2019届高考数学专题六三角函数精准培优专练理

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2019高考数学江苏(理)精准提分二轮通用版试题：第2篇第6练三角函数的图象与性质

第6练三角函数的图象与性质[小题提速练][明晰考情] 1.命题角度：三角函数的性质；三角函数的图象变换；由三角函数的图象求解+析式.2.题目难度：三角函数的图象与性质常与三角变换相结合，难度为中低档.考点一三角函数的图象及变换要点重组 (1)五点法作简图：y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值，作出对应点得到.(2)图象变换：平移、伸缩、对称.特别提醒由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移⎪⎪⎪⎪φω个单位长度，而不是|φ|个单位长度.1.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1＋x 2＝2π3，则f (x 1)＋f (x 2)＝________.答案 0解+析由题图知，T 2＝π2，即T ＝π，则ω＝2，∴f (x )＝sin ()2x ＋φ，∵点⎝⎛⎭⎫π3，0在函数f (x )的图象上，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，即2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∵x 1＋x 2＝2π3，∴⎝⎛⎭⎫2x 1＋π3＋⎝⎛⎭⎫2x 2＋π3＝2π， ∴f (x 1)＋f (x 2)＝0.2.若将函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小正值为________. 答案 12解+析将y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4－ωπ6的图象，由平移后的图象与y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象重合，得π4－ωπ6＝k π＋π6，k ∈Z ，故ω＝－6k ＋12，k ∈Z ，所以ω的最小正值为12.3.(2018·天津改编)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数的单调增区间为__________________. 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z 解+析函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π5的图象向右平移π10个单位长度后的解+析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π10＋π5＝sin2x ，则函数y ＝sin2x 的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z . 4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2sin x ，x ∈[0，π]，|cos x |，x ∈(π，2π]，若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，则实数m 的取值范围是________. 答案 (0,1)解+析画出函数f (x )在[0,2π]上的图象，如图所示.若函数g (x )＝f (x )－m 在[0,2π]内恰有4个不同的零点，即y ＝f (x )和y ＝m 在[0,2π]内恰有4个不同的交点，结合图象，知0<m <1. 考点二三角函数的性质方法技巧 (1)整体思想研究性质：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，可令t ＝ωx ＋φ，考虑y ＝A sin t的性质.(2)数形结合思想研究性质.5.(2018·全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则f (x )的最小正周期为________，最大值为________. 答案 π 4解+析 ∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos2x －1－cos2x 2＋2＝32cos2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.6.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论正确的是________.(填序号) ①f (x )的一个周期为－2π； ②y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称； ③f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6；④f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减. 答案 ①②③解+析因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z 且k ≠0)，所以f (x )的一个周期为－2π，①正确；因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称， ②正确；f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－5π6，k ∈Z .当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，③正确；因为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z )，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z )，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，2π3上单调递减，在⎣⎡⎭⎫2π3，π上单调递增，④错误.故正确的结论是①②③. 7.使函数f (x )＝sin ()2x ＋θ＋3cos(2x ＋θ)是奇函数，且在⎣⎡⎦⎤0，π4上是减函数，则θ＝________.答案 (2n ＋1)π－π3，n ∈Z解+析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π3，若f (x )为奇函数，则θ＋π3＝k π，k ∈Z ，∴θ＝k π－π3，k ∈Z .当k 为偶数时，f (x )＝2sin2x ，在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，不合题意；当k 为奇数时，f (x )＝－2sin2x ，在⎣⎡⎦⎤0，π4上为减函数. ∴θ＝(2n ＋1)π－π3，n ∈Z .8.关于函数f (x )＝2(sin x －cos x )cos x 的四个结论： p 1：f (x )的最大值为2；p 2：把函数g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π4个单位长度后可得到函数f (x )的图象；p 3：f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋7π8，k π＋11π8，k ∈Z ； p 4：f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π8，－1，k ∈Z . 其中正确的结论是________. 答案 p 3，p 4解+析 f (x )＝2sin x ·cos x －2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， ∴f (x )max ＝2－1，∴p 1错；应将函数g (x )＝2sin2x －1的图象向右平移π8个单位长度后得到函数f (x )的图象，∴p 2错；p 3，p 4正确，故正确的结论是p 3，p 4.考点三三角函数图象与性质的综合要点重组函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离是半个周期，一个最高点和与其相邻的一个最低点的横坐标之差的绝对值也是半个周期，两个相邻的最高点之间的距离是一个周期，一个对称中心和与其最近的一条对称轴之间的距离是四分之一个周期. 9.已知函数f (x )＝2sin ωx －2cos ωx (ω<0)，若y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象与y ＝f ⎝⎛⎫x －π4的图象重合，记ω的最大值为ω0，则函数g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ω0x －π3的单调增区间为__________________________. 答案 ⎣⎡⎦⎤－π3＋k π2，－π12＋k π2(k ∈Z )解+析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，由已知得π2为函数f (x )的一个周期，即π2＝⎪⎪⎪⎪2πω·k ，k ∈Z ，又ω<0， ∴ω＝－4k ，k ∈N *， ∴ω0＝－4，∴g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－4x －π3＝cos ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，令2k π－π≤4x ＋π3≤2k π，k ∈Z ，解得k π2－π3≤x ≤k π2－π12，k ∈Z .∴g (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π2－π3，k π2－π12，k ∈Z .10.设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则ω＝________，φ＝________. 答案 23 π12解+析 ∵f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4 ⎝⎛⎭⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫23x ＋φ. 又f ⎝⎛⎭⎫5π8＝2，即2sin ⎝⎛⎭⎫23×5π8＋φ＝2，即5π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z .又|φ|＜π，∴取k ＝0，得φ＝π12.11.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象与直线y ＝a (0＜a ＜A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x )的单调减区间是______________. 答案 [6k －3,6k ]，k ∈Z解+析因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象与直线y ＝a (0＜a ＜A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，所以T ＝2πω＝8－2＝6，且当x ＝2＋42＝3时函数取得最大值，所以ω＝π3，π3×3＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z ，所以φ＝－π2＋2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π2.由2k π＋π2≤π3x －π2≤2k π＋3π2，k ∈Z ，可得6k ＋3≤x ≤6k ＋6，k ∈Z ，即[6k －3,6k ]，k ∈Z . 12.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，f (x )的图象向左平移π3个单位长度后关于直线x ＝0对称，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋f ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调增区间为____________________. 答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ) 解+析易知ω＝2， ∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，又f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象关于直线x ＝0对称， ∴23π＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，又|φ|<π2， ∴φ＝－π6，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z ，∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋f ⎝⎛⎭⎫x －π6的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z .1.为了得到函数y ＝sin3x ＋cos3x 的图象，可以将函数y ＝2cos3x 的图象向右平移________个单位长度. 答案π12解+析因为y ＝sin3x ＋cos3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋π12，又y ＝2cos3x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x ＋π6，所以应由y ＝2cos3x 的图象向右平移π12个单位长度得到.2.若关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解，则k 的取值范围是________. 答案 [1，2)解+析 ∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2，又2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解， ∴结合图象(图略)可知k 的取值范围是[1，2).3.已知关于x 的方程(t ＋1)cos x －t sin x ＝t ＋2在(0，π)上有实根，则实数t 的最大值是________. 答案－1解+析由(t ＋1)cos x －t sin x ＝t ＋2，得(t ＋1)2＋t 2cos(x ＋φ)＝t ＋2，tan φ＝tt ＋1，有解的条件为(t ＋1)2＋t 2≥(t ＋2)2，解得t ≥3或t ≤－1.因为x ∈(0，π)，当t ≥3时显然不成立，故t ≤－1，所以实数t 的最大值是－1.解题秘籍 (1)图象平移问题要搞清平移的方向和长度，由f (ωx )的图象得到f (ωx ＋φ)的图象平移了⎪⎪⎪⎪φω个单位长度(ω≠0).(2)研究函数的性质时要结合图象，对参数范围的确定要注意区间端点能否取到.1.将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的对称轴方程是________________. 答案 x ＝2π3＋2k π，k ∈Z解+析将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象，由12x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝2π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数图象的对称轴方程为x ＝2π3＋2k π，k ∈Z .2.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知函数f (x )＝2cos(ωx －φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示，若A ⎝⎛⎭⎫π2，2，B ⎝⎛⎭⎫3π2，2，则f (0)＝________.答案－ 2解+析由函数图象可知函数f (x )的周期T ＝3π2－π2＝π，ω＝2πT＝2，又f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos(π－φ)＝－2cos φ＝2，则cos φ＝－22， ∵φ∈[0，π]，则φ＝3π4，∴f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，则f (0)＝－ 2.3.(2018·全国Ⅱ改编)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]上是减函数，则a 的最大值是________. 答案 π4解+析 f (x )＝cos x －sin x＝－2⎝⎛⎭⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，即x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递增， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4单调递减. ∵函数f (x )在[－a ，a ]上是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴0＜a ≤π4，∴a 的最大值为π4.4.已知f (x )＝3sin x cos x －sin 2x ，把f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若对任意实数x ，都有g (a －x )＝g (a ＋x )成立，则g ⎝⎛⎭⎫a ＋π4＋g ⎝⎛⎭⎫π4＝________. 答案 4解+析因为f (x )＝3sin x cos x －sin 2x ＝32sin2x －1－cos2x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12，把f (x )的图象向右平移π12个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到y ＝g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋π6＋32＝sin2x ＋32. 若对任意实数x ，都有g (a －x )＝g (a ＋x )成立，则y ＝g (x )的图象关于x ＝a 对称，所以2a ＝π2＋k π，k ∈Z ，故可取a ＝π4，有g ⎝⎛⎭⎫a ＋π4＋g ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π2＋32＋sin π2＋32＝4. 5.已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，则θ的最小值为________. 答案 π6解+析函数f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3(x ∈R )，先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，可得y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2θ的图象. 又得到的图象关于直线x ＝3π4对称，可得2×3π4＋π3－2θ＝k π＋π2，k ∈Z ，即θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z ，当k ＝1时，θ的最小值为π6.6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则f (0)，f (2)，f (－2)的大小关系是______________. 答案 f (2)<f (－2)<f (0)解+析由于f (x )的最小正周期为π， ∴ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，∵当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )，又φ>0，∴φmin ＝π6，故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.于是f (0)＝A sin π6， f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6 ＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎫4－7π6. 又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，y ＝A sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴f (2)<f (－2)<f (0).7.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为________. 答案 9解+析因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝⎛⎭⎫－π4＝T 4＋kT 2，k ∈Z ，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2π，k ∈Z ，又ω>0，所以ω＝2k ＋1(k ∈N )，又因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫11x －π4，f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，3π44上单调递增，在⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件. 若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调的条件. 由此得ω的最大值为9.8.(2018·全国Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为______. 答案 3解+析由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6＝0. ∵x ∈[0，π]，∴3x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，19π6， ∴当3x ＋π6的取值为π2，3π2，5π2时，f (x )＝0，即函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6在[0，π]上的零点个数为3. 9.已知f 1(x )＝sin ⎝⎛⎭⎫32π＋x cos x ，f 2(x )＝sin x sin(π＋x )，若设f (x )＝f 1(x )－f 2(x )，则f (x )的单调增区间是____________________.答案 ⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) 解+析由题意知，f 1(x )＝－cos 2x ，f 2(x )＝－sin 2x ，f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，令2k π≤2x ≤π＋2k π，k ∈Z ，得k π≤x ≤π2＋k π，k ∈Z . 故f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ). 10.设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )的单调增区间为__________.答案 ⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 解+析因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋φ＋π3⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且满足f (－x )＝－f (x )，所以ω＝2，φ＝－π3，所以f (x )＝2sin2x ，令2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ). 11.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫π24＝______.答案 3解+析如题干图所示，可知T 2＝3π8－π8＝π4，所以T ＝π2，所以πω＝π2，所以ω＝2.因为图象过点⎝⎛⎭⎫3π8，0，所以A tan ⎝⎛⎭⎫2×3π8＋φ＝0，即tan ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝0.又|φ|＜π2，所以φ＝π4.又图象过点(0,1)，即A tan ⎝⎛⎭⎫2×0＋π4＝1，所以A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 所以f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 12.已知函数f (x )＝cos(2x －φ)－3sin(2x －φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向右平移π12个单位长度后关于y 轴对称，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最小值为________. 答案－ 3解+析 f (x )＝cos(2x －φ)－3sin(2x －φ)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－φ，将其图象向右平移π12个单位长度后，得y ＝－2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6－φ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－φ. 由其图象关于y 轴对称，得－π3－φ＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴φ＝－5π6－k π，k ∈Z . 由|φ|＜π2，得φ＝π6. 即f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∵－π2≤x ≤0，∴－4π3≤2x －π3≤－π3， ∴－3≤f (x )≤2，则f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最小值为－ 3.。

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数学（理）培优点一函数的图象与性质01 培优点二函数零点06 培优点三含导函数的抽象函数的构造10培优点四恒成立问题14 培优点五导数的应用18 培优点六三角函数23 培优点七解三角形29 培优点八平面向量33 培优点九线性规划36 培优点十等差、等比数列40培优点十一数列求通项公式43 培优点十二数列求和47 培优点十三三视图与体积、表面积51 培优点十四外接球56 培优点十五平行垂直关系的证明59 培优点十六利用空间向量求夹角67 培优点十七圆锥曲线的几何性质76 培优点十八离心率81 培优点十九圆锥曲线综合86 培优点二十几何概型932019届高三好教育精准培优专练1．单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-（2）223y xx +-+=的单调递增区间为________．2．利用单调性求最值例2：函数y x =________．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．c a b >>B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________．４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ ５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+ 都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（） A ．404 B ．804C ．806D ．402培优点一函数的图象与性质６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（） A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是奇函数 C ．()()2f x f x =+D ．()3f x +是奇函数７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-，则()()20172019f f +的值为（） A ．1- B ．1C ．0D ．无法计算一、选择题1．若函数()2f x x a =+的单调递增区间是[)3,+∞，则a 的值为（） A ．2-B ．2C ．6-D ．62．已知函数()2log 1y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ．(]0,1B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（） A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =， ()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，())114(f g -=+，则()1g 等于（） A ．4B ．3C ．2D ．1对点增分集训6．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（）7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()45f f +的值为（） A ．2B ．1C ．1-D ．2-8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（） A ．()1e x f x +=B ．()1e x f x -=C ．()1e x f x -+=D ．()1e x f x --=9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（） A ．()1,0-B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()65f -．，1()f -，()0f 的大小关系是（） A ．()0 6.5()()1f f f <-<- B ．()6.5()()01f f f -<<- C ．()()(60)1.5f f f -<-<D ．()10()( 6.5)f f f -<<-11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =，则()()20152016f f +=（） A ．0B ．2C ．3D ．412．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（） A ．[0,3]B ．(1,3)C ．2⎡⎣D ．(22-+二、填空题13．设函数()10010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______． 14．若函数()R ()f x x ∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为()()101sin 12x x x x x f x ⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________． 15．设函数()||f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的R x ∈，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是________．16．设定义在R 上的函数()f x 同时满足以下条件：①()0()f x f x +-=；②()()2f x f x =+；③当01x ≤≤时，()21x f x =-，则()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．三、解答题17．已知函数()ln(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数．（1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值；（3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-，当10x -≤≤时，()f x x =-．（1）判定()f x 的奇偶性；（2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．培优点二函数零点1．零点的判断与证明例1：已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．2．零点的个数问题例2：已知函数()f x 满足()()3f x f x =，当[)1,3x ∈，()ln f x x =，若在区间[)1,9内，函数()()g x f x ax =-有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 31,3e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．ln 31,93e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 31,92e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．ln 3ln 3,93⎛⎫⎪⎝⎭ 3．零点的性质例3：已知定义在R 上的函数()f x 满足：()[)[)2220,121,0x x f x xx ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩，且()()2f x f x +=，()252x g x x +=+，则方程()()f x g x =在区间[]5,1-上的所有实根之和为（） A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-4．复合函数的零点例4：已知函数()243f x x x =-+，若方程()()20f x bf x c ++=⎡⎤⎣⎦恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是（） A ．()2,0- B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2一、选择题1．设()ln 2f x x x +-=，则函数()f x 的零点所在的区间为（） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,42．已知a 是函数()12log 2x x f x =-的零点，若00x a <<，则()0f x 的值满足（）A ．()00f x =B ．()00f x >C ．()00f x <D ．()0f x 的符号不确定3．函数2()2f x x a x=--的一个零点在区间()1,2内，则实数a 的取值范围是（） A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,24．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a -----+-=+的两个零点分别位于区间（） A ．(),a b 和(),b c 内B ．(,)a -∞和(),a b 内C ．(),b c 和(),c +∞内D ．(,)a -∞和(),c +∞内5．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e 3x f x x =+-，则()f x 的零点个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．46．函数()2201ln 0x x x xx f x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（）A ．3B ．2C ．7D ．07．已知函数()1010x x x f x ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则使方程()x f x m +=有解的实数m 的取值范围是（）A ．()1,2B ．(],2-∞-C ．()(),12,-∞+∞D ．(][),12,-∞+∞8．若函数()312f x ax a +-=在区间()1,1-内存在一个零点，则a 的取值范围是（） A ．1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,1,5⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭C ．11,5⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．(),1-∞-9．已知函数()00exx x f x ≤⎧=⎨>⎩，则使函数()()g x f x x m =+-有零点的实数m 的取值范围是（）对点增分集训A ．[)0,1B ．(1),-∞C ．(](),12,-∞+∞D ．(](),01,-∞+∞10．已知()f x 是奇函数且是R 上的单调函数，若函数221()()y f x f x λ++=-只有一个零点，则实数λ 的值是（） A ．14 B ．18C ．78-D ．38-11．已知当[]0,1x ∈时，函数21()y mx =-的图象与y m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是（） A ．(0,1][23,+)∞ B ．(]0,13[),+∞C ．[23,+)∞D ．[3,+)∞12．已知函数()y f x =和()y g x =在[]2,2-的图像如下，给出下列四个命题：（1）方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且只有6个根（2）方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且只有3个根（3）方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且只有5个根（4）方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且只有4个根则正确命题的个数是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题13．函数()052log ||x f x x -=-．的零点个数为________．14．设函数31y x =与2212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象的交点为00(,)x y ，若0,1()x n n ∈+，n ∈N ，则0x 所在的区间是______．15．函数()22026ln 0f x x x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．16．已知函数()23||f x x x =+，R x ∈，若方程()1|0|f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围是________________．三、解答题17．关于x 的二次方程21()10x m x ++-=在区间[]0,2上有解，求实数m 的取值范围．18．设函数()1()10f x x x=->．（1）作出函数()f x 的图象；（2）当0a b <<且()()f a f b =时，求11a b+的值；（3）若方程()f x m =有两个不相等的正根，求m 的取值范围．1．对于()()'0f x a a >≠，可构造()()h x f x ax =-培优点三含导函数的抽象函数的构造例1：函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意R x ∈，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（） A ．()1,1-B ．()1-+∞，C ．()1-∞-，D ．()-∞+∞，2．对于()()'0xf x f x +>，构造()()h x xf x =；对于()()'0xf x f x ->，构造()()f x h x x=例2：已知函数()y f x =的图象关于y 轴对称，且当(),0x ∈-∞，()()0f x xf x '+<成立，()0.20.222a f =，()log 3log 3b f ππ=，()33log 9log 9c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．b a c >>3．对于'()()0f x f x +>，构造()()e x h x f x =；对于'()()f x f x >或'()()0f x f x ->，构造()()ex f x h x = 例3：已知()f x 为R 上的可导函数，且R x ∀∈，均有()()f x f x '>，则有（） A ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f > B ．2016e (2016)(0)f f -<，2016(2016)e (0)f f < C ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f > D ．2016e (2016)(0)f f ->，2016(2016)e (0)f f < 4．()f x 与sin x ，cos x 构造例4：已知函数()y f x =对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，则（）A ．()04f π⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．()03f f π⎛⎫<2- ⎪⎝⎭C 34f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 34f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对点增分集训一、选择题1．若函数()y f x =在R 上可导且满足不等式()()0xf x f x '+>恒成立，对任意正数a 、b ，若a b <，则必有（） A ．()()af b bf a 或 D ．}{1x x |>3．已知函数()f x 的定义域为R ，()f x '为()f x 的导函数，且()()()10f x x f x '+->，则（） A ．()10f =B ．()0f x <C ．()0f x >D ．()()10x f x -<4．设函数()f x '是函数()()R f x x ∈的导函数，已知()()f x f x '<，且()()4f x f x ''=-，()40f =，()21f =则使得()2e 0x f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．()2-+∞，B ．()0+∞，C ．()1+∞，D ．()4+∞，5．已知函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，函数()y f x =对于任意的()0,πx ∈满足()()sin cos f x x f x x >'（其中()f x '是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是（）A ．ππ36f ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 3ππ42f⎛⎫⎛⎫<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ππ223f⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 5π3π64f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意实数x ，有()()f x f x >'，且()2018f x +为奇函数，则不等式()2018e 0x f x +<的解集为（） A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．1e ,⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．1e ,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7．已知函数()2f x +是偶函数，且当2x >时满足()()()2xf x f x f x ''>+，则（）A ．()()214f f ⎪⎝⎭C ．()5042f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()()13f f <8．已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x ='，当0x ≠时，()()0f x f x x+'>，若1133a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，()33b f =--，11lnln 33c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（） A ．a b c <⎡⎤⎣⎦'，则（） A ．()()10f f C ．()()33e 0f f >D ．()()44e 0f f <10．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()'f x ，()00f =若对任意R x ∈，都有()()'1f x f x >+，则使得()e 1f x x +<成立的x 的取值范围为（）A ．(),1∞-B ．(),0∞-C ．()1,+∞-D ．0,+∞（）11．已知函数()f x 是定义在区间()0,+∞上的可导函数，满足()0f x >且()()'0f x f x +<（()'f x 为函数的导函数），若01a b <<<且1ab =，则下列不等式一定成立的是（） A ．()()()1f a a f b >+ B ．()()()1f b a f a >- C ．()()af a bf b >D ．()()af b bf a >12．定义在R 上的奇函数()y f x =满足()30f =，且当0x >时，不等式()()'f x xf x >-恒成立，则函数()()lg 1g x xf x x =++的零点的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．设()f x 是R 上的可导函数，且'()()f x f x ≥-，(0)1f =，21(2)e f =．则(1)f 的值为________．14．已知,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭π，()1y f x =-为奇函数，()()'tan 0f x f x x +>，则不等式()cos f x x >的解集为_________．15．已知定义在实数集R 的函数()f x 满足()27f =，且()f x 导函数()3f x '<，则不等式()ln 3ln 1f x x >+的解集为__________．16．已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞+∞上的奇函数，且()10f =．若0x <时，()()'0xf x f x ->，则不等式()0f x >的解集为__________．1．参变分离法例1：已知函数()ln af x x x=-，若()2f x x <在()1,+∞上恒成立，则a 的取值范围是_________．培优点四恒成立问题2．数形结合法例2：若不等式()log sin 20,1a x x a a >>≠对于任意的π0,4x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦都成立，则实数a 的取值范围是___________．3．最值分析法例3：已知函数()()ln 10f x a x a =+>，在区间()1,e 上，()f x x >恒成立，求a 的取值范围___________．一、选择题1．已知函数()()2ln 1,03,0x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩，若()()20f x m x -+≥，则实数m 的取值范围是（）A ．(],1-∞B ．[]2,1-C ．[]0,3D ．[)3,+∞2．已知函数()3224f x x x x =--+，当[],3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．()3,11-B ．()3,11C ．[]3,11D ．[]2,73．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．(],2-∞-B ．()2,-+∞C ．12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭4．已知对任意21,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式2e xa x >恒成立（其中e 2.71828=，是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（）A ．e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．()0,eC ．(),2e -∞-D ．24,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．已知函数()2e x f x x =，当[]1,1x ∈-时，不等式()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[)e,+∞D ．()e,+∞对点增分集训6．当[]2,1x ∈-时，不等式32430ax x x -++≥恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]5,3--B ．96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．[]6,2--D ．[]4,3--7．函数()2e 1xf x x =-+，若存在(]00,2x ∈使得()00m f x ->成立，则实数m 的范围是（）A ．21e 5,⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,-+∞C ．()1,+∞D ．1e,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00,x ∈+∞，使()00f x >，则a 的取值范围是（） A ．1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．若对于任意实数0x ≥，函数()e x f x ax =+恒大于零，则实数a 的取值范围是（） A ．(),e -∞B ．(],e -∞-C ．[)e,+∞D ．()e,-+∞10．已知函数()()()3f x a x a x a =-++，()22x g x =-，若对任意x ∈R ，总有()0f x <或()0g x <成立，则实数a 的取值范围是（） A ．(),4-∞-B ．()4,0-C ．[)4,0-D ．()4,-+∞11．已知函数()e xf x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(],e -∞B ．(),e -∞C ．e ,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．e ,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．设函数()()e 31x f x x ax a =--+，其中1a <，若有且只有一个整数0x 使得()00f x ≤，则a 的取值范围是（）A ．23,e 4⎛⎫⎪⎝⎭B ．23,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题13．设函数()f x x a =+，()1g x x =-，对于任意的x ∈R ，不等式()()f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________．14．函数()ln 1f x x x ax =-+，其中a ∈R ，若对任意正数x 都有()0f x ≥，则实数a 的取值范围为____________．15．已知函数()21ln 22f x x ax x =--，若函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是__________．16．已知关于x 的不等式21log 02m mx x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭-在[]1,2上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．三、解答题17．设函数()()()2ln 1f x x a x x =++-，其中a ∈R ，（1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．18．设函数()2e mx f x x mx =+-，（1）证明：()f x 在(),0-∞单调递减，在()0,+∞单调递增；（2）若对于任意1x ，[]21,1x ∈-，都有()()12e 1f x f x -≤-，求m 的取值范围．培优点五导数的应用1．利用导数判断单调性例1：求函数()()32333e x=+--的单调区间f x x x x-2．函数的极值例2：求函数()e x f x x -=的极值．3．利用导数判断函数的最值例3：已知函数()()ln mf x x m x=-∈R 在区间[]1,e 上取得最小值4，则m =___________．一、单选题1．函数()ln f x x x =-的单调递减区间为（） A ．() 0,1B ．() 0,+∞对点增分集训C ．() 1,+∞D ．()() ,01,-∞+∞2．若1x =是函数()ln f x ax x =+的极值点，则（） A ．()f x 有极大值1- B ．()f x 有极小值1- C ．()f x 有极大值0D ．()f x 有极小值03．已知函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减，且()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值，又有最小值，则实数a 的取值范围是（） A ．2a >-B ．3a ≥-C ．32a -≤<-D ．32a -≤≤-4．函数321y x x mx =+++是R 上的单调函数．．．．，则m 的范围是（） A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦5．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数1ln sin 1x y x x -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．函数()321213f x x ax x =+-+在()1,2x ∈内存在极值点，则（）A ．1122a -<D ．12a ≤-或12a ≥7．已知()22f x ax x a =++，x ∈R ，若函数()()()322g x x a x f x =---在区间()1,3-上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A ．1a <-或3a >B ．1a ≤-或3a ≥C ．9a <-或3a >D ．9a ≤-或3a ≥8．函数()y f x =在定义域3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内可导，其图像如图所示．记()y f x =的导函数为()y f x ='，则不等式()0f x '≤的解集为（）A ．[]1,12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1481,,233⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ C ．[)31,1,222⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．31144,,,323233⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦9．设函数()()1ln 03f x x x x =->，则()y f x =（）A ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,e 内均有零点B ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,e 内均无零点C ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内有零点，在区间()1,e 内无零点D ．在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内无零点，在区间()1,e 内有零点10．若函数()()323321f x x ax a x =++++既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围为（） A ．12a -<11．已知函数()3223f x x ax bx c =+++的两个极值点分别在()1,0-与()0,1内，则2a b -的取值范围是（）A ．33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12．设函数()y f x =在区间(),a b 上的导函数为()f x '，()f x '在区间(),a b 上的导函数为()f x ''，若在区间 (),a b 上()0f x ''>，则称函数()f x 在区间(),a b 上为“凹函数”，已知()5421122012f x x mx x =--在区间()1,3上为“凹函数”，则实数m 的取值范围为（）A ．31,9⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．31,59⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(],5-∞D ．(],3-∞-二、填空题13．函数()3222f x x x =-在区间[]1,2-上的最大值是___________．14．若函数()32334f x x ax x a =-+-在(),1-∞-，()2,+∞上都是单调增函数，则实数a 的取值集合是______． 15．函数()()2ln 1f x x a x a =--∈R 在[]1,2内不存在极值点，则a 的取值范围是___________． 16．已知函数()e ln x f x a x =+， ①当1a =时，()f x 有最大值；②对于任意的0a >，函数()f x 是()0,+∞上的增函数； ③对于任意的0a <，函数()f x 一定存在最小值； ④对于任意的0a >，都有()0f x >．其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）三、解答题17．已知函数()()ln f x x ax a =-∈R （1）讨论函数()f x 在()0,+∞上的单调性；（2）证明：2e e ln 0x x ->恒成立．18．已知函数()()2e ,x f x a x bx a b =+-∈R ，其导函数为()'y f x =．（1）当2b =时，若函数()'y f x =在R 上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）设0a ≠，点()(),,P m n m n ∈R 是曲线()y f x =上的一个定点，是否存在实数()00x x m ≠使得()()000'2x m f x n f x m +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭成立？并证明你的结论．1．求三角函数值例1：已知π3π044βα<<<<，π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π5sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值．培优点六三角函数2．三角函数的值域与最值例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．3．三角函数的性质例3：函数()2cos2f x x x +（）A ．在ππ,36⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增一、单选题1．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（） A ．13-B ．79-C ．13D ．792．函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（）A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．已知1tan 4tan θθ+=，则2πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．15B ．14C ．13D ．124．关于函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，下列命题正确的是（）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成()π3cos 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3π,14⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线π12x =-对称 5．函数()2πππcos 2sin sin 555f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（） A ．1 B ．πsin5C ．π2sin5D6．函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别可以是（）对点增分集训A ．1，π3B ．1，2π3-C ．2，2π3D ．2，π3-7．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是（）A ．3B ．5C ．7D ．98．已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列四个说法：2014π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭①②函数()f x 的周期为π； ()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称其中正确说法的序号是（） A ．②③B ．①③C ．①④D ．①③④9．已知0ω>，函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．同时具有性质：①()f x 最小正周期是π；②()f x 图象关于直线π3x =对称；③()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是（） A ．πsin 23x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11．关于函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（）①函数()f x 的图像关于直线8π3x =对称； ②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位所得图像的函数为1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；③函数()f x 在区间π5π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④若()f x a =，则1πcos 233a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．A ．1B ．2C ．3D ．412．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，它的最小正周期为π，则函数()f x 图象的一个对称中心是（） A ．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题13．函数πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的单调递减区间是_________． 14．已知()0,πα∈，且3cos 5α=，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________________．15．函数()sin2f x x x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为_________．16．关于()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝，有下列命题①由()()120f x f x ==可得12x x -是π的整数倍； ②()y f x =的表达式可改写成π4cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()y f x =图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④()y f x =图象关于π6x =-对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．三、解答题17．已知()π2sin 2cos26f x x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()a ∈R ，其图象在π3x =取得最大值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()65f α=，求sin2α值．18．已知函数()()2πsin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．1．解三角形中的要素例1：ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c =b =，60B =o ，则C =_____． 2．恒等式背景培优点七解三角形例2：已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且有cos sin 0a C C b c --=．（1）求A ；（2）若2a =，且ABC △b ，c ．一、单选题1．在ABC △中，1a =，6A π∠=，4B π∠=，则c =（） ABCD2．在ABC △中，三边长7AB =，5BC =，6AC =，则AB BC ⋅u u u v u u u v等于（）A ．19B ．19-C ．18D ．18-3．在ABC △中，角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（） A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形4．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3C π=，c =3b a =，则ABC △的面积为（）对点增分集训AB C D 5．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若22a b bc -=，sin C B =，则A =（） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．设ABC △的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果()()3a b c b c a bc +++-=，且a =那么ABC △外接圆的半径为（） A ．1BC ．2D ．47．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形8．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c 且满足cos cos a B b A c -=，则ABC △是（） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为（） A ．8B ．16C ．32D ．6410．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边．若()sin cos 0b a C C +-=，则A =（） A ．4π B ．3π C ．34π D ．23π 11．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若c o s c o s c o s a b cA B C==，则ABC △是（） A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形12．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，c =，tan 21tan A cB b+=，则C ∠=（） A ．6π B ．4π C ．4π或34π D ．3π二、填空题13．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =，2216b a -=，则角C 的最大值为_____； 14．已知ABC △的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，则sin cos B B +的取值范围是_________．15．在ABC △中三个内角A ∠，B ∠，C ∠，所对的边分别是a ，b ，c ，若()2si n c o s 2s i n c o s b C A A C+=-，且a =ABC △面积的最大值是________16．在锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，b =，则ABC △面积的取值范围是__________．三、解答题17．己知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C cos 2sin A C+=．（1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC △a 的值．18．如图，在ABC △中，点D 在BC 边上，60ADC ∠=︒，AB =，4BD =．．（1）求ABD △的面积．（2）若120BAC ∠=o ，求AC 的长．1．代数法例1：已知向量a ，b 满足=3a ，b ()⊥+a a b ，则b 在a 方向上的投影为（）培优点八平面向量A ．3B ．3- C． D2．几何法例2：设a ，b 是两个非零向量，且2==+=a b a b ，则=-a b _______． 3．建立直角坐标系例3：在边长为1的正三角形ABC 中，设2BC BD =uu u v uu u v ，3CA CE =uu v uu u v ，则AD BE ⋅=uuu v uu u v__________．一、单选题1．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且向量a ，b 的夹角为4π，若λ-a b 与b 垂直，则实数λ的值为（） A ．12-B ．12C ．2 D2．已知向量a ，b 满足1=a ，2=b，+a b ⋅=a b （） A ．1BCD ．23．如图，平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，60A ∠=o ，点M 在AB 边上，且13AM AB =，则DM DB ⋅=uuu u v uu u v（）A ．1-B ．1C． D4．如图，在ABC △中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB =uu u v a ，AC =uuu v b ，则AO =uuu v（）对点增分集训A ．1122+a bB ．1124+a bC ．1142+a bD ．1144+a b5．在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1CD =，2AB BC ==，120BCD ∠=o ，动点P 和Q 分别在线段BC 和CD 上，且BP BC λ=uu v uu u v ，18DQ DC λ=uuuv uuu v ，则AP BQ ⋅u u u v u u u v 的最大值为（） A ．2- B ．32-C ．34 D ．986．已知ABC △中，2AB =，4AC =，60BAC ∠=︒，P 为线段AC 上任意一点，则PB PC ⋅uu v uu u v的范围是（）A ．[]14，B ．[]04，C ．944⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．[]24-，7．已知非零向量a ，b ，满足=a 且()()320+⋅-=a b a b ，则a 与b 的夹角为（） A ．4πB ．2π C ．34π D ．π8．在Rt ABC △中斜边BC a =，以A 为中点的线段2PQ a =，则BP CQ ⋅u u v u u u v的最大值为（）A ．2-B ．0C ．2D ．9．设向量a ，b ，c ，满足1==a b ，12⋅=-a b ，6,0--=o a b c c ，则c 的最大值等于（）A ．1B C D ．210．已知a 与b 为单位向量，且⊥a b ，向量c 满足2--=c a b ，则c 的取值范围为（）A ．1,1⎡⎣B ．2⎡⎣C ．D ．3⎡-+⎣11．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uuu v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uuu v 在BC uu uv 上的投影的取值范围是（） A ．()1,-+∞B ．()1,3-C ．()0,+∞D ．()0,312．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB AC ==D ，E 是线段BC 上的点，且13DE BC =，则AD AE ⋅uuu v uu u v的取值范围是（）A ．84,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．88,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题13．已知向量()1,2=a ，()2,2=-b ，()1,λ=c ，若()2+∥c a b ，则λ=________． 14．若向量a ，b 满足1=a ，2=b ()⊥+a a b ，则a 与b 的夹角为__________．15．已知正方形ABCD 的边长为2，E 是CD 上的一个动点，则求AE BD ⋅uu u v uu u v的最大值为________．16．在ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，2AC =，P 为线段AB 上一点，则PB PC +uu v uu u v的取值范围为____．1．简单的线性规划问题应注意取点是否取得到培优点九线性规划例1：已知实数x ，y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则32z x y =-的最小值是（）A ．4B ．5C ．6D ．72．目标函数为二次式例2：若变量x ，y 满足120x x y x y ≤⎧⎪≥⎨⎪++≥⎩，则22z x y =+的最大值为（）AB ．7C ．9D ．103．目标函数为分式例3：设变量x ，y 满足约束条件22022010x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则11y s x +=+的取值范围是（）A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,2D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．面积问题例4：若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线4y kx =+分成面积相等的两部分，则k 的值为（）A ．73B ．37C ．173-D ．317-一、单选题1．若实数x ，y 满足0010x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的最大值为（）A ．2B ．1C ．0D ．1-对点增分集训2．已知实数x ，y 满足线性约束条件3023004x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≤≤⎩，则其表示的平面区域的面积为（） A ．94B ．274C ．9D ．2723．已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若z x a y =-只在点()43,处取得最大值，则a 的取值范围是（） A ．()1-∞-, B ．()2-+∞, C ．()1-∞,D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,4．已知实数x ，y 满足约束条件222020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则5x z y -=的取值范围为（）A ．2433⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,B ．4233⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,C ．3324⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,D ．3342⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,,5．若实数x ，y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则22z x y =+的最大值是（）AB ．4C ．9D ．106．已知点()12A ,，若动点()P x y ,的坐标满足02x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则AP 的最小值为（）AB ．1CD7．x ，y 满足约束条件20220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，若z y ax =-取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（）A ．12或1- B ．2或12C ．2或1D ．2或1-8．若x ，y 满足不等式组40240 4x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则215y x ≤+成立的概率为（）A ．1556B ．1116 C ．58D ．389．若x ，y 满足不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则32z x y =-+的最小值为（）A ．7B ．6C ．265D ．410．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若()M x y ,为D 上动点，点A 的坐标为)．则z OM OA =⋅u u u v u u v的最大值为（）A．B．C ．4D ．311．若不等式组20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域内存在点()00x y ,，使0020x ay ++≤成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[)1,-+∞B ．(],1-∞-C ．(],1-∞D ．[)1,+∞12．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，平面区域60:400x y x y y +-≤⎧⎪Ω-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则圆心(),C a b 与点()2,8连线斜率的取值范围是（） A ．77,,35⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭UB ．77,,35⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭UC ．77,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．77,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦二、填空题13．设x ，y 满足10302x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则21z x y =++的最大值为____________．14．若变量x ，y 满足约束条件210220x x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩，则22z x y =+的最小值为_________．15．已知实数x ，y 满足110x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则22x y x ++的最小值为______．16．某公司计划明年用不超过6千万元的资金投资于本地养鱼场和远洋捕捞队．经过对本地养鱼场年利润率的调研，其结果是：年利润亏损10%的概率为02.，年利润获利30%的概率为0.4，年利润获利50%的概率为0.4，对远洋捕捞队的调研结果是：年利润获利为60%的概率为0.7，持平的概率为0.2，年利润亏损20%的可能性为0.1．为确保本地的鲜鱼供应，市政府要求该公司对远洋捕捞队的投资不得高于本地养鱼场的投资的2倍．根据调研数据，该公司如何分配投资金额，明年两个项目的利润之和最大值为_________千万．1．等差数列的性质培优点十等差、等比数列例1：已知数列{}n a ，{}n b 为等差数列，若117a b +=，3321a b +=，则55a b +=_______． 2．等比数列的性质例2：已知数列{}n a 为等比数列，若4610a a +=，则()713392a a a a a ++的值为（） A ．10B ．20C ．100D ．2003．等差、等比综合例3：设{}n a 是等差数列，{}n b 为等比数列，其公比1q ≠，且()01,2,3,,i b i n >=L ，若11a b =，1111a b =，则有（） A ．66a b = B ．66a b >C ．66a b <D ．66a b >或66a b <一、单选题1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤．”（） A ．6斤B ．7斤C ．8斤D ．9斤2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =，则7S =（） A ．66B ．68C ．77D ．843．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（） A ．4B ．2C ．2-D ．4-4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，5714a a +=，则11S =（） A ．140B ．70C ．154D ．775．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且1a ，3a ，2a 成等差数列，则公比q 的值为（） A ．12-B ．2-C ．1或12-D ．1-或12对点增分集训6．公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a -，212a -，3a 成等差数列，若11a =，则4S =（） A ．5-B ．0C ．5D ．77．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=L （） A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．设公差为2-的等差数列{}n a ，如果1479750a a a a +++=+L ，那么36999a a a a ++++L 等于（） A ．182-B ．78-C ．148-D ．82-9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且133215S S -=，则数列{}n a 的第三项为（） A ．3B ．4-C ．5-D ．610．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若81026a a =+，则11S =（） A ．27B ．36C ．45D ．6611．设{}n a 是各项为正数的等比数列，q 是其公比，n K 是其前n 项的积，且56K K <，678K K K =>，则下列结论错误．．的是（） A ．01q <D ．6K 与7K 均为n K 的最大值12．定义函数()f x 如下表，数列{}n a 满足()1n n a f a +=，n *∈N ，若12a =，则1232018a a a a ++++=L （）A ．7042B ．7058C ．7063D ．7262二、填空题13．已知等差数列{}n a ，若2376a a a ++=，则17a a +=________．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若公比q 1231a a a ++=，则12S 的值是___________．。

2019高考数学(理)解答题考前60天冲刺：三角函数

2
3
22、 m (2cos x 2 3 sin x,1), n (cos x, y) ，满足 m n 0 、
〔I 〕将 y 表示为 x 的函数 f (x) ，并求 f ( x) 的最小正周期；
〔II 〕 a,b,c 分别为 ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长，假设 A
，且 a 2，求
f( ) 3
2
3
12、设向量 α ＝ ( 3 sin2 x， sin x＋ cos x) ， β ＝ (1 ， sin x－cos x) ，其中 x∈ R，函数 f ( x)
＝α β、 ( Ⅰ ) 求 f ( x) 的最小正周期；
( Ⅱ ) 假设 f ( θ ) ＝ 3 ，其中 0＜ θ ＜ π，求 cos( θ ＋ π) 的值、
2019 高考数学（理）解答题考前 60 天冲刺：三角函数三角函数
1 1、设△ ABC的内角 A、 B、 C所对的边分别为 a、b、 c， a＝ 1， b＝ 2， cos C＝4. (1) 求△ ABC的周长； (2) 求 cos( A－ C) 的值、
2. 在 ABC 中，角 A,B,C 对的边分别为 a,b, c，且 c 2,C 60
〔1〕求 a b 的值； sin A sin B
〔2〕假设 a b ab ，求 ABC 的面积 S ABC 。
解：〔 1〕由正弦定理可设
a sin A
b sin B
c sin C
2 sin 60
1
cos 2C
.
4
〔 1〕求 sin C 的值；
〔 2〕当 a 2 ， 2sin A sin C 时，求 b 及 c 的长 .
5， ABC 中， a 、 b 、 c 是三个内角 A、 B 、 C 的对边，关于 x 的不等式

2019年高考数学(理科)一本“培养优选练”小题对点练3三角函数与平面向量(1)Word版含解析

小题对点练(三) 三角函数与平面向量(1)(建议用时：40分钟) (对应学生用书第115页)一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( ) A.89 B.79 C ．－79 D ．－89B [cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79.]2．已知平面向量a ＝(－2，m )，b ＝(1，3)，且(a －b )⊥b ，则实数m 的值为( )A ．－2 3B ．2 3C ．4 3D ．6 3B [由(a －b )⊥b ，有(a －b )·b ＝0，所以a·b －b 2＝0，即(－2＋3m )－(1＋3)＝0，得m ＝23，故选B.]3．已知点P (－3,5)，Q (2,1)，向量m ＝(2λ－1，λ＋1)，若PQ →∥m ，则实数λ等于( )A.113 B ．－113 C.13D ．－13B [PQ→＝(5，－4)，因为PQ →∥m ，所以5λ＋5＝－8λ＋4，解得λ＝－113.故选B.]4．下列函数中，是周期函数且最小正周期为π的是( )A ．y ＝sin x ＋cos xB ．y ＝sin 2x －3cos 2xC ．y ＝cos|x |D ．y ＝3sin x 2cos x2B [对于A 项，函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最小正周期是2π，不符合题意；对于B 项，函数y ＝sin 2x －3cos 2x ＝12()1－cos 2x －32(1＋cos 2x )＝1－32－1＋32cos 2x 的最小正周期是π，符合题意；对于C 项，y ＝cos|x |＝cos x 的最小正周期是2π，不符合题意；对于D 项，函数y ＝3sin x 2cos x 2＝32sin x 的最小正周期是2π，不符合题意．故选B.]5．(2018·德阳市高三二诊)函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π6个单位后所得的图象关于原点对称，则φ可以是( )A.π6B.π3C.π4D.2π3B [函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向右平移π6个单位后所得的图象关于原点对称，即平移后得到的函数为奇函数，即sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ为奇函数，对照选项可知选B.]6．已知平面向量a 和b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A ．20 B ．12 C ．4 3D ．2 3D [∵a ＝(2,0)，∴|a |＝2.又|b |＝1，a·b ＝2×1×cos 60°＝1， |a ＋2b |2＝|a |2＋4a·b ＋4|b |2＝4＋4＋4＝12， ∴|a ＋2b |＝23，故选D.]7．函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为( )A.34 B ．1 C.32D ．2C [y ＝cos 2x ＋2sin x ＝－2sin 2x ＋2sin x ＋1.设t ＝sin x (－1≤t ≤1)，则原函数可以化为y ＝－2t 2＋2t ＋1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋32，∴当t ＝12时，函数取得最大值32.]8．在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB→＝a ，AD →＝b ，则向量BF →＝( ) A.13a ＋23bB ．－13a －23bC ．－13a ＋23b D.13a －23bC [BF→＝23BE → ＝23⎝⎛⎭⎫BC →＋CE →＝23⎝⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b .故选C.] 9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为3154，a ＝2，b ＝3，则asin A ＝( )A.463B.161515C.4153D.463或161515 D [由三角形的面积公式可得12ab sin C ＝3154，则sin C ＝154，所以cos C ＝±14，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16或10，所以c ＝4或10，由正弦定理可得a sin A ＝c sin C ＝161515或463.]10．若点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 的一个对称中心，则cos 2θ＋sin θcos θ＝( )A.1110 B ．－1110 C ．1D ．－1D [∵点(θ，0)是函数f (x )＝sin x ＋2cos x 的一个对称中心，∴sin θ＋2cos θ＝0，即tan θ＝－2.∴cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2 θ－sin 2 θ＋sin θcos θsin 2 θ＋cos 2 θ＝1－tan 2 θ＋tan θtan 2θ＋1＝1－4－24＋1＝－1，故选D.]11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为( )图1A. 2 B ．0 C ．1D. 3D [由题图可知，A ＝2，34T ＝11π12－π6＝34π，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，即f (x )＝2sin(2x ＋φ)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2sin2×π6＋φ＝2得2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又0＜φ＜π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋π6＝2cos π6＝3，故选D.] 12．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤136，72B.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，256 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤256，112 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤112，376 B [因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－12在(0，π)上有且只有四个实数根．设t ＝ωx －π3，因为0<x <π，所以－π3<t <ωπ－π3，所以19π6<ωπ－π3≤23π6，解得72<ω≤256，故选B.]二、填空题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点和点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点M 的坐标为(1， 3 )，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.－2－3 [依题意得tan α＝3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝3＋11－3＝－2－ 3.]14．在平行四边形ABCD 中，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，则四边形ABCD 的面积为________．5 [∵AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，2，∴cos ∠BAD ＝AB →·AD →|AB →||AD →|＝－15452·52＝－35，sin ∠BAD ＝45，S △BAD ＝12×|AB →||AD →|×45＝52，∴四边形ABCD 的面积是三角形ABD 面积的二倍，为5.]15．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比。

2019年高考数学(理科_重点生)高考专题辅导专题跟踪检测(六)三角函数的图象与性质

专题跟踪检测（六）三角函数的图象与性质、全练保分考法一一保大分1. （2019届高三广州调研）将函数y = 2sin x + 3 sin 6— x 的图象向左平移0（卩0）个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则0的最小值为（）该函数的图象向左平移0个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g （x ）=sin 2（x + 0片 2n - sin|2x + 2 0+ 気，,因为 g （x ）= sinjx + 2 0+ 手」为奇函数，所以 2 0+ 2^ =k nn r r r r t=t t t nk n k^z ）, 0= y -3（k^z ）,又 0>o ,故 0的最小值为 6-n n I 1 i2.函数y = cosx — cos 2x , x € — ?, ?〔的图象大致为（）解析：选 B 因为函数 y = cosx — cos 2x =— 2cos^x + cosx + 1, x €— ~［，所以此函数为偶函数，故排除 A ;y =— 2cos^x + cosx + 1 = — 2 ［cosx — * + 9 ,x € —寸,寸］，因为 0 < cos1 9x < 1，所以当 cos x -4时，y max = §，当 cos x - 1 时，y min = 0,故排除 C ; y ' -4sin xcos x—0, 得 sin x = 0或 cosx -~, 而 cosx —1在4 4两解；sin x = 0在—2, 2上有一解，经验证，这些解均为极值点，所以y = cos x — cos 2x解析：选A 由y = 2sin x +扌x + 3(—sin x — sin x(4cos x — 1)，令 yn ，n 上有冗os x + 3 = sinD在—2, 2上有三个极值点，排除 D.故选B.2 23. (2018 全国卷 I )已知函数 f(x)= 2cosx — sin x + 2,贝U ( )A . f(x)的最小正周期为 n 最大值为3B . f(x)的最小正周期为 n 最大值为44. (2018唐山模拟)把函数y = sin^x — f 的图象向左平移f 个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为()nA . x = 0B . x =nnC . x = 6D . X =— 12解析：选C 将函数y = sin 2x — n 的图象向左平移;个单位长度后得到y = sin 2 x + 6 — 6 = sin2x + f 的图象，令2x +才专十k n k 題)，得x =骨+号化題),令k = 0,得 x =6.2 34cosx — 2与h(x)= 的交点的横坐标. 3x — n21 込V3 3 t- ( n x '+ 4cos x — 2= — Q C OS 2X + ? sin 2x + 2cos 2x = ? sin 2x + qcos 2x = 3sin 2x + 3 , h(x)=1解析：丄 2 2 1 — cos 2x 3 5 选 B .f(x) — 2co$x — sin x + 2= 1+ cos 2x — ? + 2= qCos 2x + ?, - -f(x)D . f(x)的最小正周期为2 n 最大值为4最小正周期为n ,最大值为4.故选B.C . f(x)的最小正周期为2 n 最大值为3x €解析：选B 函数f(x) = cos2x —育 + 4cosx — 2— -3- 卷,詈所有零点之和为19 n12 的零点可转£ 0对称.作出函数g(x), h(x)的图象5 .函数 f(x) = cos 2x —4cos 2x — 2 — 3~ 3x — n 化为函数 g(x)= cos 2x — g(x) = 2n 3—,可得函数g(x) , h(x)的图象都关于点3x— n x nx— 3如图所示.n ，0对称.所以所有零点之和为 2Xn + 24n6. (2018全国卷n )若f(x) = cosx -sin x 在［0 , a ］是减函数，则 a 的最大值是()n A.;3 n CO解析：选 C 法一：：f(x)= cosx — sin x =— 2sinn 3 n ,4，匚时，的单调减区间,3 n 口r 3 n ,,, •'a W —，即 a max =玄.故选 C.法二：f ' (x)=— sin x — cosx=— 2sin 〉r一 r% % 当 x €0 , a ］时，X +4,所以a +:三罵即a < ¥，故所求a 的最大值是予故选C.结合图，函数 g(x), h(x)的图象有 4个交点，且关于点n B.nn n rr,2，?，即 x €y = sin x —才单调递增，f(x)=-2sin x - n 单调递减,n ,号5是f(x)在原点附近结合条件得［0，a ］? n 3n "j r，曰由题设得f ' (x)W 0,即sin x + 疋，na +n ，11 n 12，0在区间［0，a ］上恒成立.解析：法一:n= sin a,为第三象限角，,则 cos1 7. (2018惠州调研)已知tan a= ?为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数 y = g(x)的图象，求y = g(x)在 -，一， 2 联立得5sin a= 1，故sin a.2 . _ 2 ,—1)为a 终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin a=—严.5答案：-半5 8.(2018福州模拟)将函数y = 2sin x + cosx 的图象向右平移 $个单位长度，得到函数y=2sin x — cosx 的图象，贝U sin $的值为 ___________ .解析：因为 y = 2sin x + cosx = 5sin(x + 0, y = 2sin x — cosx = 5sin(x — 0),其中 cos 0 2 • A 1 =.5, sin 0= 5，4 由题意可知 $= 2 0,所以 sin $=sin 2 0= 2sin 0cos 0=~. 5答案：459. (2019届高三福州四校联考)函数f(x)= sin ®x (3>0)的图象向右平移㊁个单位长度得到函数y =g(x)的图象，并且函数g(x)在区间6，，n 上单调递增，在区间n ，n 上单调递减，则实数3的值为 __________ .n解析：因为将函数f(x) = sin wxX 3>0)的图象向右平移12个单位长度得到函数 y = g(x)的图象，所以g(x)=sin 3 [x —n ,又函数g(x)在区间n ，n 上单调递增，在区间n ，n 上单0< 3三 6，答案：2(1)求函数f(x)的最小正周期；sin 2 a+ COS 2 a= 1,3nn，Ta 为第三象限角，由tan a= ?,可知点(一 2,3= 8k + 2 k 題，所以3= 2.法二：COS助詈=1且牛；，所以]10.已知函数f(x) = sin 2sin xcosx.⑵先将函数y= f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标伸长=2sin 2x + -^cos 2c + 〒cos 2x — 2sin 2x + sin 2x =sin 2x +』3cos 2x =2sin 2x + n,所以函数f(x)的最小正周期T = 2n= n.(2)由⑴知f(x) = 2sin 2x + 3，先将函数y = f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数 y = 2sin 2x + f 的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得1 n令t = ^x + 6，则函数y = g(x)可转化为y = 2sin t. 因为和x < 2n,所以fw t < 7n，3 3 6所以当t =2，即卩x =争寸，y max = g = 2 ；7 n当 t = ，即 x = 2n 时，y min = g(2 n 手一 1.6 所以函数y = g(x)在3，2n 上的值域为[—1,2]. 11.已知函数 f(x)= sin n — x sin x — 3cos 2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； ⑵讨论心)在n ，竽上的单调性. 解：(1)f(x)= sin T — x sin x — ,3cosx=cosxsin x — ~(1 + cos 2x) 1 J3 _3 =2Sin 2x — 2 cos 2x — 2 解：(1)f(x)= sin 2x +到函数g(x)= 2sin=sin2 — ^3因此f(x)的最小正周期为 n,最大值为一2—从而当O w 2x — 3w 2,52时，f(x)单调递增,5 n 2 n当 2 w 2x — 3W n,即 12 w x w -3 时，f(x)单调递减.12.已知函数 f(x) = 4sin x —扌 cosx + 3. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;两个不同的零点 X t , x 2，求实数m 的取值范围,并计算tan(x i + X 2)的值.=4 ^sin x — "^cosx cosx + , 3 =2sin xcosx — 2 3coS 2x + 3 =sin 2x — 3cos 2x =2sin 2x — n.所以f(x)的最小正周期 T = n . 冗冗冗由 2k n — w 2x — 3w 2k n+ ?(k 題), 得 k —表 wx w k n+ 12(k 題).所以函数f(x)的单调递增区间为 5kL i2，k n+12 (k .(2)方程 g(x)= 0 等价于 f(x)= m ,冗,0w 2x — 3 w n5n 12,解：(1)f(x)= 4sinx — ncosx + J 3t%(2)当 x €单调递增，在%综上可知，f(x)在6, 单调递减.(2)若函数 g(x) = f(x)— m 在 0,的图象，如图所示，由图象在平面直角坐标系中画出函数f(x)= 2sin、强化压轴考法——拉开分 n 2. (2018郑州质检)若将函数f(x)= 3sin(2x +妨(0＜拆n)图象向左平移3个单位长度, 得到g(x)的图象，若函数 g(x)是奇函数，则函数 g(x)的单调递增区间为( ) A. k n — n k 冗+* € Z)解析：选B 由题意知g(x) = 3sin 2 x + f 0 = 3sin 2x + 2^n + 0 ,因为 g(x)是奇函数,2 n 2 n n所以 ~ + $= k n k ^Z)，即 0=— ~ + k n k 題)，又 0< 护 n,所以 $= 3，所以 g(x) = 3sin(2x + 3 3 3n 3 n n 3 nn = — 3sin 2x ,由 2 + 2k n< 2x < 2 + 2k n k 題)，解得 k n+ 4 < x < k n+ 4(k 題)，所以函数 g(x)B. k n+ ^，k n+ 于 k € Z) 2 n . n C. k n-3, k n — 6 k € Z) n . , D. k n ——i2， k n + € Z) 可知, 当且仅当 mq ・3, 2)时，方程f(x) = m 有两个不同的解 x i , 5 n 且 X i + X 2= 2X 12 = 故 tan(x i + X 2)= tan 5 n n =—tan =— 6 6 1. (2019届高三武汉调研)将函数y = sin 2x 的图象上的点 P 7 t 按向量 a = (m,0)(m>0) 平移后得到点 P '.若点P '在函数 y = singx —审的图象上，贝U ( A . t = £ m 的最小值为n 2 6 B . t = 2，m C . t = 3, m 的最小值为n 2 6 D . tn -^，m 的最小值为解析：选C 由题可得P ' m , t , 又P '在y = sin 2x —的图象上，所以 t = 函数y = sin 2x 的图象上，所以t^^3, 此时m 的最小值为 n ，故选C .即 t = sin 2m(m>0),因为3.已知函数f(x) = 1+ 2cos xcos(x + 3 0是偶函数，其中能0 , 2，则下列关于函数 g(x)=cos(2x -妨的正确描述是( ) 是减函数f(x)在忖，¥上是增函数解析：选 B 由题图知 A = 2,设 m q a , b]，且 f(0) = f(m),则 f(0 + m) = f(m) = f(0) = -. 3, •'2sin 0= 3 , sin 0=亡，的单调递增区间为k n+ n ，k n+ 3n (k^Z). B . g(x)在区间冗 12，的最小值为一1 n .. g(x)的图象可由函数f(x)的图象向上平移 2个单位长度，再向右平移 3个单位长度得g(x)的图象的一个对称中心是一 n , 0g(x)的一个单调递减区间是 o , n解析：选C T 函数f(x) = 1 + 2cos xcosX + 3妨是偶函数，y = 1, y = 2cosx 都是偶函数, k n n n.•y = cos(c + 3 0)是偶函数，-'3^= kn k^Z , •••©= ~, k^Z ，又 0< 护2, - '4= 3，- '9(x)= 当-存 x W ,-nW 2x ―扌三 n ，cosgx —扌」€[0,1],故 A 错误；f(x)= 1 + 2cosxcos(x + n) =1 — 2cosx =- cos 2(,显然 B 错误；当 x =— $时，g(x) =n n 2 n时，—3W 2x — 3W "3"，g(x)= cos4. (2018惠州调研)函数f(x)= Asin(2x + 0 A>0 , |晴寸的部分图象如图所示,且f(a)=f(b) =0,对不f(x)在 -身，i n 上是减函数B . f(x)在[-卷i n 上是增函数 (n A n n n 2x + -，令一2 + 2k nW 2x +^3w 2 + - n .又I 耳三2，•&= 3,5 n n2k n, k €，解得—k nW x < 石+ k n, k^Z ，此时 f(x)单调递增. •••选项B 正确. 2 5.已知函数f(x)= 2cos2x — 2.给出下列命题: 氏R , f(x + B)为奇函数； € 0, 3-5 , f(x) = f(x + 2 a 对 x € R 恒成立; n X i , X 2€ R ，右 |f(X i ) — f(X 2)|= 2，则 |X i — X 2|的最小值为 4； x i , X 2^ R ，若 f(x i ) = f(X 2)= 0，贝y x i — X 2= knk € Z). 其中的真命题是 __________ (填序号). 解析：由题意，f(x)= 2coS J 2x - 2 = cos 4x — 1，作出函数f(x)= cos 4x — 1的图象如图所示.T 2 n n 对于③，|f(X i ) — f(X 2)| = |cos 4x i — cos 4X 2|= 2 时，|x i — X 2|的最小值为 2 = 2^4 = 4 所以 ③正确; 对于④，？ x i , X 2€R ,当 f(x i )= f(x 2)= 0 时，x i — X 2= kT = k^ k n (k 題),所以④错误. 综上，真命题是②③. 答案：②③ 6.已知函数f(x)= sin 3x + — cos wx (w>0).若函数f(x)的图象关于直线且在区间是奇函数，故①错误; 对于②，f(x) = f(x + 2 a,所以 cos 4c — i = cos(4x + 8 a)— i ,所以 8 a= 2k n k 題)，所以 a k n (k 題).又0,护，所以取a= n 或 n 寸，f(x) = f(x + 2 a 对X €R 恒成立，故②正确; x = 2 n 对称, 对于①, 它不会n n 4’ 4 解析：f(x) = _23sin 3x+ ^cos 3x — cos wx = ^sin wx — fcos wx= sin wx — 是单调函数，则3的取值集合为n ，因为f(x)的图象关于直线 x = 2n 对称，所以 f(2 n= ± ,贝V 2 n (^ — ~= k n+ £, k 題,6 2 k 1所以 3=~2+3, k^z.因为函数f(x)在区间 n n I —n , 4上是单调函数,1 5 4 11 所以 3= 3或 3 = 6或 3= 4 或 3= ~. 1 3= 3时，f(x) = sin5 「 5 n 3= 6时，f(x) = sin 6x —6 ,4 3= 3时，f(x) = sin 3 3x -三€ -匚 3 6 - 「ii 「 ii y 时，f(x)= sin 6 x — 此时f(x)在区间不是单调函数;所以最小正周期 n n x j — n ，n 时，fx - 5 n 7 n 8，24x T :,：时, 1x —n €_—n3x 6」n 12 此时f(x)在区间 n n x €「4，4 n 时，6x -n 此时f(x)在区间此时f(x)在区间 11 3= 1T 增函数; 增函数; 增函数;综上，3 1 5 答案:>3 6，5 4[一 —. 6，3/4〔 -A 3。

2019版高考数学(理)培优增分一轮全国经典版第3章三角函数、解三角形 3-7

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高考一轮总复习 ·数学[理] （经典版）
(1)北偏东 α，即由指北方向顺时针旋转 α 到达目标方向 (如图③)； (2)北偏西 α，即由指北方向逆时针旋转 α 到达目标方向； (3)南偏西等其他方向角类似．
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第3章
三角函数、解三角形
第7讲解三角形的应用举例
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2．[课本改编]两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站北偏东 40° ，灯塔 B 在观察站南偏东 60° ，则灯塔 A 在灯塔 B 的( A．北偏东 10° C．南偏东 10° ) B．北偏西 10° D．南偏西 10°
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解析设水柱高度是 h m，水柱底端为 C，则在△ABC 中，A＝60° ，AC＝h，AB＝100，BC＝ 3h，根据余弦定理得( 3h)2＝h2＋1002－2· h· 100· cos60° ，即 h2＋50h－5000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即 h＝50，故水柱的高度是 50 m.

(word完整版)高考真题解答题专项训练：三角函数(理科).doc

2019 年高考真题解答题专项训练：三角函数（理科）1.（ 2019.全国一卷）V ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c ，设(sin B sin C ) 2 sin 2 A sin B sin C ．（ 1）求 A ；（ 2）若 2a b 2c ，求 sinC ．2.（ 2019.全国三卷）ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c ，已知asinA Cbsin A ．2（ 1）求 B ；（ 2）若 ABC 为锐角三角形，且 c 1 ，求 ABC 面积的取值范围．3．（ 2019.江苏）在△ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．（ 1）若 a=3c ， b= 2 ，cosB=2，求 c 的值；32sin A cosB ) 的值．（）若a，求 sin(B2b24．（ 2019.天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a, b, c .已知b c 2a ，3c sin B 4asin C .（Ⅰ）求 cosB 的值；（Ⅱ）求 sin 2B 的值 .65．（ 2019.浙江）设函数 f ( x) sinx, x R .（ 1）已知[0,2 ), 函数 f (x) 是偶函数，求的值；（ 2）求函数y [ f ( x)]2[ f ( x)] 2的值域.12 42019 年高考真题解答题专项训练：三角函数（理科）参考答案1．（ 1 ）A ；（ 2 ）sin C 62 .3 4【解析】【分析】（ 1 ）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：b2 c2 a2 bc，从而可整理出 cos A ，根据 A 0, 可求得结果；（2 ）利用正弦定理可得 2 sin A sin B 2sin C ，利用sin B sin A C 、两角和差正弦公式可得关于sin C 和 cosC 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1）sin B sin C 22 B 2sin B sin C sin 2 C sin2 A sin B sin Csin即：sin2B sin 2 C sin 2 A sin B sin C由正弦定理可得：b 2c2a2bcb2c2a2 1cos A2bc 2Q A 0, π A =3（ 2 ）Q 2 a b 2c ，由正弦定理得： 2 sin A sin B 2sin C又 sin B sin A C sin A cosC cos A sin C ，A323 3 1sin C 2sin C 2cosC2 2整理可得：3sinC 6 3cosCQ sin 2 C cos2 C2sin2 C 1 3sinC 63 1解得：sin C 64 2 或 6 24因为sin B 2sin C2 sin A 2sin C6 0所以sin C6，故sin C62 .244（ 2 ）法二： Q 2 a b 2c ，由正弦定理得：2 sin A sin B 2sin C又 sin B sinA Csin A cosC cos A sin C ， A323 3cosC 122 sin C 2sin C2整理可得：3sinC63cosC ，即 3sin C3cosC2 3 sin C66sin C226由 C(0, 2), C6( , ) ，所以 C, C 4 636 264sin Csin()624.46【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系 .2． (1)B;(2) ( 3 ,3) .382【解析】【分析】(1) 利用正弦定理化简题中等式，得到关于 B 的三角方程，最后根据 A,B,C 均为三角形内角解得 B.(2) 根据三角形面积公式 S V ABC1ac sin B ，又根据正弦定理和 c 1 得到32S V ABC 关于 C 的函数，由于 V ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于来计算 C 的2定义域，最后求解 S V ABC (C ) 的值域 .【详解】(1) 根据题意 a sinA C b sin A ，由正弦定理得 sin A sin AC sin B sin A ，因为 2 A C 20 A ，故 sin A sin B 。

2019高考数学专题六三角函数精准培优专练文

培优点六三角函数1．求三角函数值例1：已知π3π044βα<<<<，π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π5sin β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值．【答案】5665【解析】∵3πππ442αββα⎛⎫+=+--- ⎪⎝⎭，()3ππ3πsin sin πcos π44244αββαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+---=-+-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ππ3ππ=cos cos sin sin 4444βαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵π3π044βα<<<<，ππ024α∴-<-<，3π3ππ44β<+<，π4sin 45α⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，3π12cos β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()1234556sin 13551365αβ⎛⎫∴+=--⋅-⋅=⎪⎝⎭．2．三角函数的值域与最值例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．【答案】（1）πT =，对称轴方程：()ππk x k =+∈Z ；（2）3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭132222cos 222sin cos sin cos 22222x x x x x x ⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2213cos 22sin cos 22x x x x =++-1331cos 22cos 2sin 2cos 22222x x x x x =+-=-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πT ∴=对称轴方程：()ππππ2π6232k x k x k -=+⇒=+∈Z ．（2）()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，ππ5π2,636x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，()π3sin 2f x x ⎡⎤⎛⎫∴=-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．3．三角函数的性质例3：函数()32cos 2f x x x =+（）A．在ππ,36⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B．在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C．在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D．在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】D【解析】()31π32cos 222cos 22sin 226f x x x x x x ⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，单调递增区间：()πππππ2π22πππk x k k x k k -+≤+≤+⇒-+≤≤+∈Z 单调递减区间：()ππ3ππ2π2π22πππ26263k x k k x k k +≤+≤+⇒+≤≤+∈Z ∴符合条件的只有D．一、单选题1．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）A．13-B．79-C．13D．79【答案】B对点增分集训【解析】由题得2ππππcos 2=cos π2cos 2cos23336αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2π1712sin 12α⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=--⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为B．2．函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（）A．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】∵()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z ．取0k =，得函数()f x 的一个单调递增区间是π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选B．3．已知1tan 4tan θθ+=，则2πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A．1B．1C．1D．1【答案】B【解析】由1tan 4θθ+=，得sin cos 4θθθθ+=，即22sin cos 4sin cos θθθθ+=，∴1sin cos 4θθ=，∴2π1cos 2π1sin 212sin cos 2cos 4222θθθθθ⎛⎫++ ⎪--⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭1121424-⨯==，故选B．4．关于函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，下列命题正确的是（）A．由()()121f x f x ==可得12x x -是π的整数倍B．()y f x =的表达式可改写成()π3cos 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C．()y f x =的图象关于点3π,14⎛⎫⎪⎝⎭对称D．()y f x =的图象关于直线π12x =-对称【答案】D【解析】函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，周期为2ππ2T ==，对于A：由()()121f x f x ==，可能1x 与2x 关于其中一条对称轴是对称的，此时12x x -不是π的整数倍，故错误对于B：由诱导公式，πππ5π3sin 213cos 213cos 21x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故错误对于C：令3π4x =，可得3π3ππ153sin 213144322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故错误，对于D：当π12x =-时，可得πππ3sin 113121263f ⎛⎫⎛⎫-=--+=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的图象关于直线π12x =-对称，故选D．5．函数()2πππcos 2sin sin 555f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（）A．1B．πsin5C．π2sin55【答案】A【解析】由题意可知：2πππππππcos cos cos cos sin sin 5555555x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则：()2πππππππcos 2sin sin cos cos sin sin cos 5555555f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数的最大值为1．本题选择A 选项．6．函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω，ϕ的值分别可以是（）A．1，π3B．1，2π3-C．2，2π3D．2，π3-【答案】D【解析】由图可知，该三角函数的周期4πππ33T =-=，所以2π2Tω==，则()sin 2y x ϕ=+，因为ππ32f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该三角函数的一条对称轴为ππ5π32212x +==，将5π,112⎛⎫⎪⎝⎭代入()sin 2y x ϕ=+，可解得π3ϕ=-，所以选D．7．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则ω的最大值是（）A．3B．5C．7D．9【答案】B【解析】∵()()πsin 0,f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点的横坐标，∴ππ4424kT T ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即()π2124k T k +=∈Z ．又∵2πT ω=，0ω>，∴()21k k ω=+∈*N ，又∵()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，∴ππ24122T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，又∵2πT ω=∴8ω≤，当3k =，7ω=时，()()sin 7f x x ϕ=+，由π4x =是函数()f x 最小值点横坐标知π4ϕ=-，此时，()f x 在ππ,1228x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭递减，ππ,2824x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭递增，不满足()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，故舍去；当2k =，5ω=时，()()sin 5f x x ϕ=+由π4x =是函数()f x 最小值点横坐标知π4ϕ=，此时()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故5ω=．故选B．8．已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列四个说法：2014π33f ⎛⎫= ⎪⎝⎭①；②函数()f x 的周期为π；()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称其中正确说法的序号是（）A．②③B．①③C．①④D．①③④【答案】B【解析】()()()πcos πsin πcos sin f x x x x x +=++=-，所以函数()f x 的周期不为π，②错，()()()πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x +=++=，周期为2πT =．2014π4πππ3=cos sin 33334f f ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，①对．当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()1cos sin sin 22f x x x x ==，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增．③对．π13π1,4242f f⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以④错．即①③对，填①③．9．已知0ω>，函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围是（）A．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B．(]0,2C．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】∵π,π,02x ω⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，π1πππ,π4244x ωωω⎛⎫∴+∈++ ⎪⎝⎭，∵函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，∴周期2ππT ω=≥，解得2ω≤，∵()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的减区间满足：ππ3π2π2π,242k x k k ω+<+<+∈Z ，∴取0k =，得1πππ242π3ππ42ωω⎧⎪⎪⎨+≥+⎪⎪⎩≤，解之得15ω≤≤，即ω的取值范围是15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选C．10．同时具有性质：①()f x 最小正周期是π；②()f x 图象关于直线π3x =对称；③()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是（）A．πsin 23x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C．πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D．πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π4π1T ==，不满足①，排除A；函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2ππ2T ==，满足①，π3x =时，2ππsin 136y ⎛⎫=-=⎪⎝⎭取得最大值，π3x ∴=是πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一条对称轴，满足②；又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,622x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，满足③，B 满足题意；函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即[]π20,π3x +∈时单调递减，不满足③，排除C；π3x =时，2ππ1sin 362y ⎛⎫=+=⎪⎝⎭不是最值，π3x ∴=不是πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴，不满足②，排除D，故选B．11．关于函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（）①函数()f x 的图像关于直线8π3x =对称；②将函数()f x 的图像向右平移π个单位所得图像的函数为1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；③函数()f x 在区间π5π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④若()f x a =，则1πcos 233a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．A．1B．2C．3D．4【答案】A 【解析】①令()1πππ262x k k +=+∈Z ，解得()2π2π3x k k =+∈Z ，当1k =时，则8π3x =，故正确②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位得：1ππ12sin 2sin 2362y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故错误③令()π1ππ2π2π2262k x k k -+<+<+∈Z ，解得()4π2π4π4π33k x k k -+<<+∈Z ，故错误④若()f x a =，即1π2sin 26x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1ππ1πcos sin 23223x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦61πsin 22a x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故错误故选A．12．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，它的最小正周期为π，则函数()f x 图象的一个对称中心是（）A．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭B．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C．5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】由2ππω=，解得2ω=，可得()()sin 2f x A x ϕ=+，再由函数图象关于直线πx =对称，故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可取πϕ=-，故函数()πsin 26f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π2π,x k k -=∈Z ，可得ππ,k x k =+∈Z ，故函数的对称中心ππ,0212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，，令0k =可得函数()f x 图象的对称中心是π,012⎛⎫⎪⎝⎭，故选D．二、填空题13．函数πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是_________．【答案】π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【解析】由π2π22ππ4k x k ≤+≤+，即π3πππ88k x k -≤≤+，k ∈Z ，故函数的单调减区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故答案为π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．14．已知()0,πα∈，且3cos α=，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________________．【答案】1【解析】∵()0,πα∈，且35cos α=，24sin 15cos αα∴=-=，4tan 3α=，41πtan 113tan 441tan 713ααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，故答案为17．15．函数()sin 232f x x x =在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为_________．【答案】(3,2⎤-⎦【解析】()sin 232f x x x =，∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()20,πx ∴∈，ππ2π2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，π3sin 2,132x ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()(3,2f x ⎤∈-⎦，故答案为(3,2⎤-⎦．16．关于()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝，有下列命题①由()()120f x f x ==可得12x x -是π的整数倍；②()y f x =的表达式可改写成π4cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()y f x =图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④()y f x =图象关于π6x =-对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．【答案】②③【解析】对于①，()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝的周期等于π，而函数的两个相邻的零点间的距离等于π2，故由()()120f x f x ==可得12x x -必是π2的整数倍，故错误对于②，由诱导公式可得，函数()πππ4sin 24sin 2f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ππ4cos 24cos 266x x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确对于③，由于π6x =-时，函数()4sin 00f x ==，故()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故正确对于④，()ππ2π32x k k +=+∈Z ，解得()ππ122k x k =+∈Z ，即π6x =-不是对称轴，故错误综上所述，其中正确命题的序号为②③三、解答题17．已知()π2sin 2cos26f x x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()a ∈R ，其图象在πx =取得最大值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()6f α=，求sin2α值．【答案】()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；433+．【解析】（1）()πππ2sin 2cos 22sin 2cos 2cos 2sin cos 2666f x x a x x x a x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭()321cos 2x a x =++，由在π3x =取得最大值，()()2π2π2π3sin 1cos 3+1333f a a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，()220a ∴+=，即2a =-，经检验符合题意()π3sin2cos22sin 26f x x x x ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭．（2）由π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ2,662α⎛⎫⎛⎫∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()π62sin 265f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，π3sin 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，得ππ20,62α⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π4cos 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，ππππππsin2sin 2+sin 2cos cos 2sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦3341433525210+=⨯+⨯=．18．已知函数()()2πsin 3sin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．【答案】（1）1ω=；（2）30,2⎡⎤⎢⎣⎦．【解析】（1）()1cos23311π1sin2cos2sin 22222262x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=解得1ω=．（2）由（1）得()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为2π0x ≤≤，所以ππ7π2x -≤-≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭．因此π130sin 2622x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。

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培优点六三角函数1．求三角函数值例1：已知π3π044βα<<<<，π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，3π5sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()sin αβ+的值．【答案】5665【解析】∵3πππ442αββα⎛⎫+=+--- ⎪⎝⎭， ()3ππ3πsin sin πcos π44244αββαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+---=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ππ3ππ=cos cos sin sin 4444βαβα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵π3π044βα<<<<，ππ024α∴-<-<，3π3ππ44β<+<，π4sin 45α⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭，3π12cos 413β⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()1234556sin 13551365αβ⎛⎫∴+=--⋅-⋅=⎪⎝⎭．2．三角函数的值域与最值例2：已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的值域．【答案】（1）πT =，对称轴方程：()ππ32k x k =+∈Z ；（2）⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）()πππcos 22sin sin 344f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 2222x x x x x x ⎫=+⎪⎪⎝⎭⎝⎭221cos22sin cos 2x x x x =++-11cos22cos22cos222x x x x x =-- πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πT ∴= 对称轴方程：()ππππ2π6232k x k x k -=+⇒=+∈Z ．（2）()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππ5π2,636x ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，()πsin 26f x x ⎡⎤⎛⎫∴=-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦．3．三角函数的性质例3：函数()2cos 2f x x x =+（） A ．在ππ,36⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．在ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．在π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】D【解析】()1π2cos 222cos 22sin 226f x x x x x x ⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，单调递增区间：()πππππ2π22πππ26236k x k k x k k -+≤+≤+⇒-+≤≤+∈Z单调递减区间：()ππ3ππ2π2π22πππ26263k x k k x k k +≤+≤+⇒+≤≤+∈Z 符合条件的只有D ．一、单选题1．若π1sin 63α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+⎪⎝⎭的值为（）对点增分集训A ．13-B ．79-C ．13D ．79【答案】B【解析】由题得2ππππcos 2=cos π2cos 2cos23336αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2π1712sin 12699α⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---=--⨯=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为B ．2．函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（）A ．ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．π2π,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】∵()π2sin 26f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z ．取0k =，得函数()f x 的一个单调递增区间是π5π,36⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选B ．3．已知1tan 4tan θθ+=，则2πcos 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】B【解析】由1tan 4tan θθ+=，得sin cos 4cos sin θθθθ+=，即22sin cos 4sin cos θθθθ+=， ∴1sin cos 4θθ=，∴2π1cos 2π1sin 212sin cos 2cos 4222θθθθθ⎛⎫++ ⎪--⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎝⎭ 1121424-⨯==，故选B ． 4．关于函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，下列命题正确的是（）A ．由()()121f x f x ==可得12x x -是的整数倍B ．()y f x =的表达式可改写成()π3cos 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()y f x =的图象关于点3π,14⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()y f x =的图象关于直线π12x =-对称【答案】D【解析】函数()()π3sin 213f x x x ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭R ，周期为2ππ2T ==，对于A ：由()()121f x f x ==，可能与关于其中一条对称轴是对称的，此时12x x -不是的整数倍，故错误对于B ：由诱导公式，πππ5π3sin 213cos 213cos 213236x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故错误对于C ：令3π4x =，可得3π3ππ153sin 213144322f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-+=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故错误，对于D ：当π12x =-时，可得πππ3sin 113121263f ⎛⎫⎛⎫-=--+=-⨯+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的图象关于直线π12x =-对称，故选D ． 5．函数()2πππcos 2sin sin 555f x x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值是（）A ．1B ．πsin5C ．π2sin 5D ．【答案】A【解析】由题意可知：2πππππππcos cos cos cos sin sin 5555555x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则：()2πππππππcos 2sin sin cos cos sin sin cos 5555555f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数的最大值为1．本题选择A 选项．6．函数()()sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则，的值分别可以是（）A ．，π3B ．，2π3-C ．，2π3 D ．，π3-【答案】D【解析】由图可知，该三角函数的周期4πππ33T =-=，所以2π2Tω==，则()sin 2y x ϕ=+，因为ππ32f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以该三角函数的一条对称轴为ππ5π32212x +==，将5π,112⎛⎫⎪⎝⎭代入()sin 2y x ϕ=+，可解得π3ϕ=-，所以选D ．7．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点横坐标，且()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，则的最大值是（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】B【解析】∵()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，π4x =-和π4x =分别是函数()f x 取得零点和最小值点的横坐标，∴ππ4424kT T ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即()π2124k T k +=∈Z ．又∵2πT ω=，0ω>，∴()21k k ω=+∈*N ，又∵()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，∴ππ24122T ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，又∵2πT ω=∴8ω≤，当3k =，7ω=时，()()sin 7f x x ϕ=+，由π4x =是函数()f x 最小值点横坐标知π4ϕ=-，此时，()f x 在ππ,1228x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭递减，ππ,2824x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭递增，不满足()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调，故舍去；当2k =，5ω=时，()()sin 5f x x ϕ=+由π4x =是函数()f x 最小值点横坐标知π4ϕ=，此时()f x 在ππ,1224⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故5ω=．故选B ．8．已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列四个说法：2014π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭①()f x 的周期为； ()f x ③在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；()f x ④的图象关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称其中正确说法的序号是（） A ．②③ B ．①③ C ．①④ D ．①③④【答案】B【解析】()()()πcos πsin πcos sin f x x x x x +=++=-，所以函数()f x 的周期不为，错，()()()πcos 2πsin 2πcos sin f x x x x x +=++=，周期为2πT =．2014π4πππ=cos sin 3333f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对．当ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()1cos sin sin 22f x x x x ==，ππ2,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．对．π13π1,4242f f⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以错．即①③对，填①③．故选B ．9．已知0ω>，函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．(]0,2C ．15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】∵π,π,02x ω⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，π1πππ,π4244x ωωω⎛⎫∴+∈++ ⎪⎝⎭，∵函数()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，周期2ππT ω=≥，解得2ω≤，∵()πsin 4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的减区间满足：ππ3π2π2π,242k x k k ω+<+<+∈Z ，取0k =，得1πππ242π3ππ42ωω⎧⎪⎪⎨+≥+⎪⎪⎩≤，解之得1524ω≤≤，即的取值范围是15,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选C ．10．同时具有性质：①()f x 最小正周期是；②()f x 图象关于直线π3x =对称；③()f x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数的一个函数是（） A ．πsin 23x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】函数πsin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π4π12T ==，不满足①，排除A ；函数πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为2ππ2T ==，满足①，π3x =时，2ππsin 136y ⎛⎫=-=⎪⎝⎭取得最大值，π3x ∴=是πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一条对称轴，满足②；又ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,622x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，满足③，B 满足题意；函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，即[]π20,π3x +∈时单调递减，不满足③，排除C ；π3x =时，2ππ1sin 362y ⎛⎫=+=⎪⎝⎭不是最值，π3x ∴=不是πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴，不满足②，排除D ，故选B ．11．关于函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像或性质的说法中，正确的个数为（）①函数()f x 的图像关于直线8π3x =对称； ②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位所得图像的函数为1π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；③函数()f x 在区间π5π,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；④若()f x a =，则1πcos 233a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】①令()1πππ262x k k +=+∈Z ，解得()2π2π3x k k =+∈Z ，当1k =时，则8π3x =，故正确②将函数()f x 的图像向右平移π3个单位得：1ππ12sin 2sin 2362y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故错误③令()π1ππ2π2π2262k x k k -+<+<+∈Z ，解得()4π2π4π4π33k x k k -+<<+∈Z ，故错误④若()f x a =，即1π2sin 26x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则1ππ1πcos sin 23223x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦61πsin 22a x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故错误故选A ．12．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的图象关于直线π3x =对称，它的最小正周期为，则函数()f x 图象的一个对称中心是（）A ．π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】由2ππω=，解得2ω=，可得()()sin 2f x A x ϕ=+，再由函数图象关于直线π3x =对称，故π2πsin 33f A A ϕ⎛⎫⎛⎫=+=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可取π6ϕ=-，故函数()πsin 26f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令π2π,6x k k -=∈Z ，可得ππ,212k x k =+∈Z ，故函数的对称中心ππ,0212k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，，令0k =可得函数()f x 图象的对称中心是π,012⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ．二、填空题13．函数πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是_________．【答案】π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【解析】由π2π22ππ4k x k ≤+≤+，即π3πππ88k x k -≤≤+，k ∈Z ，故函数的单调减区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，故答案为π3ππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．14．已知()0,πα∈，且3cos 5α=，则πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________________．【答案】17【解析】∵()0,πα∈，且35cos α=，4sin 5α∴==，4tan 3α=， 41πtan 113tan 441tan 713ααα--⎛⎫-=== ⎪+⎝⎭+，故答案为17．15．函数()sin 22f x x x =-在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的值域为_________．【答案】(⎤⎦【解析】()sin 22f x x x =-，∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()20,πx ∴∈，ππ2π2,333x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，πsin 23x ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦， ()(f x ⎤∈⎦，故答案为(⎤⎦． 16．关于()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝，有下列命题①由()()120f x f x ==可得12x x -是的整数倍；②()y f x =的表达式可改写成π4cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③()y f x =图象关于π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称；④()y f x =图象关于π6x =-对称．其中正确命题的序号为________(将你认为正确的都填上)．【答案】②③【解析】对于①，()()π4sin 2,3f x x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭R ＝的周期等于，而函数的两个相邻的零点间的距离等于π2，故由()()120f x f x ==可得12x x -必是π2的整数倍，故错误对于②，由诱导公式可得，函数()πππ4sin 24sin 2326f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ππ4cos 24cos 266x x ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故②正确对于③，由于π6x =-时，函数()4sin 00f x ==，故()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故正确对于④，()ππ2π32x k k +=+∈Z ，解得()ππ122k x k =+∈Z ，即π6x =-不是对称轴，故错误综上所述，其中正确命题的序号为②③三、解答题17．已知()π2sin 2cos26f x x a x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()a ∈R ，其图象在π3x =取得最大值．（1）求函数()f x 的解析式；（2）当π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()65f α=，求sin2α值．【答案】()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2．【解析】（1）()πππ2sin 2cos 22sin 2cos 2cos 2sin cos 2666f x x a x x x a x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭ ()21cos 2x a x =++，由在π3x =取得最大值，()π2π2π1cos 333f a ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭ ()220a ∴+=，即2a =-，经检验符合题意 ()πcos22sin 26f x x x x ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭．（2）由π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，πππ2,662α⎛⎫⎛⎫∴-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()π62sin 265f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，π3sin 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，得ππ20,62α⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，π4cos 265α⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭， ππππππsin2sin 2+sin 2cos cos 2sin 666666αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦341552=+⨯=．18．已知函数()()2πsin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭ 的最小正周期为．（1）求的值；（2）求函数()f x 在区间2π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围．【答案】（1）1ω=；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）()1cos211π1cos2sin 222262x f x x x x x ωωωωω-⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的最小正周期为，且0ω>，所以2ππ2ω=解得1ω=．（2）由（1）得()π1sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x -≤-≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭．因此π130sin 2622x ⎛⎫≤-+≤ ⎪⎝⎭，即()f x 的取值范围为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。