[配套K12]2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(第一篇)专题04 巧妙构造函数应用导数证明不等式问题学
2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学(理)试题及答案解析
绝密★启用前2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学（理）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2- C ．{}2,1,0,1,2-- D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A ．2-B ．1-C 2D ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长,则此双曲线的离心率为（ ）A 2B 3C 5D 55．若221m n >>,则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ,b ,满足(3=a ,3=b ,()2⊥-a a b ,则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图,输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计,连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．,连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．,现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病,则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）S ＝S ＋⎰i ＋1i1x d x开始否 i ＜m ？ 结束是i ＝1，S ＝0 i ＝i ＋1输出SA．6 7B．335C．1135D．019．9．已知一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．163π+B．112π+C．1123π+D．143π+ 10．将()2sin22cos21f x x x=-+的图像向左平移π4个单位,再向下平移1个单位,得到函数()y g x=的图像,则下列关于函数()y g x=的说法错误的是（）A．函数()y g x=的最小正周期是πB．函数()y g x=的一条对称轴是π8x=C．函数()y g x=的一个零点是3π8D．函数()y g x=在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F的抛物线2:8C y x=的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上,则当MAMF 取得最大值时,直线M A的方程为（）A．2y x=+或2y x=--B．2y x=+C．22y x=+或22y x=-+D．22y x=-+12．定义在R上的函数()f x满足()()22f x f x+=,且当[]2,4x∈时,()224,232,34x x xf x xxx⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩,()1g x ax=+,对[]12,0x∀∈-,[]22,1x∃∈-使得()()21g x f x=,则实数a的取值范围为（）A．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭U B．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦UC．(]0,8D．11,,48⎛⎤-∞-+∞⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭U二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． 13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()31nx x x ⎛++ ⎪⎝⎭的展开式中,各项系数之和为256,则x 项的系数是__________．15.知变量x ,y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩,则目标函数223x y z x y-=+的最大值为16．如图,在ABC △中,3sin2ABC ∠=,点D 在线段AC 上,且2AD DC =,43BD =,则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==,24b a =, 且1a ,4a ,13a 成等比数列．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =,求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(]30,150内,其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流,那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中,选出3人参加全市座谈交流,设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数,求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分） 如图,底面ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面ABCD ,//AF DE ,3DE AF =,BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ,与抛物线准线的交点为B ,点A 在抛物线准线上的射影为C ,若AF FB =u u u r u u u r,ABC △的面积为83（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ,N 两点,抛物线在M ,N 点处的切线分别为1l ,2l ,且1l 与2l 相交于P 点,1l 与x 轴交于Q 点,求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(ln f x x x =-+． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时,恒有()3f x ax ≤,试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中,圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ,B ,P 为圆C 上的任意一点,求PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ,求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数,且a b c m ++=（其中a ,b ,c 为正实数）,求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019年高考全国卷Ⅰ高考压轴卷数学（理）试题答案解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B 【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭Z Z ,{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭,则{}1,0,1,2A B =-I ,故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1ia +-是纯虚数,i 1+(+1)i=1i 2a a a +--,则要求实部为0,即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时,()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时,结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增,如图1-7(a)所示；当0a >时,结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增,不符合条件,如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增,只需0a ≥,即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ,渐进线的方程为by x a=±,可得2d b a ===,可得c =,可得离心率ce a=故选C ． 5．【答案】D【解析】因为221m n >>,所以由指数函数的单调性可得0m n >>, 因为0m n >>,所以可排除选项A ,B ；32m =,1n =时,可排除选项C , 由指数函数的性质可判断1m n -π>正确,故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2==a ,且：()20⋅-=a a b ,即220-⋅=a a b ,420-⋅=a b ,2⋅=a b ,由平面向量模的计算公式可得：3-===a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环,2,2ln ==i S 第二次循环,3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环,4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环,5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018,故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病,事件B 为72h 发病,由题意可知：()0055P A =．,()019P B =．,则()0945P A =．,()081P B =．, 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知,几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体,其中圆锥的底面半径为1,高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1,2的直角三角形,高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()12sin 4π21f x x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭,图像向左平移π4个单位,再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==,A 选项说法正确；当π8x =时,22ππ4x +=,函数()y g x =的一条对称轴是π8x =,B 选项说法正确；当3π8x =时,2π4πx +=,函数()y g x =的一个零点是3π8,C 选项说法正确；若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调,D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作M P 与准线垂直,垂足为P ,则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠,则当MA MF取得最大值时,MAF ∠必须取得最大值,此时直线AM 与抛物线相切,可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立,消去y 得28160ky y k -+=,所以264640k ∆=-=,得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减,在(]3,4上单调递增,所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4,在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤⎥⎝⎦,所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,因为()()22f x f x +=,所以()()()112424f x f x f x =+=+,所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦,当0a >时,()g x 为增函数,()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++, 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,解得18a ≥；当0a <时,()g x 为减函数,()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+, 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩,解得14a ≤-,当0a =时,()g x 为常函数,值域为{}1,不符合题意,综上,a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U ,故选D ．二、填空题：本大题共4小题,每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称,21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()31112561n⎛+⨯= ⎝,据此可得：7n =,73x x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx x --+==, 令72102r -=可得：6r =,令72112r -=可得：407r =,不是整数解,据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.3【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩,表示的可行域,如图变形目标函数,()1,2cos x y zθ-⋅===,其中θ为向量)1=-a 与(),x y =b 的夹角,由图可知,()2,0=b 时θ有最小值6π, (),x y =b 在直线y x =上时,θ有最大值56412π+=ππ,即5612θπ≤≤π,5612θπ≤≤π,目标函数z=故选C ．16．【答案】【解析】由sin2ABC ∠=可得：cos 2ABC ∠=, 则sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒,则90ABC ∠<︒,由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =,BC y =,()30,0,0AC z x y z =>>>,在ABD △中由余弦定理可得：()22162cosz x BDA +-∠=,在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒,故cos cos BDA BDC∠=-∠,()222216162z x z y +-+-=整理可得：22216620z x y +--=．①在ABC △中,由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=,则：2222246339z x y xy =+-,代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=,由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=, 故9xy ≤,当且仅当x =,y 时等号成立,据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+,3n n b =；（2）223n n n S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ,则由已知得21134a a a =,即()()2331233d d +=+,解之得：2d =或0d =（舍）,所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==,所以{}n b 的公比3q =,所以3n n b =．（2）由（1）可知213n nn c +=, 所以23357213333n n n S +=++++．．．,21572133333n n n S -+=++++．．．, 所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．, 所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人,2人；（3）()67E X =． 【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=,()0.30.01250.0050200.65++⨯=,获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人． （2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=，在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．（3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为： X0 1 2 P 27 47 17 ()20127777E X =⨯+⨯+⨯=． 19．（本小题满分12分）【答案】（1）见解析（213 （1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴DE AC ⊥， 又∵底面ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥．∵BD DE D =I ，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直，∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒， ∴3ED DB=， 由3AD =，可知32BD =36DE =6AF = 则(3,0,0)A ，6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,6)BF =-u u u r ，(3,0,26)EF =-u u u r ． 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即360,360,y z x z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令6z =(4,6)n =r ．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA u u u r 为平面BDE 的一个法向量，∴(3,3,0)CA =-u u u r ，∴||cos,||||n CAn CAn CA⋅<>===⋅r u u u rr u u u rr u u u r∵二面角F BE D--为锐角，∴二面角F BE D--．20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y=；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB=u u u r u u u r，所以F到准线的距离即为三角形ABC△的中位线的长，所以2AC p=，根据抛物线的定义AC AF=，所以24AB AC p==，BC=，122ABCS p=⋅⋅=△解得2p=，所以抛物线的标准方程为24x y=．（2）易知直线MN的斜率存在，设直线:1MN y kx=+，设()11,M x y，()22,N x y 联立241x yy kx=+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y得2440x kx--=，得124x x=-，24xy=，'2xy=，设()11,M x y，()22,N x y，111:22l y y xx+=，222:22l y y xx+=，()22212212112121121212442,22,12444p p px xy y x x x x x x x x y x yx x x x⎛⎫-⎪-++⎝⎭===+⋅===---，得P点坐标21,12x xP+⎛⎫-⎪⎝⎭，由111:22l y y xx+=，得1,02xQ⎛⎫⎪⎝⎭，12QFkx=-，221141222lxkx x-==⋅=-，所以2QF lk k=，即2PQ l∥．21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x的定义域为R．由()'10f x=≥，知()f x是实数集R上的增函数．（2）令()()(33lng x f x ax x x ax=-=--，则()2131'axg x--，令())2131h x ax =--，则()()23169169'x a ax a x ax h x ⎡⎤----==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤．（ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >； （iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >，综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+u u u r u u u r 【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）． 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-u u u r u u u r ．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++u u u r u u u r ． 因为θ∈R，所以44PA PB -≤⋅≤+u u u r u u u r23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析． 【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立； 当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭． （2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。
(最新)2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(第一篇)专题02“三招五法”轻松破解含参零点问题学案
专题02“三招五法”轻松破解含参零点问题一．方法综述函数的含参零点问题是高考热门题型，既能很好地考查函数、导数、方程与不等式等基础知识，又能考查分类讨论、数形结合、转化与化归等思想方法，所以此类题往往能较好地体现试卷的区分度，往往出现在压轴题的位置.正因为如此，根据函数的零点情况，讨论参数的范围成为高考的难点．对于此类题目，我们常利用零点存在定理、函数的性质，特别是函数单调性（可借助于导数）探寻解题思路，或利用数形结合思想、分离参数方法来求解．具体的，（1）分类讨论参数的不同取值情况，研究零点的个数或取值；（2）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；（3）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；（4）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.二．解题策略类型一“第一招”带参讨论【例1】【湖南省澧县一中2018届一轮第一次检测】已知函数f(x)=,如果函数f（x）恰有两个零点，那么实数m的取值范围为_____．【答案】【解析】分析：根据与-2，0和4的大小关系逐一判断的零点个数即可得出结论．若，则在上有2个零点0，在上无零点，符合题意；∴或．故答案为：．【指点迷津】1.根据题设要求研究函数的性质，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；2.由于函数含有参数，通常需要合理地对参数的取值进行分类讨论，并逐一求解．【举一反三】【江苏省扬州中学2019届高三10月月考】已知定义在上的函数可以表示为一个偶函数与一个奇函数之和，设若方程无实根，则实数的取值范围是_________【答案】【解析】∴p（t）=t2+2mt+m2﹣m+1．p（p（t））=[p（t）]2+2mp（t）+m2﹣m+1，若p（p（t））=0无实根，即[p（t）]2+2mp（t）+m2﹣m+1①无实根，方程①的判别式△=4m2﹣4（m2﹣m+1）=4（m﹣1）．1°当方程①的判别式△＜0，即m＜1时，方程①无实根．2°当方程①的判别式△≥0，即m≥1时，方程①有两个实根，即②，只要方程②无实根，故其判别式，即得③，且④，∵m≥1，③恒成立，由④解得m＜2，∴③④同时成立得1≤m＜2．综上，m的取值范围为m＜2．类型二“第二招”数形结合【例2】【2018年天津卷理】已知，函数若关于的方程恰有2个互异的实数解，则的取值范围是______________.【答案】【解析】分析：由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果.令，其中，原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.【指点迷津】1.由两个基本初等函数组合而得的超越函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点个数，等价于方程g(x)－h(x)＝0的解的个数，亦即g(x)＝h(x)的解的个数，进而转化为基本初等函数y＝g(x)与y＝h(x)的图象的交点个数．2.先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．交点的横坐标即零点.【举一反三】【2019届同步单元双基双测AB卷】已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围为____．【答案】.【解析】分析：求出函数|f（x）﹣3x的解析式，画出函数的图象，利用函数的极值，转化求解即可．当x＜0时，≥6，当且仅当x=﹣1时取等号，此时﹣b＞6，可得b＜﹣6；当0≤x≤4时，x﹣x2≤，当x=时取得最大值，满足条件的b∈（﹣，0]．综上，范围是.故答案为：.类型三“第三招”分离参数【例3】【广东省惠州市2019届10月调研】已知函数是定义在上的偶函数，且，若函数有 6 个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数f（x）是定义在R上的偶函数，函数F（x）=f（x）﹣m有六个零点，则当x≥0时，函数F（x）=f（x）﹣m有三个零点，令F（x）=f（x）﹣m=0，即m=f（x），②当x≥2时，f（x）=＜0，且当x→+∞，f（x）→0，∵f′（x）=，令f′（x）==0，解得x=3，当2≤x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x≥3时，f′（x）≥0，f（x）单调递增，∴f（x）min=f（3）=﹣，故f（x）在[2，+∞）上的值域为[﹣，0），∵﹣＞﹣2，∴当﹣＜m ＜0时，当x≥0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有三个零点， 故当﹣＜m ＜0时，函数F （x ）=f （x ）﹣m 有六个零点， 故选D. 【指点迷津】1.分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域（最值）问题加以解决；2.通过将原函数中的变参量进行分离后变形成g(x)＝l(a)，则原函数的零点问题化归为与x 轴平行的直线y ＝l(a)和函数g(x)的图象的交点问题．【举一反三】【2015年天津卷理】已知函数()()22,2,{2,2,x x f x x x -≤=->函数()()2g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ． 7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ． 7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C ． 70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ． 7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D类型四 “三招五法”一题多解【例4】【2014年全国卷Ⅰ】已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围为( )A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)【答案】B【解析】法一单调性法：利用函数的单调性求解由已知得，a≠0，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2a.当a>0时，x∈(－∞，0)，f′(x)>0；x∈（0，2a），f′(x)<0；x∈（2a，＋∞），f′(x)>0.所以函数f(x)在(－∞，0)和2a，＋∞上单调递增，在（0，2a）上单调递减，且f(0)＝1>0，故f(x)有小于零的零点，不符合题意．当a<0时，x∈（－∞，2a），f′(x)<0；x∈（2a，0），f′(x)>0；x∈(0，＋∞)，f′(x)<0.所以函数f(x)在（－∞，2a）和(0，＋∞)上单调递减，在（2a，0）上单调递增，所以要使f(x)有唯一的零点x0且x0>0，只需f（2a）>0，即a2>4，解得a<－2.法三数形结合法：转化为两曲线的交点问题求解令f(x)＝0，得ax3＝3x2－1.问题转化为g(x)＝ax3的图象与h(x)＝3x2－1的图象存在唯一的交点，且交点横坐标大于零．当a＝0时，函数g(x)的图象与h(x)的图象存在两个的交点；当a>0时，如图(1)所示，不合题意；当a<0时，由图(2)知，可先求出函数g(x)＝ax3与h(x)＝3x2－1的图象有公切线时a的值．由g′(x)＝h′(x)，g(x)＝h(x)，得a＝－2.由图形可知当a<－2时，满足题意．法四分离参数法：参变分离，化繁为简.易知x≠0，令f(x)＝0，则331ax x＝－，记331()g xx x＝－，2'234333(1)()xg xx x x--=-+=，可知g(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递减，在(－1,0)和(0,1)上单调递增，且g(－1)＝－2，画出函数大致图象如图所示，平移直线y＝a，结合图象，可知a<－2.【指点迷津】1.本题的实质是函数f(x)存在唯一的零点x0∈(0，＋∞)，因此可利用其代数特征转化为方程有唯一的正根来构思解析，也可以从零点本身的几何特征入手，将其转化为曲线的交点问题来突破，还可以利用选项的唯一性选取特例求解．2. 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.【举一反三】【2017课标3，理11】已知函数211()2()x xf x x x a e e--+=-++有唯一零点，则a=A．12-B．13C．12D．1【答案】C【解析】方法一：函数的零点满足()2112x xx x a e e--+-=-+，设()11x x g x ee--+=+，则()()211111111x x x x x x e g x eeee e---+----'=-=-=， 当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，方法二：由函数f (x )有零点，得211(2)0x x x x a ee －－＋－＋＋＝有解，即211()(110)x x x a e e －－＋－－＋＋＝有解，令1t x ＝－，则上式可化为2(10)ttt a e e －－＋＋＝，即21t tt a e e--+＝. 令21t tt e e--+h(t)＝，易得h (t )为偶函数， 又由f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯一交点，则此交点的横坐标为0， 所以10122a -＝＝，故选C. 方法三：由()112()02.x x f x a ee x x ⇔－－＋＝＋＝－＋112x x e e ≥－－＋＋，当且仅当1x =时取“＝”．2221)11(x x x ≤－＋＝－－＋，当且仅当1x =时取“＝”．若a >0，则112()x x a ee a ≥－－＋＋，要使f (x )有唯一零点，则必有21a ＝，即12a ＝.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．综上所述，12a＝.三．强化训练1．【2018年新课标I卷理】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A． [–1，0） B． [0，+∞） C． [–1，+∞） D． [1，+∞）【答案】C【解析】2.【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】若函数有两个零点，则函数的图象与有且仅有两个交点，在同一坐标系内画出函数的图象与的图象如下：3.【黑龙江省2018年仿真模拟（十）】已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】绘制函数的图象如图所示，令，由题意可知，方程在区间上有两个不同的实数根，令，由题意可知：，据此可得：.即的取值范围是.本题选择D选项.4．【2019届同步单元双基双测AB卷】函数的定义域为实数集,,对于任意的都有,若在区间函数恰有三个不同的零点, 则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，由K AC=﹣，K BC=﹣，结合图象得：m∈，故选：5.【安徽省肥东县高级中学2019届8月调研】定义在上的函数，满足，且当时，，若函数在上有零点，则实数的a取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为当时，，所以时，所以，此时，故．所以在上的图象如图，要使函数在上有零点，只要直线与的图象有交点，由图象可得，所以使函数在上有零点，则实数的取值范围是．故选：B．6.【安徽省皖中名校联盟2019届10月联考】设函数若互不相等的实数满足则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】不妨设，的图像如图所示，7.【安徽省六安市舒城中学2018届仿真（三）】函数，关于方程有三个不同实数解，则实数的取值范围为( )A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，即则大致图象如图所示设，①当有一个根为时，，解得，此时另一个根为，满足条件②根不是时，则满足即综上所述，故实数的取值范围为故选8.【四川省双流中学2018届一模】对于函数和，设，若所有的，都有，则称和互为“零点相邻函数”.与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】9．【2018年浙江卷】已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1,4)【解析】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.10.【安徽省定远重点中学2019届第一次月考】函数，定义函数，给出下列命题：①；②函数是偶函数；③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；④当a＞0时，函数有4个零点．其中正确命题的序号为________________________ ．【答案】②③④【解析】∴F(m)−F(n)<0成立．故③正确对于④，由于，且函数，∴当x>0时，函数在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x>0时，F(x)的最小值为F(1)=1，∴当x>0时，函数F(x)的图象与y=2有2个交点，又函数F(x)是偶函数，∴当x<0时，函数F(x)的图象与y=2也有2个交点，画出图象如下图：故当a>0时，函数y=F(x)−2有4个零点．所以④正确．综上可得②③④正确．。
全国卷Ⅰ2019年高考数学压轴卷理含解析
（全国卷Ⅰ）2019年高考数学压轴卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合402x A x x ⎧-⎫=∈≥⎨⎬+⎩⎭Z，1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A ．{}12 x x -≤≤B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2--D ．{}0,1,22．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A．B ．1-CD ．13．“0a ≤”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为（ ）ABCD5．若221m n >>，则（ ） A ．11m n> B ．1122log log m n >C ．()ln 0m n ->D ．1m n -π>6．已知平面向量a ，b，满足(=a ，3=b ，()2⊥-a a b ，则-=a b （ ） A ．2B ．3C ．4D ．67．执行右边的程序框图，输出的2018ln =S ,则m 的值为（ ） A ．2017 B ．2018 C ．2019D ．20208．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0055．，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为019．，现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ）A ．67B ．335C ．1135D ．019．9．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．163π+ B ．112π+ C ．1123π+ D ．143π+ 10．将()1f x x x =-+的图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，则下列关于函数()y g x =的说法错误的是（ ）A ．函数()y g x =的最小正周期是πB ．函数()y g x =的一条对称轴是π8x = C ．函数()y g x =的一个零点是3π8D ．函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．焦点为F 的抛物线2:8C y x =的准线与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线M A 的方程为（ ） A ．2y x =+或2y x =-- B ．2y x =+ C ．22y x =+或22y x =-+D ．22y x =-+12．定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，且当[]2,4x ∈时，()224,232,34x x x f x x x x⎧-+≤≤⎪=⎨+<≤⎪⎩，()1g x ax =+，对[]12,0x ∀∈-，[]22,1x ∃∈-使得()()21g x f x =，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,,88⎛⎫⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭ B ．11,00,48⎡⎫⎛⎤-⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．(]0,8D ．11,,48⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎪⎝⎦⎡⎫⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 若21)(=αf 则=-)(αf 14．在()31nx x ⎛++ ⎝的展开式中，各项系数之和为256，则x 项的系数是__________． 15.知变量x ，y 满足条件236y xx y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，则目标函数z =的最大值为16．如图，在ABC △中，sin2ABC ∠，点D 在线段AC 上，且2AD DC =，BD =，则ABC △的面积的最大值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b ==，24b a =， 且1a ，4a ，13a 成等比数列． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n S ． 18．（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(]30,150内，其频率分布直方图如图．（1）求获得复赛资格的人数；（2）从初赛得分在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(]110,130与(]130,150各抽取多少人？（3）从（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设X 表示得分在区间(]130,150中参加全市座谈交流的人数，求X 的分布列及数学期望()E X ．19．（本小题满分12分）如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成角为60︒．（1）求证：AC ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值．20．（本小题满分12分）过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =，ABC △的面积为（1）求抛物线的标准方程；（2）过焦点F 的直线与抛物线交于M ，N 两点，抛物线在M ，N 点处的切线分别为1l ，2l ，且1l 与2l 相交于P 点，1l 与x 轴交于Q 点，求证：2FQ l ∥．21．（本小题满分12分）设函数()(ln f x x x =-+． （1）探究函数()f x 的单调性；（2）若0x ≥时，恒有()3f x ax ≤，试求a 的取值范围；请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.(本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为πsin 4ρθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A ，B ，P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 设函数()21f x x =-．（1）设()()15f x f x ++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中a ，b ，c 为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅≥．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】B【解析】集合{}{}40241,0,1,2,3,42x A x x x x ⎧-⎫=∈≥=∈-<≤=-⎨⎬+⎩⎭ZZ ，{}14224B x x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则{}1,0,1,2AB =-，故选B ．2．【答案】D 【解析】i 1i a +-是纯虚数，i 1+(+1)i=1i 2a a a +--，则要求实部为0，即1a =．故选D ． 3．【答案】C ．【解析】当0a =时，()|(1)|||f x ax x x =-=在区间(0,)+∞上单调递增；当0a <时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上单调递增，如图1-7(a)所示；当0a >时，结合函数2()|(1)|||f x ax x ax x =-=-的图像知函数在(0,)+∞上先增后减再增，不符合条件，如图1-7(b)所示.所以要使函数()|(1)|f x ax x =-在(0,)+∞上单调递增，只需0a ≥，即“0a ≥”是“函数()|(1)|f x ax x =-在区间(0,)+∞内单调递增”的充要条件.故选C.4．【答案】C【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点(),0F c ，渐进线的方程为by x a=±，可得2d b a ===，可得c =，可得离心率ce a=C ．5．【答案】D【解析】因为221m n >>，所以由指数函数的单调性可得0m n >>， 因为0m n >>，所以可排除选项A ，B ；32m =，1n =时，可排除选项C ， 由指数函数的性质可判断1m n -π>正确，故选D ． 6．【答案】B【解析】由题意可得：2=a ，且：()20⋅-=a a b ，即220-⋅=a a b ，420-⋅=a b ，2⋅=a b ，由平面向量模的计算公式可得：3-=a b ．故选B ．7．【答案】B【解析】第一次循环，2,2ln ==i S 第二次循环，3,3ln ln 2ln 12ln 3232==+=+=⎰i x dx xS 第三次循环，4,4ln ln 2ln 13ln 4343==+=+=⎰i x dx xS 第四次循环，5,5ln ln 4ln 14ln 5454==+=+=⎰i x dx xS ……推理可得m=2018，故选B ．8．【答案】A【解析】设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病，由题意可知：()0055P A =．，()019P B =．，则()0945P A =．，()081P B =．， 由条件概率公式可得：()()()()()0816|09457P AB P B P B A P A P A ====．．．故选A ． 9．【答案】C【解析】观察三视图可知，几何体是一个圆锥的14与三棱锥的组合体，其中圆锥的底面半径为1，高为1．三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为1．则几何体的体积21111π1π111213432123V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+．故本题答案选C ．10．【答案】D【解析】由题意可知：()12sin 4π21f x x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，图像向左平移π4个单位，再向下平移1个单位的函数解析式为： ()ππ2sin 2112sin 244π4g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．则函数()g x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 选项说法正确； 当π8x =时，22ππ4x +=，函数()y g x =的一条对称轴是π8x =，B 选项说法正确； 当3π8x =时，2π4πx +=，函数()y g x =的一个零点是3π8，C 选项说法正确； 若5π,128πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则5π3π2,4122πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数()y g x =在区间5π,128π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，D 选项说法错误；故选D ． 11．【答案】A 【解析】过M 作M P 与准线垂直，垂足为P ，则11cos cos MA MA MFMPAMP MAF ===∠∠，则当MA MF取得最大值时，M AF ∠必须取得最大值，此时直线AM 与抛物线相切，可设切线方程为()2y k x =+与28y x =联立，消去y 得28160ky y k -+=，所以264640k ∆=-=，得1k =±．则直线方程为2y x =+或2y x =--．故本题答案选A ．12．【答案】D【解析】因为()f x 在[]2,3上单调递减，在(]3,4上单调递增，所以()f x 在[]2,3上的值域是[]3,4，在(]3,4上的值域是119,32⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以函数()f x 在[]2,4上的值域是93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为()()22f x f x +=，所以()()()112424f x f x f x =+=+， 所以()f x 在[]2,0-上的值域是39,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当0a >时，()g x 为增函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]21,1a a -++， 所以3214918a a ≥-+≤+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得18a ≥；当0a <时，()g x 为减函数，()g x 在[]2,1-上的值域为[]1,21a a +-+， 所以3149218a a ≥+⎧⎪≤+⎨-⎪⎪⎪⎩，解得14a ≤-，当0a =时，()g x 为常函数，值域为{}1，不符合题意，综上，a 的范围是11,,48⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故选D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13． 【答案】23【解析】解析：因为1sin )1lg()(2++-+=x x x x f 的定义域为R,关于原点对称，21sin )1lg(1sin )1lg()()(22=+-++++++-+=-+）（x x x x x x f f αα故221)(=+-αf 则=-)(αf 2314．【答案】7【解析】令1x =可得各项系数和：()3111256n⎛+⨯= ⎝，据此可得：7n =，73x ⎛+ ⎝展开式的通项公式为：()721732177C C r r rr r r T xx --+==， 令72102r -=可得：6r =，令72112r -=可得：407r =，不是整数解，据此可得：x 项的系数是67C 7=． 15.【解析】作出236y x x y y x ≤+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩，表示的可行域，如图变形目标函数，()1,2cos x y zθ-⋅===，其中θ为向量)1=-a 与(),x y =b 的夹角，由图可知，()2,0=b 时θ有最小值6π， (),x y =b 在直线y x =上时，θ有最大值56412π+=ππ，即5612θπ≤≤π，5612θπ≤≤π，目标函数z =C ．16．【答案】【解析】由sin2ABC ∠=可得：cos 2ABC ∠=， 则sin 2sin cos 22ABC ABC ABC ∠∠∠==． 由sin2ABC ∠<452ABC ∠<︒，则90ABC ∠<︒，由同角三角函数基本关系可知：1cos 3ABC ∠=． 设AB x =，BC y =，()30,0,0AC z x y z =>>>，在ABD △中由余弦定理可得：()22162cos z x BDA +-∠=，在CBD △中由余弦定理可得：2216cos z y BDC +-∠=由于180BDA BDC ∠+∠=︒，故cos cos BDA BDC ∠=-∠，()222216162z x z y +-+-=22216620z x y +--=．①在ABC △中，由余弦定理可知：()2221233x y xy z +-⨯=，则：2222246339z x y xy =+-，代入①式整理计算可得：2214416339x y xy ++=，由均值不等式的结论可得：4161699xy xy ≥=，故9xy ≤，当且仅当x =y =时等号成立，据此可知ABC △面积的最大值为：()max max 11sin 922S AB BC ABC =⨯⨯⨯∠=⨯= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）【答案】（1）()32121n a n n =+-=+，3n n b =；（2）223n nn S +=-． 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知得21134a a a =，即()()2331233d d +=+，解之得：2d =或0d =（舍），所以()32121n a n n =+-=+； 因为249b a ==，所以{}n b 的公比3q =，所以3n n b =． （2）由（1）可知213n nn c +=， 所以23357213333n n n S +=++++．．．，21572133333n n n S -+=++++．．．，所以12111211112121243323234133333313n n n n n n n n n S --⎛⎫⋅- ⎪+++⎛⎫⎝⎭=++++-=+-=- ⎪⎝⎭-．．．，所以223n nn S +=-． 18.（本小题满分12分）【答案】（1）520人；（2）5人，2人；（3）()67E X =． 【解析】（1）由题意知[)90,110之间的频率为：()1200.00250.0050.007520.01250.3-⨯++⨯+=，()0.30.01250.0050200.65++⨯=，获得参赛资格的人数为8000.65520⨯=人．（2）在区间(]110,130与(]130,150，0.0125:0.00505:2=， 在区间(]110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人， 分在区间(]110,130与(]130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人． （3）X 的可能取值为0，1，2，则：()305237C C 20C 7P X ===；()215237C C 41C 7P X ===；()125237C C 12C 7P X ===；故X 的分布列为：()20127777E X =⨯+⨯+⨯=．19．（本小题满分12分） 【答案】（1）见解析（2 （1）证明：∵DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴DE AC ⊥，又∵底面ABCD 是正方形， ∴AC BD ⊥． ∵BDDE D =，∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵DA ，DC ，DE 两两垂直， ∴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，∵BE 与平面ABCD 所成角为60︒，即60DBE ∠=︒，∴EDDB=， 由3AD =，可知BD =DE =AF =则(3,0,0)A，F，E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，∴(0,BF =-，(3,0,EF =-． 设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n BF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,30,y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令z =(4,n =．∵AC ⊥平面BDE ，∴CA 为平面BDE 的一个法向量， ∴(3,3,0)CA =-，∴||cos ,||||32n CA n CA n CA ⋅<>===⋅ ∵二面角F BE D --为锐角， ∴二面角F BE D --的余弦值为13． 20.（本小题满分12分）【答案】（1）24x y =；（2）证明见解析．【解析】（1）因为AF FB =，所以F 到准线的距离即为三角形ABC △的中位线的长，所以2AC p =，根据抛物线的定义AC AF =，所以24AB AC p ==，BC =，122ABC S p =⋅⋅=△ 解得2p =，所以抛物线的标准方程为24x y =．（2）易知直线MN 的斜率存在，设直线:1MN y kx =+，设()11,M x y ，()22,N x y联立24 1x yy kx =+⎧⎪⎨⎪⎩=消去y 得2440x kx --=，得124x x =-， 24x y =，'2x y =，设()11,M x y ，()22,N x y ，111:22l y y xx +=，222:22l y y xx +=，()22212212112121121212442,22,12444p p p x x y y x x x x x x x x y x y x x x x ⎛⎫- ⎪-++⎝⎭===+⋅===---， 得P 点坐标21,12x x P +⎛⎫- ⎪⎝⎭，由111:22l y y xx +=，得1,02x Q ⎛⎫⎪⎝⎭，12QF k x =-，221141222l x k x x -==⋅=-，所以2QF l k k =，即2PQ l ∥． 21.（本小题满分12分）【答案】（1）增函数；（2）1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）见解析．【解析】（1）函数()f x 的定义域为R ． 由()'10f x =≥，知()f x 是实数集R 上的增函数．（2）令()()(33ln g x f x ax x x ax =-=-+-，则()2131'ax g x --，令())2131h x ax =--， 则()23169'x a ax h x ⎡⎤--==．（i ）当16a ≥时，()'0h x ≤，从而()h x 是[)0,+∞上的减函数， 注意到()00h =，则0x ≥时，()0h x ≤，所以()'0g x ≤，进而()g x 是[)0,+∞上的减函数，注意到()00g =，则0x ≥时，()0g x ≤时，即()3f x ax ≤． （ii ）当106a <<时，在⎡⎢⎣上，总有()'0h x >，从而知，当x ⎡∈⎢⎣⎭时，()3f x ax >；（iii ）当0a ≤时，()'0h x >，同理可知()3f x ax >， 综上，所求a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22.（本小题满分10分）【答案】（1）2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，20x y +-=；（2）44PA PB -⋅≤+【解析】（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=（θ为参数）．直线l 的直角坐标方程为20x y +-=．（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点()2,0A ，点()0,2B ．设点(),P x y ，则()()222,,2222412PA PB x y x y x y x y x y ⋅=--⋅--=+--=+-．由（1）知2cos 3sin x y θθ+=+⎧⎨⎩=，则()4sin 2cos 44PA PB θθθϕ⋅=++=++． 因为θ∈R ，所以． 23．（本小题满分10分）【答案】（1）55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）见解析．【解析】（1）()()15f x f x ++<即21215x x -++<，当12x <-时，不等式化为12215x x ---<，∴5142x -<<-；当1122x -≤≤时，不等式化为12215x x -++<，不等式恒成立；当12x >时，不等式化为21215x x -++<，∴1524x <<． 综上，集合55|44A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭．（2）由（1）知1m =，则1a b c ++=．则1a b c a a -+=1b b -≥1c c -≥则1118a b c a b c ---⋅⋅≥=，即8M ≥．。
2019年新课标Ⅱ卷高考数学(理)押题预测卷和答案详细解析及家长必读
5、你的魅力无穷大，事物见你会害怕，高考不敢将你拦，大学校门为你添，研究生加 博士后，邀你照单全接受，注意啦：心愿狂想不要停，只要你想它就成。祝升学越升越高！
四个学习方法
01
提前预习 凡是预则立，不预则废
02
高效听讲 质重于量，学大于形
03
科学笔记 好记性不如烂笔头
04
有效复习 学而时习之，不亦乐乎、
教育孩子的过程是每一位家长自我修行的过程，父母是孩子最好的榜样，咱们家长只有 做到耐心、踏实、沉得下心做一些东西，孩子同样也能沉得下心做一些事情。咱们家长能做 的是引导孩子给孩子一些科学有效的建议。
2、几处早莺争暖树，谁家新燕啄新泥。这是大自然中春的美景。18 岁是人生的春天， 而当它到来，我的美景在哪？在高三忙碌的学习生活中，书本把我 18 岁的光辉遮盖得严严 实实，习题也不肯给它留一点缝隙。
3、高考是个大熔炉，你的汗水经过熔炉制造出来的是‘水到渠成’，你的苦读经过熔 炉打造出来的是‘旗开得胜’，你的努力经过熔炉锻造出‘成功在握’，愿你考出好成绩， 金榜题名。
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高考前鼓励孩子经典语录 孩子，我非常欣慰地看到你已经在努力学习了。希望再接再励，百尺竿头更进一步。你
有很大的潜力，要充分发挥。你是好样的。
1、高考日到，送你一枚定心丸，配料就是“八心”：审题要用心，做题要细心，压力 别在心，难题要静心，烦躁须离心，高考放宽心，快乐要在心，成绩会顺心！祝高考顺利！
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（x），且函数 f（x）的最小正周期为 ，则 f ( ) 8
全国卷Ⅱ2019年高考数学压轴卷文含解析20190514018
（全国卷Ⅱ）2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足11i 12z z -=+，则复数z 在复平面内对应点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}06M x x =≤≤， {}232x N x =≤，则M N ⋃=（ ） A. (],6-∞ B. (],5-∞ C. []0,6 D. []0,53.已知向量2=a ，1=b ，()22⋅-=a a b ，则a 与b 的夹角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．150︒4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的等于较小的两份之和，问最小的一份为（ ）A.65 B.611 C. 35 D. 310 5.若n 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x n+=的离心率是（ ）A ．32 B ．5 C ．32或52 D ．32或5 【答案】D6． 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为( )A ．4B ．642+C ．442+D ．27.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 1sin 2B C =，()2213cos2a b B BA BC-=⋅u u u v u u u v，则角C=（）A.6πB.3πC.2πD.3π或2π8. 如图为函数()y f x=的图象，则该函数可能为()A．sin xyx=B．cos xyx=C．sin||xyx=D．|sin|xyx=9．执行如图所示程序框图，若输出的S值为20-，在条件框内应填写（）A．3?i>B．4?i<C．4?i>D．5?i< 10．已知抛物线()220y px p=>的焦点为F，准线l与x轴交于点A，点P在抛物线上，点P到准线l的距离为d，点O关于准线l的对称点为点B，BP交y轴于点M，若BP a BM=，23OM d=，则实数a的值是（）A.34B.12C.23D.3211．已知不等式组2024x yx yyx y m-≥+≤≥⎧⎪+⎨≤⎪⎪⎪⎩表示的平面区域为M，若m是整数，且平面区域M内的整点(),x y恰有3个（其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则m的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 412．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()32123f x x ax bx =+++， ()()24f x f x +='-'，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为（ ）A. [)64ln3,++∞B. [)5ln5,++∞C. [)66ln6,++∞D. [)4ln2,++∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．某学校选修网球课程的学生中，高一、高二、高三年级分别有50名、40名、40名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高二年级学生中抽取了8名，则在高一年级学生中应抽取的人数为_______．14．设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π，则点P 横坐标的取值范围为 ． 15．已知正四棱锥P ABCD -内接于半径为94的球O 中（且球心O 在该棱锥内部），底面ABCD 的边长为2，则点A 到平面PBC 的距离是__________．16．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上存在一点P 满足以OP 为边长的正三角形的内切圆的面积等于236c π（其中O 为坐标原点， c 为双曲线的半焦距），则双曲线的离心率的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小满分题12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，1110,910n n a a S +==+. （1）求证：{lg }n a 是等差数列； （2）设n T 是数列13{}(lg )(lg )n n a a +的前n 项和，求使21(5)4n T m m >-对所有的*n N ∈都成立的最大正整数m 的值.18.（本小题满分12分）进入11月份，香港大学自主招生开始报名，“五校联盟”统一对五校高三学生进行综合素质测试，在所有参加测试的学生中随机抽取了部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图：（1）估计五校学生综合素质成绩的平均值；（2）某校决定从本校综合素质成绩排名前6名同学中，推荐3人参加自主招生考试，若已知6名同学中有4名理科生，2名文科生，试求这2人中含文科生的概率．19.（本题满分12分）如图，在三棱锥P ADE -中， 4AD =， 22AP =， AP ⊥底面ADE ，以AD 为直径的圆经过点E .（1）求证： DE ⊥平面PAE ；（2）若60DAE ∠=︒，过直线AD 作三棱锥P ADE -的截面ADF 交PE 于点F ，且45FAE ∠=︒，求截面ADF 分三棱锥P ADE -所成的两部分的体积之比.20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－10，0)，F 2(10，0)，且椭圆C 过点P (3，2)． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）与直线OP 平行的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△PAB 面积的最大值．21. （本小题满分12分）已知函数()e x f x ax =-（a 为常数）的图象与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A 处的切线斜率为2-．（1）求a 的值及函数()f x 的单调区间；（2）设()231g x x x =-+，证明：当0x >时，()()f x g x >恒成立． 22．（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线M 的参数方程为1cos 1sin x y ϕϕ=+=+⎧⎨⎩（ϕ为参数），过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A 、B 两点．（1）求l 和M 的极坐标方程；（2）当4π0,α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，求OA OB +的取值范围．23．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()121f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x ≤+；（2）若()3231g x x m x =-+-，对1x ∀∈R ，2x ∃∈R ，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．2019全国卷Ⅱ高考压轴卷数学文科答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】D【解析】设复数i z a b =+，(),a b ∈R ，则i z a b =-，因为11i 12z z -=+，所以()()211i z z -=-，所以2(1)2i a b --()1i a b =+-，所以可得2221a bb a -=-⎧⎨-=+⎩，解得5343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以54i 33z =-，所以复数z 在复平面内对应点54,33⎛⎫-⎪⎝⎭在第四象限上．故选D ．2【答案】A【解析】 因为{}06M x x =≤≤， {}232{|5}x N x x x =≤=≤， 所以{|6}M N x x ⋃=≤，故选A. 3.【答案】B【解析】∵()222422⋅-=-⋅=-⋅=a a b a a b a b ，∴1⋅=a b ．设a 与b 的夹角为θ，则1cos 2θ⋅==a b a b ，又0180θ︒≤≤︒，∴60θ=︒，即a 与b 的夹角为60︒．4.【答案】C【解析】分析：根据已知条件，设等差数列的公差为，将已知条件转化为等式，求出等差数列的首项和公差，再得出答案。
2019年高考数学(理)原创终极押题卷(新课标Ⅱ卷)(含答案)
秘密★启用前2019年全国普通高等学校招生考试终极押题卷（全国新课标Ⅱ）理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，则A B ⋂=（ ）A. {}1,0-B. {}0,1C. {}1,0,1-D. {}1,2- 2．已知i 为虚数单位,复数1z i =+,则1z z-的实部与虚部之差为( )A ． 1B ．0C1D3．下图为国家统计局发布的2018年上半年全国居民消费价格指数（CPI ）数据折线图，（注：同比是今年第n 个月与去年第n 个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）下列说法错误的是（ ）A. 2018年6月CPI 环比下降0.1%，同比上涨1.9%B. 2018年3月CPI 环比下降1.1%，同比上涨2.1%C . 2018年2月CPI 环比上涨0.6%，同比上涨1.4%D . 2018年6月CPI 同比涨幅比上月略微扩大0.1个百分点4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵．”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（ ） A ．()71887-人 B ．()91887-人 C ．()718887+-人D ．()9418887+-人 5．根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图（图1），其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，设计一个程序框图（图2），用()1,2,,10i A i =⋅⋅⋅表示第i 个同学的身高，计算这些同学身高的方差，则程序框图①中要补充的语句是（ ）A ．iB B A =+B ．2i B B A =+C ．()2i B B A A =+- D ．22i B B A =+6．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，则（ ） A ．()()()0.633log 132f f f -<-< B ．()()()0.6332log 13f f f -<<- C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<8. 如图网格纸的最小正方形边长为1，粗线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）A ． 32B ．643C ． 323D ． 89. 设点1F ，2F 分别为椭圆22:195x yC +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是（ ） A ．12B ．3C ．5D ．810．若1x 是方程1x xe =的解，2x 是方程ln 1x x =的解，则12x x =（ ） A ．1 B ．1- C ．eD ．1e11. 某人5次上班图中所花的时间（单位：分钟）分别为,,9,10,11x y ，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -=（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．412. 已知2()+x x f x e e ax =-，0,()2,x f x ∀≥≥均有则a 的取值范围是（ ）A ．(,3]-∞B ．(,2]-∞C ．[2,)+∞D ．[3,)+∞第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若实数,x y 满足02601x y x y x -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则2z x y =-的最大值为______________．14. 甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知，3人作出如下预测：甲说：我不是第三名； 乙说：我是第三名； 丙说：我不是第一名；若甲、乙、丙三位同学的预测有且只有一个正确，由此判断获得第一名的同学是______________．15. 在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为DC 边上的中点，P 为线段AE 上的动点，设向量AP DB AD λμ=+，则λμ+的最大值为_____________．16．某工厂现将一棱长为3四面体毛坯件，切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为______________．三、解答题（共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
历届高考数学压轴题汇总及答案
历届高考数学压轴题汇总及答案1.2019年高考数学上海卷：已知等差数列$\{a_n\}$的公差$d\in(0,\pi]$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=\sin(a_n)$，集合$S=\{x|x=b_n,n\in N^*\}$。
1) 若$a_1=0,d=\frac{\pi}{6}$，求集合$S$的元素个数；2) 若$a_1=\frac{2\pi}{3}$，求集合$S$；3) 若集合$S$有三个元素$b_{n+T}=b_n$，其中$T$是不超过$7$的正整数，求$T$的所有可能值。
2.2019年高考数学浙江卷：已知实数$a\neq0$，函数$f(x)=a\ln x+x+1$，$x>0$。
1) 当$a=-1$时，求函数$f(x)$的单调区间；2) 对任意$x\in[\frac{3}{4},+\infty)$，有$f(x)\leq\frac{1}{2}e^{2a}$，求$a$的取值范围。
3.2019年高考数学江苏卷：设$(1+x)=a+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n$，$n^2,n\in N^*$，已知$a_3=2a_2a_4$。
1) 求$n$的值；2) 设$(1+3x)=a+b\sqrt{3}$，其中$a,b\in N^*$，求$a^2-3b^2$的值。
4.2018年高考数学上海卷：给定无穷数列$\{a_n\}$，若无穷数列$\{b_n\}$满足对任意$n\in N^*$，都有$b_n-a_n\leq1$，则称$\{b_n\}$与$\{a_n\}$“接近”。
1) 设$\{a_n\}$是首项为$1$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，构造一个与$\{a_n\}$接近的数列$\{b_n\}$，并说明理由；2) 设数列$\{a_n\}$的前四项为：$a_1=1,a_2=2,a_3=4,a_4=8$，$\{b_n\}$是一个与$\{a_n\}$接近的数列，记集合$M=\{x|x=b_i,i=1,2,3,4\}$，求$M$中元素的个数$m$；3) 已知$\{a_n\}$是公差为$d$的等差数列，若存在数列$\{b_n\}$满足：$\{b_n\}$与$\{a_n\}$接近，且在$1$的等比数列，$b_n=a_{n+1}+1$，$n\in N^*$，判断数列$\{b_n\}$是否满足$b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots,b_{201}-b_{200}$中至少有$100$个为正数，求$d$的取值范围。
(全国卷Ⅱ)2019年高考数学压轴卷文(含解析)
（1）求 a 的值及函数 f x 的单调区间； （2）设 g x x2 3x 1，证明：当 x 0 时， f x g x 恒成立．
22．（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 在平面直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲
A． 30
B． 60
C． 90
D． 150
4.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把 100 个
1
面包分给 5 个人，使每个人所得面包成等差数列，且较大的三份之和的7等于较小的两份之
和，问最小的一份为（ ）
5
A.
6
11
B.
6
5
C.
3
10
D.
3
5.若 n 是 2 和 8 的等比中项，则圆锥曲线 x2 y2 1的离心率是（ ） n
．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小满分题 12 分）
设数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， a1 10, an1 9Sn 10 .
（1）求证：{lg an} 是等差数列；
（2）设 Tn
是数列 {
3
} 的前
(lg an )(lg an1)
n
项和，求使 Tn
S 2 1 2 (2 2 2) 6 4 2 ，故选：B．．
7．【答案】B
【解析】
因为
sinB
1
b
，所以由正弦定理，得
1
，即 c
2b ，
sinC 2
c2
由
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专题04 巧妙构造函数应用导数证明不等式问题一．方法综述利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型．利用导数证明不等式，关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧． 二．解题策略类型一 “比较法”构造差函数证明不等式【例1】【2018届广州模拟】已知函数()(xf x e ax e ＝－为自然对数的底数，a 为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1.(1)求a 的值及函数()f x 的极值； (2)证明：当20.xx x e ＞时，＜ 【答案】见解析. 【解析】(2)证明：令()()22.xxg x e x g x e x '＝－，则＝－由(1)得()()() 20g x f x f ln '≥＝＞， 故()g x 在R 上单调递增．所以当()()20010.x x g x g x e ＞时，＞＝＞，即＜ 【指点迷津】当题目中给出简单的基本初等函数，例如()()3 f x x g x ln x ＝，＝，进而证明在某个取值范围内不等式()()f x g x ≥成立时，可以类比作差法，构造函数()()()()()()h x f x g x x g x f x ϕ＝－或＝－，进而证明()()00min max h x x ϕ≥≤或即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具．此外，在能够说明()()()00g x f x >>的前提下，也可以类比作商法，构造函数()()()()()f x f x h x xg x g x ϕ＝(()=)，进而证明()()()11min max h x x ϕ≥≤．【举一反三】【广东省佛山市南海区南海中学2018届考前七校联合体高考冲刺】已知函数，(Ⅰ) 设函数，讨论函数的单调性；（Ⅱ）求证：当时，【答案】(1)见解析.(2)见解析. 【解析】（Ⅱ）要证，即证，令，当时，，∴成立；当时，，当时，；当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴．∵，∴，，∴，即成立，故原不等式成立．类型二“拆分法”构造两函数证明不等式【例2】【山东省青岛市2019届9月期初调研】已知函数. (1)若上存在极值，求实数m的取值范围；(2)求证：当时，．【答案】（1）;（2）见解析【解析】（2）要证即证令，则再令，则当时，，∴在上是增函数，∴∴，∴在上是增函数 ∴当时，∴令，则当时，，∴即在上是减函数∴当时，所以，即【指点迷津】当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉．这时可以将原不等式合理拆分为()()f x g x ≤的形式，进而证明()()max min f x g x ≤即可，此时注意配合使用导数工具．在拆分的过程中，一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准．【举一反三】【山东省实验中学2019届高三第一次诊断】已知函数（）．（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围； （2）令，是否存在实数，当（为自然对数的底数）时，函数的最小值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）当时，证明：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析.【解析】分析：（1）根据函数在上是减函数知其导数在上恒成立，结合二次函数性质可求得的范围（2）先假设存在，对函数求导，根据的值分情况讨论在上的单调性和最小值取得，可知当能够保证当时有最小值3（3）令由（2）知，，令可求出其最大值为3，即有，化简即可得证.解：（1）在上恒成立，令，有得，得．（2）假设存在实数，使有最小值3，①当时，在上单调递减，（舍去），②当时，在上单调递减，在上单调递增∴，满足条件．③当时，在上单调递减，（舍去），综上，存在实数，使得当时有最小值3．类型三“换元法”构造函数证明不等式【四川省成都石室中学2019届高三上学期入学】已知函数，，其中【例3】（1）若，求的单调区间；（2）若的两根为，且，证明：.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】分析：(1) 由已知得，,解不等式即可得到单调区间；（2）由题意可得，要证，即证：，即证：.解：（1）由已知得，所以，当时，；当时，．故的单调递增区间为，单调递减区间为．【指点迷津】若两个变元x 1，x 2之间联系“亲密”，我们可以通过计算、化简，将所证明的不等式整体转化为关于m(x 1，x 2)的表达式(其中m(x 1，x 2)为x 1，x 2组合成的表达式)，进而使用换元令m(x 1，x 2)＝t ，使所要证明的不等式转化为关于t 的表达式，进而用导数法进行证明，因此，换元的本质是消元． 【举一反三】【2018届四川省资阳市4月模拟（三诊）】已知函数()()ln pF x px x=+（其中0p >）． （1）当12p <<()F x 零点的个数k 的值； （2）在（1）的条件下，记这些零点分别为()1,2,,i x i k =，求证：12111kx x x +++> 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】（2）由（1）知()F x 的两个零点为12x x ，，不妨设12x x <， 于是()()112212ln ln 0ln ln 0p p F x p x F x p x x x =++==++=，，且1244p x p x p <<<<， 两式相减得()211122ln0p x x x x x x -+=（*）， 令121(1)16x t t x =<<， 则将12x tx =代入（*）得()21ln p t x t t-=，进而()11ln p t x t-=，所以()121ln 111ln ln 1111t t t t t x x p t t p t ⎡⎤+⎛⎫+=+=⎢⎥ ⎪---⎝⎭⎣⎦， 下面证明()1ln 21t t t +>-，其中1116t <<， 即证明()()1ln 21t t t +<-，设()()()211ln f t t t t =--+， 则()11ln f t t t -'=-，令()u t 11ln t t =--，则()221110tu t t t t-='=->，所以()u t 为增函数，即()11ln f t t t-'=-为1,116⎛⎫⎪⎝⎭增函数， 故()()10f t f ''<=，故()()()211ln f t t t t =--+为1,116⎛⎫⎪⎝⎭减函数， 于是()()()()211ln 10f t t t t f =--+>=，即()()211ln t t t ->+．所以有()1ln 21t t t +>-，从而12112x x p +>．而由12p <<，得1p >所以1211x x +>，得证． 类型四 “转化法”构造函数证明不等式【例4】【内蒙古赤峰二中2019届第二次月考】设函数有两个极值点，且（I ）求的取值范围，并讨论的单调性；（II ）证明：【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间为和，单调递减区间，其中，且.（Ⅱ）证明见解析 【解析】（Ⅱ）由韦达定理和①知，，则﹣＜x2＜0，，a=﹣2x2（1+x2），于是f（x2）=﹣2x2（1+x2）ln（1+x2），设函数g（t）=t2﹣2t（1+t）ln（1+t），则g′（t）=﹣2（1+2t）ln（1+t），当t=﹣时，g′（t）=0，当t∈（﹣，0）时，g′（t）＞0，故g（t）在[﹣，0）上是增函数．于是，当t∈（﹣，0），g（t）＞g（﹣）=，因此f（x2）=g（x2）＞．【指点迷津】在关于x1，x2的双变元问题中，若无法将所要证明的不等式整体转化为关于m(x1，x2)的表达式，则考虑将不等式转化为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的目的．【举一反三】【江西师范大学附属中学2018年10月高三月考】设，函数（1）若无零点，求实数的取值范围；（2）若有两个相异零点，求证：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1)①若时，则是区间上的增函数，∵∴，函数在区间有唯一零点；②若，有唯一零点；③若，令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间故在区间三．强化训练1.【山西省长治市第二中学2017-2018学年高二下期末】设函数在点处的切线方程为.（1）求的值，并求的单调区间；（2）证明：当时，.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】⑴，由已知，，故a=-2,b=-2.，当时，，当时，，故f(x)在单调递减，在单调递减；⑵，即，设，，所以g(x)在递增，在递减，当x≥0时，.2. 【2018届高三第一次全国大联考】已知函数有两个零点（）. （1）求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】作出直线，由图可知，实数的取值范围为.（2）由题意，即，所以.故，即，整理得，即，不妨设，由题意得.则，所以.所以，故．记函数（），则，因为，所以，所以函数在上单调递增，所以.而，所以，故，即．3. 【2018届吉林省长春市高三质量监测（三）】已知函数.（1）若在上是单调递增函数，求的取值范围；（2）设，当时，若，其中，求证：. 【答案】(1) (2)见解析【解析】（2），设，则，在上递增且令，设，，，在上递增，，，，令即：又，即：，，在上递增，即：，得证.4．【2018届山东省济南市高三一模】已知函数()()2ln 21f x a x x a x =-+- ()a R ∈有两个不同的零点. （1）求a 的取值范围；（2）设1x ， 2x 是()f x 的两个零点，证明： 122x x a +>. 【答案】(1) ()1,+∞ (2)见解析 【解析】②当0a >时，令()'0f x =得： x a =，则（ii ）当1a >时， ()()max 0f x a g a =⋅>， ∵121f a e e ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2110e e --<，∴()f x 在区间1,a e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，∵()()31ln 31f a a a -=- ()()()2312131a a a --+-- ()()ln 3131a a a ⎡⎤=---⎣⎦， 设()ln h x x x =-， (1)x >，∵()1'10h x x=-<， ∴()h x 在()1,+∞上单调递减，则()()312ln220h a h -<=-<， ∴()()31310f a a h a -=⋅-<，∴()f x 在区间(),31a a -上有一个零点，那么， ()f x 恰有两个零点. 综上所述，当()f x 有两个不同零点时， a 的取值范围是()1,+∞. （1）【解法二】函数的定义域为： ()0,+∞. ()'221af x x a x=-+- ()()21x a x x +-=，①当0a ≤时，易得()'0f x <，则()f x 在()0,+∞上单调递增， 则()f x 至多只有一个零点，不符合题意，舍去. ②当0a >时，令()'0f x =得： x a =，则∴()()max f x f x =极大 ()()ln 1f a a a a ==+-.∴要使函数()f x 有两个零点，则必有()()ln 10f a a a a =+->，即ln 10a a +->， 设()ln 1g a a a =+-，∵()1'10g a a=+>，则()g a 在()0,+∞上单调递增， 又∵()10g =，∴1a >； 当1a >时： ∵121f a e e ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2110e e --<，∴()f x 在区间1,a e⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点； 设()ln h x x x =-， ∵()11'1xh x x x-=-=，∴()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减， ∴()()110h x h ≤=-<，∴ln x x <，∴()()2ln 21f x a x x a x =-+- ()22213ax x a x ax x x ≤-+-=-- ()233ax x x a x ≤-=-，则()40f a <，∴()f x 在区间(),4a a 上有一个零点， 那么，此时()f x 恰有两个零点.综上所述，当()f x 有两个不同零点时， a 的取值范围是()1,+∞. （2）【证法一】由（1）可知，∵()f x 有两个不同零点，∴1a >，且当()0,x a ∈时， ()f x 是增函数； 当(),x a ∈+∞时， ()f x 是减函数；不妨设： 12x x <，则： 120x a x <<<； 设()()()2F x f x f a x =--， ()0,2x a ∈， 则： ()()()'''2F x f x f a x =-- ()2212a ax a x a x=-+-+- ()()2221a x a --+- ()()22222x a a ax a x x a x -=+-=--. 当()0,x a ∈时， ()'0F x >，∴()F x 单调递增，又∵()0F a =， ∴()0F x <，∴()()2f x f a x <-， ∵()10,x a ∈，∴()()112f x f a x <-， ∵()()12f x f x =，∴()()212f x f a x <-，∵()2,x a ∈+∞， ()12,a x a -∈+∞， ()f x 在(),a +∞上单调递减， ∴212x a x >-，∴122x x a +>.当()0,x a ∈时， ()'0F x >，∴()F x 单调递增， 又∵()00F =，∴()0F x >，∴()()f a x f a x +>-， ∵()10,a x a -∈，∴()()12f x f x = ()()()()11f a a x f a a x =--<+- ()12f a x =-， ∵()2,x a ∈+∞， ()12,a x a -∈+∞， ()f x 在(),a +∞上单调递减， ∴212x a x >-，∴122x x a +>.5.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知函数()()2111x f x nx x -=-+，()()()211,g x x nx n x m n R =--∈.(I)若函数()(),f x g x 在区间01（，）上均单调且单调性相反,求实数n 的取值范围； (Ⅱ)若0a b <<,证明112a b a bna nb -+<<- 【答案】（Ⅰ）12n ≥；（Ⅱ）见解析． 【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）()()21ln 1x f x x x -=-+在()0,1上单调递增，()()()21ln 101x f x x f x -=-<=+即()21ln 1x x x -<+，令()0,1a x b =∈得()212ln 1a a b a b a b a b b⎛⎫- ⎪-⎝⎭<=++， ln 0a b < ∴ .ln ln 2a b a b a b -+<-在（Ⅰ）中，令1,2n =由()g x 在()0,1上均单调递减得： ()()10g x g >=所以()21ln 102x x x -->，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，取()0,1x =得12>，即ln ln a b ->，由ln ln 0a b -<得：.ln ln a ba b -<-综上：.ln ln 2a b a b a b -+<<-6.【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数.(1)当时，若在上恒成立，求的取值范围；(2)当时，证明：.【答案】（1） （2）见解析【解析】（2）因为，所以，.令，则.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以，即当时，，所以在上单调递减.又因为所以当时，当时，于是对恒成立.7. 【四川省高2019届高三第一次诊断】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】（2）证明：因为，所以由于，等价于，令，设函数当时，，所以，所以在上是单调递增函数，又，所以，所以，即等价于，令，设函数当时，，所以，所以在上是单调递减函数，又，所以所以，即综上①②可得：.8.【北京市第八十中学2019届10月月考】已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求证：.【答案】(1) ex﹣4y+e=0;(2)证明见解析.【解析】（2）设，则，x∈（1，+∞）⇒F''（x）＞0⇒F'（x）在（1，+∞）上为增函数；又因，在（1，+∞）上为增函数；在（1，+∞）都成立．设，由于△=32（2﹣e）＜0，则在（1，+∞）上为增函数，又G（1）=0，若x＞1时，则．综上：．9．【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数.(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】（2）由题得，则因为有两个极值点，所以欲证等价于证，即，所以因为，所以原不等式等价于.由可得，则.由可知，原不等式等价于，即设，则，则上式等价于.令，则因为，所以，所以在区间上单调递增，所以当时，，即，所以原不等式成立，即.10.【贵州省遵义航天高级中学2018届四模】已知函数的两个零点为．（1）求实数m的取值范围；（2）求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】（2）令，则，由题意知方程有两个根，即方程有两个根，不妨设，，令，则当时，单调递增，时，单调递减，综上可知，，要证，即证，即，即证，令，下面证对任意的恒成立，∵，∴，∴又∵，∴∴，则在单调递增∴，故原不等式成立．。