋y)＞0 ∴2＋2m＞0 ∴m＞－1
6. 若关于 x 的方程(x－2)＋3k＝x＋3 k的解是非负数，则 k
2.4 一元一次不等式
第2课时 一元一次不等式的解法(二)
复习回顾
1、不等式的性质：
不等式的性质1：不等式两边同时加上或减去同一个数(式)，不等号的方向 不变；
不等式的性质2：不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变； 不等式的性质3：不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方要改变。
是
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§7.2.一元一次不等式的解法（2）
一、教学目标
（一）知识与技能： 1、正确理解一元一次不等式的概念，
2、掌握一元一次不等式的解法。
（二）过程与方法：通过类比方法，知道解一元一次不等式和解一元一次方
程的联系和区别。
（三）情感态度与价值观：培养解不等式的能力，渗透数形结合的数学思想。
二、教学重点：掌握解法步骤并准确地求出不等式的解集。
三、教学难点：准确地使用不等式的基本性质3。
四、教学过程
1．复习引入
（1）复习不等式的解、解集及解不等式的概念。
（2）复习一元一次方程的定义
2．探索新知，讲授新课
（1）一元一次不等式的定义
只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。
（2）判断下列不等式哪些是一元一次不等式，并说明理由
①13<- ②016>x ③03>-y x ④)28(15104--<-x x x ⑤y y >-141⑥11>+x x
⑦3412≥-x 学生活动：集体回答和指名回答．
（3）分别解方程)28(15104--=-x x x 与解不等式
)28(15104--<-x x x
方程)28(15104--=-x x x 不等式)28(15104--<-x x x 解：去括号，2815104+-=-x x x 解：2815104+-<-x x x 移项，1028154+=+-x x x 1028154+<+-x x x
化简，123=-x 123<-x
系数化为1，4-=x 4->x
（4）概括解一元一次不等式的步骤：去分母；去括号；移项；化简；系数
化为1。
（5）小结解一元一次方程与解一元一次不等式的区别及联系。
3．例题讲解，巩固知识
解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
①2541652+≥-x x ； ②5
43221--≥-y y ； 【教法说明】教学时，应强调去分母的依据，在解第二题时强调不含分母的项也要乘以公分母，另还要注意在必要时候要添括号！
4．拓展练习，培养能力
①已知1y ＝3(5-2x)，=2y 2（5x+
2
7 ），当x 为何值时，满足1y ＜2y 。
②已知关于x 的方程 x a x 315+=-的解是非负数，求a 的取值范围
【教法说明】
五、总结、扩展
六、布置作业。