信号与系统第五章
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信号与系统第五章 离散系统分析
图5-11 序列的尺度变换
可以看出，不管是移位变换，还是反褶和尺度变换，都是对序 列自变量k进行的变换。
例5-5 已知序列ƒ(k)的波形如图5-12（a）所示，试 画出ƒ(-0.5k+3)的波形。
解：ƒ(-0.5k+3)是将ƒ(k)经反褶、移位、尺度展缩三种变换后得到的，但三
种变换的次序是可以任意的,下面介绍移位→反褶→尺度变换这种方法（见图 5-12），其它的请读者自行完成。
当a＞1时，序列ƒ(ak)是由序列ƒ(k)每隔a点抽取一点形成 的。从波形效果来看，是将序列ƒ(k)的时间轴k压缩到了原来 的1/a倍，图5-11（b）是将ƒ(k)变换成ƒ(2k)的波形。
图5-11 序列的尺度变换
当0＜a＜1时，序列ƒ(ak)是由序列ƒ(k)在每两个相邻的序 列数值间插入个零值点形成的。从波形效果来看，是将序列 ƒ(k)的时间轴k扩展到了原来的1/a倍，图5-11（c）是将ƒ(k) 变换成ƒ(0.5k)的波形。
图5-2 单位样值序列波形
延时k0个单位的单位样值序列可表示为
(k
k
0
)
1, k 0, k
k0 k0
单位样值序列 与单位冲激函数 类似，具有取样 特性，即有
f (k)(k) f (0)(k)
f (k)(k k0 ) f (k0 )(k k0 )
f (k)(k) f (0)
f (k) 左移3个单位 f (k 3) 反褶 f (k 3) 展宽2倍 f ( 1 k 3) 2
（2）反转
序列ƒ(-k)是将序列ƒ(k)以纵轴为对称轴进行反折而得到的序 列，在形式上只要将序列ƒ(k)的自变量k换成-k即可，如图5-10 所示。
可以看出，不管是移位变换，还是反褶和尺度变换，都是对序 列自变量k进行的变换。
例5-5 已知序列ƒ(k)的波形如图5-12（a）所示，试 画出ƒ(-0.5k+3)的波形。
解：ƒ(-0.5k+3)是将ƒ(k)经反褶、移位、尺度展缩三种变换后得到的，但三
种变换的次序是可以任意的,下面介绍移位→反褶→尺度变换这种方法（见图 5-12），其它的请读者自行完成。
当a＞1时，序列ƒ(ak)是由序列ƒ(k)每隔a点抽取一点形成 的。从波形效果来看，是将序列ƒ(k)的时间轴k压缩到了原来 的1/a倍，图5-11（b）是将ƒ(k)变换成ƒ(2k)的波形。
图5-11 序列的尺度变换
当0＜a＜1时，序列ƒ(ak)是由序列ƒ(k)在每两个相邻的序 列数值间插入个零值点形成的。从波形效果来看，是将序列 ƒ(k)的时间轴k扩展到了原来的1/a倍，图5-11（c）是将ƒ(k) 变换成ƒ(0.5k)的波形。
图5-2 单位样值序列波形
延时k0个单位的单位样值序列可表示为
(k
k
0
)
1, k 0, k
k0 k0
单位样值序列 与单位冲激函数 类似，具有取样 特性，即有
f (k)(k) f (0)(k)
f (k)(k k0 ) f (k0 )(k k0 )
f (k)(k) f (0)
f (k) 左移3个单位 f (k 3) 反褶 f (k 3) 展宽2倍 f ( 1 k 3) 2
（2）反转
序列ƒ(-k)是将序列ƒ(k)以纵轴为对称轴进行反折而得到的序 列，在形式上只要将序列ƒ(k)的自变量k换成-k即可，如图5-10 所示。
信号与系统-第五章概要
1
(a)
2
1 4
f (k)
y(k 2)
D
y(k 1)
D
y(k)
1
(b)
2
1 4
(a) y(k) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k 2)
2
4
y(k) 1 y(k 1) 1 y(k 2) f (k)
2
4
为二阶差分方程 (后向差分 )
(b) y(k 2) f (k) 1 y(k 1) 1 y(k)
N=5
N=6
(5) 复指数序列
f (k) e jk cos k j sin k
同正弦序列一样，若复指数序列是一个周期序列，则 2
应为整数或有理数，否则不是周期序列。
二. 序列的基本运算与波形变换 (1) 相加
f (k) f1(k) f2 (k)
f1 (k )
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 k
或：y(k 1) (1－T ) y(k) Tf (k)
y(k 1) (1－T ) y(k ) Tf (k )
利用计算机来求解 微分方程就是根据 这一原理来实现的
y(0) (1T ) y(1) Tf (1) y(1) (1T ) y(0) Tf (0) y(2) (1T ) y(1) Tf (1)
一个周期的正弦信号，经抽样后得到的正弦序列是否
也是周期信号呢？ 周期序列的定义：
f (k N) f (k) N为序列的周期，只能为整数。
Asin[(k N ) ] Asin[k N ]
在什么情况下等于 Asin[k＋]? N 2 即N 2 / ，对于周期序列 N必须为整数
■ 当正弦序列的2 / 为整数时，该序列为周期序列，周期为N。
信号与系统讲义第五章1引言及无失真传输条件
无失真：时域波形传输不变
e(t )
e(t)
线性网络
t
H ( j)
R( j) KE( j)e jt0 R( j) E( j)H ( j)
r (t )
t t0
r(t) K e(t t0 )
H ( j) R( j) Ke jt0 E( j)
频域无失真条件： H ( j) Ke jt0
H( j) K () t0
r(t) e(t)*h(t)
R( j) E( j)H( j) H ( j) LT[h(t)] H ( j) R( j)
E( j)
对稳定系统
H (s)
H ( j) H (s) s j
系统函数还可以通过对微分方程取傅氏变换而得到
求矩形脉冲通过低通滤波器的响应
v1 (t )
E
t
0
输入信号波形
R
傅里叶变换在现代通信系统中的应用非常多，典 型的应用就是——滤波、调制与解调、抽样
频域系统函数——系统的频率响应函数H(jw)
稳定系统：s域系统函数→频域系统函数
频域系统函数H(jw)描述了系统对信号的各频率
成份的加权
傅氏变换将信号分解为无穷多项ejwt信号的叠加
S域系统函数H(s)描述系统对复指数信号est的加
5.3 无失真传输
信号通过系统传输，由于系统对信号中各频率分 量幅度产生不同程度的衰减，使得响应中各频率 分量的相对幅度产生变化，引起幅度失真。
同样地，由于系统对输入信号各频率分量产生的 相移，信号也会出现失真，称为相位失真
频域由相于移系→统时对域信延号时各频率分量产生的相移不与频
输 输
入 出率成yx正((t相t))比对，ss位iinn使((置响11t产t )应生的s1变)in各(化s频i2，nt率()而分2t引量起在2的) 时失间真轴上的
信号与系统郑君里版第五章
系统的H（jw）为低通滤波器，不允许高频分 量通过，输出电压不能迅速变化，于是不再表现为 举行脉冲，而是以指数规律逐渐上升和下降。
二、无失真传输 1、信号失真
(1）幅度失真. 系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减, 使响应各频率分量的相对幅度产生变化, 即引入幅度失真.
(2）相位失真. 系统对信号中各频率分量产生相移不与频率成正比, 使响应各频率分量在时间轴上的相对相对位置产生变化, 即引入相位失真.
求响应
V2 (
j)
gE jw jw
(1
e
jw
)
E(
1 jw
1
)(1 jw
e
jw
)
E 1 (1 e jw ) E (1 e jw )
jw
jw
又Q E (1 e j ) F1 E u(t) u(t )
j
E F1 Eetu(t)
j
u2 (t) Eu(t) u(t ) E etu(t) e(t )u(t )
φ(t)=Kpm(t) 其中Kp是常数。于是，调相信号可表示为
sPM(t)=Acos［ωct+Kpm(t)］
(2)频率调制，是指瞬时频率偏移随调制信号m(t)而
线性变化，即
d(t)
dt
k
f
t
m( )d
其中Kf是一个常数
相位偏移为： 可得调频信号为：
FM和PM非常相似， 如果预先不知道调制信号 m(t)的具体形式，则无法判断已调信号是调相信号 还是调频信号。
如果将调制信号先微分，而后进行调频，则得到的是调相波， 这种方式叫间接调相；
如果将调制信号先积分，而后进行调相， 则得到的是调频 波，这种方式叫间接调频。
二、无失真传输 1、信号失真
(1）幅度失真. 系统对信号中各频率分量幅度产生不同程度的衰减, 使响应各频率分量的相对幅度产生变化, 即引入幅度失真.
(2）相位失真. 系统对信号中各频率分量产生相移不与频率成正比, 使响应各频率分量在时间轴上的相对相对位置产生变化, 即引入相位失真.
求响应
V2 (
j)
gE jw jw
(1
e
jw
)
E(
1 jw
1
)(1 jw
e
jw
)
E 1 (1 e jw ) E (1 e jw )
jw
jw
又Q E (1 e j ) F1 E u(t) u(t )
j
E F1 Eetu(t)
j
u2 (t) Eu(t) u(t ) E etu(t) e(t )u(t )
φ(t)=Kpm(t) 其中Kp是常数。于是，调相信号可表示为
sPM(t)=Acos［ωct+Kpm(t)］
(2)频率调制，是指瞬时频率偏移随调制信号m(t)而
线性变化，即
d(t)
dt
k
f
t
m( )d
其中Kf是一个常数
相位偏移为： 可得调频信号为：
FM和PM非常相似， 如果预先不知道调制信号 m(t)的具体形式，则无法判断已调信号是调相信号 还是调频信号。
如果将调制信号先微分，而后进行调频，则得到的是调相波， 这种方式叫间接调相；
如果将调制信号先积分，而后进行调相， 则得到的是调频 波，这种方式叫间接调频。
信号与系统第五章
信号分配的作用。
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
P289
➢ 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结
点），如图中的 x1 。
➢ 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结
点），如图中的 x5。
➢ 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中
的x2 、x3 和x4 。
➢ 从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的 支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。
梅逊公式为
H1
k
gkk
式中： 1 La LbLc Ld LeLf L
a
b,c
d ,e, f
称为信号流图的特征行列式； La是所有不同环路的增益
之和；
Lb
Lc
a
是所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf 是所有三个互不接触环路的增益乘积之和；…
d ,e, f
H 1
流图所描述的方程是
x2 ax1 x3 bx2 ex5 x4 cx2 dx3 x5 fx4 x6 x5
联立求解后，可得 x6 Hx1 ，结果完全同上。
b.化简信号流图的具体步骤可不同，但最终结果必相同。 即不同结构的框图可实现同一功能。
3.信号流图的Mason（梅逊）公式 P293
用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较 复杂。若利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流 图很方便地求得输入输出间的系统函数。
若将式
dy t
dt
a0
y
t
b0
x
t
与
dy t
dt
a0
y
t
b1
dx t
dt
b0
x
t
精品文档-信号与系统(第四版)(陈生潭)-第5章
例2：LTI二阶 y(k) 2 y(k 1) 3 y(k 2)
系统：
离散
4 f (k) 5 f (k 1) 6 f (k 2)
算子方程： (1 2E 1 3E 2 ) y(k) (4 5E 1 6E 2 ) f (k)
A(E)
B(E)
或写成：y(k) B(E) f (k) B(E) x(k) A( E )
列
i k
f1(k) (k) f2 (k) (k) f1(i) f2 (k i)
i 0
5.2.2 图解机理： y(k) f1(k) f2 (k) f1(i) f2 (k i) i
步骤：翻转、平移、相乘、求和。
step 1. 画 出f1 (i)、f2 (i)的 图 形 。 step 2. f2 (i)翻 转180 得f2 (－i)。 step 3. 将f2 (－i)平 移k 得f2 (k－i)。
(k)
1 (ak1 1) (k)
a 1
5.3 离散系统的描述 一.LTI离散时间系统：
1.输入输出模型： f(k)
离散系统
y(k)
设k0为初始观察时刻，则可将系统的输入区分为两部分，称 k0以前的输入为历史输入信号，称k0及k0以后的输入为当前输入 信号或简称输入信号。
根据引起系统响应的原因不同，可将输出响应区分为零输入 响应yzi(k)零状态响应yzs(k)和完全响应y(k)。
(k)
1 0
k0 k0
(k)
1 0 1 2 3 4 5 k
e k f (k)
0
k 1 其余
e
k
(
k
1)
（c）集合表示： ，0， 1，2，3，4，0，
5.1.2 离散基本信号：
信号与系统PPT 第五章 连续时间信号的抽样与量化
pt
他抽样方式，如零阶抽样
1
保持。
O Ts
t
M1
fs0 t
f t
M2
fs0 t
1
O Ts
t
p1 t
1．零阶抽样信号的频谱
设零阶抽样信号fs0t Fs0
fs t f t t nTs
n
Fs
1 Ts
n
F
ns
此线性系统必须 具有如下的单位 冲激响应
fs (t) 保 持得到fso (t).
f (t)
F
1
0 f (t)
t
s 2m
m m
1 Fs
Ts
0
TS f (t)
t
s m
m
s
s 2m
1 Fs
Ts
0
t
s m m s
TS
采样频率不同时的频谱
5.2.2 时域抽样定理 （1）时域抽样定理
一个频带受限的信号f (t)，若频谱只占据 m ~ m
的范围，则信号f t可用等间隔的抽样值来惟一地表示。
即： fs (t) f (t) p(t)
设连续信号 抽样脉冲信号 抽样后信号
f t F (m m)
pt P , fst Fs
复习
周期信号的傅里叶变换
令周期信号f(t)的周期为T1，角频率为1=2f1
f t F 2π Fn1 n1
n
其中：
F n1
1 T1
T1
2 T1
F (
s
)
S a0F ( )
S a
s
2
F (
s
)
设: 1,
Ts 2
s
《信号与系统》第五章基本内容示例(含答案)
e−4t
sin(0t)
(t)
（2）ℒ
(2t
−
5)
=
1
−5s
e2
s
（3）ℒ-1
1 1− e−s
=
k =0
(t
−
k)
（4）ℒ
cos(3t − 2) (3t − 2) =
s
2
s +
9
−
e
2 3
s
（5）ℒ
e−t (t)
− e−(t −3)
(t
−
3)
=
s
1 (1− +1
e−3s )
（6）ℒ-1
1 2
2. 已知系统的 H (s) = s +1 ，画出系统的零、极点分布图。
(s + 2)2 + 4
六、简单计算下列式子
ℒ 1、
-1
(s
+
0 4)2
+
02
2、ℒ (2t − 5)
ℒ-1
3、
1
1 − e−
s
4、ℒ cos(3t − 2) (3t − 2)
ℒ 5、 e−t (t) − e−(t −3) (t − 3)
系统并联后的复合系统的系统函数为（ ）。
A ． H1(s) + H2 (s)
B ． H1(s) H2(s)
C．无法确定
D． H1(s) // H2(s) 14、若 f (t) 1 ，Re[s] −3 ，根据终值定理，原函数 f (t) 的终值为
s+3
（ ）。
A．无穷小
B．无穷大
C． 1 D． 0
X (s) = F(s) + s X (s) + s2 X (s)
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1 f (t ) = 2π
∫
∞
F1 ( jω )e
(σ + jω ) t
1 dω = 2π
∫
∞
F (σ + jω )e(σ + jω ) t dω
(4.1-4)
已知s=σ+jω, ds=d(σ+jω), σ为常量, ds=j dω, 代入式(4.1-4)且积分上, 下限也做相应改 变, 式(4.1-4)可写作
线性在实际应用中是用得最多最灵活的性质之一. 例如 1 j ωt 1 1 1 s jωt cos ωtu (t ) = (e + e )u (t ) ( + )= 2 2 2 s j ω s + jω s +ω2
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
2. 时延(移位, 延时)特性 若f(t)u(t) F(s), 则 f(t-t0)u(t-t0) F ( s )e st0 证
2. t的指数函数e-atu(t)(a为任意常数)
e u (t ) F ( s ) = ∫ e e dt = ∫ e
0 0
at
∞
at st
∞
( s + a )t
dt
1 ( s + a )t ∞ 1 = e |0 = s+a s+a
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
3. t的正幂函数
通常 δ (t ) 的拉氏变换的下限都采用0-
∞
P144表5-1
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
4.2 拉普拉斯变换的性质与定理
1. 线性
若f1(t) F1(s), f2(t) F2(s), 则 k1f1(t)+k2f2(t) k1F1(s)+k2F2(s)
k1, k2为任意常数
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
jω
jω
jω
σ0=-a
收收 区
σ
σ0=0
0
收收 区
σ
σ0=a
0 a
收收 区
σ
-a
0
(a)
(b)
(c)
图 4.1-2 收敛区示意图
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
当σ0<0时, 收敛区包含虚轴jω, 函数的傅氏变换 存在; 当σ0>0时收敛区不包含虚轴jω, 函数的傅氏变 换不存在; 当σ0=0时, 收敛区虽不包含虚轴jω, 但函 数的傅氏变换存在, 不过有冲激项. 因为指数阶函 数的单边拉氏变换一定存在, 所以一般可以不标明收 敛区.
3. 频率平移(s域) 若f(t) F(s), 则
s0t
f (t )e F ( s s0 )
(4.2-4)
∫
∞
0
f (t )e e dt = ∫ f (t )e
0
s0t st
∞
j ( s s0 ) t
dt = F ( s s0 )
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
4. 尺度变换
n
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
特别地,
n =1 n=2 n=3
1 tu (t ) 2 s 2 2 t u (t ) 3 s 6 3 t u (t ) 4 s
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
4. 冲激函数
δ (t )
∞ 0 0+
δ (t ) F ( s ) = ∫ δ (t )e st dt = 1 δ (t ) F ( s ) = ∫ δ (t )e st dt = 0
0
∞
st
(4.1-2)
F1(ω)的傅氏反变换为
f1 ( t ) = f ( t ) e
σt
1 = 2π
∫
∞
∞
F1 ( jω )e jωt dω
(4.1-3)
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
式(4.1-3)两边同乘eσt, eσt不是ω的函数, 可放 入积分号里, 由此得到
∞ ∞
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
4.1 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换
4.1.1 单边拉普拉斯变换 1. 单边拉氏变换定义 因果信号的傅氏正, 反变换为
F ( jω ) = ∞ f (t )e jωt dt ∫0 1 ∞ f (t ) = F ( jω )e jωt dt 2π ∫∞
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
4.1.3 常用函数的单边拉普拉斯变换 我们通过求常用函数的象函数, 掌 握单边拉氏变换的基本方法. 1. 单位阶跃函数u(t)
∞
u (t ) F ( s ) = ∫
0
1 st ∞ 1 = 1e dt = e 0 s s
st
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
象函数与原函数的关系还可以表示为
L{ f (t )} = F ( s ) L1{ f (t )} = f (t )
f (t ) F ( s )
(4.1-7)
s=σ+jω可以用直角坐标的复平面(s平面)表示, σ是实轴, jω是虚轴, 如图4.1-1所示.
r =0 n 1
(4.2-7)
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
式中, f(0-)以及f(r)(0-)分别为t=0-时f(t)以及
d r f (t ) |t =0 _ r dt
证
时的值.
∞ df (t ) ∞ df (t ) st =∫ e dt = ∫ e st df (t ) L 0_ 0_ dt dt
∞
(4.2-2)
∞
∫ ∫
∞
0
f (t t0 )u(t t0 )e dt = ∫ f (t t0 )e dt
0
st
st
令t-t0=x, t=x+t0, 代入上式得
0
f ( x )e
s ( x + t0 )
dx = e
st0
∫
∞
0
f ( x )e dx = F ( s )e
sx
st0
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
(4.2-1)
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
证
[k1 f1 (t ) + k2 f 2 (t )] = ∫0 [k1 f1 (t ) + k2 f 2 (t )]e
∞ ∞ st ∞ 0 0
st
dt
= ∫ k1 f1 (t )e dt + ∫ k2 f 2 (t )e st dt = k1F1 ( s ) + k2 F2 ( s )
1 f (t ) = j 2π
∫σ
σ + j∞
j∞
F ( s )ds
(4.1-5)
第4章 连续时间信号和系统的复频域表示与分析 章
因为e-σt的作用, 式(4.1-2)与 (4.1-5)是适合指数阶 函数的变换. 又由于式(4.1-2)中的f(t)是t<0时为零的 因果信号, 故称"单边"变换. 将两式重新表示在一 起, 单边拉氏变换定义为
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由以上分析, 并比较式(4.1-6)与傅里叶变换对关 系式, 以及式(4.1-2)的推导,可见拉氏变换的基本 信号元为est. 虽然单边拉普拉斯变换存在条件比 傅氏变换宽, 不需要信号满足绝对可积, 但对具体函 数也有变换是否存在及在什么范围内变换存在的问题, 这些问题可由单边拉氏变换收敛区解决.
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以f(t)随时间变化的趋势, 收敛区的大致范围为: 若f(t)是随时间衰减的, σ0<0, 例如单边指数信号 e-atu(t)(a>0)的σ0=-a, 其拉氏变换的收敛区如图4.12(a)所示; f(t)是随时间不变的, σ0=0, 例如u(t), sinω0tu(t), 其拉氏变换的收敛区如图4.1-2(b)所示; f(t) 是随时间增长的, σ0>0, 例如eatu(t)(a>0)的σ0=a, >0 e u(t) a>0 σ =a 其拉氏变换的收敛区如图 4.1-2(c)所示.
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傅氏变换对于一些指数函数处理不方便, 主要原因 是这类函数不收敛, 例如阶跃函数u(t). 为了使函数收 敛, 我们在进行变换时让原函数f(t)乘以e-σt , 使得 f(t)e-σt是一个收敛速度足够快的函数. 即有 f1(t)=f(t)e-σt 式中, e-σt为收敛(衰减)因子, 且f1(t)满足绝对可 积条件. 则
t →∞
(σ > σ 0 )
(4.1-8)
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式中, σ0叫做收敛坐标, 是实轴上的一个点. 穿 过σ0并与虚轴jω平行的直线叫做收敛边界. 收敛轴的 右边为收敛区, 收敛区不包括收敛轴. 一旦σ0确定, f(t)的拉氏变换的收敛区就确定了. 满足式(4.1-8)的函数, 称为指数阶函数. 这类函 数若发散, 借助指数函数的衰减可以被压下去. 指数 阶函数的单边拉氏变换一定存在, 其收敛区由收敛坐 标σ0确定. σ0的取值与f(t)有关, 具体数值由式(4.1-8) 计算.
n n st ∞
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依此类推,
n n n 1 n 2 n 1 L{t u (t )} = L{t u (t )} = L{t u(t )} s s s n n 1 2 1 = L L{t n n u (t )} s s s s n n 1 2 1 1 = L s s s s s n! = n +1 s